4.2.1 等差数列的概念
1.下列数列是等差数列的是（ ）
A.，， B.lg 5，lg 6，lg 7
C.1，， D.2，3，5
2.已知（ ），5，9成等差数列，则括号内应填的数字是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设数列{an}（n∈N*）是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
4.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1＋a3＝，则a2＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
5.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}（ ）
A.是公差为1的等差数列
B.是公差为的等差数列
C.是公差为－的等差数列
D.不是等差数列
6.（多选）（2024·淮安月考）已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是（ ）
A.该数列为等差数列 B.公差为3
C.a5＝15 D.a1＋a5＝a2＋a4
7.（多选）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（ ）
A.an＝1－3n B.an＝2n－3
C.an＝2n D.an＝3
8.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为 .
9.已知数列{an}满足＝＋4，且a1＝1，an＞0，则a3＝ .
10.已知数列是等差数列.
（1）若a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
（2）若a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
（3）若a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
11.已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.（2024·徐州质检）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，C＝2（A＋B），则＝（ ）
A. B. C. D.
13.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有 个.
14.已知数列中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*），试判断数列是否为等差数列？若是，求数列的首项和公差；若不是，请说明理由.
15.（2024·苏州质检）对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）.对于k≥2，k∈N*，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ（Δk－1an）.
（1）试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；
（2）已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n（n∈N*），试判断数列{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列.
4.2.1 等差数列的概念
1.C 对于A，－≠－，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C，－1＝－，C是等差数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C.
2.B 设括号内的数字为x，则有5－x＝9－5，故x＝1.
3.D 由a3－a2＝a4－a3得a3＝＝5，所以d＝a3－a2＝5－4＝1.
4.C ∵{an}为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，∴a1＋a3＝2a2，∴2a2＝，解得a2＝2（a2＝0舍去）.
5.B 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B.
6.ACD 由条件可知an＋1－an＝－3，所以该数列为等差数列，公差为－3.所以a2＝a1＋（－3）＝24，a3＝a2＋（－3）＝21，a4＝a3＋（－3）＝18，a5＝a4＋（－3）＝15，所以a1＋a5＝42，a2＋a4＝42，即a1＋a5＝a2＋a4.故A、C、D正确，B错误.
7.ABD 当n≥2时，对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3（n－1）]＝－3，是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2（n－1）－3]＝2，是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列.
8.3 解析：由等差数列的定义可知解得所以d＝3.
9.3 解析：由等差数列的定义可知－＝4，故是以4为公差的等差数列，所以＝＋4＝5，＝＋4＝9，所以a3＝3（负值舍去）.
10.解：（1）由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以a2＝4，d＝4.
（2）由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，
所以d＝3，a1＝0.
（3）由等差数列的定义可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
11.B 若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任意的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.
12.C 由C＝2（A＋B），A＋B＋C＝π，得C＝，由a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b，得2b＝a＋c，由余弦定理，得cos C＝，即－＝，整理，得5ab－3b2＝0，由b≠0得5a－3b＝0，由a≠0得＝.故选C.
13.45 解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成等差数列的共有45个.
14.解：因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an（n∈N*），说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列是等差数列.
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
15.解：（1）由题意，可以得到许多一阶差分数列，不妨取等差数列{n＋1}，由Δan＝an＋1－an可得，等差数列{n＋1}的一阶差分数列的前5项为1，1，1，1，1（答案不唯一，符合题意即可）.
（2）∵Δan＝an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，
Δan＋1－Δan＝2，Δa1＝a2－a1＝4，∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列.
∵Δ2an＝2（n＋1）＋2－（2n＋2）＝2，∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列.
2 / 24.2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算 数学抽象、数学运算
2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列 逻辑推理、数学运算
（1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，龙年的年份为2024，2036， 2048，2060，2072，2084，…；
（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；
（3）2024年1月中，每个星期一的日期为1，8，15，22，29.
【问题】 这些数列的后一项与前一项之间的关系是什么？
知识点 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用 表示.
提醒 对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；
③定义中的“同一个常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列4，4，4，…是等差数列.（ ）
（2）数列6，4，2，0是公差为2的等差数列.（ ）
（3）数列{2n＋1}（n∈N*）是等差数列.（ ）
（4）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（ ）
2.若1，x，2成等差数列，则x＝（ ）
A. B.3
C.2 D.±
3.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝（ ）
A. B.1
C. D.2
题型一 等差数列的判断
【例1】 （链接教科书第140页例1）判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；
（2）9，6，3，0，－3，…；
（3）1，3，4，5，6，…；
（4）7，7，7，7，7，…；
（5）1，，，，，….
通性通法
利用定义判断等差数列的策略
从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
【跟踪训练】
（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A.an＝－2n＋3（n∈N*）
B.4，7，10，13，16
C.，，1，，
D.－3，－2，－1，1，2
题型二 利用定义求等差数列中的项
【例2】 （链接教科书第141页例2）（1）若，a，成等差数列，则a＝ ；
（2）若－1，a，b，c，7成等差数列，试求a，b，c的值.
通性通法
若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量.
【跟踪训练】
若m，4，2n成等差数列，2m，5，n也成等差数列，则m＋n＝ .
题型三 等差数列的证明
【例3】 （2024·南通质检）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列.
通性通法
用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤
（1）作差：an＋1－an；
（2）变形：化简an＋1－an；
（3）得结论：若化简结果是与n无关的常数，则{an}为等差数列，否则不是等差数列.
【跟踪训练】
已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－（n＞1），记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列.
1.（2024·泰州月考）若－1，a，7三个数成等差数列，则a＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A.2，5，8，11
B.1.1，1.01，1.001，1.000 1
C.a，a，a，a
D.lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000
3.已知数列{an}，满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），试判断数列{an}是否是等差数列.
4.2.1 等差数列的概念
【基础知识·重落实】
知识点
同一个 公差 d
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.A 由等差数列的定义可知2－x＝x－1，则x＝＝，故选A.
3.D 由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）是，a1＝1，d＝2.
（2）是，a1＝9，d＝－3.
（3）不是.
（4）是，a1＝7，d＝0.
（5）不是.
跟踪训练
ABC A项，由an＝－2n＋3（n∈N*），则a1＝1，a2＝－1，a3＝－3，…，由等差数列的定义，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
【例2】 （1） 解析：由等差数列的定义可知a－＝－a，解得a＝.
（2）解：由等差数列的定义可知解得
跟踪训练
6 解析：由等差数列的定义可知解得故m＋n＝6.
【例3】 证明：法一 由条件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
法二 由条件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
跟踪训练
证明：因为bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－bn＝－＝＝（n∈N*）.
又b1＝＝，
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列.
随堂检测
1.C 由等差数列的定义可知7－a＝a－（－1），则2a＝－1＋7＝6，故a＝3，故选C.
2.ACD 对于A，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列；对于B，因为1.01－1.1＝－0.09，1.001－1.01＝－0.009，即1.01－1.1≠1.001－1.01，所以此数列不是等差数列；对于C，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列；对于D，数列lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000可表示为lg 2，1＋lg 2，2＋lg 2，3＋lg 2，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列.故选A、C、D.
3.解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝2－1＝1≠，故数列{an}不是等差数列.
2 / 3(共50张PPT)
4.2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念，并根据
等差数列的定义进行简单的运算 数学抽象、
数学运算
2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年
开始，龙年的年份为2024，2036， 2048，2060，2072，
2084，…；
（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚
长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，
250，…；
（3）2024年1月中，每个星期一的日期为1，8，15，22，29.
【问题】 这些数列的后一项与前一项之间的关系是什么？
知识点 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等
于 常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等
差数列的 ，公差通常用 表示.
同一个
公差
d
提醒 对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没
有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它
的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调
了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；③定义中的“同一个
常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数
列不能称为等差数列.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列4，4，4，…是等差数列. （ √ ）
（2）数列6，4，2，0是公差为2的等差数列. （ × ）
（3）数列{2 n ＋1}（ n ∈N*）是等差数列. （ √ ）
（4）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这
个数列是等差数列. （ × ）
√
×
√
×
2. 若1， x ，2成等差数列，则 x ＝（ ）
B. 3 C. 2
解析： 由等差数列的定义可知2－ x ＝ x －1，则 x ＝ ＝ ，故
选A.
3. 已知数列 是等差数列，且 a1＝2， a3＝6，则该等差数列的公差
d ＝（ ）
B. 1
D. 2
解析： 由等差数列的定义可知 a2－ a1＝ a3－ a2，所以 a2＝4，故
公差 d ＝ a2－ a1＝2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的判断
【例1】 （链接教科书第140页例1）判断下列各组数列是不是等差
数列.如果是，写出首项 a1和公差 d .
（1）1，3，5，7，9，…；
解：是， a1＝1， d ＝2.
（2）9，6，3，0，－3，…；
解：是， a1＝9， d ＝－3.
（3）1，3，4，5，6，…；
解：不是.
（4）7，7，7，7，7，…；
解：是， a1＝7， d ＝0.
（5）1， ， ， ， ，….
解：不是.
通性通法
利用定义判断等差数列的策略
从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同
一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
【跟踪训练】
（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A. an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*） B. 4，7，10，13，16
D. －3，－2，－1，1，2
解析： A项，由 an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*），则 a1＝1， a2＝－1，
a3＝－3，…，由等差数列的定义，故是等差数列；B项 d ＝3，故是等
差数列；C项 d ＝ ，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同
一个常数，故不是等差数列.
题型二 利用定义求等差数列中的项
【例2】 （链接教科书第141页例2）（1）若 ， a ， 成等
差数列，则 a ＝ ；
解析：由等差数列的定义可知 a － ＝ － a ，解得 a ＝ .
（2）若－1， a ， b ， c ，7成等差数列，试求 a ， b ， c 的值.
解：由等差数列的定义可知
解得
通性通法
若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过
解方程或方程组的方法求出未知量.
【跟踪训练】
若 m ，4，2 n 成等差数列，2 m ，5， n 也成等差数列，则 m ＋ n ＝ .
解析：由等差数列的定义可知解得故 m
＋ n ＝6.
6
题型三 等差数列的证明
【例3】 （2024·南通质检）在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝ ，
设 bn ＝ ， n ∈N*.求证：数列{ bn }是等差数列.
证明：法一 由条件知， ＝ ＝ ＋1，
所以 － ＝1，所以 bn＋1－ bn ＝1.
又 b1＝ ＝1，所以数列{ bn }是首项为1，公差为1的等差数列.
法二 由条件，得 bn＋1－ bn ＝ － ＝ － ＝ ＝1.
又 b1＝ ＝1，所以数列{ bn }是首项为1，公差为1的等差数列.
通性通法
用定义法判定数列{ an }是等差数列的基本步骤
（1）作差： an＋1－ an ；
（2）变形：化简 an＋1－ an ；
（3）得结论：若化简结果是与 n 无关的常数，则{ an }为等差数列，否
则不是等差数列.
【跟踪训练】
已知数列{ an }满足 a1＝4， an ＝4－ （ n ＞1），记 bn ＝ .求
证：数列{ bn }是等差数列.
证明：因为 bn＋1＝ ＝ ＝ ，所以 bn＋1－ bn
＝ － ＝ ＝ （ n ∈N*）.
又 b1＝ ＝ ，
所以数列{ bn }是首项为 ，公差为 的等差数列.
1. （2024·泰州月考）若－1， a ，7三个数成等差数列，则 a ＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由等差数列的定义可知7－ a ＝ a －（－1），则2 a ＝－1
＋7＝6，故 a ＝3，故选C.
2. （多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A. 2，5，8，11
B. 1.1，1.01，1.001，1.000 1
C. a ， a ， a ， a
D. lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000
解析： 对于A，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同
一个常数3，所以此数列是等差数列；对于B，因为1.01－1.1＝－
0.09，1.001－1.01＝－0.009，即1.01－1.1≠1.001－1.01，所以
此数列不是等差数列；对于C，因为从第2项起，后一项与前一项
的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列；对于D，数列lg 2，
lg 20，lg 200，lg 2 000可表示为lg 2，1＋lg 2，2＋lg 2，3＋lg 2，
因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列
是等差数列.故选A、C、D.
3. 已知数列{ an }，满足 a1＝1， a2＝2，2 an＋1＝2 an ＋3（ n ≥2， n
∈N*），试判断数列{ an }是否是等差数列.
解：当 n ≥2时，由2 an＋1＝2 an ＋3，得 an＋1－ an ＝ ，但 a2－ a1＝2
－1＝1≠ ，故数列{ an }不是等差数列.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列数列是等差数列的是（ ）
B. lg 5，lg 6，lg 7
D. 2，3，5
解析： 对于A， － ≠ － ，A不是等差数列；对于B，lg 6－
lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C， －1＝ － ，C是等差
数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知（ ），5，9成等差数列，则括号内应填的数字是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 设括号内的数字为 x ，则有5－ x ＝9－5，故 x ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 设数列{ an }（ n ∈N*）是公差为 d 的等差数列，若 a2＝4， a4＝6，
则 d ＝（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 由 a3－ a2＝ a4－ a3得 a3＝ ＝5，所以 d ＝ a3－ a2＝5
－4＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知在各项均不为零的等差数列{ an }中，满足 a1＋ a3＝ ，则 a2
＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： ∵{ an }为等差数列，∴ a2－ a1＝ a3－ a2，∴ a1＋ a3＝2
a2，∴2 a2＝ ，解得 a2＝2（ a2＝0舍去）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 若数列{ an }满足3 an＋1＝3 an ＋1，则数列{ an }（ ）
A. 是公差为1的等差数列
D. 不是等差数列
解析： 由3 an＋1＝3 an ＋1，得3 an＋1－3 an ＝1，即 an＋1－ an ＝
，所以数列{ an }是公差为 的等差数列.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）（2024·淮安月考）已知数列{ an }满足 an＋1＝ an －3， n
∈N*， a1＝27，则下列说法正确的是（ ）
A. 该数列为等差数列 B. 公差为3
C. a5＝15 D. a1＋ a5＝ a2＋ a4
解析： 由条件可知 an＋1－ an ＝－3，所以该数列为等差数
列，公差为－3.所以 a2＝ a1＋（－3）＝24， a3＝ a2＋（－3）＝
21， a4＝ a3＋（－3）＝18， a5＝ a4＋（－3）＝15，所以 a1＋ a5＝
42， a2＋ a4＝42，即 a1＋ a5＝ a2＋ a4.故A、C、D正确，B错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （多选）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（ ）
A. an ＝1－3 n B. an ＝2 n －3
C. an ＝2 n D. an ＝3
解析： 当 n ≥2时，对于A， an － an－1＝1－3 n －[1－3（ n －
1）]＝－3，是等差数列；对于B， an － an－1＝2 n －3－[2（ n －
1）－3]＝2，是等差数列；对于C， an － an－1＝2 n －2 n－1＝2 n－1，
不是常数，不是等差数列；对于D， an － an－1＝3－3＝0，是等差
数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 在－3和6之间插入两个数 a ， b ，使这四个数成等差数列，则公差
为 .
解析：由等差数列的定义可知解得所以 d
＝3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知数列{ an }满足 ＝ ＋4，且 a1＝1， an ＞0，则 a3＝ .
解析：由等差数列的定义可知 － ＝4，故 是以4为公差
的等差数列，所以 ＝ ＋4＝5， ＝ ＋4＝9，所以 a3＝3
（负值舍去）.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知数列 是等差数列.
（1）若 a1＝0， a3＝8，求公差 d 和 a2；
解：由等差数列的定义可知 a2－ a1＝ a3－ a2＝ d ，所以
a2＝4， d ＝4.
（2）若 a2＝3， a3＝6，求公差 d 和 a1；
解：由等差数列的定义可知 a2－ a1＝ a3－ a2＝ d ，
所以 d ＝3， a1＝0.
（3）若 a1＝1， a2＝3，求公差 d 和 a7.
解：由等差数列的定义可知 a2－ a1＝ d ＝2，所以 a7＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知数列 是无穷数列，则“2 a2＝ a1＋ a3”是“数列 为等
差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 若“数列 为等差数列”成立，必有“2 a2＝ a1＋
a3”，而仅有“2 a2＝ a1＋ a3”成立，不能断定“数列 为等差
数列”成立，必须满足对任意的 n ∈N*，都有2 an＋1＝ an ＋ an＋2成
立才可以，故“2 a2＝ a1＋ a3”是“数列 为等差数列”的必要
不充分条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （2024·徐州质检）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为
a ， b ， c ，若 a ， b ， c 成等差数列， C ＝2（ A ＋ B ），则 ＝
（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由 C ＝2（ A ＋ B ）， A ＋ B ＋ C ＝π，得 C ＝ ，由
a ， b ， c 成等差数列，则 b － a ＝ c － b ，得2 b ＝ a ＋ c ，由余弦
定理，得 cos C ＝ ，即－ ＝ ，整理，得
5 ab －3 b2＝0，由 b ≠0得5 a －3 b ＝0，由 a ≠0得 ＝ .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成
等差数列的有 个.
解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差
为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6
个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成
等差数列的共有45个.
45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知数列 中， a3＝9， a5＝5，且满足 an＋2－2 an＋1＋ an ＝0
（ n ∈N*），试判断数列 是否为等差数列？若是，求数列
的首项和公差；若不是，请说明理由.
解：因为 an＋2－2 an＋1＋ an ＝0，所以 an＋2－ an＋1＝ an＋1－ an （ n
∈N*），说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终
相等，所以数列 是等差数列.
由 a3＝9， a5＝5，可知 a4＝7，所以 d ＝－2，所以 a1＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. （2024·苏州质检）对数列{ an }，规定{Δ an }为数列{ an }的一阶差
分数列，其中Δ an ＝ an＋1－ an （ n ∈N*）.对于 k ≥2， k ∈N*，规
定{Δ kan }为{ an }的 k 阶差分数列，其中Δ kan ＝Δ k－1 an＋1－Δ k－1 an
＝Δ（Δ k－1 an ）.
（1）试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；
解：由题意，可以得到许多一阶差分数列，不妨取等
差数列{ n ＋1}，由Δ an ＝ an＋1－ an 可得，等差数列{ n ＋1}
的一阶差分数列的前5项为1，1，1，1，1（答案不唯一，符
合题意即可）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2＋ n （ n ∈N*），试判断
数列{Δ an }，{Δ2 an }是否为等差数列.
解：∵Δ an ＝ an＋1－ an ＝（ n ＋1）2＋（ n ＋1）－（ n2
＋ n ）＝2 n ＋2，
Δ an＋1－Δ an ＝2，Δ a1＝ a2－ a1＝4，∴{Δ an }是首项为4，公
差为2的等差数列.
∵Δ2 an ＝2（ n ＋1）＋2－（2 n ＋2）＝2，∴{Δ2 an }是首项
为2，公差为0的等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
