章末检测（二） 圆与方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知圆C以点（2，－3）为圆心，半径等于5，则点M（5，－7）与圆C的位置关系是（ ）
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2
3.经过点M（2，1）作圆O：x2＋y2＝5的切线，则切线方程为（ ）
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C.2x＋y－5＝0 D.2x＋y＋5＝0
4.直线x＋y－1＝0被圆（x＋1）2＋y2＝3截得的弦长等于（ ）
A. B.2
C.2 D.4
5.已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.不能确定
6.在平面直角坐标系中，点A（0，1）和点B（4，5）到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线l的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知圆C的方程为（x－3）2＋y2＝1，若y轴上存在一点A，使得以点A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点，则点A的纵坐标可以是（ ）
A.1 B.－3
C.5 D.－7
8.已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上两个动点，点P的坐标为（2，1），若PA⊥PB，则线段AB长度的最大值为（ ）
A.3＋ B.2＋
C.3 D.＋
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是（ ）
A.0＜m＜1 B.m＜1
C.－2＜m＜1 D.－3＜m＜1
10.已知点A（2，0），圆C：（x－a－1）2＋（y－a）2＝1上存在点P，满足PA2＋PO2＝10，则实数a的取值可能是（ ）
A.1 B.－1
C. D.0
11.已知点P在圆C1：（x－2）2＋y2＝4上，点Q在圆C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，则（ ）
A.两圆外离 B.PQ的最大值为9
C.PQ的最小值为1 D.两个圆的一条公切线方程为3x－4y＋4＝0
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点（1，2）的圆的方程为 .
13.已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程 .
①圆M与x轴相切；②圆M与直线l相切；③圆M的半径为2.
14.已知点A（x，y）在曲线y＝上运动，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
（1）求以OP为直径的圆的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.（本小题满分15分）已知△ABC的三个顶点A（－1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为圆H.
（1）求圆H的标准方程；
（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程.
17.（本小题满分15分）若☉A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，☉B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断☉A和☉B是否相交？若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由.
18.（本小题满分17分）如图，四边形MNPQ是一块长方形绿地，MQ＝3 km，MN＝2 km，RS是一条直路，交MN于点R，交MQ于点S，且MR＝SQ＝1 km.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三个点的距离相等.以点M为坐标原点，直线MN，MQ分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求出建筑物的中心C的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路RS要开通一条路，已知路的造价为150万元/km，求开通的这条路的最低造价.（≈2.24）
19.（本小题满分17分）已知复数z＝x＋yi和w＝u＋vi，x，y，u，v∈R，对任意非零复数z有w＝.
（1）求x，y用u，v表示的关系式；
（2）将（x，y）作为点P的坐标，（u，v）作为点Q的坐标，当点P在圆Cr：（x－1）2＋y2＝r2（r是常数，r＞0，r≠1）上移动时，试求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是怎样的曲线；
（3）判断能否找到实数r，使点Q的轨迹恰为圆Cr？
章末检测（二） 圆与方程
1.B 点M（5，－7）到圆心（2，－3）的距离d＝＝5，故点M在圆C上.
2.D 圆的半径r＝＝，圆心坐标为（1，1），所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
3.C ∵M（2，1）在圆上，∴切线与MO垂直.∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M（2，1），∴y－1＝－2（x－2），即2x＋y－5＝0.
4.B 由题意，得圆心为（－1，0），半径r＝，弦心距为d＝＝，所以所求的弦长为2 ＝2，故选B.
5.A 由已知得C：（x－1）2＋（y－m）2＝4，即圆心C（1，m），半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心（1，m）在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C（1，2）到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切.故选A.
6.D 将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题，如图，AB＝＝4＞1＋2，两圆外离，满足要求的公切线有4条.
7.A 设A（0，b），则圆A与圆C的圆心距d＝.因为以点A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，所以3－1≤d≤3＋1，即2≤≤4，解得－≤b≤，观察各选项知选A.
8.D 如图所示，取AB的中点Q，连接OQ，PQ，OB.由圆的性质可知OQ⊥AB，由PA⊥PB可知：AB＝2PQ，所以PQ＝BQ，设点Q的坐标为（x，y），在Rt△OBQ中，OB2＝OQ2＋BQ2，即2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0，可化为（x－1）2＋（y－）2＝，故Q的轨迹为以（1，）为圆心，为半径的圆，PQ的最大值为＋＝，故AB＝2PQ≤＋.
9.AC 圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为（1，0），半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝＜，所以｜1＋m｜＜2，解得－3＜m＜1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得A、C符合.故选A、C.
10.ABC 设P（x，y），由PA2＋PO2＝10，得（x－2）2＋y2＋x2＋y2＝10，整理得（x－1）2＋y2＝4.由题知P（x，y）在圆C上，即两圆（x－1）2＋y2＝4与（x－a－1）2＋（y－a）2＝1有交点，则1＝2－1≤≤2＋1＝3，解得≤｜a｜≤.∴实数a的取值可能是1，－1，.故选A、B、C.
11.ABC 圆C1：（x－2）2＋y2＝4的圆心坐标为C1（2，0），半径r＝2，圆C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0，即（x＋1）2＋（y－4）2＝4的圆心坐标为C2（－1，4），半径R＝2，所以圆心距C1C2＝＝5，因为C1C2＞R＋r＝4，所以两圆外离，故A正确；因为P在圆C1上，Q在圆C2上，所以PQmin＝C1C2－R－r＝1，PQmax＝C1C2＋R＋r＝9，故B、C正确；因为圆心C2（－1，4）到直线3x－4y＋4＝0的距离d＝＝3≠R，所以3x－4y＋4＝0不是两圆公切线，故D错误.故选A、B、C.
12.x2＋y2－x－y－＝0 解析：由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ（x＋y＋1）＝0，将（1，2）代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
13.x2＋（y－2）2＝4（x2＋（y－2）2＝4或（x－5）2＋（y－2）2＝4或（x－2）2＋（y＋2）2＝4或（x＋3）2＋（y＋2）2＝4中的一个即可）
解析：由①③可设圆心M（a，2）或M（a，－2），由②可得：若M（a，2），则d＝＝2，解得a＝0或a＝5，圆M的方程为x2＋（y－2）2＝4或（x－5）2＋（y－2）2＝4；若M（a，－2），则d＝＝2，解得a＝2或a＝－3，圆M的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4或（x＋3）2＋（y＋2）2＝4.
14. 解析：y＝变形为x2＋y2＝4（y≥0），它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，A（x，y）在上半圆上，表示点A（x，y）与M（－4，0）连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为k，直线方程y＝k（x＋4），即kx－y＋4k＝0，因此＝2，解得k＝（由图k＝－舍去），所以的最大值为.
15.解：（1）∵所求圆的圆心为线段OP的中点（2，3），
半径为OP＝ ＝，
∴以OP为直径的圆的方程为（x－2）2＋（y－3）2＝13.
（2）∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上.
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
16.解：（1）设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），
则由题意，可知解得
所以圆H的标准方程为x2＋（y－3）2＝10.
（2）设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，所以d＝3.
若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－3）＋2，
圆心到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝，
所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
17.解：☉A的方程可写成（x－1）2＋（y－1）2＝9，
圆心A（1，1），半径为3.
☉B的方程可写成（x＋1）2＋（y＋1）2＝4，
圆心B（－1，－1），半径为2.
∴两圆心之间的距离满足
3－2＜AB＝＝2＜3＋2.
∴两圆相交，
由
两式相减，得过两圆交点的直线方程为4x＋4y＋5＝0.
设两交点分别为C，D，则CD：4x＋4y＋5＝0，
点A到直线CD的距离为
d＝＝.
则两交点间的距离CD＝2＝2＝.
18.解：（1）法一 由题可知R（1，0），S（0，2），P（2，3），
由题可知经过点R，S，P的圆的圆心即为所建建筑物的中心C，
设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴圆C的方程为x2＋y2－3x－3y＋2＝0，即（x－）2＋（y－）2＝，
∴建筑物的中心的坐标为C（，）.
法二 由题可知R（1，0），S（0，2），P（2，3），
由题可知经过点R，S，P的圆的圆心C即为所建建筑物的中心，
线段SP中点为（1，），且kSP＝，∴线段SP的垂直平分线为y＝－2x＋，
线段RS中点为（，1），且kRS＝－2，∴线段RS的垂直平分线为y＝x＋，
联立解得∴建筑物的中心的坐标为C（，）.
（2）∵C（，）为建筑物的中心坐标，
设线段RS的中点为H，由垂径定理得CH的长度为点C到RS的最小距离，
∵RS＝＝，圆C的半径为，
∴点C到RS的距离为＝，
∴开通的这条路的最低造价为×150＝75≈75×2.24＝168（万元）.
19.解：（1）因为w＝，所以z＝，
即x＋yi＝＝－i，
所以
（2）将代入（x－1）2＋y2＝r2，得（－1）2＋（）2＝r2，
整理得（u2＋v2）2－2u（u2＋v2）＋u2＋v2＝r2（u2＋v2）2. ①
因为r≠1，所以（x，y）≠（0，0），即z≠0，
所以w＝≠0，u2＋v2≠0.
①式化简为u2＋v2－2u＋1＝r2（u2＋v2），（r2－1）u2＋（r2－1）v2＋2u＝1.
同除r2－1得u2＋＋v2＝，
配方有（u＋）2＋v2＝＋（）2，
即（u＋）2＋v2＝（）2为Q的轨迹方程，
所以Q的轨迹是以（－，0）为圆心，｜｜为半径的圆.
（3）若Q的轨迹与Cr重合，则它们的圆心也要重合.
于是，有－＝1 r＝0，与r＞0的条件矛盾，
所以找不到实数r（r＞0，r≠1）使Q的轨迹恰为Cr.
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章末检测（二） 圆与方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知圆 C 以点（2，－3）为圆心，半径等于5，则点 M （5，－7）
与圆 C 的位置关系是（ ）
A. 在圆内 B. 在圆上
C. 在圆外 D. 无法判断
解析： 点 M （5，－7）到圆心（2，－3）的距离 d ＝
＝5，故点 M 在圆 C 上.
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2. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A. （ x －1）2＋（ y －1）2＝1
B. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝1
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝2
D. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
解析： 圆的半径 r ＝ ＝ ，圆心坐
标为（1，1），所以圆的标准方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝2.
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3. 经过点 M （2，1）作圆 O ： x2＋ y2＝5的切线，则切线方程为
（ ）
C. 2 x ＋ y －5＝0 D. 2 x ＋ y ＋5＝0
解析： ∵ M （2，1）在圆上，∴切线与 MO 垂直.∵ kMO ＝ ，
∴切线斜率为－2.又过点 M （2，1），∴ y －1＝－2（ x －2），即
2 x ＋ y －5＝0.
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4. 直线 x ＋ y －1＝0被圆（ x ＋1）2＋ y2＝3截得的弦长等于（ ）
B. 2 D. 4
解析： 由题意，得圆心为（－1，0），半径 r ＝ ，弦心距为
d ＝ ＝ ，所以所求的弦长为2 ＝2，故选B.
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5. 已知圆 C ： x2＋ y2－2 x －2 my ＋ m2－3＝0关于直线 l ： x － y ＋1＝0
对称，则直线 x ＝－1与圆 C 的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 不能确定
解析： 由已知得 C ：（ x －1）2＋（ y － m ）2＝4，即圆心 C
（1， m ），半径 r ＝2，因为圆 C 关于直线 l ： x － y ＋1＝0对称，
所以圆心（1， m ）在直线 l ： x － y ＋1＝0上，所以 m ＝2.由圆心
C （1，2）到直线 x ＝－1的距离 d ＝1＋1＝2＝ r 知，直线 x ＝－1与
圆 C 相切.故选A.
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6. 在平面直角坐标系中，点 A （0，1）和点 B （4，5）到直线 l 的距
离分别为1和2，则符合条件的直线 l 的条数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 将点到直线的距离问题转化为圆的
切线问题，如图， AB ＝ ＝4 ＞1＋
2，两圆外离，满足要求的公切线有4条.
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7. 已知圆 C 的方程为（ x －3）2＋ y2＝1，若 y 轴上存在一点 A ，使得
以点 A 为圆心，半径为3的圆与圆 C 有公共点，则点 A 的纵坐标可以
是（ ）
A. 1 B. －3
C. 5 D. －7
解析： 设 A （0， b ），则圆 A 与圆 C 的圆心距 d ＝
.因为以点 A 为圆心、半径为3的圆与圆 C 有公共点，
所以3－1≤ d ≤3＋1，即2≤ ≤4，解得－ ≤ b ≤
，观察各选项知选A.
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8. 已知 A ， B 是圆 O ： x2＋ y2＝4上两个动点，点 P 的坐标为（2，
1），若 PA ⊥ PB ，则线段 AB 长度的最大值为（ ）
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解析： 如图所示，取 AB 的中点 Q ，连接 OQ ，
PQ ， OB . 由圆的性质可知 OQ ⊥ AB ，由 PA ⊥ PB
可知： AB ＝2 PQ ，所以 PQ ＝ BQ ，设点 Q 的坐标
为（ x ， y ），在Rt△ OBQ 中， OB2＝ OQ2＋ BQ2，
即2 x2＋2 y2－4 x －2 y ＋1＝0，可化为（ x －1）2＋（ y － ）2＝ ，故 Q 的轨迹为以（1， ）为圆心， 为半径的圆， PQ 的最大值为
＋ ＝ ，故 AB ＝2 PQ ≤ ＋ .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 直线 x － y ＋ m ＝0与圆 x2＋ y2－2 x －1＝0有两个不同的交点的充分
不必要条件可以是（ ）
A. 0＜ m ＜1 B. m ＜1
C. －2＜ m ＜1 D. －3＜ m ＜1
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解析： 圆 x2＋ y2－2 x －1＝0的圆心为（1，0），半径为 .
因为直线 x － y ＋ m ＝0与圆 x2＋ y2－2 x －1＝0有两个不同的交点，
所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离 d ＝ ＜ ，所
以｜1＋ m ｜＜2，解得－3＜ m ＜1，求其充分不必要条件，即求其
真子集，故由选项易得A、C符合.故选A、C.
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10. 已知点 A （2，0），圆 C ：（ x － a －1）2＋（ y － a ）2＝1上
存在点 P ，满足 PA2＋ PO2＝10，则实数 a 的取值可能是（ ）
A. 1 B. －1
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解析： 设 P （ x ， y ），由 PA2＋ PO2＝10，得（ x －2）2＋
y2＋ x2＋ y2＝10，整理得（ x －1）2＋ y2＝4.由题知 P （ x ， y ）在
圆 C 上，即两圆（ x －1）2＋ y2＝4与（ x － a －1）2＋（ y －
a ）2＝1有交点，则1＝2－1≤ ≤2＋
1＝3，解得 ≤｜ a ｜≤ .∴实数 a 的取值可能是1，－1， .故选
A、B、C.
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11. 已知点 P 在圆 C1：（ x －2）2＋ y2＝4上，点 Q 在圆 C2： x2＋ y2＋2
x －8 y ＋13＝0上，则（ ）
A. 两圆外离
B. PQ 的最大值为9
C. PQ 的最小值为1
D. 两个圆的一条公切线方程为3 x －4 y ＋4＝0
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解析： 圆 C1：（ x －2）2＋ y2＝4的圆心坐标为 C1（2，0），半径 r ＝2，圆 C2： x2＋ y2＋2 x －8 y ＋13＝0，即（ x ＋1）2＋（ y －4）2＝4的圆心坐标为 C2（－1，4），半径 R ＝2，所以圆心距 C1 C2＝ ＝5，因为 C1 C2＞ R ＋ r ＝4，所以两圆外离，故A正确；因为 P 在圆 C1上， Q 在圆 C2上，所以 PQmin＝ C1 C2－ R － r ＝1， PQmax＝ C1 C2＋ R ＋ r ＝9，故B、C正确；因为圆心 C2（－1，4）到直线3 x －4 y ＋4＝0的距离 d ＝ ＝3≠ R ，所以3 x －4 y ＋4＝0不是两圆公切线，故D错误.故选A、B、C.
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解析：由已知可设所求圆的方程为 x2＋ y2－2＋λ（ x ＋ y ＋1）＝
0，将（1，2）代入，可得λ＝－ ，故所求圆的方程为 x2＋ y2－
x － y － ＝0.
： x2＋ y2－ x － y － ＝0
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13. 已知直线 l ：4 x －3 y －4＝0，请写出一个满足以下条件的圆 M 的
方程 .
①圆 M 与 x 轴相切；②圆 M 与直线 l 相切；③圆 M 的半径为2.
答案： x2＋（ y －2）2＝4（ x2＋（ y －2）2＝4或（ x －5）2＋（ y
－2）2＝4或（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝4或（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2
＝4中的一个即可）
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解析：由①③可设圆心 M （ a ，2）或 M （ a ，－2），由②可
得：若 M （ a ，2），则 d ＝ ＝2，解得 a ＝0或 a
＝5，圆 M 的方程为 x2＋（ y －2）2＝4或（ x －5）2＋（ y －
2）2＝4；若 M （ a ，－2），则 d ＝ ＝2，解得 a
＝2或 a ＝－3，圆 M 的方程为（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝4或
（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝4.
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14. 已知点 A （ x ， y ）在曲线 y ＝ 上运动，则 的最大值
为 .
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解析： y ＝ 变形为 x2＋ y2＝4（ y
≥0），它是以原点为圆心，2为半径的上半
圆，如图， A （ x ， y ）在上半圆上， 表示
点 A （ x ， y ）与 M （－4，0）连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为 k ，直线方程 y ＝ k （ x ＋4），即 kx － y ＋4 k ＝0，因此 ＝2，解得 k ＝ （由图 k ＝－ 舍去），所以 的最大值为 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知从圆外一点 P （4，6）作圆 O ： x2＋ y2＝
1的两条切线，切点分别为 A ， B .
（1）求以 OP 为直径的圆的方程；
解：∵所求圆的圆心为线段 OP 的中点（2，3），
半径为 OP ＝ ＝ ，
∴以 OP 为直径的圆的方程为（ x －2）2＋（ y －3）2＝13.
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（2）求直线 AB 的方程.
解：∵ PA ， PB 是圆 O ： x2＋ y2＝1的两条切线，
∴ OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB ，
∴ A ， B 两点都在以 OP 为直径的圆上.
由得直线 AB 的方程为4 x ＋
6 y －1＝0.
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16. （本小题满分15分）已知△ ABC 的三个顶点 A （－1，0）， B
（1，0）， C （3，2），其外接圆为圆 H .
（1）求圆 H 的标准方程；
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解：设圆 H 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋E2－4 F ＞0），
则由题意，可知
解得
所以圆 H 的标准方程为 x2＋（ y －3）2＝10.
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（2）若直线 l 过点 C ，且被圆 H 截得的弦长为2，求直线 l 的方程.
解：设圆心到直线 l 的距离为 d ，则1＋ d2＝10，所以 d ＝3.
若直线 l 的斜率不存在，即 l ⊥ x 轴时，则直线方程为 x ＝3，
满足题意；
若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ k （ x －3）＋2，
圆心到直线 l 的距离为 d ＝ ＝3，解得 k ＝ ，
所以直线 l 的方程为4 x －3 y －6＝0.
综上可知，直线 l 的方程为 x ＝3或4 x －3 y －6＝0.
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17. （本小题满分15分）若☉ A 的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y －7＝0，☉ B
的方程为 x2＋ y2＋2 x ＋2 y －2＝0，判断☉ A 和☉ B 是否相交？若相
交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，说明
理由.
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解：☉ A 的方程可写成（ x －1）2＋（ y －1）2＝9，
圆心 A （1，1），半径为3.
☉ B 的方程可写成（ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝4，
圆心 B （－1，－1），半径为2.
∴两圆心之间的距离满足
3－2＜ AB ＝ ＝2 ＜3＋2.
∴两圆相交，由
两式相减，得过两圆交点的直线方程为4 x ＋4 y ＋5＝0.
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设两交点分别为 C ， D ，则 CD ：4 x ＋4 y ＋5＝0，
点 A 到直线 CD 的距离为
d ＝ ＝ .
则两交点间的距离 CD ＝2 ＝2 ＝ .
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18. （本小题满分17分）如图，四边形 MNPQ 是一块长方形绿地，
MQ ＝3 km， MN ＝2 km， RS 是一条直路，交 MN 于点 R ，交 MQ
于点 S ，且 MR ＝ SQ ＝1 km.现在该绿地上建一个标志性建筑物，
使建筑物的中心到 P ， R ， S 三个点的距离相等.以点 M 为坐标原
点，直线 MN ， MQ 分别为 x ， y 轴建立如图所示的直角坐标系.
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（1）求出建筑物的中心 C 的坐标；
解：法一 由题可知 R （1，0）， S （0，2）， P （2，3），
由题可知经过点 R ， S ， P 的圆的圆心即为所建建筑物的中心 C ，
设圆 C 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
则解得
∴圆 C 的方程为 x2＋ y2－3 x －3 y ＋2＝0，
即（ x － ）2＋（ y － ）2＝ ，
∴建筑物的中心的坐标为 C （ ， ）.
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法二 由题可知 R （1，0）， S （0，2）， P （2，3），
由题可知经过点 R ， S ， P 的圆的圆心 C 即为所建建筑物的中心，
线段 SP 中点为（1， ），且 kSP ＝ ，∴线段 SP 的垂直平分线为 y ＝
－2 x ＋ ，
线段 RS 中点为（ ，1），且 kRS ＝－2，∴线段 RS 的垂直平分线为 y
＝ x ＋ ，
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联立解得∴建筑物的中心的坐标为 C （ ， ）.
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（2）由建筑物的中心到直路 RS 要开通一条路，已知路的造价为
150万元/km，求开通的这条路的最低造价.（ ≈2.24）
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解： ∵ C （ ， ）为建筑物的中心坐标，
设线段 RS 的中点为 H ，由垂径定理得 CH 的长度为点 C 到 RS 的最
小距离，
∵ RS ＝ ＝ ，圆 C 的半径为 ，
∴点 C 到 RS 的距离为 ＝ ，
∴开通的这条路的最低造价为 ×150＝75 ≈75×2.24＝168（万元）.
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19. （本小题满分17分）已知复数 z ＝ x ＋ y i和 w ＝ u ＋ v i， x ， y ，
u ， v ∈R，对任意非零复数 z 有 w ＝ .
（1）求 x ， y 用 u ， v 表示的关系式；
解：因为 w ＝ ，所以 z ＝ ，
即 x ＋ y i＝ ＝ － i，
所以
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（2）将（ x ， y ）作为点 P 的坐标，（ u ， v ）作为点 Q 的坐标，
当点 P 在圆 Cr ：（ x －1）2＋ y2＝ r2（ r 是常数， r ＞0， r
≠1）上移动时，试求点 Q 的轨迹方程，并指出轨迹是怎样
的曲线；
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解：将代入（ x －1）2＋ y2＝ r2，得
（ －1）2＋（ ）2＝ r2，
整理得（ u2＋ v2）2－2 u （ u2＋ v2）＋ u2＋ v2＝ r2（ u2＋ v2）
2. ①
因为 r ≠1，所以（ x ， y ）≠（0，0），即 z ≠0，
所以 w ＝ ≠0， u2＋ v2≠0.
①式化简为 u2＋ v2－2 u ＋1＝ r2（ u2＋ v2），（ r2－1） u2＋
（ r2－1） v2＋2 u ＝1.
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同除 r2－1得 u2＋ ＋ v2＝ ，
配方有（ u ＋ ）2＋ v2＝ ＋（ ）2，
即（ u ＋ ）2＋ v2＝（ ）2为 Q 的轨迹方程，
所以 Q 的轨迹是以（－ ，0）为圆心，｜ ｜为半径
的圆.
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（3）判断能否找到实数 r ，使点 Q 的轨迹恰为圆 Cr ？
解：若 Q 的轨迹与 Cr 重合，则它们的圆心也要重合.
于是，有－ ＝1 r ＝0，与 r ＞0的条件矛盾，
所以找不到实数 r （ r ＞0， r ≠1）使 Q 的轨迹恰为 Cr .
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谢 谢 观 看！
