第1课时 等差数列的通项公式
1.数列中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是（ ）
A.an＝3n－1 B.an＝3n＋2
C.an＝3n－2 D.an＝3n＋1
2.已知在等差数列中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（ ）
A.90 B.96
C.98 D.100
3.在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10＝（ ）
A.25 B.28
C.31 D.34
4.（2024·淮安月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（ ）
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
6.（多选）在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则（ ）
A.a4＝ B.a3＝1
C.d＝ D.d＝
7.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ .
8.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 .
9.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有 人.
10.在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，求a10；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
11.（2024·泰州月考）一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（ ）
A.d＞ B.d＜
C.＜d＜ D.＜d≤
12.（多选）若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A.{an＋3} B.{}
C.{an＋1＋an} D.{2an＋n}
13.数列{an}的首项a1＝，a3＝且对任意n∈N*，－＝1恒成立，则a10＝ .
14.在等差数列{an}中，a1＝23，公差d为整数，若a6＞0，a7＜0.
（1）求公差d的值；
（2）求{an}的通项公式.
15.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额（单位：元），求an.
第1课时 等差数列的通项公式
1.B 因为an＋1－an＝3，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*.
2.D 由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100.
3.B 因为在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28.
4.B 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
5.B ∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项.
6.ABD 由题意得解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1.
7.0 解析：由题意知，解得∴a6＝a1＋5d＝0.
8.an＝2（n＋1）2 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2.
9.20 解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人.
10.解：（1）a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29.
（2）由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10.
11.D 由题意可得即解得＜d≤.
12.ACD 设等差数列{an}的公差为d，则an＋1－an＝d.对于A，an＋1＋3－（an＋3）＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列；对于B，－＝（an＋1＋an）（an＋1－an）＝d[2a1＋（2n－1）d]，不为常数，因此{}不是等差数列；对于C，（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列；对于D，2an＋1＋（n＋1）－（2an＋n）＝2（an＋1－an）＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列.故选A、C、D.
13. 解析：因为－＝1，且a1＝，则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋（n－1）×1＝n＋1，则an＝，所以a10＝＝.
14.解：（1）因为{an}是等差数列，a1＝23，a6＞0，a7＜0，
所以解得－＜d＜－.
又公差d为整数，所以d＝－4.
（2）因为等差数列{an}的首项为23，公差为－4，
所以an＝23－4（n－1）＝－4n＋27.
15.解：设当购买n件这类上衣时，每件的单价为bn元，
则每件的价格组成以b1＝265为首项，－15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，
则265＋（n－1）·（－15）≥160，解得n≤8.
所以当n＞8时，bn＝160.
综上所述，得bn＝n∈N*.
从而an＝n∈N*.
2 / 24.2.2 等差数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题 逻辑推理、数学运算
2.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象、数学运算
第1课时 等差数列的通项公式
前面学习过数列的通项公式的定义，我们是根据一个数列的前几项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，对于等差数列5，8，11，14，….
【问题】 （1）你能写出它的通项公式吗？
（2）你能根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式吗？
知识点 等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为 .
提醒 由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何等差数列都有通项公式.（ ）
（2）若等差数列{an}的首项a1＝0，公差d＝0，则an＝0.（ ）
（3）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（ ）
2.已知等差数列{an}中，a5＝10，a9＝20，则a1＝（ ）
A.－ B.0
C.2 D.5
3.若数列{an}为等差数列且a2＝5，a5＝11，则数列{an}的通项公式an＝ .
题型一 等差数列通项公式的证明与推广
【例1】 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.求证：an＝a1＋（n－1）d.
通性通法
等差数列{an}的通项公式是由a1和d唯一确定的，其公式的推导除教科书中的累加法外，还可由归纳法、迭代法、逐差法推导出，以上方法均为数学中的常用方法.
【跟踪训练】
已知等差数列{an}中的任意两项ap，aq（p，q∈N*且p≠q）.证明对于任意的n（n∈N*），都有an＝（ap－aq）＋ap.
题型二 等差数列通项公式的应用
角度1 等差数列基本量的计算
【例2】 （链接教科书第143页例4）在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
角度2 等差数列通项公式的应用
【例3】 （链接教科书第145页练习2题）已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【母题探究】
（变设问）若例3条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？
通性通法
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；
（2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡月考）2 024是等差数列4，6，8，…的（ ）
A.第1 009项 B.第1 010项
C.第1 011项 D.第1 012项
2.在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝6，d＝3，求a8；
（2）已知a7＝，d＝－2，求a1；
（3）已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
（4）已知a4＝10，a10＝4，求a7和d.
题型三 等差数列的实际应用
【例4】 （链接教科书第144页例5）某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤
提醒 在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【跟踪训练】
（2024·盐城质检）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费 元.
1.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（ ）
A.1，4 B.－1，－4
C.4，1 D.－4，－1
2.已知数列{an}中各项均为非负数，a2＝1，a5＝16，若数列{}为等差数列，则a13＝（ ）
A.169 B.144
C.12 D.13
3.在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝ .
第1课时 等差数列的通项公式
【基础知识·重落实】
知识点
an＝a1＋（n－1）d
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 设等差数列{an}的公差为d，因为a5＝10，a9＝20，所以解得d＝，a1＝0，故选B.
3.2n＋1 解析：设数列{an}的公差为d，则解得a1＝3，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：法一（归纳法） a1＝a1＋0·d，
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝（a1＋d）＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝（a1＋2d）＋d＝a1＋3d，
…
归纳可得an＝a1＋（n－1）d.
法二（迭代法） 已知{an}是等差数列，则an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d.
法三（逐差法） 已知{an}是等差数列，则an＝an－an－1＋an－1＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋an－2＝…＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝a1＋（n－1）d.
跟踪训练
证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵an＝a1＋（n－1）d， ①
ap＝a1＋（p－1）d， ②
aq＝a1＋（q－1）d， ③
①－②得，an－ap＝（n－p）d， ④
②－③得，ap－aq＝（p－q）d，∴d＝，代入④式得an－ap＝（ap－aq），整理得an＝·（ap－aq）＋ap，n∈N*.
【例2】 解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）设数列{an}的公差为d，
由已知得，解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
【例3】 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，
由已知得
解得
所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项.
母题探究
解：由例3知a15＋a61＝33＋217＝250，
an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，
a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
跟踪训练
1.C ∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011.
2.解：（1）∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3（n－1）＝3n＋3，
∴a8＝3×8＋3＝27.
（2）∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝.
（3）∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－（－2）＝14，
∴an＝14－2（n－1）＝16－2n，令16－2n＝－20，∴n＝18.
（4）法一 由题意知解得
∴a7＝13＋6×（－1）＝7.
法二 ∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝－1，
∴an＝a4＋（n－4）×（－1）＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7.
【例4】 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N*），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练
23.2 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）.
随堂检测
1.B 因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
2.B 由题意a2＝1，a5＝16，所以＝1，＝4，又因为数列{}是等差数列，所以d＝＝1，且＝0满足各项为非负数，则有＝＋（13－1）d＝12，可得a13＝122＝144.故选B.
3.6n－14 解析：法一 设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
法二 设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14.
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4.2.2
等差数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解
决一些简单的问题 逻辑推理、数
学运算
2.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象、数
学运算
第1课时
等差数列的通项公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
前面学习过数列的通项公式的定义，我们是根据一个数列的前几
项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，对于等差数列5，8，11，
14，….
【问题】 （1）你能写出它的通项公式吗？
（2）你能根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式吗？
知识点 等差数列的通项公式
若等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，则等差数列{ an }的通项公式
为 .
提醒 由等差数列的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 可得 an ＝ dn ＋（ a1
－ d ），如果设 p ＝ d ， q ＝ a1－ d ，那么 an ＝ pn ＋ q ，其中 p ， q 是常
数.当 p ≠0时， an 是关于 n 的一次函数；当 p ＝0时， an ＝ q ，等差数
列为常数列.
an ＝ a1＋（ n －1） d
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何等差数列都有通项公式. （ √ ）
（2）若等差数列{ an }的首项 a1＝0，公差 d ＝0，则 an ＝0.
（ √ ）
（3）数列{ an }的通项公式为 an ＝则{ an }是等差数
列. （ × ）
√
√
×
2. 已知等差数列{ an }中， a5＝10， a9＝20，则 a1＝（ ）
B. 0
C. 2 D. 5
解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，因为 a5＝10， a9＝20，所
以解得 d ＝ ， a1＝0，故选B.
3. 若数列{ an }为等差数列且 a2＝5， a5＝11，则数列{ an }的通项公式
an ＝ .
解析：设数列{ an }的公差为 d ，则解得 a1＝3， d
＝2，所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝3＋（ n －1）×2＝2 n ＋1.
2 n ＋1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列通项公式的证明与推广
【例1】 已知等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d .求证： an ＝ a1＋
（ n －1） d .
证明：法一（归纳法） a1＝ a1＋0· d ，
a2＝ a1＋ d ，
a3＝ a2＋ d ＝（ a1＋ d ）＋ d ＝ a1＋2 d ，
a4＝ a3＋ d ＝（ a1＋2 d ）＋ d ＝ a1＋3 d ，
…
归纳可得 an ＝ a1＋（ n －1） d .
法二（迭代法） 已知{ an }是等差数列，则 an ＝ an－1＋ d ＝ an－2＋ d
＋ d ＝ an－2＋2 d ＝ an－3＋ d ＋2 d ＝ an－3＋3 d ＝…＝ a1＋（ n －1） d .
法三（逐差法） 已知{ an }是等差数列，则 an ＝ an － an－1＋ an－1＝
（ an － an－1）＋（ an－1－ an－2）＋ an－2＝…＝（ an － an－1）＋（ an－1
－ an－2）＋…＋（ a2－ a1）＋ a1＝ a1＋（ n －1） d .
通性通法
等差数列{ an }的通项公式是由 a1和 d 唯一确定的，其公式的推导
除教科书中的累加法外，还可由归纳法、迭代法、逐差法推导出，以
上方法均为数学中的常用方法.
【跟踪训练】
已知等差数列{ an }中的任意两项 ap ， aq （ p ， q ∈N*且 p ≠ q ）.证明
对于任意的 n （ n ∈N*），都有 an ＝ （ ap － aq ）＋ ap .
证明：设等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，
∵ an ＝ a1＋（ n －1） d ， ①
ap ＝ a1＋（ p －1） d ， ②
aq ＝ a1＋（ q －1） d ， ③
①－②得， an － ap ＝（ n － p ） d ， ④
②－③得， ap － aq ＝（ p － q ） d ，∴ d ＝ ，代入④式得 an － ap
＝ （ ap － aq ），整理得 an ＝ ·（ ap － aq ）＋ ap ， n ∈N*.
题型二 等差数列通项公式的应用
角度1 等差数列基本量的计算
【例2】 （链接教科书第143页例4）在等差数列{ an }中.
（1）已知 a5＝－1， a8＝2，求 a1与 d ；
解：∵ a5＝－1， a8＝2，
∴解得
（2）已知 a1＋ a6＝12， a4＝7，求 a9.
解：设数列{ an }的公差为 d ，
由已知得，解得
∴ an ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1，
∴ a9＝2×9－1＝17.
角度2 等差数列通项公式的应用
【例3】 （链接教科书第145页练习2题）已知等差数列{ an }中，
a15＝33， a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是
第几项？
解：设首项为 a1，公差为 d ，则 an ＝ a1＋（ n －1） d ，
由已知得
解得
所以 an ＝－23＋（ n －1）×4＝4 n －27，
令 an ＝153，即4 n －27＝153，解得 n ＝45∈N*，所以153是所给数列
的第45项.
【母题探究】
（变设问）若例3条件不变，求 a38及 a30＋ a46的值，并判断2 a38与 a15
＋ a61是否相等？ a30＋ a46与 a15＋ a61是否相等？
解：由例3知 a15＋ a61＝33＋217＝250，
an ＝4 n －27，
所以 a38＝4×38－27＝125，
a30＋ a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2 a38＝ a15＋ a61， a30＋ a46＝ a15＋ a61.
通性通法
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列
的通项公式，只需求出首项与公差即可；
（2）等差数列{ an }的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 中共含有四个参
数，即 a1， d ， n ， an ，如果知道了其中的任意三个参数，那么
就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我
们通常称之为“知三求一”.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡月考）2 024是等差数列4，6，8，…的（ ）
A. 第1 009项 B. 第1 010项
C. 第1 011项 D. 第1 012项
解析： ∵此等差数列的公差 d ＝2， a1＝4，∴ an ＝4＋（ n －
1）×2＝2 n ＋2，令2 024＝2 n ＋2，解得 n ＝1 011.
2. 在等差数列{ an }中，
（1）已知 a1＝6， d ＝3，求 a8；
解：∵ a1＝6， d ＝3，∴ an ＝6＋3（ n －1）＝3 n ＋3，
∴ a8＝3×8＋3＝27.
（2）已知 a7＝ ， d ＝－2，求 a1；
解：∵ a7＝ a1＋6 d ＝ a1－12＝ ，∴ a1＝ .
（3）已知 a2＝12， an ＝－20， d ＝－2，求 n ；
解：∵ a2＝12， d ＝－2，∴ a1＝ a2－ d ＝12－（－2）＝14，
∴ an ＝14－2（ n －1）＝16－2 n ，令16－2 n ＝－20，∴ n ＝18.
（4）已知 a4＝10， a10＝4，求 a7和 d .
解：法一 由题意知解得
∴ a7＝13＋6×（－1）＝7.
法二 ∵ a4＝10， a10＝4，∴ d ＝ ＝－1，
∴ an ＝ a4＋（ n －4）×（－1）＝－ n ＋14，
∴ a7＝－7＋14＝7.
题型三 等差数列的实际应用
【例4】 （链接教科书第144页例5）某公司经销一种数码产品，第
一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润
每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不开发新产
品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第 n 年的利润为 an 万元，
则 a1＝200， an＋1－ an ＝－20（ n ∈N*），
∴每年的利润构成一个等差数列{ an }，
从而 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝200＋（ n －1）×（－20）＝220－20 n .
若 an ＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由 an ＝220－20 n ＜0，得 n ＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤
提醒 在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关
键问题.
【跟踪训练】
（2024·盐城质检）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10
元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租
车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车
费 元.
23.2
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{ an }来计算车
费.令 a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差 d ＝1.2，那么当出租车行
至14 km处时， n ＝11，此时需要支付车费 a11＝11.2＋（11－1）
×1.2＝23.2（元）.
1. 已知等差数列{ an }的通项公式为 an ＝3－4 n ，则数列{ an }的首项与
公差分别是（ ）
A. 1，4 B. －1，－4
C. 4，1 D. －4，－1
解析： 因为当 n ＝1时， a1＝－1，当 n ＝2时， a2＝3－4×2＝－
5，所以公差 d ＝ a2－ a1＝－4.
2. 已知数列{ an }中各项均为非负数， a2＝1， a5＝16，若数列{ }
为等差数列，则 a13＝（ ）
A. 169 B. 144
C. 12 D. 13
解析： 由题意 a2＝1， a5＝16，所以 ＝1， ＝4，又因为
数列{ }是等差数列，所以 d ＝ ＝1，且 ＝0满足各项
为非负数，则有 ＝ ＋（13－1） d ＝12，可得 a13＝122＝
144.故选B.
3. 在等差数列{ an }中，已知 a4＝10， a14＝70，则 an ＝ .
解析：法一 设公差为 d ，则解得所
以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝6 n －14.
6 n －14
法二 设公差为 d ，则 d ＝ ＝ ＝6， an ＝ a4＋（ n －4）· d ＝10
＋6（ n －4）＝6 n －14.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列 中， a1＝5， an＋1＝ an ＋3，那么这个数列的通项公式是
（ ）
A. an ＝3 n －1 B. an ＝3 n ＋2
C. an ＝3 n －2 D. an ＝3 n ＋1
解析： 因为 an＋1－ an ＝3，所以数列 是以5为首项，3为公
差的等差数列，则 an ＝5＋3 ＝3 n ＋2， n ∈N*.
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2. 已知在等差数列 中， a1＝1， d ＝3，则当 an ＝298时， n ＝
（ ）
A. 90 B. 96
C. 98 D. 100
解析： 由题意知1＋3（ n －1）＝298，解得 n ＝100.
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3. 在等差数列 中， a3＋ a9＝32， a2＝4，则 a10＝（ ）
A. 25 B. 28
C. 31 D. 34
解析： 因为在等差数列 中， a3＋ a9＝32， a2＝4，所以2 a1
＋10 d ＝32， a1＋ d ＝4，解得 a1＝1， d ＝3，所以 a10＝ a1＋9 d ＝
28.
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4. （2024·淮安月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五
尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”
意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一
端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重
多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等
差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
D. 3斤
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解析： 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设
首项为 a1＝4，则 a5＝2，设公差为 d ，则2＝4＋4 d ，解得 d ＝－
，所以 a2＝4－ ＝ .
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5. 等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（ ）
A. 第7项 B. 第8项
C. 第9项 D. 第10项
解析： ∵ a1＝20， d ＝－3，∴ an ＝20＋（ n －1）×（－
3）＝23－3 n ，∴ a7＝2＞0， a8＝－1＜0.故数列中第一个负数
项是第8项.
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6. （多选）在数列{ an }中，已知 a2＝2， a6＝0，且数列 是等差
数列，公差为 d ，则（ ）
B. a3＝1
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解析： 由题意得解得
因此 ＝ ＋3 d ＝ ，故 a4＝ ， ＝ ＋2 d ＝ ，解得
a3＝1.
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7. 在等差数列{ an }中，若 a2＝4， a4＝2，则 a6＝ .
解析：由题意知，解得
∴ a6＝ a1＋5 d ＝0.
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8. 在数列{ an }中，若 ＝ ＋ ， a1＝8，则数列{ an }的通项
公式为 .
解析：由题意得 － ＝ ，故数列{ }是首项为
＝2 ，公差为 的等差数列，所以 ＝2 ＋ （ n －1）＝
n ＋ ，故 an ＝2（ n ＋1）2.
an ＝2（ n ＋1）2
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9. 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排
头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都
比前一位多7，则队伍里一共有 人.
解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为
17，公差为7，末项为150，设末项为第 n 项，则17＋7（ n －1）＝
150，解得 n ＝20，则队伍里一共有20人.
20
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10. 在等差数列{ an }中，
（1）已知 a1＝2， d ＝3，求 a10；
解：a10＝ a1＋（10－1） d ＝2＋9×3＝29.
（2）已知 a1＝3， an ＝21， d ＝2，求 n .
解：由 an ＝ a1＋（ n －1） d ，得3＋2（ n －1）＝21，
解得 n ＝10.
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11. （2024·泰州月考）一个等差数列的首项为 ，从第10项起各项都
比1大，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是（ ）
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解析：由题意可得即解得 ＜ d ≤ .
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12. （多选）若{ an }是等差数列，则下列数列为等差数列的有
（ ）
A. { an ＋3}
C. { an＋1＋ an } D. {2 an ＋ n }
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解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，则 an＋1－ an ＝ d .对于
A， an＋1＋3－（ an ＋3）＝ an＋1－ an ＝ d ，为常数，因此{ an ＋3}
是等差数列；对于B， － ＝（ an＋1＋ an ）（ an＋1－ an ）＝
d [2 a1＋（2 n －1） d ]，不为常数，因此{ }不是等差数列；对
于C，（ an＋2＋ an＋1）－（ an＋1＋ an ）＝ an＋2－ an ＝2 d ，为常
数，因此{ an＋1＋ an }是等差数列；对于D，2 an＋1＋（ n ＋1）－
（2 an ＋ n ）＝2（ an＋1－ an ）＋1＝2 d ＋1，为常数，因此{2 an ＋
n }是等差数列.故选A、C、D.
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13. 数列{ an }的首项 a1＝ ， a3＝ 且对任意 n ∈N*， － ＝1恒
成立，则 a10＝ .
解析：因为 － ＝1，且 a1＝ ，则数列 是以2为首项，1
为公差的等差数列，所以 ＝2＋（ n －1）×1＝ n ＋1，则 an ＝
，所以 a10＝ ＝ .
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14. 在等差数列{ an }中， a1＝23，公差 d 为整数，若 a6＞0， a7＜0.
（1）求公差 d 的值；（2）求{ an }的通项公式.
解：（1）因为{ an }是等差数列， a1＝23， a6＞0， a7＜0，
所以解得－ ＜ d ＜－ .
又公差 d 为整数，所以 d ＝－4.
（2）因为等差数列{ an }的首项为23，公差为－4，
所以 an ＝23－4（ n －1）＝－4 n ＋27.
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15. 某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改
为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每
多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低
于160元.设 an 为购买 n 件这类上衣所花费的金额（单位：元），
求 an .
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解：设当购买 n 件这类上衣时，每件的单价为 bn 元，
则每件的价格组成以 b1＝265为首项，－15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，
则265＋（ n －1）·（－15）≥160，解得 n ≤8.
所以当 n ＞8时， bn ＝160.
综上所述，得 bn ＝ n ∈N*.
从而 an ＝ n ∈N*.
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谢 谢 观 看！
