第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用
1.直线y＝x与双曲线－y2＝1公共点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
2.（2024·连云港月考）已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若OP＝OF，则△OPF的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1＝3PF2，则∠F1PF2的大小为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.（2024·泰州月考）已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为（ ）
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
5.（多选）已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（ ）
A.爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米
6.（多选）（2024·南京质检）双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上.若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（ ）
A. B. C.4 D.2
7.已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：－＝1有且只有一个公共点，则k＝ .
8.已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，则PF2＋QF2－PQ＝ .
9.已知F1，F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，点M在直线x－y＋3＝0上，则MF1＋MF2的最小值为 .
10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？
11.（2024·淮安质检）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A. B.－ C. D.－
12.（多选）已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A.点P到x轴的距离为4
B.PF1＋PF2＝
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2＝60°
13.（2024·无锡月考）已知O为坐标原点，A（－5，0），B（5，0），点P满足PA＋PB＝14，点P（x，y）又满足－＝2，则点P的坐标是 .
14.已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意一点.
（1）设点A的坐标为（4，0），求PA的最小值；
（2）若F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
15.（2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用
1.C 联立直线与双曲线的方程得 整理得x2＝即x＝±，方程有两解，故选C.
2.B 因为c2＝a2＋b2＝9，所以OP＝OF＝3.设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得｜y｜＝，所以S△OPF＝OF·｜y｜＝.
3.C 根据双曲线的定义得PF1－PF2＝4，又因为PF1＝3PF2，所以PF1＝6，PF2＝2.又因为F1F2＝2，所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得：cos∠F1PF2＝＝，因为0°＜∠F1PF2＜180°，得∠F1PF2的大小为60°.故选C.
4.C 由双曲线的定义，得AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0，当点A位于点A0处时，AP＋AF1最小，最小值为PF1＝＝.故AP＋AF2的最小值为－2.
5.BD 依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则CA－CB＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即CA＝2CB，结合CA－CB＝680，可得CB＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D.
6.AC 由双曲线C：－＝1可得c＝＝＝4.根据双曲线的对称性只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2.当PF1⊥F1F2时，将x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面积为F1F2·PF1＝.当PF1⊥PF2时，由双曲线的定义可知，｜PF1－PF2｜＝2a＝4，由勾股定理可得P＋P＝F1＝（2c）2＝64.因为P＋P＝＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此时△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4.综上所述，△PF1F2的面积为4或.故选A、C.
7.±或± 解析：由得（9－4k2）x2＋8kx－40＝0（*），当9－4k2＝0，即k＝±时，方程（*）有唯一解符合题意；当9－4k2≠0时，需Δ＝64k2＋160（9－4k2）＝0，解得k＝±，故k＝±或±.
8.16 解析：由双曲线方程得，2a＝8，由双曲线的定义得PF2－PF1＝2a＝8①，QF2－QF1＝2a＝8②，①＋②，得PF2＋QF2－（PF1＋QF1）＝16，所以PF2＋QF2－PQ＝16.
9. 解析：由双曲线C：－y2＝1可得a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，可得c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.如图，设点F2（2，0）关于直线x－y＋3＝0对称的点为P（m，n），由可得所以P（－3，5），所以MF1＋MF2＝MF1＋MP≥PF1，当且仅当P，M，F1三点共线时等号成立，PF1＝＝，所以MF1＋MF2的最小值为.
10.解：双曲线方程可化为x2－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2（2，0），又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1·x2＝－＜0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
11.C 设P（8，y0）在第一象限，则－＝1 y0＝3，PF2＝＝6，PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cos∠F1PF2＝＝.
12.AC 由双曲线的方程可得a＝4，b＝3，则c＝5，不妨设点P在第一象限，由△PF1F2的面积为20，得×2c×yP＝×10×yP＝20，解得yP＝4，即点P到x轴的距离为4，故A选项正确；将yP＝4代入双曲线方程可得xP＝，故P（，4），则PF2＝＝，由双曲线的定义知PF1－PF2＝2a＝8，则PF1＝8＋＝，则PF1＋PF2＝＋＝，故B选项错误；在△PF1F2中，PF1＝＞2c＝10＞PF2＝，则＝＝＞0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C选项正确；cos∠F1PF2＝＝＝＝1－≠，则∠F1PF2≠60°，故D选项错误.故选A、C.
13.（，±） 解析：由A（－5，0），B（5，0），点P满足PA＋PB＝14＞AB，由椭圆的定义可得点P在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，所以2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24.椭圆方程为＋＝1.又点P（x，y）满足－＝2，所以PA－PB＝2＜AB.由双曲线的定义可得点P在x2－＝1（x≥1）上，联立椭圆方程与双曲线方程可得y＝±，x＝，所以点P的坐标是（，±）.
14.解：（1）设点P的坐标为（x0，y0），
则PA2＝（x0－4）2＋＝＋－1＝－8x0＋15＝＋，
因为｜x0｜≥，所以当x0＝时，PA取得最小值.
（2）由双曲线的定义知｜PF1－PF2｜＝2， ①
由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°， ②
根据①②可得PF1·PF2＝4，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝×4×＝.
15.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知PB－PA＝v0·＝4＜AB＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝.
所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）.
（2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0），
由题意知－＝1（x0≤－2），即＝4＋，又C（0，3），
所以MC＝
＝
＝
＝（y0∈R），
所以当y0＝时，MCmin＝2，
即无人机飞行的最小距离是2.
2 / 2第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用
题型一 直线与双曲线的公共点问题
【例1】 （链接教科书第99页例4）判断直线l：y＝x＋1与双曲线C：x2－y2＝1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标.
通性通法
判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解时一个公共点；两解时两个公共点；无解时没有公共点.
【跟踪训练】
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
题型二 双曲线的实际应用
【例2】 A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮兵阵地，某时刻A处发现敌炮兵阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远.因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角.
通性通法
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
【跟踪训练】
某工程需要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），AP＝100 m，BP＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
题型三 双曲线中与焦点三角形有关的计算问题
【例3】 （链接教科书第101页习题10题）已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.则△F1PF2的面积为 .
【母题探究】
1.（变条件，变设问）若将本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝1∶3”，其他条件不变，试求△F1PF2的周长.
2.（变条件）若将本例条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积.
通性通法
在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得PF1，PF2的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得PF1，PF2的关系式，从而求出PF1，PF2.但是，一般我们不直接求解出PF1，PF2，而是根据需要，把PF1＋PF2，PF1－PF2，PF1·PF2看作一个整体来处理.
【跟踪训练】
1.（2024·徐州月考）设F1，F2分别是双曲线－＝1的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且3PF1＝5PF2，则△PF1F2的面积为（ ）
A.12 B.24 C.12 D.24
2.已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2＝ .
1.直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图，已知双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为（ ）
A.2a＋2m B.4a＋2m
C.a＋m D.2a＋4m
3.（2024·宿迁月考）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝ .
第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得x2－（x＋1）2＝1，由此可解得x＝－1.此时，y＝0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为（－1，0）.
跟踪训练
解：联立消去y，得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*）
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4－3k2）.
由得－＜k＜且k≠±1，
此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
【例2】 解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）.
因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上.
设敌炮兵阵地P的坐标为（x，y），BC的中点为D.
因为kBC＝－，D（－4，），
所以直线PD的方程为y－＝（x＋4）.①
又PB－PA＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1（x≥2）. ②
联立①②，解得x＝8，y＝5，
所以P点的坐标为（8，5）.
因此kPA＝＝.
故炮击的方向角为北偏东30°.
跟踪训练
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设M是分界线上的点，则MA＋AP＝MB＋BP，即MA－MB＝BP－AP＝150－100＝50（m），
在△APB中，AB2＝AP2＋BP2－2AP·BP·cos 60°＝17 500，AB＝50＞MA－MB，
这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
【例3】 16 解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方得P＋P－2PF1·PF2＝36，所以P＋P＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝PF1·PF2＝×32＝16.
母题探究
1.解：由题意知F1F2＝2＝10，又PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
2.解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6，
F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°，
∴102＝（PF1－PF2）2＋PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝64，
∴＝PF1·PF2·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
跟踪训练
1.B 由双曲线－＝1得a＝2，b＝2，c＝4，又3PF1＝5PF2，且PF1－PF2＝2a＝4，得到PF1＝10，PF2＝6，所以P－P＝64＝（2c）2＝F1，即△PF1F2为直角三角形，所以＝PF2·F1F2＝×6×8＝24.故选B.
2.2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以F1＝P＋P＝（2）2，又PF1－PF2＝2，所以（PF1－PF2）2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则（PF1＋PF2）2＝P＋P＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.
随堂检测
1.A 联立直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的方程，得方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.
2.B 由双曲线的定义，知AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a.又AF2＋BF2＝AB，所以△ABF1的周长为AF1＋BF1＋AB＝4a＋2AB＝4a＋2m.
3. 解析：由 x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，PF1－PF2＝2a＝2，又PF1＝2PF2，∴PF1＝4，PF2＝2，在△PF1F2中，F1F2＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
2 / 2(共57张PPT)
第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与双曲线的公共点问题
【例1】 （链接教科书第99页例4）判断直线 l ： y ＝ x ＋1与双曲线
C ： x2－ y2＝1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标.
解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去 y ，可
得 x2－（ x ＋1）2＝1，由此可解得 x ＝－1.此时， y ＝0.因此直线与双
曲线有一个公共点，且公共点的坐标为（－1，0）.
通性通法
判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代
数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解时一个公共点；两解
时两个公共点；无解时没有公共点.
【跟踪训练】
已知双曲线 x2－ y2＝4，直线 l ： y ＝ k （ x －1），直线 l 与双曲线有两
个不同的公共点，确定满足条件的实数 k 的取值范围.
解：联立消去 y ，得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0.
（*）
当1－ k2≠0，即 k ≠±1时，
Δ＝（2 k2）2－4（1－ k2）（－ k2－4）＝4（4－3 k2）.
由得－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1，
此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线 l 与双曲线有两个不同的
公共点.
题型二 双曲线的实际应用
【例2】 A ， B ， C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东6 km， C 在 B
北偏西30°，相距4 km， P 为敌炮兵阵地，某时刻 A 处发现敌炮兵阵
地的某种信号，由于 B ， C 两地比 A 距 P 地远.因此4 s后， B ， C 才同
时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s， A 若炮击 P 地，求炮
击的方向角.
解：如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的垂直平分线
为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B （－3，0）， A
（3，0）， C （－5，2 ）.
因为 PB ＝ PC ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
设敌炮兵阵地 P 的坐标为（ x ， y ）， BC 的中点为
D .
因为 kBC ＝－ ， D （－4， ），
所以直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）. ①
联立①②，解得 x ＝8， y ＝5 ，
所以 P 点的坐标为（8，5 ）.
因此 kPA ＝ ＝ .
故炮击的方向角为北偏东30°.
又 PB － PA ＝4，所以 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支上，且方程
为 － ＝1（ x ≥2）. ②
通性通法
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
【跟踪训练】
某工程需要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路
AP ， BP 运到 P 处（如图）， AP ＝100 m， BP ＝150 m，∠ APB ＝
60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分
线为 y 轴建立平面直角坐标系，
设 M 是分界线上的点，则 MA ＋ AP ＝ MB ＋ BP ，即
MA － MB ＝ BP － AP ＝150－100＝50（m），
在△ APB 中， AB2＝ AP2＋ BP2－2 AP · BP · cos 60°＝
17 500， AB ＝50 ＞ MA － MB ，
这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右支，且 a
＝25.
c2＝ ＝4 375， b2＝3 750，
故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P
处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工.
题型三 双曲线中与焦点三角形有关的计算问题
【例3】 （链接教科书第101页习题10题）已知 F1， F2分别是双曲线
－ ＝1的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且 PF1· PF2＝
32.则△ F1 PF2的面积为 .
16
解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.因为 P 是双曲线左支上
的点，所以 PF2－ PF1＝6，两边平方得 P ＋ P －2 PF1· PF2＝36，
所以 P ＋ P ＝36＋2 PF1· PF2＝36＋2×32＝100.在△ F1 PF2中，
由余弦定理，得 cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝0，所以∠
F1 PF2＝90°，所以 ＝ PF1· PF2＝ ×32＝16.
【母题探究】
1. （变条件，变设问）若将本例条件“ PF1· PF2＝32”改成“ PF1∶
PF2＝1∶3”，其他条件不变，试求△ F1 PF2的周长.
解：由题意知 F1 F2＝2 ＝10，又 PF1∶ PF2＝1∶3，∴ PF1
＝3， PF2＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22.
2. （变条件）若将本例条件“ PF1· PF2＝32”改为“∠ F1 PF2＝
60°”，其他条件不变，试求△ F1 PF2的面积.
解：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.
由定义和余弦定理得 PF1－ PF2＝－6，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°，
∴102＝（ PF1－ PF2）2＋ PF1· PF2，
∴ PF1· PF2＝64，∴ ＝ PF1· PF2· sin ∠ F1 PF2＝ ×64×
＝16 .
通性通法
在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双
曲线的定义，得 PF1， PF2的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得
PF1， PF2的关系式，从而求出 PF1， PF2.但是，一般我们不直接求解
出 PF1， PF2，而是根据需要，把 PF1＋ PF2， PF1－ PF2， PF1· PF2看
作一个整体来处理.
【跟踪训练】
1. （2024·徐州月考）设 F1， F2分别是双曲线 － ＝1的下、上焦
点， P 是该双曲线上的一点，且3 PF1＝5 PF2，则△ PF1 F2的面积为
（ ）
A. 12 B. 24
解析： 由双曲线 － ＝1得 a ＝2， b ＝2 ， c ＝4，又3 PF1
＝5 PF2，且 PF1－ PF2＝2 a ＝4，得到 PF1＝10， PF2＝6，所以 P
－ P ＝64＝（2 c ）2＝ F1 ，即△ PF1 F2为直角三角形，所以
＝ PF2· F1 F2＝ ×6×8＝24.故选B.
解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥ PF2，所以 F1
＝ P ＋ P ＝（2 ）2，又 PF1－ PF2＝2，所以（ PF1－ PF2）2
＝4，可得2 PF1· PF2＝4，则（ PF1＋ PF2）2＝ P ＋ P ＋2
PF1· PF2＝12，所以 PF1＋ PF2＝2 .
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1. 直线3 x －4 y ＝0与双曲线 － ＝1的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 联立直线3 x －4 y ＝0与双曲线 － ＝1的方程，得
方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.
2. 如图，已知双曲线的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），点 A ， B
均在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2， AB ＝ m ，
F1为双曲线的左焦点，则△ ABF1的周长为（ ）
A. 2 a ＋2 m B. 4 a ＋2 m
C. a ＋ m D. 2 a ＋4 m
解析： 由双曲线的定义，知 AF1－ AF2＝2 a ， BF1－ BF2＝2 a .
又 AF2＋ BF2＝ AB ，所以△ ABF1的周长为 AF1＋ BF1＋ AB ＝4 a ＋2
AB ＝4 a ＋2 m .
解析：由 x2－ y2＝2，知 a ＝ b ＝ ， c ＝2.由双曲线定义知， PF1
－ PF2＝2 a ＝2 ，又 PF1＝2 PF2，∴ PF1＝4 ， PF2＝2 ，在
△ PF1 F2中， F1 F2＝2 c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠ F1 PF2＝
＝ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y ＝ x 与双曲线 － y2＝1公共点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析： 联立直线与双曲线的方程得 整理得 x2＝
即 x ＝± ，方程有两解，故选C.
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2. （2024·连云港月考）已知 F 是双曲线 C ： － ＝1的一个焦点，
点 P 在 C 上， O 为坐标原点.若 OP ＝ OF ，则△ OPF 的面积为
（ ）
解析： 因为 c2＝ a2＋ b2＝9，所以 OP ＝ OF ＝3.设点 P 的坐标为
（ x ， y ），则 x2＋ y2＝9，把 x2＝9－ y2代入双曲线方程得｜ y ｜＝
，所以 S△ OPF ＝ OF ·｜ y ｜＝ .
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3. 设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线右支
上一点， PF1＝3 PF2，则∠ F1 PF2的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 根据双曲线的定义得 PF1－ PF2＝4，又因为 PF1＝3
PF2，所以 PF1＝6， PF2＝2.又因为 F1 F2＝2 ，所以在△ F1 PF2中
结合余弦定理的推论得： cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ，因
为0°＜∠ F1 PF2＜180°，得∠ F1 PF2的大小为60°.故选C.
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4. （2024·泰州月考）已知 F1， F2分别为双曲线 － ＝1的左、右
焦点， P （3，1）为双曲线内一点，点 A 在双曲线的右支上，则 AP
＋ AF2的最小值为（ ）
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解析： 由双曲线的定义，得 AP ＋ AF2＝ AP
＋ AF1－2 ，所以要求 AP ＋ AF2的最小值，
只需求 AP ＋ AF1的最小值.如图，连接 F1 P 交
双曲线的右支于点 A0，当点 A 位于点 A0处时，
AP ＋ AF1最小，最小值为 PF1＝
＝ .故 AP ＋ AF2的最小
值为 －2 .
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5. （多选）已知 A ， B 两监测点间距离为800米，且 A 监测点听到爆炸
声的时间比 B 监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的
是（ ）
A. 爆炸点在以 A ， B 为焦点的椭圆上
B. 爆炸点在以 A ， B 为焦点的双曲线的一支上
D. 若 B 监测点的声强是 A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反
比），则爆炸点到 B 监测点的距离为680米
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解析： 依题意， A ， B 两监测点间距离为800米，且 A 监测点
听到爆炸声的时间比 B 监测点迟2秒，设爆炸点为 C ，则 CA － CB
＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以 A ， B 为焦点的双曲线的一
支上，所以A选项错误，B选项正确；若 B 监测点的声强是 A 监测点
的4倍（声强与距离的平方成反比），所以 ＝4，即 CA ＝2
CB ，结合 CA － CB ＝680，可得 CB ＝680.所以C选项错误，D选项
正确.故选B、D.
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6. （多选）（2024·南京质检）双曲线 C ： － ＝1的左、右焦点分
别为 F1， F2，点 P 在 C 上.若△ PF1 F2是直角三角形，则△ PF1 F2的
面积为（ ）
C. 4 D. 2
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解析： 由双曲线 C ： － ＝1可得 c ＝ ＝
＝4.根据双曲线的对称性只需考虑 PF1⊥ F1 F2或 PF1⊥ PF2.当
PF1⊥ F1 F2时，将 x ＝－4代入 － ＝1可得 y ＝± ，所以△
PF1 F2的面积为 F1 F2· PF1＝ .当 PF1⊥ PF2时，由双曲线的定义
可知，｜ PF1－ PF2｜＝2 a ＝4 ，由勾股定理可得 P ＋ P ＝
F1 ＝（2 c ）2＝64.因为 P ＋ P ＝ ＋2
PF1· PF2＝64，所以 PF1· PF2＝8，此时△ PF1 F2的面积为 PF1· PF2
＝4.综上所述，△ PF1 F2的面积为4或 .故选A、C.
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7. 已知直线 l ： y ＝ kx －1与双曲线 C ： － ＝1有且只有一个公共
点，则 k ＝ .
解析：由得（9－4 k2） x2＋8 kx －40＝0（*），当9－
4 k2＝0，即 k ＝± 时，方程（*）有唯一解符合题意；当9－4
k2≠0时，需Δ＝64 k2＋160（9－4 k2）＝0，解得 k ＝± ，故 k ＝
± 或± .
± 或±
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8. 已知 F1， F2是双曲线 － ＝1的焦点， PQ 是过焦点 F1的弦，则
PF2＋ QF2－ PQ ＝ .
解析：由双曲线方程得，2 a ＝8，由双曲线的定义得 PF2－ PF1＝2
a ＝8①， QF2－ QF1＝2 a ＝8②，①＋②，得 PF2＋ QF2－（ PF1＋
QF1）＝16，所以 PF2＋ QF2－ PQ ＝16.
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9. 已知 F1， F2是双曲线 C ： － y2＝1的两个焦点，点 M 在直线 x － y
＋3＝0上，则 MF1＋ MF2的最小值为 .
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解析：由双曲线 C ： － y2＝1可得 a2＝3， b2＝1，所以 c2＝ a2＋
b2＝4，可得 c ＝2，所以 F1（－2，0）， F2（2，0）.如图，设点
F2（2，0）关于直线 x － y ＋3＝0对称的点为 P （ m ， n ），由
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可得所以 P （－3，5），所以 MF1
＋ MF2＝ MF1＋ MP ≥ PF1，当且仅当 P ， M ， F1三点共线时等号
成立， PF1＝ ＝ ，所以 MF1＋
MF2的最小值为 .
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10. 已知双曲线3 x2－ y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为
45°，与双曲线交于 A ， B 两点，试问 A ， B 两点是否位于双
曲线的同一支上？
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解：双曲线方程可化为 x2－ ＝1，
故 a2＝1， b2＝3， c2＝ a2＋ b2＝4，
∴ c ＝2.∴ F2（2，0），又直线 l 的倾斜角为45°，
∴直线 l 的斜率 k ＝tan 45°＝1，
∴直线 l 的方程为 y ＝ x －2，
代入双曲线方程，得2 x2＋4 x －7＝0.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），∵ x1· x2＝－ ＜0，
∴ A ， B 两点不位于双曲线的同一支上.
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11. （2024·淮安质检）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出
的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双
曲线的另一个焦点上.已知双曲线 C ： － ＝1的左、右焦点分
别为 F1， F2，从 F2发出的光线射向 C 上的点 P （8， y0）后，被 C
反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
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解析： 设 P （8， y0）在第一象限，则 － ＝1 y0＝3 ，
PF2＝ ＝6， PF1＝6＋8＝14， F1 F2＝
10， cos ∠ F1 PF2＝ ＝ .
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12. （多选）已知点 P 在双曲线 C ： － ＝1上， F1， F2分别为双
曲线的左、右焦点，若△ PF1 F2的面积为20，则下列说法正确的是
（ ）
A. 点 P 到 x 轴的距离为4
C. △ PF1 F2为钝角三角形
D. ∠ F1 PF2＝60°
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解析： 由双曲线的方程可得 a ＝4， b ＝3，则 c ＝5，不妨设点 P 在第一象限，由△ PF1 F2的面积为20，得 ×2 c × yP ＝ ×10× yP ＝20，解得 yP ＝4，即点 P 到 x 轴的距离为4，故A选项正确；将 yP ＝4代入双曲线方程可得 xP ＝ ，故 P （ ，4），则 PF2＝ ＝ ，由双曲线的定义知 PF1－ PF2＝2 a ＝8，则 PF1＝8＋ ＝ ，则 PF1＋ PF2＝ ＋ ＝ ，故B选项错误；
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在△ PF1 F2中， PF1＝ ＞2 c ＝10＞ PF2＝ ，则 ＝ ＝ ＞0，
∠ PF2 F1为钝角，则△ PF1 F2为钝角三角形，故C选项正确； cos ∠ F1
PF2＝ ＝ ＝ ＝1
－ ≠ ，则∠ F1 PF2≠60°，故D选项错误.故选A、C.
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13. （2024·无锡月考）已知 O 为坐标原点， A （－5，0）， B （5，
0），点 P 满足 PA ＋ PB ＝14，点 P （ x ， y ）又满足
－ ＝2，则点 P 的坐标
是 .
（ ，± ）
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解析：由 A （－5，0）， B （5，0），点 P 满足 PA ＋ PB ＝14＞
AB ，由椭圆的定义可得点 P 在椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上，
所以2 a ＝14， c ＝5，所以 b2＝ a2－ c2＝24.椭圆方程为 ＋ ＝
1.又点 P （ x ， y ）满足 － ＝
2，所以 PA － PB ＝2＜ AB . 由双曲线的定义可得点 P 在 x2－ ＝1
（ x ≥1）上，联立椭圆方程与双曲线方程可得 y ＝± ， x ＝ ，
所以点 P 的坐标是（ ，± ）.
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14. 已知双曲线 C ： － y2＝1， P 是 C 上的任意一点.
（1）设点 A 的坐标为（4，0），求 PA 的最小值；
解：设点 P 的坐标为（ x0， y0），
则 PA2＝ ＋ ＝
＋ －1＝ －8 x0＋15＝
＋ ，
因为｜ x0｜≥ ，所以当 x0＝ 时， PA取得最小值 .
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（2）若 F1， F2分别为双曲线的左、右焦点，∠ F1 PF2＝60°，求
△ PF1 F2的面积.
解：由双曲线的定义知｜ PF1－ PF2｜＝2 ， ①
由余弦定理得 F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos 60°，②
根据①②可得 PF1· PF2＝4，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ ×4× ＝ .
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15. （2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”
字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点 A ， B ， C ，
且 OA ＝ OB ＝ OC ＝3，假设敌舰艇在某处发出信号， A 点接收到
信号的时间比 B 点接收到信号的时间早 秒（注： v0为信号传播
速度）， C 处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇
所有可能出现的位置的轨迹方程；
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解：如图，以 O 为原点， OB 所在直
线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴，建立平面
直角坐标系.设敌舰艇的位置为 P （ x ，
y ），由题意可知 PB － PA ＝ v0· ＝4＜ AB＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以 A ， B 为焦点的双曲线的左支，且2 a ＝4， c ＝3，所以 b ＝ .
所以敌舰艇的轨迹方程为 － ＝1（ x ≤－2）.
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（2）在 A ， B 两处的舰艇对敌舰艇攻击后， C 处舰艇派出无
人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距
离是多少？
解：设方程 － ＝1（ x ≤－2）上一
点 M （ x0， y0），
由题意知 － ＝1（ x0≤－2），即 ＝4＋ ，又 C
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（0，3），所以 MC ＝ ＝
＝ ＝
（ y0∈R），
所以当 y0＝ 时， MCmin＝2 ，
即无人机飞行的最小距离是2 .
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谢 谢 观 看！
