第2课时 双曲线几何性质的综合问题
1.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（ ）
A.（1，2） B.（－2，－1）
C.（－1，－2） D.（2，1）
2.已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为（－4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是（ ）
A.（1，2） B.（1，2]
C.（1，） D.（1，]
4.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若AB＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
6.（多选）设e1，e2分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，则（ ）
A.＋＝ B.＋≥4
C.＋＜ D.＋＞
7.若双曲线x2－＝1（b＞0）的一条渐近线与直线x＋2y－4＝0平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 .
8.设F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，O为坐标原点，则·＝ .
9.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m＝ .
10.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点（3，－2）.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求AB.
11.（2024·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（－1，1） D.（1，＋∞）
12.（多选）（2024·无锡月考）已知平面上两点M（－5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使PM－PN＝6，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（ ）
A.3y＝x＋1 B.y＝2
C.y＝x D.y＝2x＋1
13.如图，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴的两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则：
（1）双曲线的离心率e＝ ；
（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝ .
14.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·＞2（其中O为原点），求实数k的取值范围.
15.（2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2）.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
第2课时 双曲线几何性质的综合问题
1.C 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为（－1，－2）.
2.D 双曲线的渐近线为y＝±x，焦点在x轴上，设双曲线方程为x2－＝λ（λ＞0），即－＝1，a2＝λ，b2＝3λ.∵焦点坐标为（－4，0），（4，0），∴c＝4，c2＝a2＋b2＝4λ＝16 λ＝4，∴双曲线方程为－＝1.
3.D 由题意可得，≤2，∴e2＝＝≤＝5，又e＞1，∴1＜e≤，故选D.
4.D 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以PF＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为×3×（2－1）＝.
5.B 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴AB＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
6.AB 由题意知，e1，e2分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，由双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与－＝1（a＞0，b＞0）互为共轭双曲线，可得e1＝，e2＝，由c2＝a2＋b2，可得1＝＋，即＋＝1，可得＋＝.又＋≥2e1e2，则e1e2≥2，当且仅当e1＝e2＝时等号成立，故＋≥4.则A、B正确，C、D错误.
7. 解析：根据题意可得－b＝－，故可得b＝，则c＝＝，则右焦点坐标为（，0），一条渐近线为y＝x，右焦点到一条渐近线的距离d＝＝.
8.－15 解析：由题得所以a＝3，b＝4.所以双曲线的方程为－＝1.所以点P的坐标为（5，）或（5，－）.所以·＝（－3，0）·（5，±）＝－15.
9.±1 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为（m，2m）.又点（m，2m）在x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5，得m＝±1.
10.解：（1）因为双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝（x－3），
联立消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以AB＝·｜x1－x2｜＝·＝2＝16，即弦长AB＝16.
11.C 直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，可得直线y＝kx一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以k∈（－1，1）.
12.AB 因为PM－PN＝6＜MN＝10，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.对于A，联立得消y得15x2－2x－145＝0，因为Δ＝（－2）2－4×15×（－145）＞0，且x1x2＜0，所以3y＝x＋1是“单曲型直线”.对于B，联立得消y得x2＝，所以y＝2是“单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然不成立，所以y＝x不是“单曲型直线”.对于D，联立得消y得20x2＋36x＋153＝0，因为Δ＝362－4×20×153＜0，所以y＝2x＋1不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有A、B.
13.（1） （2） 解析：（1）由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0.∴e4－3e2＋1＝0.∴e2＝.∴e＝.
（2）设sin θ＝，cos θ＝，则＝＝＝＝e2－＝.
14.解：（1）设双曲线C的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）.
由已知得a＝，c＝2，则b2＝c2－a2＝1，故双曲线C的标准方程为－y2＝1.
（2）将y＝kx＋与－y2＝1联立，得（1－3k2）x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C恒有两个不同的交点，得
即k2≠且k2＜1.
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA＋xB＝，xAxB＝.
由·＞2，得xAxB＋yAyB＞2，
即xAxB＋yAyB＝xAxB＋（kxA＋）·（kxB＋）＝（k2＋1）xAxB＋k（xA＋xB）＋2＝（k2＋1）·＋k·＋2＝＞2，∴＞0，解得＜k2＜3.
又∵k2＜1，∴＜k2＜1，故实数k的取值范围为（－1，－）∪（，1）.
15.解：（1）∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，
∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2，
∴双曲线的方程为－＝1，过点（，2），即－＝1，a2＝3，b2＝1，
∴双曲线方程为－x2＝1.
（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
取直线x＝m（0≤m≤1），代入－x2＝1，得y＝，
代入y＝x，得y＝m，
∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
2 / 2第2课时 双曲线几何性质的综合问题
题型一 共轭双曲线
【例1】 （链接教科书第108页习题14题）（多选）关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（ ）
A.有相同的焦点 B.有相同的焦距
C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线
通性通法
共轭双曲线的定义及性质
（1）定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线；
（2）性质：①两个共轭双曲线有相同的渐近线；②两个共轭双曲线有相同的焦距；③共轭双曲线的离心率倒数的平方和等于常数1.
提醒 与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）.
【跟踪训练】
已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A（2，－3）.若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，求双曲线M的标准方程.
题型二 弦长及中点弦问题
【例2】 （1）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
（2）斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，则l的方程为 .
通性通法
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若A，B中点的横坐标为4，则弦AB的长为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.6
题型三 双曲线几何性质的综合应用
【例3】 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（3，－1），点M（3，m）在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求·的值；
（3）求△F1MF2的面积.
通性通法
1.解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算.
2.双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合.
【跟踪训练】
已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2＋y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝ .
1.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（－2，2） B.[－2，2）
C.（－2，2] D.[－2，2]
2.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，实轴长为4，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝1或－＝1
3.（2024·盐城月考）经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为（ ）
A. B.
C. D.7
第2课时 双曲线几何性质的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 BD 两方程均化成标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，故C错误，故选B、D.
跟踪训练
解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t（t≠0）.
∵点A（2，－3）在双曲线E上，
∴－＝t，解得t＝－.
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
【例2】 （1）B （2）y＝2x±
解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得：＝，则＝＝，由直线AB的斜率k＝＝1，∴＝1，则＝，∴双曲线C的离心率e＝＝＝，故选B.
（2）设直线l的方程为y＝2x＋m，由得10x2＋12mx＋3（m2＋2）＝0（*），设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.∴AB2＝＋＝5＝5[－4x1x2]＝5［－4×］，由AB＝，得5［－4×］＝6，解得m＝±，由（*）式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ＞0，∴m的值为±，∴所求直线l的方程为y＝2x±.
跟踪训练
D 双曲线C：－＝1，则c2＝4，所以右焦点F（2，0），根据题意易得过F的直线斜率存在，设为y＝k（x－2），A（xA，yA），B（xB，yB），联立化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝0，所以xA＋xB＝，xAxB＝，因为A，B中点横坐标为4，所以xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，所以xAxB＝＝10，则＝－4xAxB＝82－4×10＝24，则AB＝＝＝6.故选D.
【例3】 解：（1）因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为过点（3，－1），所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8，
即－＝1.
（2）因为F1（－4，0），F2（4，0），
＝（－4－3，－m），＝（4－3，－m），
所以·＝（－4－3）×（4－3）＋m2＝2＋m2，
因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以·＝12.
（3）△F1MF2的底边F1F2＝8，由（2）知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝｜m｜＝，
所以＝4.
跟踪训练
解析：如图，由题意可得OF1＝ON＝c，因为O为F1F2的中点，所以ON＝PF2，所以PF2＝2c，PF1＝2a＋2c，因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，所以c＝2a，故在△F1PF2中，PF1＝6a，PF2＝F1F2＝4a，sin∠F1PF2＝＝＝.
随堂检测
1.A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
2.C 实轴长2a＝4 a＝2，若双曲线焦点在x轴上，则＝ b＝2 双曲线方程为－＝1；若双曲线焦点在y轴上，则＝ b＝ 双曲线方程为－＝1，故选C.
3.B 双曲线x2－y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝.
2 / 2(共59张PPT)
第2课时 双曲线几何性质的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 共轭双曲线
【例1】 （链接教科书第108页习题14题）（多选）关于双曲线 C1：
4 x2－9 y2＝－36与双曲线 C2：4 x2－9 y2＝36的说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点 B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线
解析： 两方程均化成标准方程为 － ＝1和 － ＝1，这里
均有 c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在 y 轴上，另一
个在 x 轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为 y ＝± x ，
故D正确； C1的离心率 e1＝ ， C2的离心率 e2＝ ，故C错误，故
选B、D.
通性通法
共轭双曲线的定义及性质
（1）定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作
原双曲线的共轭双曲线；
（2）性质：①两个共轭双曲线有相同的渐近线；②两个共轭双曲
线有相同的焦距；③共轭双曲线的离心率倒数的平方和等于
常数1.
提醒 与双曲线 － ＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为
－ ＝λ（λ≠0）.
【跟踪训练】
已知双曲线 E 与双曲线 － ＝1共渐近线，且过点 A （2 ，－
3）.若双曲线 M 以双曲线 E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，求双曲线 M
的标准方程.
解：由题意，设双曲线 E 的方程为 － ＝ t （ t ≠0）.
∵点 A （2 ，－3）在双曲线 E 上，
∴ － ＝ t ，解得 t ＝－ .
∴双曲线 E 的标准方程为 － ＝1.
又双曲线 M 与双曲线 E 互为共轭双曲线，
∴双曲线 M 的标准方程为 － ＝1.
题型二 弦长及中点弦问题
【例2】 （1）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），过点 P
（3，6）的直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点为 N （12，
15），则双曲线 C 的离心率为（ B ）
A. 2
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由 AB 的中点为 N
（12，15），则 x1＋ x2＝24， y1＋ y2＝30，由 两
式相减得： ＝ ，则 ＝
＝ ，由直线 AB 的斜率 k ＝ ＝1，∴ ＝1，
则 ＝ ，∴双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝ ＝ ，故选B.
（2）斜率为2的直线 l 在双曲线 － ＝1上截得的弦长为 ，则 l 的
方程为 .
y ＝2 x ±
解析：设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ m ，由得
10 x2＋12 mx ＋3（ m2＋2）＝0（*），设直线 l 与双曲线交于 A
（ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，由根与系数的关系，得 x1＋ x2
＝－ ， x1 x2＝ .∴ AB2＝ ＋
＝5 ＝5[ －4 x1 x2]＝5
［ －4× ］，由 AB ＝ ，得5［ －4×
］＝6，解得 m ＝± ，由（*）式得Δ＝24 m2－
240，把 m ＝± 代入上式，得Δ＞0，∴ m 的值为± ，
∴所求直线 l 的方程为 y ＝2 x ± .
通性通法
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问
题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）已知双曲线 C ： x2－ y2＝2，过右焦点的直线交双
曲线于 A ， B 两点，若 A ， B 中点的横坐标为4，则弦 AB 的长为
（ ）
C. 6
解析： 双曲线 C ： － ＝1，则 c2＝4，所以右焦点 F （2，
0），根据题意易得过 F 的直线斜率存在，设为 y ＝ k （ x －2）， A
（ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），联立化简得（1－ k2） x2
＋4 k2 x －4 k2－2＝0，所以 xA ＋ xB ＝ ， xAxB ＝ ，因为 A ， B
中点横坐标为4，所以 xA ＋ xB ＝ ＝8，解得 k2＝2，所以 xAxB ＝
＝10，则 ＝ －4 xAxB ＝82－4×10＝
24，则 AB ＝ ＝ ＝6 .故选D.
题型三 双曲线几何性质的综合应用
【例3】 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2在坐标轴上，离心
率为 ，且过点（3，－1），点 M （3 ， m ）在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
解：因为 e ＝ ，所以可设双曲线的方程为 x2－ y2＝λ.
因为过点（3，－1），所以9－1＝λ，即λ＝8，
所以双曲线的方程为 x2－ y2＝8，
即 － ＝1.
（2）求 · 的值；
解：因为 F1（－4，0）， F2（4，0），
＝（－4－3 ，－ m ）， ＝（4－3 ，－ m ），
所以 · ＝（－4－3 ）×（4－3 ）＋ m2＝2＋ m2，
因为 M 点在双曲线上，所以18－ m2＝8，即 m2＝10，
所以 · ＝12.
（3）求△ F1 MF2的面积.
解：△ F1 MF2的底边 F1 F2＝8，由（2）知 m ＝± .
所以△ F1 MF2的高 h ＝｜ m ｜＝ ，
所以 ＝4 .
通性通法
1. 解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用
几何性质解题可简化运算.
2. 双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合.
【跟踪训练】
已知 F1， F2分别为双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右
焦点，双曲线的离心率为2，点 P 在双曲线 C 的右支上，且 PF1的中点
N 在圆 O ： x2＋ y2＝ c2上，其中 c 为双曲线的半焦距，则 sin ∠ F1 PF2
＝ .
解析：如图，由题意可得 OF1＝ ON ＝ c ，因为 O 为
F1 F2的中点，所以 ON ＝ PF2，所以 PF2＝2 c ， PF1
＝2 a ＋2 c ，因为双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b
＞0）的离心率为2，所以 c ＝2 a ，故在△ F1 PF2中，
PF1＝6 a ， PF2＝ F1 F2＝4 a ， sin ∠ F1 PF2＝ ＝
＝ .
1. 若直线 y ＝ kx 与双曲线4 x2－ y2＝16有两个公共点，则实数 k 的取值
范围为（ ）
A. （－2，2） B. [－2，2）
C. （－2，2] D. [－2，2]
解析： 易知 k ≠±2，将 y ＝ kx 代入4 x2－ y2＝16得关于 x 的一元
二次方程（4－ k2） x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜ k ＜2.
2. 已知双曲线的一条渐近线方程为 y ＝ x ，实轴长为4，则双曲线
的方程为（ ）
解析： 实轴长2 a ＝4 a ＝2，若双曲线焦点在 x 轴上，则 ＝
b ＝2 双曲线方程为 － ＝1；若双曲线焦点在 y 轴
上，则 ＝ b ＝ 双曲线方程为 － ＝1，故选C.
3. （2024·盐城月考）经过双曲线 x2－ y2＝8的右焦点且斜率为2的直线
被双曲线截得的线段的长为（ ）
解析： 双曲线 x2－ y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线 x2－
y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为 y ＝2（ x －4），代入 x2－ y2
＝8并整理得3 x2－32 x ＋72＝0，设交点 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的
长为 × ＝ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y ＝ x －1被双曲线2 x2－ y2＝3所截得的弦的中点坐标是
（ ）
A. （1，2） B. （－2，－1）
C. （－1，－2） D. （2，1）
解析： 将 y ＝ x －1代入2 x2－ y2＝3，得 x2＋2 x －4＝0，由此可
得弦的中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，
即中点坐标为（－1，－2）.
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2. 已知双曲线的渐近线为 y ＝± x ，焦点坐标为（－4，0），
（4，0），则双曲线方程为（ ）
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解析： 双曲线的渐近线为 y ＝± x ，焦点在 x 轴上，设双曲线
方程为 x2－ ＝λ（λ＞0），即 － ＝1， a2＝λ， b2＝
3λ.∵焦点坐标为（－4，0），（4，0），∴ c ＝4， c2＝ a2＋ b2＝
4λ＝16 λ＝4，∴双曲线方程为 － ＝1.
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3. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与直线 y ＝2 x 无交点，则离心
率 e 的取值范围是（ ）
A. （1，2） B. （1，2]
解析： 由题意可得， ≤2，∴ e2＝ ＝ ≤ ＝5，
又 e ＞1，∴1＜ e ≤ ，故选D.
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4. 已知 F 是双曲线 C ： x2－ ＝1的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x
轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则△ APF 的面积为（ ）
解析： 由 c2＝ a2＋ b2＝4得 c ＝2，所以 F （2，0），将 x ＝2代
入 x2－ ＝1，得 y ＝±3，所以 PF ＝3.又 A 的坐标是（1，3），故
△ APF 的面积为 ×3×（2－1）＝ .
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5. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，与直线 y ＝ x
交于 A ， B 两点，若 AB ＝2 ，则该双曲线的方程为（ ）
A. x2－ y2＝6 B. x2－ y2＝9
C. x2－ y2＝16 D. x2－ y2＝25
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解析： 设等轴双曲线的方程为 x2－ y2＝ a2（ a ＞0），与 y ＝ x
联立，得 x2－ a2＝0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝
0， x1· x2＝－ ，∴ AB ＝ × a ＝2 ，∴ a ＝
3，故选B.
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6. （多选）设 e1， e2分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，则
（ ）
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解析： 由题意知， e1， e2分别为双曲线和它的共轭双曲线的
离心率，由双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与 － ＝1（ a ＞
0， b ＞0）互为共轭双曲线，可得 e1＝ ， e2＝ ，由 c2＝ a2＋ b2，
可得1＝ ＋ ，即 ＋ ＝1，可得 ＋ ＝ .又 ＋
≥2 e1 e2，则 e1 e2≥2，当且仅当 e1＝ e2＝ 时等号成立，故 ＋
≥4.则A、B正确，C、D错误.
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7. 若双曲线 x2－ ＝1（ b ＞0）的一条渐近线与直线 x ＋2 y －4＝0平
行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 .
解析：根据题意可得－ b ＝－ ，故可得 b ＝ ，则 c ＝ ＝
，则右焦点坐标为（ ，0），一条渐近线为 y ＝ x ，右焦点到
一条渐近线的距离 d ＝ ＝ .
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8. 设 F1， F2是双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦
点， A 为左顶点，点 P 为双曲线 C 右支上一点， F1 F2＝10， PF2⊥
F1 F2， PF2＝ ， O 为坐标原点，则 · ＝ .
解析：由题得所以 a ＝3， b ＝4.所以双曲线的方程
为 － ＝1.所以点 P 的坐标为（5， ）或（5，－ ）.所以
· ＝（－3，0）·（5，± ）＝－15.
－15
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9. 已知直线 l ： x － y ＋ m ＝0与双曲线 x2－ ＝1交于不同的两点 A ，
B ，若线段 AB 的中点在圆 x2＋ y2＝5上，则实数 m ＝ .
解析：由消去 y 得 x2－2 mx － m2－2＝0.则Δ＝4 m2
＋4 m2＋8＝8 m2＋8＞0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2
＝2 m ， y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m ＝4 m ，所以线段 AB 的中点坐标为
（ m ，2 m ）.又点（ m ，2 m ）在 x2＋ y2＝5上，所以 m2＋（2 m ）2
＝5，得 m ＝±1.
±1
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10. 双曲线的两条渐近线的方程为 y ＝± x ，且经过点（3，－2
）.
（1）求双曲线的方程；
解：因为双曲线的两条渐近线方程为 y ＝± x ，
所以可设双曲线的方程为2 x2－ y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为 － ＝1.
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（2）过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于 A ，
B 两点，求 AB .
解：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
过 F 且倾斜角为60°的直线方程为 y ＝ （ x －3），
联立消去 y 得 x2－18 x ＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得 x1＋ x2＝18， x1 x2＝33，
所以 AB ＝ ·｜ x1－ x2｜＝
· ＝2 ＝16 ，即
弦长 AB ＝16 .
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11. （2024·扬州月考）若直线 y ＝ kx 与双曲线 x2－ y2＝1的两支各有一
个交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （－1，1） D. （1，＋∞）
解析：C 直线 y ＝ kx 过原点，且与双曲线 x2
－ y2＝1的两支各有一个交点，可得直线 y ＝
kx 一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，所以 k ∈（－1，1）.
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12. （多选）（2024·无锡月考）已知平面上两点 M （－5，0）和 N
（5，0），若直线上存在点 P 使 PM － PN ＝6，则称该直线为“单
曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（ ）
A. 3 y ＝ x ＋1 B. y ＝2
D. y ＝2 x ＋1
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解析： 因为 PM － PN ＝6＜ MN ＝10，所以点 P 在以 M ， N
为焦点的双曲线的右支上，即点 P 的轨迹方程为 － ＝1（ x
≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下
面依次联立方程，消去 y ，判断所得方程有无正根即可.对于A，
联立得消 y 得15 x2－2 x －145＝0，因为Δ＝（－2）2
－4×15×（－145）＞0，且 x1 x2＜0，所以3 y ＝ x ＋1是“单曲型
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直线”.对于B，联立得消 y 得 x2＝ ，所以 y ＝2是
“单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然
不成立，所以 y ＝ x 不是“单曲型直线”.对于D，联立得
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消 y 得20 x2＋36 x ＋153＝0，因为Δ＝362－
4×20×153＜0，所以 y ＝2 x ＋1不是“单曲型直线”.综上，是
“单曲型直线”的有A、B.
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13. 如图，双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两顶点为 A1， A2，虚
轴的两端点为 B1， B2，两焦点为 F1， F2.若以 A1 A2为直径的圆内
切于菱形 F1 B1 F2 B2，切点分别为 A ， B ， C ， D . 则：
解析：由题意可得 a ＝ bc ，
∴ a4－3 a2 c2＋ c4＝0.∴ e4－3 e2＋1＝0.
∴ e2＝ .∴ e ＝ .
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（2）菱形 F1 B1 F2 B2的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值
＝ .
解析：设 sin θ＝ ， cos θ
＝ ，则 ＝ ＝
＝ ＝ e2－ ＝ .
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14. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0），右顶点为
（ ，0）.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
解：设双曲线 C 的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.
由已知得 a ＝ ， c ＝2，则 b2＝ c2－ a2＝1，故双曲线 C 的
标准方程为 － y2＝1.
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（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋ 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和
B ，且 · ＞2（其中 O 为原点），求实数 k 的取值范围.
解：将 y ＝ kx ＋ 与 － y2＝1联立，得（1－3 k2） x2
－6 kx －9＝0.
由直线 l 与双曲线 C 恒有两个不同的交点，得
即 k2≠ 且 k2＜1.
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设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），则 xA ＋ xB ＝ ， xAxB
＝ .
由 · ＞2，得 xAxB ＋ yAyB ＞2，
即 xAxB ＋ yAyB ＝ xAxB ＋（ kxA ＋ ）·（ kxB ＋ ）＝（ k2＋
1） xAxB ＋ k （ xA ＋ xB ）＋2＝（ k2＋1）· ＋
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k · ＋2＝ ＞2，∴ ＞0，解得 ＜ k2＜3.
又∵ k2＜1，∴ ＜ k2＜1，故实数 k 的取值范围为（－1，－
）∪（ ，1）.
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15. （2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学
家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容
异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面
积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 C 的焦点在
y 轴上，离心率为 ，且过点（ ，2 ）.
（1）求双曲线的标准方程；
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解：∵双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝ ，∴ c ＝ a ，
∴ c2＝ a2＋ b2＝ a2，∴ b2＝ a2，
∴双曲线的方程为 － ＝1，过
点（ ，2 ），即 － ＝1，
a2＝3， b2＝1，
∴双曲线方程为 － x2＝1.
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（2）若直线 x ＝0， x ＝1在第一象限内与 C 及其渐近线围成如图
阴影部分所示的图形，求阴影图形绕 x 轴旋转一周所得几何
体的体积.
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解：由（1）知双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，
取直线 x ＝ m （0≤ m ≤1），代入 － x2＝1，得 y ＝ ，代入 y ＝ x ，得 y ＝ m ，
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∴直线 x ＝ m 与阴影部分旋转一周所得圆环的面积 S ＝（3＋
3 m2）π－3 m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕 x 轴旋转一周所得
几何体与底面半径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它
绕 x 轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
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谢 谢 观 看！
