直线与椭圆的位置关系
题型一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x+m交椭圆C于A,B两点,且AB=,求m的值.
通性通法
求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长;
(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:P1P2=·(或P1P2= ·),其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
【跟踪训练】
已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于A,B两点,求弦AB的长.
题型二 直线与椭圆的中点弦问题
【例2】 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若点M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为 .
题型三 与椭圆有关的最值(范围)问题
【例3】 在椭圆+=1上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离.
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
(1)利用定义转化为几何问题处理;
(2)利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;
(3)利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为( )
A.1 B.-1
C.- D.以上都不正确
2.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,求PQ的最大值.
1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
2.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )
A. B.
C. D.
3.若直线y=x+1和椭圆+=1交于A,B两点,则线段AB的长为 .
4.已知椭圆C的焦点F1(-2,0),F2(2,0),且长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.
培优课 直线与椭圆的位置关系
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)由题意可得
解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y并整理,得x2+2mx+2m2-2=0,易知Δ>0,即(2m)2-4(2m2-2)>0,
解得-<m<.
所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,
所以AB=|x1-x2|=×=×=,解得m=±1.
跟踪训练
解:因为直线l过椭圆+=1的右焦点F2(1,0),
又直线斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
法一 解方程组
得交点A(0,-2),B(,),
所以AB==
==.
法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组消去y得3x2-5x=0,
因为Δ=(-5)2=25>0,则x1+x2=,x1x2=0.
所以AB=
=
=
==.
【例2】 解:法一 由题意可知直线AB的斜率存在,
故设直线AB的方程为y-1=k(x-2).
将其代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,
于是x1+x2=.
又M为线段AB的中点,
所以==2,解得k=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.
因为M(2,1)为线段AB的中点,
所以x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,
所以
①-②,得(-)+4(-)=0,
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0.
所以=-=-=-,即kAB=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
跟踪训练
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1 ①,+=1 ②.因为点M是线段AB的中点,所以=1,=1.因为直线AB的方程是y=-(x-1)+1,所以y1-y2=-(x1-x2).将①②两式相减,可得+=0,即+(-)·=0,所以a=b,所以c=b,所以e==.
【例3】 解:设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=x+m,
代入+=1,
消去y并整理得4x2+3mx+m2-7=0,
由Δ=9m2-16(m2-7)=0得m2=16,
∴m=±4,
故两切线方程为y=x+4和y=x-4,
显然y=x-4,即3x-2y-8=0距l最近,
它们之间的距离即为所求最短距离,且y=x-4与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d===.
由得
即P(,-).
跟踪训练
1.C 设=k,则y=k(x-2).由消去y,整理得(k2+4)x2-4k2x+4(k2-1)=0,由题意得Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)≥0,解得-≤k≤,所以的最小值为-.故选C.
2.解:(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意得解得c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y=x+t.
由得7x2+8tx+4(t2-3)=0,
由Δ=(8t)2-112(t2-3)>0,得0≤t2<7,则x1+x2=-t,x1x2=,
所以PQ=·|x1-x2|
=·
=·
=·,
又0≤t2<7,所以当t=0时,可得PQmax=.
随堂检测
1.A 把x+y-3=0代入+y2=1,得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离.
2.A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.将点(c,y)的坐标代入椭圆+=1,得y=±,故最短弦长是.
3. 解析:由消去y得3x2+4x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-,x1+x2=-,所以AB==·=×=.
4.解:由已知条件得椭圆焦点在x轴上,
其中c=2,a=3,从而b=1,
其标准方程为+y2=1,
联立方程消去y得10x2+36x+27=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,
设中点坐标为(x0,y0),则x0==-,
所以y0=x0+2=,
所以线段AB的中点坐标为(-,).
2 / 2培优课 直线与椭圆的位置关系
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
2.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k=( )
A. B.- C.± D.±
3.直线x-y+1=0被椭圆+y2=1所截得的弦AB=( )
A. B. C.2 D.3
4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A.- B.- C.- D.-
5.已知F是椭圆+=1的一个焦点,AB为过椭圆中心的一条弦,则△ABF面积的最大值为( )
A.6 B.15 C.20 D.12
6.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5 B.+ C.7+ D.6
7.(多选)已知椭圆C:+=1内一点M(1,),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M是线段AB的中点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0) B.椭圆C的长轴长为4
C.直线l的方程为2x+2y-3=0 D.AB=
8.已知F1,F2是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率的取值范围是 .
9.若椭圆+=1的弦AB恰好被点M(1,1)平分,则AB的直线方程为 .
10.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是 .
11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q两点,PQ=,求椭圆的方程.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知椭圆C与直线x-y+m=0相交于不同的两点M,N,且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内,求实数m的取值范围.
13.如图所示,已知焦点在x轴上的椭圆C,长轴是短轴的3倍,且经过点(1,),过点(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△AOB面积的最大值.
培优课 直线与椭圆的位置关系
1.A 法一 联立直线与椭圆的方程得消去y得9x2+10x-15=0,Δ=100-4×9×(-15)>0,所以直线与椭圆相交.
法二 直线过点(0,1),而0+<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.
2.C 把y=kx+2代入+=1,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=0,所以k2=,所以k=±.
3.A 由得交点为(0,1),(-,-),
则AB==.
4.A 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则4+9=144,4+9=144,两式相减,得4(x1+x2)·(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=6,y1+y2=4,=k,所以k=-.
5.D 由题意知,S△ABF=·OF·|y1-y2|≤·OF·2b=12.
6.D 设圆心为点C,则圆x2+(y-6)2=2的圆心为C(0,6),半径r=.设点Q(x0,y0)是椭圆上任意一点,则+=1,即=10-10.由≥0,解得y0∈[-1,1].CQ==
=
= ,当y0=-时,CQ有最大值5,则P,Q两点间的最大距离为5+r=6.故选D.
7.BCD 由题意得a2=4,b2=2,所以c2=4-2=2,故c=,故焦点坐标为(,0),(-,0),A错误;因为a=2,所以长轴长为2a=4,B正确;设点A(x1,y1),B(x2,y2),则由+=1,+=1,两式相减可得,-+2(-)=0,整理得·=-,因为M是线段AB的中点,M(1,),所以=,进而=-1,所以直线l的方程为y-=-(x-1),整理得2x+2y-3=0,C正确;直线2x+2y-3=0与椭圆联立得,6x2-12x+1=0,所以x2+x1=2,x2x1=,由弦长公式得AB=×=,D正确.故选B、C、D.
8.[,1) 解析:由椭圆性质知:当P为椭圆上下顶点时∠F1PF2最大,所以椭圆上存在点P使∠F1PF2=90°,只需∠F1PF2最大的情况下,有cos∠F1PF2==1-2e2≤0,又椭圆离心率0<e<1,故≤e<1.
9.4x+3y-7=0 解析:由题意,直线AB斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=1,=1,A,B在椭圆+=1上,有+=1,+=1,两式相减,得=-,即=-,得=-,即直线AB的斜率为-,则AB的直线方程为y-1=-(x-1),即4x+3y-7=0.
10. 解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.∵·=0,∴⊥.∴||2=||2-||2=||2-1,∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.
11.解:∵e=,∴=,即c2=a2,∴b2=a2-c2=a2.
∴椭圆的方程为x2+4y2=a2,与方程x+2y+8=0联立并消去y,得2x2+16x+64-a2=0,
由Δ>0,得a2>32.
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8,x1x2=.
由弦长公式得PQ2=(1+)·|x1-x2|2=(1+)·[(x1+x2)2-4x1x2],即10=×[64-2(64-a2)],解得a2=36.∴椭圆的方程为x2+4y2=36,即+=1.
12.解:(1)由题意知e==,2c=2,解得a=,c=1,又a2-b2=c2,所以a2=2,b2=1.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)联立
消去y可得3x2+4mx+2m2-2=0.
则Δ=16m2-12(2m2-2)>0 -<m<.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,则y1+y2=.
所以MN的中点坐标为,
因为MN的中点不在圆x2+y2=1内,
所以+≥1 m≥或m≤-,
综上,可知-<m≤-或≤m<.
13.解:(1)由题意设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则 C:+y2=1.
(2)设直线l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 (m2+9)y2+2my-8=0,
由根与系数的关系知,
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=,
S△OAB=×1×|y1-y2|==≤=,
所以当m=0时,△AOB的最大面积为.
1 / 2(共54张PPT)
培优课
直线与椭圆的位置关系
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】 已知椭圆 C : + =1( a > b >0)的离心率为 ,短轴
的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆 C 的方程;
解:由题意可得
解得 a =2, b =1,所以椭圆 C 的方程为 + y2=1.
(2)设直线 l : y = x + m 交椭圆 C 于 A , B 两点,且 AB = ,求 m
的值.
解:设 A ( x1, y1), B ( x2, y2).
由消去 y 并整理,得 x2+2 mx +2 m2-2=0,易
知Δ>0,即(2 m )2-4(2 m2-2)>0,
解得- < m < .
所以 x1+ x2=-2 m , x1 x2=2 m2-2,
所以 AB = | x1- x2|= × = ×
= ,解得 m =±1.
通性通法
求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长;
(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次
方程,利用弦长公式: P1 P2= ·
(或 P1 P2= · ),其中 x1, x2
( y1, y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出
两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
【跟踪训练】
已知斜率为2的直线 l 经过椭圆 + =1的右焦点 F2,与椭圆相交于
A , B 两点,求弦 AB 的长.
解:因为直线 l 过椭圆 + =1的右焦点 F2(1,0),
又直线斜率为2,所以直线 l 的方程为 y =2( x -1),即2 x - y
-2=0.
法一 解方程组
得交点 A (0,-2), B ( , ),
所以 AB = =
= = .
法二 设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),
由方程组消去 y 得3 x2-5 x =0,
因为Δ=(-5)2=25>0,则 x1+ x2= , x1 x2=0.
所以 AB =
=
=
= = .
题型二 直线与椭圆的中点弦问题
【例2】 已知椭圆 + =1的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1),
求直线 AB 的方程.
解:法一 由题意可知直线 AB 的斜率存在,
故设直线 AB 的方程为 y -1= k ( x -2).
将其代入椭圆方程并整理,得(4 k2+1) x2-8(2 k2- k ) x +4(2 k
-1)2-16=0.
设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 x1, x2是上述方程的两个根,
于是 x1+ x2= .
又 M 为线段 AB 的中点,
所以 = =2,解得 k =- .
故所求直线的方程为 x +2 y -4=0.
法二 设 A ( x1, y1), B ( x2, y2), x1≠ x2.
因为 M (2,1)为线段 AB 的中点,
所以 x1+ x2=4, y1+ y2=2.
又 A , B 两点在椭圆上,
所以
①-②,得( - )+4( - )=0,
于是( x1+ x2)( x1- x2)+4( y1+ y2)( y1- y2)=0.
所以 =- =- =- ,即 kAB =- .
故所求直线的方程为 x +2 y -4=0.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
过点 M (1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C : + =1( a > b >
0)相交于 A , B 两点,若点 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率
为 .
解析:设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 + =1 ①, + =
1 ②.因为点 M 是线段 AB 的中点,所以 =1, =1.因为
直线 AB 的方程是 y =- ( x -1)+1,所以 y1- y2=- ( x1- x2).
将①②两式相减,可得 + =0,即 +(- )· =0,所
以 a = b ,所以 c = b ,所以 e = = .
题型三 与椭圆有关的最值(范围)问题
【例3】 在椭圆 + =1上求一点 P ,使它到直线 l :3 x -2 y -16
=0的距离最短,并求出最短距离.
解:设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y = x + m ,
代入 + =1,
消去 y 并整理得4 x2+3 mx + m2-7=0,
由Δ=9 m2-16( m2-7)=0得 m2=16,
∴ m =±4,
故两切线方程为 y = x +4和 y = x -4,
显然 y = x -4,即3 x -2 y -8=0距 l 最近,
它们之间的距离即为所求最短距离,且 y = x -4与椭圆的切点即为
所求点 P .
故所求最短距离为 d = = = .
由得即 P ( ,- ).
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
(1)利用定义转化为几何问题处理;
(2)利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;
(3)利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处
理,此时,应注意椭圆中 x , y 的取值范围,常常是化为闭区间
上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1. 若点( x , y )在椭圆4 x2+ y2=4上,则 的最小值为( )
A. 1 B. -1
D. 以上都不正确
解析: 设 = k ,则 y = k ( x -2).由消去
y ,整理得( k2+4) x2-4 k2 x +4( k2-1)=0,由题意得Δ=16 k4
-4×4( k2-1)( k2+4)≥0,解得- ≤ k ≤ ,所以 的
最小值为- .故选C.
2. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A (-2,
0),离心率为 .
(1)求椭圆 C 的标准方程;
解:设椭圆 C 的标准方程为 + =1( a > b >0).
由题意得解得 c =1,所以 b2= a2- c2=3,
所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.
(2)斜率为1的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,求 PQ 的最
大值.
解:设 P ( x1, y1), Q ( x2, y2),直线 l 的方程为 y
= x + t .
由得7 x2+8 tx +4( t2-3)=0,
由Δ=(8 t )2-112( t2-3)>0,得0≤ t2<7,则 x1+ x2=
- t , x1 x2= ,
所以 PQ = ·| x1- x2|
= ·
= ·
= · ,
又0≤ t2<7,所以当 t =0时,可得 PQmax= .
1. 已知直线 l : x + y -3=0,椭圆 + y2=1,则直线与椭圆的位置
关系是( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
解析: 把 x + y -3=0代入 + y2=1,得 +(3- x )2=1,
即5 x2-24 x +32=0.∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直
线与椭圆相离.
2. 过椭圆 + =1( a > b >0)的焦点 F ( c ,0)的弦中最短弦长
是( )
解析: 最短弦是过焦点 F ( c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的
弦.将点( c , y )的坐标代入椭圆 + =1,得 y =± ,故最
短弦长是 .
3. 若直线 y = x +1和椭圆 + =1交于 A , B 两点,则线段 AB 的长
为 .
解析:由消去 y 得3 x2+4 x -2=0.设 A ( x1, y1),
B ( x2, y2),则 x1 x2=- , x1+ x2=- ,所以 AB =
= · =
× = .
4. 已知椭圆 C 的焦点 F1(-2 ,0), F2(2 ,0),且长轴长为
6,设直线 y = x +2交椭圆 C 于 A , B 两点,求线段 AB 的中点坐标.
解:由已知条件得椭圆焦点在 x 轴上,
其中 c =2 , a =3,从而 b =1,其标准方程为 + y2=1,
联立方程消去 y 得10 x2+36 x +27=0,
设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 x1+ x2=- ,
设中点坐标为( x0, y0),则 x0= =- ,
所以 y0= x0+2= ,
所以线段 AB 的中点坐标为(- , ).
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y = x +1与椭圆 + =1的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 无法判断
解析: 法一 联立直线与椭圆的方程得消去 y 得
9 x2+10 x -15=0,Δ=100-4×9×(-15)>0,所以直线与椭
圆相交.
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法二 直线过点(0,1),而0+ <1,即点(0,1)在椭圆内部,
所以可推断直线与椭圆相交.
2. 若直线 y = kx +2与椭圆 + =1相切,则斜率 k =( )
解析: 把 y = kx +2代入 + =1,得(2+3 k2) x2+12 kx +
6=0,由题意知Δ=0,所以 k2= ,所以 k =± .
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3. 直线 x - y +1=0被椭圆 + y2=1所截得的弦 AB =( )
解析: 由得交点为(0,1),(- ,-
),则 AB = = .
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4. 椭圆4 x2+9 y2=144内有一点 P (3,2),以 P 为中点的弦所在直线
的斜率为( )
解析: 设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A ( x1,
y1), B ( x2, y2),斜率为 k ,则4 +9 =144,4 +9 =
144,两式相减,得4( x1+ x2)·( x1- x2)+9( y1+ y2)( y1-
y2)=0.又 x1+ x2=6, y1+ y2=4, = k ,所以 k =- .
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5. 已知 F 是椭圆 + =1的一个焦点, AB 为过椭圆中心的一条弦,
则△ ABF 面积的最大值为( )
A. 6 B. 15
C. 20 D. 12
解析: 由题意知, S△ ABF = · OF ·| y1- y2|≤ · OF ·2 b =12.
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6. 设 P , Q 分别为圆 x2+( y -6)2=2和椭圆 + y2=1上的点,则
P , Q 两点间的最大距离是( )
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解析: 设圆心为点 C ,则圆 x2+( y -6)2=2的圆心为 C (0,
6),半径 r = .设点 Q ( x0, y0)是椭圆上任意一点,则 +
=1,即 =10-10 .由 ≥0,解得 y0∈[-1,1]. CQ =
= =
= ,当 y0=- 时, CQ 有
最大值5 ,则 P , Q 两点间的最大距离为5 + r =6 .故选D.
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7. (多选)已知椭圆 C : + =1内一点 M (1, ),直线 l 与椭
圆 C 交于 A , B 两点,且 M 是线段 AB 的中点,则下列说法正确的
是( )
A. 椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0)
B. 椭圆 C 的长轴长为4
C. 直线 l 的方程为2 x +2 y -3=0
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解析: 由题意得 a2=4, b2=2,所以 c2=4-2=2,故 c =
,故焦点坐标为( ,0),(- ,0),A错误;因为 a =
2,所以长轴长为2 a =4,B正确;设点 A ( x1, y1), B ( x2,
y2),则由 + =1, + =1,两式相减可得, - +2
( - )=0,整理得 · =- ,因为 M 是线段 AB 的
中点, M (1, ),所以 = ,进而 =-1,所以直线 l
的方程为 y - =-( x -1),整理得2 x +2 y -3=0,C正确;
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直线2 x +2 y -3=0与椭圆联立得,6 x2-12 x +1=0,所以 x2+ x1=2,
x2 x1= ,由弦长公式得 AB = × = ,D正确.故选B、
C、D.
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8. 已知 F1, F2是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点 P ,使∠ F1 PF2
=90°,则椭圆的离心率的取值范围是 .
解析:由椭圆性质知:当 P 为椭圆上下顶点时∠ F1 PF2最大,所以
椭圆上存在点 P 使∠ F1 PF2=90°,只需∠ F1 PF2最大的情况下,
有 cos ∠ F1 PF2= =1-2 e2≤0,又椭圆离心率0< e <1,故
≤ e <1.
[ ,1)
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9. 若椭圆 + =1的弦 AB 恰好被点 M (1,1)平分,则 AB 的直线
方程为 .
4 x +3 y -7=0
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解析:由题意,直线 AB 斜率存在,设 A ( x1, y1), B ( x2,
y2),则有 =1, =1, A , B 在椭圆 + =1上,有
+ =1, + =1,两式相减,得 =- ,即
=- ,得 =- ,即直线
AB 的斜率为- ,则 AB 的直线方程为 y -1=- ( x -1),即4 x
+3 y -7=0.
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10. 已知动点 P ( x , y )在椭圆 + =1上,若 A 点坐标为(3,
0),| |=1,且 · =0,则| |的最小值是 .
解析:易知点 A (3,0)是椭圆的右焦点.∵ · =0,∴
⊥ .∴| |2=| |2-| |2=| |2-1,∵椭圆
右顶点到右焦点 A 的距离最小,故| |min=2,∴| |min
= .
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11. 椭圆 + =1( a > b >0)的离心率为 ,且椭圆与直线 x +2 y
+8=0相交于 P , Q 两点, PQ = ,求椭圆的方程.
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解:∵ e = ,∴ = ,即 c2= a2,∴ b2= a2- c2= a2.
∴椭圆的方程为 x2+4 y2= a2,与方程 x +2 y +8=0联立并消去
y ,
得2 x2+16 x +64- a2=0,
由Δ>0,得 a2>32.
设点 P ( x1, y1), Q ( x2, y2),则 x1+ x2=-8, x1 x2= .
由弦长公式得 PQ2=(1+ )·| x1- x2|2=(1+ )·[( x1
+ x2)2-4 x1 x2],即10= ×[64-2(64- a2)],解得 a2=36.
∴椭圆的方程为 x2+4 y2=36,即 + =1.
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12. 已知椭圆 C : + =1( a > b >0)的离心率 e = ,焦距为2.
(1)求椭圆 C 的方程;
解:由题意知 e = = ,2 c =2,解得 a = , c =
1,又 a2- b2= c2,
所以 a2=2, b2=1.
故椭圆的方程为 + y2=1.
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(2)已知椭圆 C 与直线 x - y + m =0相交于不同的两点 M ,
N ,且线段 MN 的中点不在圆 x2+ y2=1内,求实数 m 的
取值范围.
解:联立
消去 y 可得3 x2+4 mx +2 m2-2=0.
则Δ=16 m2-12(2 m2-2)>0 - < m < .
设 M ( x1, y1), N ( x2, y2),则 x1+ x2=- ,
则 y1+ y2= .
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所以 MN 的中点坐标为 ,
因为 MN 的中点不在圆 x2+ y2=1内,
所以 + ≥1 m ≥ 或 m ≤- ,
综上,可知- < m ≤- 或 ≤ m < .
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13. 如图所示,已知焦点在 x 轴上的椭圆 C ,长轴是短轴的3倍,且经
过点(1, ),过点(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
解:由题意设椭圆 C 的标准方程为
+ =1( a > b >0),则
C : + y2=1.
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(2)求△ AOB 面积的最大值.
解:设直线 l : x = my +1, A ( x1, y1), B ( x2, y2),
联立 ( m2+9) y2+2 my -8=0,
由根与系数的关系知,
| y1- y2|=( y1+ y2)2-4 y1 y2= ,
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S△ OAB = ×1×| y1- y2|= = ≤ = ,
所以当 m =0时,
△ AOB 的最大面积为 .
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