4.1 第2课时 数列的递推公式(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册

文档属性

名称 4.1 第2课时 数列的递推公式(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
格式 zip
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-07 19:02:47

文档简介

(共41张PPT)
第2课时 数列的递推公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  观察某次智力测试中的一道题:数列:1,3,6,10,15,…中
数字出现的规律是:
a2- a1=3-1=2,
a3- a2=6-3=3,
a4- a3=10-6=4,
a5- a4=15-10=5,
……
【问题】 你能用 an+1与 an 的一个数学表达式描述该数列相邻两项之
间的关系吗?
                      
                      
                       
知识点 数列的递推公式
如果已知一个数列{ an }的第1项(或前几项),且任一项 an 与它的前
一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个 来表示,那么这
个公式就叫作这个数列的 公式.
提醒 对数列递推公式的再理解:①与所有的数列不一定都有通项公
式一样,并不是所有的数列都有递推公式;②给出了数列的递推公式
和首项(或前几项),就可以求出数列中的任意一项.
公式 
递推 
【想一想】
 用递推公式给出一个数列,必须要具备哪两个条件?
提示:①“基础”——数列{ an }的第1项(或前几项);
②递推关系——数列{ an }的任一项 an 与它的前一项 an-1( n ≥2)(或
前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法. ( √ )
(2)在数列{ an }中,若 an+1=2 an , n ∈N*,则 a2=2 a1.
( √ )
(3)利用 an+1=2 an , n ∈N*可以确定数列{ an }. ( × )


×
2. 已知数列{ an }中, a1=2, an+1= an + n ( n ∈N*),则 a4=
(  )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析: 因为 a1=2, an+1= an + n ,所以 a2= a1+1=2+1=3,
a3= a2+2=3+2=5, a4= a3+3=5+3=8,故选D.
3. 已知数列{ an }满足 an+1-2 an =0,且 a3=-1,则 a1=(  )
解析: ∵ an+1-2 an =0,∴ an = ,∴ a1= = = =-
.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】 (链接教科书第136页例3)已知数列{ an }满足 a1=3, an+1
=2 an +1,写出数列的前6项.
解:因为 a1=3, an+1=2 an +1,
所以 a2=2×3+1=7, a3=2×7+1=15,
a4=2×15+1=31, a5=2×31+1=63,
a6=2×63+1=127.
因此,数列{ an }的前6项依次为3,7,15,31,63,127.
通性通法
由递推公式写出数列的项的策略
(1)根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关
系,依次代入计算即可;
(2)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项
的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示
前面的项的形式.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的首项 a1=1,且满足 an+1= an + ,则此数列的第3
项是(  )
A. 1
解析:  a1=1, a2= a1+ =1, a3= a2+ = .
题型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法求通项公式
【例2】 (2024·盐城月考)在数列{ an }中, a1=3, an+1= an +
,则通项公式 an =  4-  .
解析:∵ an+1- an = = - ,∴当 n ≥2时, an - an-1=
- , an-1- an-2= - ,…, a2- a1=1- ,∴以上各式
相加得 an - a1=1- ,∴ an =4- , a1=3适合上式,∴ an =4- .
4-  
通性通法
  形如 an+1- an =常数,或 an+1- an = f ( n )的递推公式,可以利
用( a2- a1)+( a3- a2)+…+( an - an-1)= an - a1( n ≥2, n
∈N*)求通项公式.
角度2 累乘法求通项公式
【例3】 在数列{ an }中, a1=1, an+1=2 an ,求数列{ an }的通
项公式.
解:由 an+1=2 an ,得 =2( n ≥2),
所以 =2, =2, =2,…, =2( n ≥2).
将以上各式等号两边分别相乘,
得 · · ·…· = =2 n-1( n ≥2).
因为 a1=1,所以数列{ an }的通项公式为 an =2 n-1( n ≥2).
当 n =1时, a1=1,符合上式,所以 an =2 n-1( n ∈N*).
通性通法
  形如 an+1= pan ( p 为非零常数),或 an+1= f ( n ) an 的递推公
式,可以利用 · ·…· = ( n ≥2, n ∈N*)求通项公式.
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }满足 a1=2, an+1- an +1=0( n ∈N*),则此数列
的通项公式 an =(  )
A. n2+1 B. n +1
C. 1- n D. 3- n
解析: ∵ an+1- an =-1.∴当 n ≥2时, an = a1+( a2- a1)+
( a3- a2)+…+( an - an-1)=2+
=2+(-1)×( n -1)=3- n .当 n =1时, a1=2也符合上式.故数列的通项公式 an =3- n ( n ∈N*).
共( n -1)个
2. (2024·泰州质检)设数列{ an }中, a1=1, an =(1- ) an-1( n
≥2),则此数列的通项公式 an = .
解析:因为 an =(1- ) an-1( n ≥2),所以 = ,所以
= , = ,…, = ,以上各式两边分别相乘,得
· · ·…· · = · · ·…· · = ( n ≥2),即
= ( n ≥2),因为 a1=1,所以 an = ( n ≥2),又因为 n =1
时, a1=1,符合上式,所以 an = ( n ∈N*).
( n ∈N*) 
1. 数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(  )
A. an = an-1+2( n ≥2)
B. an =2 an-1( n ≥2)
C. a1=2, an = an-1+2( n ≥2)
D. a1=2, an =2 an-1( n ≥2)
解析: A、B中没有说明第一项,无法递推;D中 a1=2, a2=
4, a3=8,不合题意.故选C.
2. 已知数列{ an }满足 a1=1, - =1,则 a10=(  )
A. 10 B. 20
C. 100 D. 200
解析: 数列{ an }满足 a1=1, - =1,可得 =1,
- =1, - =1,…, - =1,累加可得
=10,所以 a10=100.
3. 已知数列{ an }的递推公式为 an+1=2 an +1,且 a1=1.试写出数列
{ an }的前四项,并写出数列{ an }的一个通项公式.
解: a1=1=2-1,
a2=2×1+1=3=22-1,
a3=2×3+1=7=23-1,
a4=2×7+1=15=24-1,
由此可得数列{ an }的一个通项公式是 an =2 n -1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列{ an }中,若 an+1- an - n =0,则 a2 025- a2 024=(  )
A. 1 B. 2
C. 2 024 D. 2 025
解析: 由已知得, a2 025- a2 024-2 024=0,所以 a2 025- a2 024=
2 024.
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2. 已知数列{ an }中, a1=1, an+1= ,则 a5=(  )
解析: 由题意可知 a2= = , a3= = , a4= = ,
a5= = .
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3. 已知 a1=1, an = an-1+3( n ≥2, n ∈N*),则数列的通项公式为
(  )
A. an =3 n +1 B. an =3 n
C. an =3 n -2 D. an =3( n -1)
解析: 因为 an = an-1+3,所以 an - an-1=3.所以 a2- a1
=3, a3- a2=3, a4- a3=3,…, an - an-1=3,以上各式两
边分别相加,得 an - a1=3( n -1),因为 a1=1,所以 an =
a1+3( n -1)=1+3( n -1)=3 n -2.当 n =1时,也适合
上式,所以 an =3 n -2.
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4. 已知数列{ an }满足 a1= , an+1= an ,则 an =(  )
解析: 由条件知 = ,分别令 n =1,2,3,…, n -
1,代入上式得 n -1个等式,各式两边分别相乘得,
· · ·…· = × × ×…× 得 = .又因为 a1= ,所
以 an = ,当 n =1时,符合上式,所以 an = .
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5. (2024·镇江月考)下列给出的图形中,星星的个数构成一个数
列,则该数列的一个递推公式可以是(  )
A. an+1= an + n , n ∈N*
B. an = an-1+ n , n ∈N*, n ≥2
C. an+1= an +( n +1), n ∈N*, n ≥2
解析: 结合图象易知, a1=1, a2=3= a1+2, a3=6= a2+3,
a4=10= a3+4,∴ an = an-1+ n , n ∈N*, n ≥2.
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6. (多选)符合递推关系式 an = an-1的数列是(  )
A. 1,2,3,4,…
解析: B与C中从第2项起,后一项是前一项的 倍,符合递
推公式 an = an-1.A中,后一项与前一项之差为1,递推公式为 an
= an-1+1.D中,无法推出递推公式.综上,B、C正确.
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7. 已知数列{ an }中, a1=1,当 n ≥2时, an = an-1+2 n -1,则 a4
= .
解析:当 n ≥2时, an - an-1=2 n -1,所以 a2- a1=3, a3- a2=
5, a4- a3=7,所以 a4- a1=15.又 a1=1,所以 a4=16.
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8. 已知在数列{ an }中, a1 a2… an = n2( n ∈N*),则 a9= .
解析: a1 a2… a8=82,①. a1 a2… a9=92,②.②÷①得, a9= =
.
 
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9. 已知数列{ an }满足 a1= , an = an-1+ ( n ≥2),则 an
= .
解析:因为 an = an-1+ ( n ≥2),所以 an - an-1=
= - ,所以 a2- a1= - , a3- a2= -
,…, an - an-1= - ( n ≥2).以上各式相加,得 an
- a1= - ( n ≥2),所以 an = a1+ - =
( n ≥2),又 a1= 适合上式,所以 an = .
 
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10. 已知数列{ an }中, a1=1, a2=2,以后各项由 an = an-1+ an-2( n
≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
解:因为 an = an-1+ an-2( n ≥3),且 a1=1, a2=2,
所以 a3= a2+ a1=3, a4= a3+ a2=3+2=5, a5= a4+
a3=5+3=8.
故数列{ an }的前5项依次为 a1=1, a2=2, a3=3, a4=
5, a5=8.
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(2)通过公式 bn = 构造一个新的数列{ bn },写出数列{ bn }
的前4项.
解:因为 bn = ,且 a1=1, a2=2, a3=3, a4=
5, a5=8,
所以 b1= = , b2= = , b3= = , b4= = .
故数列{ bn }的前4项依次为 b1= , b2= , b3= , b4= .
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11. (2024·南通月考)在数列{ an }中, a1=2, an+1= an +ln
,则数列{ an }的通项公式为 an =(  )
A. 2+ln n B. 2+( n -1)ln n
C. 2+ n ln n D. 1+ n +ln n
解析:  a2= a1+ln , a3= a2+ln ,…, an = an-
1+ln ( n ≥2),则 an = a1+ln( × × ×…× )
=2+ln n ( n ≥2).又 a1=2=2+ln 1,所以 an =2+ln n .
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12. (多选)由1,3,5,…,2 n -1,…构成数列{ an },数列{ bn }满
足 b1=2,当 n ≥2时, bn = ,则(  )
A. b3=5 B. b4=9
C. b5=15 D. b6=33
解析: 因为 an =2 n -1, bn = ,所以 b2= = a2=
3, b3= = a3=5, b4= = a5=9, b5= = a9=17, b6=
= a17=33.
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13. 已知数列{ an }中, a1=1,以后各项满足 an = an-1+ ( n
≥2).
(1)写出数列{ an }的前5项;
解:a1=1; a2= a1+ = ; a3= a2+ = ; a4
= a3+ = ; a5= a4+ = .
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(2)求数列{ an }的通项公式.
解:由 an = an-1+ 得,
an - an-1= = - ( n ≥2),
∴ an =( an - an-1)+( an-1- an-2)+…+( a3- a2)+
( a2- a1)+ a1= + +…+ +
+1=- +1+1=2- = ( n ≥2).
当 n =1时, a1=1符合上式,∴ an = .
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谢 谢 观 看!第2课时 数列的递推公式
1.数列{an}中,若an+1-an-n=0,则a2 025-a2 024=(  )
A.1   B.2
C.2 024   D.2 025
2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则a5=(  )
A.   B.
C.   D.
3.已知a1=1,an=an-1+3(n≥2,n∈N*),则数列的通项公式为(  )
A.an=3n+1   B.an=3n
C.an=3n-2   D.an=3(n-1)
4.已知数列{an}满足a1=,an+1=an,则an=(  )
A.   B.
C.   D.
5.(2024·镇江月考)下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是(  )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.an=an-1+,n∈N*,n≥2
6.(多选)符合递推关系式an=an-1的数列是(  )
A.1,2,3,4,…
B.1,,2,2,…
C.,2,2,4,…
D.0,,2,2,…
7.已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,则a4=    .
8.已知在数列{an}中,a1a2…an=n2(n∈N*),则a9=    .
9.已知数列{an}满足a1=,an=an-1+(n≥2),则an=    .
10.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
11.(2024·南通月考)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则数列{an}的通项公式为an=(  )
A.2+ln n   B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n   D.1+n+ln n
12.(多选)由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=,则(  )
A.b3=5   B.b4=9
C.b5=15   D.b6=33
13.已知数列{an}中,a1=1,以后各项满足an=an-1+(n≥2).
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.
第2课时 数列的递推公式
1.C 由已知得,a2 025-a2 024-2 024=0,所以a2 025-a2 024=2 024.
2.B 由题意可知a2==,a3==,a4==,a5==.
3.C 因为an=an-1+3,所以an-an-1=3.所以a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,an-an-1=3,以上各式两边分别相加,得an-a1=3(n-1),因为a1=1,所以an=a1+3(n-1)=1+3(n-1)=3n-2.当n=1时,也适合上式,所以an=3n-2.
4.C 由条件知=,分别令n=1,2,3,…,n-1,代入上式得n-1个等式,各式两边分别相乘得,···…·=×××…×得=.又因为a1=,所以an=,当n=1时,符合上式,所以an=.
5.B 结合图象易知,a1=1,a2=3=a1+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4,∴an=an-1+n,n∈N*,n≥2.
6.BC B与C中从第2项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.A中,后一项与前一项之差为1,递推公式为an=an-1+1.D中,无法推出递推公式.综上,B、C正确.
7.16 解析:当n≥2时,an-an-1=2n-1,所以a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,所以a4-a1=15.又a1=1,所以a4=16.
8. 解析:a1a2…a8=82,①.a1a2…a9=92,②.②÷①得,a9==.
9. 解析:因为an=an-1+(n≥2),所以an-an-1==-,所以a2-a1=-,a3-a2=-,…,an-an-1=-(n≥2).以上各式相加,得an-a1=-(n≥2),所以an=a1+-=(n≥2),又a1=适合上式,所以an=.
10.解:(1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,
所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
(2)因为bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,
所以b1==,b2==,b3==,b4==.
故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=.
11.A a2=a1+ln,a3=a2+ln,…,an=an-1+ln(n≥2),则an=a1+ln(×××…×)=2+ln n(n≥2).又a1=2=2+ln 1,所以an=2+ln n.
12.ABD 因为an=2n-1,bn=,所以b2==a2=3,b3==a3=5,b4==a5=9,b5==a9=17,b6==a17=33.
13.解:(1)a1=1;a2=a1+=;a3=a2+=;a4=a3+=;a5=a4+=.
(2)由an=an-1+得,
an-an-1==-(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=++…+++1=-+1+1=2-=(n≥2).
当n=1时,a1=1符合上式,∴an=.
2 / 2第2课时 数列的递推公式
  观察某次智力测试中的一道题:数列:1,3,6,10,15,…中数字出现的规律是:
a2-a1=3-1=2,
a3-a2=6-3=3,
a4-a3=10-6=4,
a5-a4=15-10=5,
……
【问题】 你能用an+1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗?
                      
                      
                      
                      
                      
知识点 数列的递推公式
如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个   来表示,那么这个公式就叫作这个数列的   公式.
提醒 对数列递推公式的再理解:①与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式;②给出了数列的递推公式和首项(或前几项),就可以求出数列中的任意一项.
【想一想】
 用递推公式给出一个数列,必须要具备哪两个条件?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法.(  )
(2)在数列{an}中,若an+1=2an,n∈N*,则a2=2a1.(  )
(3)利用an+1=2an,n∈N*可以确定数列{an}.(  )
2.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4=(  )
A.5   B.6
C.7   D.8
3.已知数列{an}满足an+1-2an=0,且a3=-1,则a1=(  )
A.   B.-
C.   D.-
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】 (链接教科书第136页例3)已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项.
通性通法
由递推公式写出数列的项的策略
(1)根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【跟踪训练】
已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第3项是(  )
A.1   B.
C.   D.
题型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法求通项公式
【例2】 (2024·盐城月考)在数列{an}中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=    .
通性通法
  形如an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1(n≥2,n∈N*)求通项公式.
角度2 累乘法求通项公式
【例3】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.
通性通法
  形如an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an的递推公式,可以利用··…·=(n≥2,n∈N*)求通项公式.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项公式an=(  )
A.n2+1  B.n+1  C.1-n  D.3-n
2.(2024·泰州质检)设数列{an}中,a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),则此数列的通项公式an=    .
1.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(  )
A.an=an-1+2(n≥2)
B.an=2an-1(n≥2)
C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)
D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
2.已知数列{an}满足a1=1, -=1,则a10=(  )
A.10  B.20  C.100  D.200
3.已知数列{an}的递推公式为an+1=2an+1,且a1=1.试写出数列{an}的前四项,并写出数列{an}的一个通项公式.
第2课时 数列的递推公式
【基础知识·重落实】
知识点
公式 递推
想一想
 提示:①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项);
②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
自我诊断
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.D 因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8,故选D.
3.B ∵an+1-2an=0,∴an=,∴a1====-.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:因为a1=3,an+1=2an+1,
所以a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15,
a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63,
a6=2×63+1=127.
因此,数列{an}的前6项依次为3,7,15,31,63,127.
跟踪训练
 C a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+=.
【例2】 4- 解析:∵an+1-an==-,∴当n≥2时,an-an-1=-,an-1-an-2=-,…,a2-a1=1-,∴以上各式相加得an-a1=1-,∴an=4-,a1=3适合上式,∴an=4-.
【例3】 解:由an+1=2an,得=2(n≥2),
所以=2,=2,=2,…,=2(n≥2).
将以上各式等号两边分别相乘,
得···…·==2n-1(n≥2).
因为a1=1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1(n≥2).
当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=2n-1(n∈N*).
跟踪训练
1.D ∵an+1-an=-1.∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+=
      共(n-1)个
2+(-1)×(n-1)=3-n.当n=1时,a1=2也符合上式.故数列的通项公式an=3-n(n∈N*).
2.(n∈N*) 解析:因为an=(1-)an-1(n≥2),所以=,所以=,=,…,=,以上各式两边分别相乘,得···…··=···…··=(n≥2),即=(n≥2),因为a1=1,所以an=(n≥2),又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=(n∈N*).
随堂检测
1.C A、B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.故选C.
2.C 数列{an}满足a1=1,-=1,可得=1,-=1,-=1,…,-=1,累加可得=10,所以a10=100.
3.解:a1=1=2-1,
a2=2×1+1=3=22-1,
a3=2×3+1=7=23-1,
a4=2×7+1=15=24-1,
由此可得数列{an}的一个通项公式是an=2n-1.
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