第2课时 等差数列的性质
1.在等差数列{an}中，a6＝5，a10＝6，则公差d＝（ ）
A. B.
C.2 D.－
2.已知等差数列{an}满足a20－a22＝2，a1 011＝1 012，则a2 024＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.2 024
3.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（ ）
A.12 B.8
C.6 D.4
4.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（ ）
A.7 B.5
C.3 D.1
5.已知{an}为等差数列，且a4，a14是方程x2－4x－15＝0的两根，则a9＝（ ）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
6.（多选）已知a，b，c成等差数列，则（ ）
A.a2，b2，c2一定成等差数列
B.2a，2b，2c可能成等差数列
C.ka＋2，kb＋2，kc＋2（k为常数）一定成等差数列
D.，，可能成等差数列
7.（2024·湖州月考）已知等差数列{an}，若a1＋a5＋a9＝2π，则sin（a2＋a8）＝ .
8.如果等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为 的等差数列.
9.等差数列，满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝ .
10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
11.已知圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 025，则其公差为（ ）
A. B. C. D.
12.（2024·南京月考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二.问物几何？”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{an}，{bn}，{an}满足被3除余2，a1＝2，{bn}满足被5除余2，b1＝2，把数列{an}与{bn}相同的项从小到大组成一个新数列，记为{cn}，则下列说法正确的是（ ）
A.c2＝a1＋b1 B.c6＝a2b3
C.c10＝a46 D.a1＋2b2＝c4
13.（多选）已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（ ）
A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0
C.a3＋a99＝0 D.a51＜a50
14.已知在等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}.
（1）求新数列的通项公式；
（2）a50是新数列的第几项？
15.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}.
（1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B；
（2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1.
第2课时 等差数列的性质
1.A 在等差数列{an}中，a10－a6＝4d＝6－5＝1，所以d＝.故选A.
2.A 在等差数列{an}中，设公差为d.由a20－a22＝2，得2d＝－2，即d＝－1.∴a2 024＝a1 011＋1 013d＝1 012－1 013＝－1.故选A.
3.B 由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
4.D 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1.
5.C 由a4，a14是方程x2－4x－15＝0的两根，可得a4＋a14＝4，又由数列{an}为等差数列，可得a4＋a14＝2a9，所以a9＝2.故选C.
6.BCD 对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，此时a2，b2，c2不成等差数列，故A错误；对于B，令a＝b＝c，则2a＝2b＝2c，此时2a，2b，2c是公差为0的等差数列，故B正确；对于C，∵a，b，c成等差数列，∴b－a＝c－b＝m（m为常数）.又（kb＋2）－（ka＋2）＝k（b－a），（kc＋2）－（kb＋2）＝k（c－b），∴（kb＋2）－（ka＋2）＝（kc＋2）－（kb＋2）＝km（km为常数），∴ka＋2，kb＋2，kc＋2（k为常数）为等差数列，故C正确；对于D，令a＝b＝c≠0，则＝＝，此时，，是公差为0的等差数列，故D正确.故选B、C、D.
7.－ 解析：已知等差数列{an}，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝2π，则a5＝，所以a2＋a8＝2a5＝，故sin （a2＋a8）＝sin＝－.
8.4 解析：因为数列{an}是等差数列，且a3－a1＝6－2＝4，所以2d＝4，即d＝2，则an＝2＋2（n－1）＝2n，所以2an－3＝4n－3，则（4n－3）－＝4，所以数列{2an－3}是公差为4的等差数列.
9.1 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1.
10.解：（1）法一 根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二 设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝.
（2）设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11.B 因为圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，其中最短弦长为a1＝2＝8，最长弦长为a2 025＝2×5＝10，所以等差数列{an}的公差为d＝＝＝.故选B.
12.C 由条件可知an＝2＋3（n－1）＝3n－1，bn＝2＋5（n－1）＝5n－3，cn＝2＋15（n－1）＝15n－13.对于A，c2＝17，a1＋b1＝4，所以A错误；对于B，c6＝77，a2b3＝60，所以B错误；对于C，c10＝137，a46＝137，所以C正确；对于D，a1＋2b2＝16，c4＝47，所以D错误.
13.CD 根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D.
14.解：（1）an＝a5＋（n－5）d＝4n－16.
在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12，
公差d'＝d＝，
∴bn＝－12＋（n－1）＝n－.
（2）由a50＝184＝n－，
得n＝148.
∴a50是新数列的第148项.
15.解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，
当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}.
（2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）.
此时，集合B中的元素有以下大小关系：
2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an.
因此，集合B中含有2n－1个元素.
2 / 2第2课时 等差数列的性质
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点一 等差中项
1.条件：如果三个数a，A，b成 数列.
2.结论：那么A叫作a与b的 .
3.满足的关系式：2A＝ .
【想一想】
任何两个数都有等差中项吗？
知识点二 等差数列项的运算性质
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
（1）an＝am＋ d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）；
（2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝ ；
特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）；
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
【想一想】
1.若{an}为等差数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），则am＋an＝ap一定成立吗？
2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定成等差数列.（ ）
（2）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（ ）
（3）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列.（ ）
2.2与8的等差中项是（ ）
A.－5 B.5 C.4 D.±4
3.已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d＝ .
题型一 等差中项及应用
【例1】 （链接教科书第147页习题11题）（1）已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为 ；
（2）已知△ABC中的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为 .
通性通法
等差中项的应用策略
（1）求两个数x，y的等差中项A，根据等差中项的定义得A＝；
（2）证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
【跟踪训练】
1.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是（ ）
A.a＝－b
B.a＝3b
C.a＝－b或a＝3b
D.a＝b＝0
2.已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的等差中项为 .
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 （1）在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，则此数列的通项公式an＝ ；
（2）如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝ .
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【跟踪训练】
1.在等差数列{an}中，a2＋3a8＋a14＝100，则2a9－a10＝（ ）
A.20 B.18
C.16 D.－8
2.已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ .
题型三 由等差数列衍生的新数列
【例3】 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是（ ）
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为d2的等差数列
D.公差为4d的等差数列
（2）若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为 .
通性通法
由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数）
【跟踪训练】
1.（2024·徐州月考）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ .
2.（2024·南通质检）已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝ ；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是 .
1.在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有（ ）
A.a5＝4 B.a6＝4
C.a5＝2 D.a6＝2
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（ ）
A.5 B.8
C.10 D.14
3.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（ ）
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
4.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
第2课时 等差数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.等差 2.等差中项 3.a＋b
想一想
提示：任何两个数都有等差中项.
知识点二
（1）（n－m） （2）as＋at （3）和
想一想
1.提示：不一定.如数列1，2，3，4，…，满足a1＋a2＝a3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a1＋a2＝a3.
2.提示：成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为（n－m）d.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 设2与8的等差中项是x，则2x＝2＋8，解得x＝5.
3.－1 解析：等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则a9＝a3＋6d，即3＝9＋6d，解得d＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）3 （2）等边三角形
解析：（1）依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m与n的等差中项为3.
（2）因为a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，所以则4b＝（＋）2＝a＋c＋2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b.所以△ABC为等边三角形.
跟踪训练
1.C 由等差中项的定义知x＝，x2＝，所以＝（）2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
2.11 解析：因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝（2a－1）＋（2a＋1），解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等差中项为＝11.
【例2】 （1）2n＋1（n∈N*） （2）28
解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1，n∈N*.
（2）因为a3＋a4＋a5＝12，所以3a4＝12，则a4＝4.又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
跟踪训练
1.A 因为a2＋3a8＋a14＝5a8＝100，所以a8＝20.因为2a9＝a10＋a8，所以2a9－a10＝a8＝20，故选A.
2.8 解析：法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.
法二 由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8.
【例3】 （1）C （2）9d 解析：（1）由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，所以当n∈N*时，dan＋1－dan＝d（an＋1－an）＝d2.
（2）由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d.
跟踪训练
1.35 解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2.因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35.
2.12n－1 25 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，又n∈N*，故{cn}的项数为25.
随堂检测
1.C 因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
2.B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
3.C 因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
4.解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
4 / 4(共57张PPT)
第2课时 等差数列的性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
知识点一 等差中项
1. 条件：如果三个数 a ， A ， b 成 数列.
2. 结论：那么 A 叫作 a 与 b 的 .
3. 满足的关系式：2 A ＝ .
等差
等差中项
a ＋ b
【想一想】
任何两个数都有等差中项吗？
提示：任何两个数都有等差中项.
知识点二 等差数列项的运算性质
设等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，则
（1） an ＝ am ＋ d ， d ＝ （ m ， n ∈N*，且 m ≠
n ）；
（2）若 m ＋ n ＝ s ＋ t ，则 am ＋ an ＝ ；
特别地，若 m ＋ n ＝2 p ，则 am ＋ an ＝2 ap （ m ， n ， s ， t ， p
∈N*）；
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末
两项的 ，即 a1＋ an ＝ a2＋ an－1＝…＝ ak ＋ an－ k＋1＝….
（ n － m ）
as ＋ at
和
【想一想】
1. 若{ an }为等差数列，且 m ＋ n ＝ p （ m ， n ， p ∈N*），则 am ＋ an
＝ ap 一定成立吗？
提示：不一定.如数列1，2，3，4，…，满足 a1＋ a2＝ a3；而数列
1，1，1，1，…，则不满足 a1＋ a2＝ a3.
2. 在等差数列{ an }中，若 m ， n ， p ， q ，…成等差数列，那么 am ，
an ， ap ， aq ，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
提示：成等差数列，若{ an }的公差为 d ，则 am ， an ， ap ， aq ，…
的公差为（ n － m ） d .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若三个数 a ， b ， c 满足 a ＋ c ＝2 b ，则 a ， b ， c 一定成等差
数列. （ √ ）
（2）若数列 a1， a2， a3， a4，…是等差数列，则数列 a1， a3，
a5，…也是等差数列. （ √ ）
（3）若{ an }是等差数列，则{｜ an ｜}也是等差数列. （ × ）
√
√
×
2.2与8的等差中项是（ ）
A. －5 B. 5 C. 4 D. ±4
解析： 设2与8的等差中项是 x ，则2 x ＝2＋8，解得 x ＝5.
3. 已知等差数列{ an }中， a3＝9， a9＝3，则公差 d ＝ .
解析：等差数列{ an }中， a3＝9， a9＝3，则 a9＝ a3＋6 d ，即3＝9
＋6 d ，解得 d ＝－1.
－1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差中项及应用
【例1】 （链接教科书第147页习题11题）（1）已知2 m 与 n 的等差
中项为5， m 与2 n 的等差中项为4，则 m 与 n 的等差中项为 ；
解析：依题意可得2 m ＋ n ＝10， m ＋2 n ＝8，两式相加得
3 m ＋3 n ＝18，所以 m ＋ n ＝6，故 m 与 n 的等差中项为3.
3
（2）已知△ ABC 中的三边 a ， b ， c 成等差数列， ， ， 也成
等差数列，则△ ABC 的形状为 .
解析：因为 a ， b ， c 成等差数列， ， ， 也成等
差数列，所以则4 b ＝（ ＋ ）2＝ a ＋ c ＋
2 ，即 a ＋ c ＝2 ，所以（ － ）2＝0，故 a ＝ c ＝ b .
所以△ ABC 为等边三角形.
等边三角形
通性通法
等差中项的应用策略
（1）求两个数 x ， y 的等差中项 A ，根据等差中项的定义得 A ＝
；
（2）证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中
项即可，即若 a ， b ， c 成等差数列，则 a ＋ c ＝2 b ；反之，若 a
＋ c ＝2 b ，则 a ， b ， c 成等差数列.
【跟踪训练】
1. 设 x 是 a 与 b 的等差中项， x2是 a2与－ b2的等差中项，则 a ， b 的关
系是（ ）
A. a ＝－ b B. a ＝3 b
C. a ＝－ b 或 a ＝3 b D. a ＝ b ＝0
解析： 由等差中项的定义知 x ＝ ， x2＝ ，所以
＝（ ）2，即 a2－2 ab －3 b2＝0.故 a ＝－ b 或 a ＝3 b .
2. 已知 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中项，则3 a －5和4 a ＋6的等差
中项为 .
解析：因为 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中项，所以2（ a ＋3）＝
（2 a －1）＋（2 a ＋1），解得 a ＝3，则3 a －5＝4，4 a ＋6＝18，
所以3 a －5和4 a ＋6的等差中项为 ＝11.
11
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 （1）在等差数列{ an }中，已知 a2＝5， a8＝17，则此数列
的通项公式 an ＝ ；
解析：设等差数列{ an }的公差为 d ，因为 a8＝ a2＋（8－2） d ，所以
17＝5＋6 d ，解得 d ＝2.又因为 an ＝ a2＋（ n －2） d ，所以 an ＝5＋
（ n －2）×2＝2 n ＋1， n ∈N*.
2 n ＋1（ n ∈N*）
（2）如果在等差数列{ an }中， a3＋ a4＋ a5＝12，那么 a1＋ a2＋…＋ a7
＝ .
解析：因为 a3＋ a4＋ a5＝12，所以3 a4＝12，则 a4＝4.又 a1＋ a7
＝ a2＋ a6＝ a3＋ a5＝2 a4，故 a1＋ a2＋…＋ a7＝7 a4＝28.
28
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于 a1， d 的方程（组），确定
a1， d ，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足 m ＋ n ＝ p ＋ q
＝2 r （ m ， n ， p ， q ， r ∈N*），则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ＝2 ar .
【跟踪训练】
1. 在等差数列{ an }中， a2＋3 a8＋ a14＝100，则2 a9－ a10＝（ ）
A. 20 B. 18
C. 16 D. －8
解析： 因为 a2＋3 a8＋ a14＝5 a8＝100，所以 a8＝20.因为2 a9＝
a10＋ a8，所以2 a9－ a10＝ a8＝20，故选A.
2. 已知{ bn }为等差数列，若 b3＝－2， b10＝12，则 b8＝ .
解析：法一 ∵{ bn }为等差数列，∴可设其公差为 d ，则 d ＝
＝ ＝2，∴ bn ＝ b3＋（ n －3） d ＝2 n －8.∴ b8＝
2×8－8＝8.
8
法二 由 ＝ ＝ d ，得 b8＝ ×5＋ b3＝2×5＋（－2）
＝8.
题型三 由等差数列衍生的新数列
【例3】 （1）若数列{ an }是公差为 d 的等差数列，则数列{ dan }是
（ C ）
A. 公差为 d 的等差数列
B. 公差为2 d 的等差数列
C. 公差为 d2的等差数列
D. 公差为4 d 的等差数列
解析：由于数列{ an }是公差为 d 的等差数列，因此，当 n ∈N*时， an＋
1－ an ＝ d ，所以当 n ∈N*时， dan＋1－ dan ＝ d （ an＋1－ an ）＝ d2.
（2）若等差数列{ an }的公差为 d ，则 a1＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋
a8＋ a9的公差为 .
解析：由等差数列的性质可知， a1＋ a2＋ a3＝3 a2， a4＋ a5＋ a6
＝3 a5， a7＋ a8＋ a9＝3 a8，由3 a5－3 a2＝3 a8－3 a5＝9 d 可知， a1
＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋ a8＋ a9的公差为9 d .
9 d
通性通法
由等差数列衍生的新数列
若{ an }，{ bn }分别是公差为 d ，d'的等差数列，则有
数列 结论
{ c ＋ an } 公差为 d 的等差数列（ c 为任一常数）
{ c · an } 公差为 cd 的等差数列（ c 为任一常数）
{ an ＋ an＋ k } 公差为 kd 的等差数列（ k 为常数， k ∈N*）
{ pan ＋ qbn } 公差为 pd ＋qd'的等差数列（ p ， q 为常数）
【跟踪训练】
1. （2024·徐州月考）设数列{ an }，{ bn }都是等差数列.若 a1＋ b1＝
7， a3＋ b3＝21，则 a5＋ b5＝ .
解析：设数列{ an }，{ bn }的公差分别为 d1， d2.因为 a3＋ b3＝（ a1
＋2 d1）＋（ b1＋2 d2）＝（ a1＋ b1）＋2（ d1＋ d2）＝7＋2（ d1＋
d2）＝21，所以 d1＋ d2＝7.所以 a5＋ b5＝（ a3＋ b3）＋2（ d1＋ d2）
＝21＋2×7＝35.
35
2. （2024·南通质检）已知两个等差数列{ an }：5，8，11，…，与
{ bn }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{ cn }，则数列{ cn }的
通项公式 cn ＝ ；若数列{ an }和{ bn }的项数均为100，则
{ cn }的项数是 .
解析：由于数列{ an }和{ bn }都是等差数列，所以{ cn }也是等差数
列，且公差为3×4＝12，又 c1＝11，故 cn ＝11＋12（ n －1）＝12 n
－1.又 a100＝302， b100＝399，所以解得1≤
n ≤25.25，又 n ∈N*，故{ cn }的项数为25.
12 n －1
25
1. 在等差数列{ an }中， a3＋ a7＝4，则必有（ ）
A. a5＝4 B. a6＝4
C. a5＝2 D. a6＝2
解析： 因为 a3＋ a7＝2 a5＝4，所以 a5＝2.
2. 在等差数列{ an }中， a1＝2， a3＋ a5＝10，则 a7＝（ ）
A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
解析： 由等差数列的性质可得 a1＋ a7＝ a3＋ a5＝10，又因为 a1
＝2，所以 a7＝8.
3. 由公差 d ≠0的等差数列{ an }组成一个新的数列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3
＋ a5，…，下列说法正确的是（ ）
A. 新数列不是等差数列
B. 新数列是公差为 d 的等差数列
C. 新数列是公差为2 d 的等差数列
D. 新数列是公差为3 d 的等差数列
解析： 因为（ an＋1＋ an＋3）－（ an ＋ an＋2）＝（ an＋1－ an ）＋
（ an＋3－ an＋2）＝2 d ，所以数列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3＋ a5，…是公
差为2 d 的等差数列.
4. 在－1与7之间顺次插入三个数 a ， b ， c ，使这五个数成等差数
列，求此数列.
解：∵－1， a ， b ， c ，7成等差数列，
∴ b 是－1与7的等差中项，∴ b ＝ ＝3.
又 a 是－1与3的等差中项，∴ a ＝ ＝1.
又 c 是3与7的等差中项，∴ c ＝ ＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在等差数列{ an }中， a6＝5， a10＝6，则公差 d ＝（ ）
C. 2
解析： 在等差数列{ an }中， a10－ a6＝4 d ＝6－5＝1，所以 d ＝
.故选A.
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2. 已知等差数列{ an }满足 a20－ a22＝2， a1 011＝1 012，则 a2 024＝
（ ）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 2 024
解析： 在等差数列{ an }中，设公差为 d .由 a20－ a22＝2，得2 d
＝－2，即 d ＝－1.∴ a2 024＝ a1 011＋1 013 d ＝1 012－1 013＝－1.故
选A.
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3. 已知等差数列{ an }的公差为 d （ d ≠0），且 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝
32，若 am ＝8，则 m ＝（ ）
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
解析： 由等差数列性质得， a3＋ a6＋ a10＋ a13＝（ a3＋ a13）＋
（ a6＋ a10）＝2 a8＋2 a8＝4 a8＝32，∴ a8＝8，又 d ≠0，∴ m ＝8.
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4. 已知数列{ an }，{ bn }为等差数列，且公差分别为 d1＝2， d2＝1，则
数列{2 an －3 bn }的公差为（ ）
A. 7 B. 5
C. 3 D. 1
解析： 由于{ an }，{ bn }为等差数列，故数列{2 an －3 bn }的公差
d ＝（2 an＋1－3 bn＋1）－（2 an －3 bn ）＝2（ an＋1－ an ）－3（ bn＋1
－ bn ）＝2 d1－3 d2＝1.
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5. 已知{ an }为等差数列，且 a4， a14是方程 x2－4 x －15＝0的两根，则
a9＝（ ）
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析： 由 a4， a14是方程 x2－4 x －15＝0的两根，可得 a4＋ a14＝
4，又由数列{ an }为等差数列，可得 a4＋ a14＝2 a9，所以 a9＝2.故
选C.
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6. （多选）已知 a ， b ， c 成等差数列，则（ ）
A. a2， b2， c2一定成等差数列
B. 2 a ，2 b ，2 c 可能成等差数列
C. ka ＋2， kb ＋2， kc ＋2（ k 为常数）一定成等差数列
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解析： 对于A，取 a ＝1， b ＝2， c ＝3，则 a2＝1， b2＝4，
c2＝9，此时 a2， b2， c2不成等差数列，故A错误；对于B，令 a ＝ b
＝ c ，则2 a ＝2 b ＝2 c ，此时2 a ，2 b ，2 c 是公差为0的等差数列，故B
正确；对于C，∵ a ， b ， c 成等差数列，∴ b － a ＝ c － b ＝ m （ m
为常数）.又（ kb ＋2）－（ ka ＋2）＝ k （ b － a ），（ kc ＋2）－
（ kb ＋2）＝ k （ c － b ），∴（ kb ＋2）－（ ka ＋2）＝（ kc ＋2）
－（ kb ＋2）＝ km （ km 为常数），∴ ka ＋2， kb ＋2， kc ＋2（ k
为常数）为等差数列，故C正确；对于D，令 a ＝ b ＝ c ≠0，则 ＝
＝ ，此时 ， ， 是公差为0的等差数列，故D正确.故选B、C、D.
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7. （2024·湖州月考）已知等差数列{ an }，若 a1＋ a5＋ a9＝2π，则 sin
（ a2＋ a8）＝ .
解析：已知等差数列{ an }，所以 a1＋ a5＋ a9＝3 a5＝2π，则 a5＝
，所以 a2＋ a8＝2 a5＝ ，故 sin （ a2＋ a8）＝ sin ＝－ .
－
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8. 如果等差数列{ an }中， a1＝2， a3＝6，则数列{2 an －3}是公差
为 的等差数列.
解析：因为数列{ an }是等差数列，且 a3－ a1＝6－2＝4，所以2 d ＝
4，即 d ＝2，则 an ＝2＋2（ n －1）＝2 n ，所以2 an －3＝4 n －3，
则（4 n －3）－ ＝4，所以数列{2 an －3}是公差为4
的等差数列.
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9. 等差数列 ， 满足对任意 n ∈N*都有 ＝ ，则 ＋
＝ .
解析：由等差数列的性质可得 b3＋ b9＝ b4＋ b8＝2 b6， a7＋ a5＝2
a6，所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝1.
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10. （1）已知等差数列{ an }中， a2＋ a6＋ a10＝1，求 a4＋ a8的值；
解：法一 根据等差数列的性质得 a2＋ a10＝ a4＋ a8＝2 a6，
由 a2＋ a6＋ a10＝1，
得3 a6＝1，解得 a6＝ ，
∴ a4＋ a8＝2 a6＝ .
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法二 设公差为 d ，根据等差数列的通项公式，
得 a2＋ a6＋ a10＝（ a1＋ d ）＋（ a1＋5 d ）＋（ a1＋9 d ）＝3 a1＋15d ，
由题意知，3 a1＋15 d ＝1，即 a1＋5 d ＝ .
∴ a4＋ a8＝2 a1＋10 d ＝2（ a1＋5 d ）＝ .
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解：设公差为 d （ d ＞0），∵ a1＋ a3＝2 a2，
∴ a1＋ a2＋ a3＝15＝3 a2，∴ a2＝5.
又 a1 a2 a3＝80，{ an }是公差为正数的等差数列，
∴ a1 a3＝（5－ d ）（5＋ d ）＝16 d ＝3或 d ＝－3（舍去），
∴ a12＝ a2＋10 d ＝35， a11＋ a12＋ a13＝3 a12＝105.
（2）设{ an }是公差为正数的等差数列，若 a1＋ a2＋ a3＝15， a1 a2
a3＝80，求 a11＋ a12＋ a13的值.
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11. 已知圆 O 的半径为5，且 OP ＝3，过点 P 的2 025条弦的长度组成一
个等差数列{ an }，最短弦长为 a1，最长弦长为 a2 025，则其公差为
（ ）
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解析： 因为圆 O 的半径为5，且 OP ＝3，过点 P 的2 025条弦的
长度组成一个等差数列{ an }，其中最短弦长为 a1＝2 ＝
8，最长弦长为 a2 025＝2×5＝10，所以等差数列{ an }的公差为 d ＝
＝ ＝ .故选B.
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12. （2024·南京月考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载有一道
数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二.问
物几何？”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正
整数 N ，使 N 除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小
到大排列的所有正整数数列{ an }，{ bn }，{ an }满足被3除余2， a1
＝2，{ bn }满足被5除余2， b1＝2，把数列{ an }与{ bn }相同的项从
小到大组成一个新数列，记为{ cn }，则下列说法正确的是（ ）
A. c2＝ a1＋ b1 B. c6＝ a2 b3
C. c10＝ a46 D. a1＋2 b2＝ c4
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解析： 由条件可知 an ＝2＋3（ n －1）＝3 n －1， bn ＝2＋5（ n
－1）＝5 n －3， cn ＝2＋15（ n －1）＝15 n －13.对于A， c2＝
17， a1＋ b1＝4，所以A错误；对于B， c6＝77， a2 b3＝60，所以B
错误；对于C， c10＝137， a46＝137，所以C正确；对于D， a1＋2
b2＝16， c4＝47，所以D错误.
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13. （多选）已知等差数列{ an }满足 a1＞0，且 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101
＝0，则（ ）
A. a1＋ a101＞0 B. a1＋ a101＜0
C. a3＋ a99＝0 D. a51＜ a50
解析： 根据等差数列的性质，得 a1＋ a101＝ a2＋ a100＝…＝
a50＋ a52＝2 a51，因为 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，所以101 a51＝0，
所以 a1＋ a101＝ a3＋ a99＝2 a51＝0.又 a1＞0，所以 d ＜0， a51＝ a50
＋ d ＜ a50，故选C、D.
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14. 已知在等差数列{ an }中， a5＝4，公差 d ＝4.若在每相邻两项中各
插入两个数，使之成等差数列{ bn }.
（1）求新数列的通项公式；
解：an ＝ a5＋（ n －5） d ＝4 n －16.
在新数列{ bn }中， b1＝ a1＝－12，
公差d'＝ d ＝ ，
∴ bn ＝－12＋ （ n －1）＝ n － .
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（2） a50是新数列的第几项？
解：由 a50＝184＝ n － ，得 n ＝148.
∴ a50是新数列的第148项.
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15. 给定整数 n （ n ≥4），设集合 A ＝{ a1， a2，…， an }，记集合 B
＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }.
（1）若 A ＝{－3，0，1，2}，求集合 B ；
解：因为 B ＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }，
当 A ＝{－3，0，1，2}时， ai ＋ aj ＝－6，－3，－2，－1，
0，1，2，3，4，所以 B ＝{－6，－3，－2，－1，0，1，
2，3，4}.
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（2）若 a1， a2，…， an 构成以 a1为首项， d （ d ＞0）为公差的等
差数列，求证：集合 B 中的元素个数为2 n －1.
解：证明：因为 a1， a2，…， an 构成以 a1为首项， d
（ d ＞0）为公差的等差数列，所以有 ai－1＋ an ＝ ai ＋ an－1
（2≤ i ≤ n －2），2 ai ＝ ai－1＋ ai＋1（2≤ i ≤ n －1）.
此时，集合 B 中的元素有以下大小关系：
2 a1＜ a1＋ a2＜ a1＋ a3＜…＜ a1＋ an ＜ a2＋ an ＜ a3＋ an ＜…
＜ an－1＋ an ＜2 an .
因此，集合 B 中含有2 n －1个元素.
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