第1课时 椭圆的定义与标准方程
1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.若椭圆＋＝1（m＞0）的焦距为2，则m＝（ ）
A.5 B.3 C.5或3 D.8
3.已知椭圆过点P（，－4）和点Q（－，3），则此椭圆的标准方程是（ ）
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.x2＋＝1
4.设定点F1（0，－2），F2（0，2），动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋（m＞2），则点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
5.（多选）已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），点P为一动点，且PA＋PB＝2a（a≥0），下列说法中正确的是（ ）
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
6.（多选）（2024·无锡高二期中）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则此椭圆的焦距为 ；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为 .
8.方程＋＝10表示的曲线是 ，其标准方程是 .
9.如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作y轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为 .
10.求下列椭圆的焦点坐标：
（1）＋＝1；
（2）8x2＋3y2＝24.
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ）
A.± B.±
C.± D.±
12.（多选）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.射线
13.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为 .
14.如图所示，在圆C：（x＋1）2＋y2＝25内有一点A（1，0）.Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.
15.已知椭圆C：＋＝1内有一点M（2，3），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
（1）PM－PF1的最大值与最小值；
（2）PM＋PF1的最大值与最小值.
第1课时 椭圆的定义与标准方程
1.D 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，PF1＝2，结合椭圆定义PF2＋PF1＝10，可得PF2＝8.
2.C 由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m＞4时，m＝4＋1＝5；当m＜4时，4＝m＋1，∴m＝3.
3.A 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），由题意得解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
4.A 设y＝m＋（m＞2），易知y＝m＋在（2，＋∞）上单调递增，所以y＝m＋＞4，即PF1＋PF2＞4，又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆.
5.AC 当a＝2时，2a＝4＜AB，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8＞AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝AB，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
6.AC 由题意，得当b＝c时，该椭圆为“对偶椭圆”.由c＝得，选项A中，b＝c＝2；选项B中，b＝，c＝，b≠c；选项C中，b＝c＝；选项D中，b＝，c＝，b≠c.故选A、C.
7.8 18 解析：由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距为8，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.
8.椭圆 ＋＝1 解析：方程＋＝10，表示点P（x，y）到A（3，0），B（－3，0）两点的距离之和等于10，而10＞6，所以方程＋＝10表示的曲线是椭圆，且2a＝10，焦距2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b＝＝4，所以其标准方程为＋＝1.
9.x2＋＝1 解析：设M（x，y），P（x0，y0）.由题意知x0＝2x，y0＝y①.因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4②.把①代入②得，4x2＋y2＝4，即x2＋＝1.
10.解：（1）已知方程是椭圆的标准方程，由36＞24，可知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24，
所以c2＝a2－b2＝36－24＝12，c＝2，因此，椭圆的焦点坐标为（－2，0），（2，0）.
（2）将所给椭圆的方程化为标准方程得＋＝1，由8＞3，可知椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝.
因此，椭圆的焦点坐标为（0，－），（0，）.
11.D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±.
12.AB 如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r，由于r＝BC，∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.∴动点C到两个定点A，B的距离之和为常数R.∵B为圆内的定点，∴AB＜R.∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
13.9 解析：由椭圆C：＋＝1，得MF1＋MF2＝2×3＝6，则MF1·MF2≤（）2＝32＝9，当且仅当MF1＝MF2＝3时等号成立.
14.解：如图所示，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，从而有CQ＝MQ＋MC.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5.
又A（1，0），C（－1，0），所以AC＝2，所以MA＋MC＞AC，故点M的轨迹是以（1，0），（－1，0）为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
15.解：（1）由椭圆方程知a＝5，F1（－3，0），F2（3，0）.
如图，连接MF1并延长交椭圆于点P1，
则P1是使PM－PF1取得最大值的点，
于是（PM－PF1）max＝MF1＝＝.
PM－PF1＝－（PF1－PM），
则求PM－PF1的最小值，即求PF1－PM的最大值，
延长F1M交椭圆于点P2，则P2是使PF1－PM取得最大值的点，
即PM－PF1取得最小值的点，
于是（PM－PF1）min＝－MF1＝－.
（2）连接PF2，由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝10，则PF1＝10－PF2，
所以PM＋PF1＝PM＋10－PF2＝10＋（PM－PF2），
如图，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则P3是使PM＋PF1取得最大值的点，
于是（PM＋PF1）max＝10＋MF2＝10＋＝10＋.
PM＋PF1＝10－（PF2－PM），
延长F2M交椭圆于点P4，
则P4是使PF2－PM取得最大值的点，即PM＋PF1取得最小值的点，
于是（PM＋PF1）min＝10－MF2＝10－.
2 / 23.1.1 椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 直观想象
第1课时 椭圆的定义与标准方程
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影（如图）等.我们已知道，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
【问题】 （1）你能说说到底什么是椭圆吗？
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 .
【想一想】
定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 （a＞b＞0） （a＞b＞0）
图 形
焦点坐标 （－c，0），（c，0） （0，－c），（0，c）
a，b，c的 关系 a2＝
【想一想】
1.从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
2.在椭圆的标准方程中，a＞b＞c一定成立吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（ ）
（4）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（ ）
2.已知a＝，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为 .
3.椭圆＋＝1的焦距是 ，焦点坐标是 .
题型一 椭圆的定义
【例1】 已知椭圆E：＋＝1，点A，B在椭圆上且在x轴异侧，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为（ ）
A.8 B.4
C.3 D.4＋2
通性通法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a（2a＞F1F2），则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a；
（2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
【跟踪训练】
1.命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a（a＞0，常数）；命题乙：点P轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2024·南京月考）已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为 .
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 （链接教科书第83页例1、例2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点P到两个焦点的距离之和等于10；
（2）焦点坐标分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）.
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
（2）设方程：依据上述判断设出椭圆的方程；
（3）寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组；
（4）得方程：解方程组，将求得的结果代入所设方程即为所求.
提醒 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出A，B的值即可.
【跟踪训练】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点（2，－），；
（2）过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同的焦点.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 （链接教科书第87页习题10题）已知圆F1：（x＋2）2＋y2＝4，圆F2：（x－2）2＋y2＝36，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，求动圆圆心M的轨迹C的方程.
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.
【跟踪训练】
已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 .
1.椭圆＋＝1的焦点坐标是（ ）
A.（±5，0） B.（0，±5）
C.（0，±12） D.（±12，0）
2.到两定点F1（－2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
3.（2024·扬州月考）在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 .
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）；
（2）椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，－10），点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.
第1课时 椭圆的定义与标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
距离之和等于常数（大于F1F2） 焦点 焦距
想一想
提示：不是.①当2a＝F1F2时，点的轨迹是线段F1F2；②当2a＜F1F2时，点的轨迹不存在.
知识点二
＋＝1 ＋＝1 b2＋c2
想一想
1.提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
2.提示：不一定，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.＋x2＝1 解析：b2＝a2－c2＝（）2－（2）2＝1，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3.16 （－8，0），（8，0） 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8.所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是（－8，0），（8，0）.
【典型例题·精研析】
【例1】 A 由椭圆的定义，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a＝4，故四边形AF1BF2的周长为8.故选A.
跟踪训练
1.B 利用椭圆的定义，若点P轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a（a＞0，常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若PA＋PB＝2a（a＞0，常数）不能推出点P轨迹是椭圆.故选B.
2.5 解析：椭圆＋＝1，则a2＝16，所以a＝4，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a＝8，因为椭圆上点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为5.
【例2】 解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由已知得c＝4，2a＝10，
所以a＝5，b＝＝＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
法一 由椭圆的定义知2a＝＋
＝6＋＋6－＝12，
解得a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3），
所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练
解：（1）法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由已知条件得解得
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.
将两点（2，－），代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（，－）在椭圆上，
所以＋＝1，即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【例3】 解：设动圆M的半径为r，
∵动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，
∴MF1＝2＋r，且MF2＝6－r，于是MF1＋MF2＝8＞F1F2＝4，
∴动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
故a＝4，c＝2，∴b2＝12，椭圆方程为＋＝1，
又∵当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意，舍去，
故动圆圆心M的轨迹C的方程为＋＝1（x≠－4）.
跟踪训练
x2＋＝1 解析：设P（xP，yP），Q（x，y）.由中点坐标公式得所以又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，即x2＋＝1.
随堂检测
1.C ∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为（0，±12）.
2.B MF1＋MF2＝F1F2＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.
3.4 解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.
4.解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
∵椭圆经过点（2，0）和点（0，1），
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
∵点P（0，－10）在椭圆上，
∴＝1，∴a2＝100.
∵点P到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－c－（－10）＝2，
∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
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3.1.1 椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆
的定义及标准方程 直观想象
第1课时
椭圆的定义与标准方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体
中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影（如图）等.我
们已知道，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
【问题】 （1）你能说说到底什么是椭圆吗？
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点 F1， F2的 的点
的轨迹叫作椭圆，两个定点 F1， F2叫作椭圆的 ，两个焦点间
的距离叫作椭圆的 .
距离之和等于常数（大于 F1 F2）
焦点
焦距
【想一想】
定义中，将“大于 F1 F2”改为“等于 F1 F2”或“小于 F1 F2”的常
数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是.①当2 a ＝ F1 F2时，点的轨迹是线段 F1 F2；②当2 a ＜ F1
F2时，点的轨迹不存在.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程 （ a ＞ b ＞0）
（ a ＞ b ＞0）
＋ ＝1
＋ ＝1
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图 形
焦点坐标 （－ c ，0），（ c ，0） （0，－ c ），（0，
c ）
a ， b ， c 的关系 a2＝ b2＋ c2
【想一想】
1. 从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2
项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
2. 在椭圆的标准方程中， a ＞ b ＞ c 一定成立吗？
提示：不一定，只需 a ＞ b ， a ＞ c 即可， b ， c 的大小关系不确定.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足 PF1＋ PF2＝
4，则点 P 的轨迹是椭圆. （ √ ）
（2）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足 PF1＋ PF2＝
2，则点 P 的轨迹是椭圆. （ × ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝ b2
＋ c2. （ √ ）
（4）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲线是椭圆.
（ × ）
√
×
√
×
2. 已知 a ＝ ， c ＝2 ，焦点在 y 轴上，则椭圆的标准方程为
.
解析： b2＝ a2－ c2＝（ ）2－（2 ）2＝1， b ＝1，所以椭圆
的标准方程为 ＋ x2＝1.
＋ x2＝1
3. 椭圆 ＋ ＝1的焦距是 ，焦点坐标是
.
解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在 x 轴上，且 a2＝100， b2＝36，所
以 c2＝ a2－ b2＝64，解得 c ＝8.所以焦距2 c ＝16，两焦点的坐标分
别是（－8，0），（8，0）.
16
（－8，0），（8，
0）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 椭圆的定义
【例1】 已知椭圆 E ： ＋ ＝1，点 A ， B 在椭圆上且在 x 轴异
侧， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形 AF1 BF2的周长为
（ ）
A. 8 B. 4
C. 3
解析： 由椭圆的定义， AF1＋ AF2＝ BF1＋ BF2＝2 a ＝4，故四边形
AF1 BF2的周长为8.故选A.
通性通法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若 PF1＋ PF2＝2 a （2 a ＞ F1
F2），则点 P 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 P 到两焦点
的距离之和必为2 a ；
（2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因
此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应
先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
【跟踪训练】
1. 命题甲：动点 P 到两定点 A ， B 的距离之和 PA ＋ PB ＝2 a （ a ＞0，
常数）；命题乙：点 P 轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 利用椭圆的定义，若点 P 轨迹是椭圆，则 PA ＋ PB ＝2 a
（ a ＞0，常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若 PA ＋ PB ＝2 a
（ a ＞0，常数）不能推出点 P 轨迹是椭圆.故选B.
2. （2024·南京月考）已知椭圆 ＋ ＝1上一点 P 到其一个焦点的距
离为3，则点 P 到另一个焦点的距离为 .
解析：椭圆 ＋ ＝1，则 a2＝16，所以 a ＝4，根据椭圆的定义可
知椭圆上的点到两焦点的距离之和为2 a ＝8，因为椭圆上点 P 到其
一个焦点的距离为3，则点 P 到另一个焦点的距离为5.
5
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 （链接教科书第83页例1、例2）求满足下列条件的椭圆的
标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 F1（－4，0）， F2（4，0），并且椭圆
上一点 P 到两个焦点的距离之和等于10；
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设椭圆的标准方程为
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
由已知得 c ＝4，2 a ＝10，
所以 a ＝5， b ＝ ＝ ＝3，
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）焦点坐标分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3 ）.
解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
法一 由椭圆的定义知2 a ＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，
解得 a ＝6.
又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 .
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3 ），
所以 ＋ ＝1.
又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32，
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，还
是两个坐标轴上都有可能；
（2）设方程：依据上述判断设出椭圆的方程；
（3）寻关系：依据已知条件，建立关于 a ， b ， c 的方程组；
（4）得方程：解方程组，将求得的结果代入所设方程即为所求.
提醒 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可
设所求椭圆的方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ），
不必考虑焦点位置，用待定系数法求出 A ， B 的值即可.
【跟踪训练】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点（2，－ ）， ；
解：法一 若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0）.
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由已知条件得解得
则 a2＜ b2，与题设中 a ＞ b ＞0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）.
将两点（2，－ ）， 代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同的焦点.
解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在 y 轴
上，且 c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16. ①
又点（ ，－ ）在椭圆上，
所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1. ②
由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 （链接教科书第87页习题10题）已知圆 F1：（ x ＋2）2＋ y2
＝4，圆 F2：（ x －2）2＋ y2＝36，若动圆 M 与圆 F1外切，与圆 F2内
切，求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程.
解：设动圆 M 的半径为 r ，
∵动圆 M 与圆 F1外切，与圆 F2内切，
∴ MF1＝2＋ r ，且 MF2＝6－ r ，于是 MF1＋ MF2＝8＞ F1 F2＝4，
∴动圆圆心 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点的椭圆，
故 a ＝4， c ＝2，∴ b2＝12，椭圆方程为 ＋ ＝1，
又∵当 M 点为椭圆左顶点时，动圆 M 不存在，故不合题意，舍去，
故动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1（ x ≠－4）.
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆
等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列
出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨
迹方程.
【跟踪训练】
已知 P 是椭圆 ＋ ＝1上一动点， O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q
的轨迹方程为 .
解析：设 P （ xP ， yP ）， Q （ x ， y ）.由中点坐标公式得所
以又点 P 在椭圆 ＋ ＝1上，所以 ＋ ＝
1，即 x2＋ ＝1.
x2＋ ＝1
1. 椭圆 ＋ ＝1的焦点坐标是（ ）
A. （±5，0） B. （0，±5）
C. （0，±12） D. （±12，0）
解析： ∵ c2＝ a2－ b2＝169－25＝122，∴ c ＝12.又椭圆的焦点
在 y 轴上，故焦点坐标为（0，±12）.
2. 到两定点 F1（－2，0）和 F2（2，0）的距离之和为4的点 M 的轨迹
是（ ）
A. 椭圆 B. 线段
C. 圆 D. 以上都不对
解析： MF1＋ MF2＝ F1 F2＝4，∴点 M 的轨迹为线段 F1 F2.
3. （2024·扬州月考）在椭圆 ＋ y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从
一个焦点 F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点 F1，再次被椭圆反射
后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 .
解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4 a ，即4 .
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4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）；
解：∵椭圆的焦点在 x 轴上，
∴设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
∵椭圆经过点（2，0）和点（0，1），
∴解得∴椭圆的标准方程为 ＋ y2＝1.
（2）椭圆的焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P （0，－10），
点 P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.
解：∵椭圆的焦点在 y 轴上，
∴设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
∵点 P （0，－10）在椭圆上，
∴ ＝1，∴ a2＝100.
∵点 P 到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－ c －（－10）＝2，
∴ c ＝8，∴ b2＝ a2－ c2＝36.
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 椭圆 ＋ y2＝1上一点 P 到一个焦点的距离为2，则点 P 到另一个焦
点的距离为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 设椭圆的左、右焦点分别为 F1， F2， PF1＝2，结合椭圆
定义 PF2＋ PF1＝10，可得 PF2＝8.
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2. 若椭圆 ＋ ＝1（ m ＞0）的焦距为2，则 m ＝（ ）
A. 5 B. 3
C. 5或3 D. 8
解析： 由题意得 c ＝1， a2＝ b2＋ c2.当 m ＞4时， m ＝4＋1＝5；
当 m ＜4时，4＝ m ＋1，∴ m ＝3.
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3. 已知椭圆过点 P （ ，－4）和点 Q （－ ，3），则此椭圆的标准
方程是（ ）
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解析： 设椭圆方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ），
由题意得解得所以此椭圆的标准方程为
＋ x2＝1.
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4. 设定点 F1（0，－2）， F2（0，2），动点 P 满足条件 PF1＋ PF2＝
m ＋ （ m ＞2），则点 P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 线段
C. 椭圆或线段 D. 不存在
解析： 设 y ＝ m ＋ （ m ＞2），易知 y ＝ m ＋ 在（2，＋∞）
上单调递增，所以 y ＝ m ＋ ＞4，即 PF1＋ PF2＞4，又 F1 F2＝4，
所以点 P 的轨迹为以 F1， F2为焦点的椭圆.
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5. （多选）已知在平面直角坐标系中，点 A （－3，0）， B （3，
0），点 P 为一动点，且 PA ＋ PB ＝2 a （ a ≥0），下列说法中正确
的是（ ）
A. 当 a ＝2时，点 P 的轨迹不存在
B. 当 a ＝4时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为3
C. 当 a ＝4时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为6
D. 当 a ＝3时，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆
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解析： 当 a ＝2时，2 a ＝4＜ AB ，故点 P 的轨迹不存在，A正
确；当 a ＝4时，2 a ＝8＞ AB ，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 AB
＝6，B错误，C正确；当 a ＝3时，2 a ＝6＝ AB ，故点 P 的轨迹为
线段 AB ，D错误.
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6. （多选）（2024·无锡高二期中）将一个椭圆绕其对称中心旋转
90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭
圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的
是（ ）
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解析： 由题意，得当 b ＝ c 时，该椭圆为“对偶椭圆”.由 c ＝
得，选项A中， b ＝ c ＝2；选项B中， b ＝ ， c ＝ ，
b ≠ c ；选项C中， b ＝ c ＝ ；选项D中， b ＝ ， c ＝ ， b ≠
c .故选A、C.
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7. 设 F1， F2是椭圆 ＋ ＝1的焦点，则此椭圆的焦距为 ；若 P 为
椭圆上一点，则△ PF1 F2的周长为 .
解析：由椭圆的方程知 a ＝5， b ＝3， c ＝ ＝4，故焦距为
8，△ PF1 F2的周长为 PF1＋ PF2＋ F1 F2＝2 a ＋2 c ＝10＋8＝18.
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8. 方程 ＋ ＝10表示的曲线是
，其标准方程是 .
解析：方程 ＋ ＝10，表示点 P
（ x ， y ）到 A （3，0）， B （－3，0）两点的距离之和等于10，而
10＞6，所以方程 ＋ ＝10表示
的曲线是椭圆，且2 a ＝10，焦距2 c ＝6，所以 a ＝5， c ＝3，所以 b
＝ ＝4，所以其标准方程为 ＋ ＝1.
椭
圆
＋ ＝1
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解析：设 M （ x ， y ）， P （ x0， y0）.由题意知 x0＝2 x ， y0＝ y ①.
因为点 P （ x0， y0）在圆 x2＋ y2＝4上，所以 ＋ ＝4②.把①代
入②得，4 x2＋ y2＝4，即 x2＋ ＝1.
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10. 求下列椭圆的焦点坐标：
（1） ＋ ＝1；
解：已知方程是椭圆的标准方程，由36＞24，可知椭
圆的焦点在 x 轴上，且 a2＝36， b2＝24，
所以 c2＝ a2－ b2＝36－24＝12， c ＝2 ，
因此，椭圆的焦点坐标为（－2 ，0），（2 ，0）.
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（2）8 x2＋3 y2＝24.
解： 将所给椭圆的方程化为标准方程得 ＋ ＝1，
由8＞3，可知椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2＝8， b2＝3，
所以 c2＝ a2－ b2＝8－3＝5， c ＝ .
因此，椭圆的焦点坐标为（0，－ ），（0， ）.
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11. 椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的
中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标为（ ）
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解析： ∵线段 PF1的中点 M 在 y 轴上且 O 是线段 F1 F2的中点
（ F2为椭圆的另一个焦点），∴ PF2⊥ x 轴，∴点 P 的横坐标是
±3，∵点 P 在椭圆上，∴ ＋ ＝1，即 y2＝ ，∴ y ＝± .
∴点 M 的纵坐标为± .
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12. （多选）过已知圆内一个定点作圆 C 与已知圆相切，则圆心 C 的
轨迹可能是（ ）
A. 圆 B. 椭圆
C. 线段 D. 射线
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解析： 如图，设已知圆的圆心为 A ，半径为
R ，圆内的定点为 B ，动圆的半径为 r .若点 A 与点
B 不重合，由于两圆相内切，则 AC ＝ R － r ，由于
r ＝ BC ，∴ AC ＝ R － BC ，即 CA ＋ CB ＝ R . ∴动
点 C 到两个定点 A ， B 的距离之和为常数 R . ∵ B
为圆内的定点，∴ AB ＜ R . ∴动点 C 的轨迹为椭
圆.若 A ， B 重合为一点，则此时动点 C 的轨迹为
以 R 为直径的圆.
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13. 已知 F1， F2是椭圆 C ： ＋ ＝1的两个焦点，点 M 在 C 上，则
MF1· MF2的最大值为 .
解析：由椭圆 C ： ＋ ＝1，得 MF1＋ MF2＝2×3＝6，则
MF1· MF2≤（ ）2＝32＝9，当且仅当 MF1＝ MF2＝3时等
号成立.
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14. 如图所示，在圆 C ：（ x ＋1）2＋ y2＝25内有一点 A （1，0）. Q
为圆 C 上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与 C ， Q 的连线交于点
M ，当点 Q 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹方程.
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解：如图所示，连接 MA .
由题意知点 M 在线段 CQ 上，从而有 CQ ＝ MQ＋ MC .
又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，
则 MA ＝ MQ ，故 MA ＋ MC ＝ CQ ＝5.
又 A （1，0）， C （－1，0），所以 AC ＝2，所以 MA ＋ MC ＞ AC ，故点 M 的轨迹是以（1，0），（－1，0）为焦点的椭圆，且2 a ＝5， c ＝1，
故 a ＝ ， b2＝ a2－ c2＝ －1＝ .
故点 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
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15. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1内有一点 M （2，3）， F1， F2分别为椭
圆的左、右焦点， P 为椭圆 C 上的一点，求：
（1） PM － PF1的最大值与最小值；
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解：由椭圆方程知 a ＝5， F1（－
3，0）， F2（3，0）.
如图，连接 MF1并延长交椭圆于点 P1，
则 P1是使 PM － PF1取得最大值的点，
于是（ PM － PF1）max＝ MF1＝
＝ .
PM － PF1＝－（ PF1－ PM ），
则求 PM － PF1的最小值，即求 PF1－
PM 的最大值，
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延长 F1 M 交椭圆于点 P2，则 P2是使 PF1
－ PM 取得最大值的点，
即 PM － PF1取得最小值的点，
于是（ PM － PF1）min＝－ MF1＝－ .
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（2） PM ＋ PF1的最大值与最小值.
解：连接 PF2，由椭圆定义知 PF1＋ PF2＝2 a ＝10，则
PF1＝10－ PF2，
所以 PM ＋ PF1＝ PM ＋10－ PF2＝10＋（ PM － PF2），
如图，连接 MF2并延长交椭圆于点 P3，则 P3是使 PM ＋ PF1
取得最大值的点，
于是（ PM ＋ PF1）max＝10＋ MF2＝10＋
＝10＋ .
PM ＋ PF1＝10－（ PF2－ PM ），
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延长 F2 M 交椭圆于点 P4，
则 P4是使 PF2－ PM 取得最大值的点，即 PM ＋ PF1取得最小
值的点，
于是（ PM ＋ PF1）min＝10－ MF2＝10－ .
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