第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝（ ）
A.24 B.25 C.26 D.27
2.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝（ ）
A.10 B.100 C.110 D.120
3.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3（n∈N*），则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.已知等差数列前3项的和为34，后3项的和为146，所有项的和为390，则这个数列的项数为（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
5.（多选）已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A.a7＝0 B.S13＝0
C.S7最小 D.S5＝S8
6.（多选）（2024·常州月考）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
7.已知等差数列{an}的首项a1＝7，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为 .
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 m.
9.已知等差数列{an}的首项a1＝0，等差数列{bn}的首项b1＝－4，{an}和{bn}的前m项和分别为Sm，S'm，若Sm＋S'm＝0，则am＋bm＝ .
10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月.
（1）分期付款的第10个月应付多少钱？
（2）全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？
11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（ ）
A.2n－25 B.2n－27
C.3n－15 D.3n－18
12.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（ ）
A.d＜0
B.S11＞0
C.S12＜0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
13.（2024·徐州月考）现有100根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 .
14.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若不等式Sn＞t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围.
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.A ∵S9＝9a5，∴a5＝8，∴a2＋a4＋a9＝（a2＋a9）＋a4＝（a5＋a6）＋a4＝3a5＝24，故选A.
2.B ∵{an}是等差数列，a1＝1，∴{}也是等差数列且首项为＝1.又－＝2，∴{}的公差是1，∴＝1＋（10－1）×1＝10，∴S10＝100.
3.B 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋（n－1）×（－3）＝22－3n.由前n项和最大，则有所以所以≤n≤.因为n∈N*，所以n＝7.故满足条件的n的值为7.
4.A 设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn.由题意得，a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，∴（a1＋a2＋a3）＋（an－2＋an－1＋an）＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＝3（a1＋an）＝34＋146，∴a1＋an＝60.又Sn＝，∴390＝，解得n＝13，故选A.
5.ABD 根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确.
6.ABD 显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确.
7.16 解析：等差数列{an}的首项a1＝7，公差d＝－2，∴Sn＝7n＋×（－2）＝－n2＋8n＝－（n－4）2＋16.则前n项和Sn的最大值为16.
8.2 000 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（m）.
9.4 解析：法一 由等差数列的前n项和公式，得Sm＋S'm＝＋＝0，所以am＋bm＝－（a1＋b1）＝4.
法二 由于数列{an}，{bn}是等差数列，因此数列{an＋bn}也是等差数列.由条件知该数列的首项为a1＋b1＝－4，前m项的和为0.根据等差数列的前n项和公式得0＝＝.故am＋bm＝4.
10.解：（1）购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）.
由n＝10，得a10＝60－0.5×9＝55.5，
故第10个月应付55.5元.
（2）全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 255.
故全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元.
11.B 设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B.
12.AB ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
13.9 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝13时，S13＝91；当n＝14时，S14＝105＞100.∴当n＝13时，剩余钢管根数最少，为9根.
14.解：（1）由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋（n－1）d＝11－2n.
（2）法一 由a1＝9，d＝－2，
得Sn＝9n＋·（－2）＝－n2＋10n＝－（n－5）2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二 由（1）知a1＝9，d＝－2＜0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
15.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
S5＝5×＝5a3＝－55，
所以a3＝－11，所以d＝＝＝2.所以an＝a1＋（n－1）d＝－15＋（n－1）×2＝2n－17.
（2）由（1）知，an＝2n－17，所以Sn＝＝＝n（n－16）＝（n－8）2－64，
所以（Sn）min＝－64.
Sn＞t对任意n∈N*恒成立等价于（Sn）min＞t，即－64＞t.
所以实数t的取值范围为（－∞，－64）.
2 / 2第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
题型一 等差数列前n项和的性质
【例1】 （链接教科书第150页例3）（1）已知数列{an}满足an＋1＝an＋6，{an}的前n项和为Sn，则－＝（ ）
A.12 B.6
C.3 D.2
（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
通性通法
等差数列前n项和的常用性质
（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
（2）数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的倍.事实上，＝An＋B（A，B为常数） 为等差数列，且有，，成等差数列，其实质是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列的变形.
【跟踪训练】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝ .
2.已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.
题型二 等差数列前n项和的最值问题
【例2】 （链接教科书第154页习题11题）在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求该数列前n项和Sn的最大值.
通性通法
求等差数列前n项和的最值的方法
（1）二次函数法：即先求得Sn的表达式，然后配方.若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，n的值有时有2个，有时为1个；
（2）不等式法：①当a1＞0，d＜0时，由 Sm为最大值；
②当a1＜0，d＞0时，由 Sm为最小值.
【跟踪训练】
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】 （链接教科书第151页例4）某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
（2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
通性通法
应用等差数列模型解决实际问题的一般思路
【跟踪训练】
（2024·淮安月考）某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车，目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
1.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（ ）
A.12 B.18
C.24 D.30
2.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为（ ）
A.11或12 B.12
C.13 D.12或13
3.（2024·苏州质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）
A.两 B.两
C.两 D.两
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝ .
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B ∵an＋1＝an＋6，∴数列{an}是以6为公差的等差数列，∴－＝－＝a1＋3n－a1－3（n－1）＝3，∴数列是以3为公差的等差数列，∴－＝2×3＝6.故选B.
（2）解：法一 在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋（S3m－100），∴S3m＝210.
法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3（S2m－Sm）＝3×（100－30）＝210.
跟踪训练
1.－10 解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10.
2.解：在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列.
设其公差为d，前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋（11－1）d＝100＋10×（－22）＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
【例2】 解：由S17＝S9且a1＝25，得25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，
法一 Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二 ∵a1＝25＞0，由得即12≤n≤13.
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
跟踪训练
A 设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
【例3】 解：（1）由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
（2）9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
T20＝＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
跟踪训练
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车的工作时间为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，
而完成本次工作需要的工作时间为24×20＝480.
∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
随堂检测
1.D 根据题意，在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2.D ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2（n≥2，n∈N*），∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×（－2）＝－n2＋25n＝－（n－）2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn最大.
3.C 设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子.
4.4 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列{}是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
2 / 2(共53张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列前 n 项和的性质
【例1】 （链接教科书第150页例3）（1）已知数列{ an }满足 an＋1＝
an ＋6，{ an }的前 n 项和为 Sn ，则 － ＝（ ）
A. 12 B. 6
C. 3 D. 2
解析： ∵ an＋1＝ an ＋6，∴数列{ an }是以6为公差的等差数列，
∴ － ＝ － ＝ a1＋3 n －
a1－3（ n －1）＝3，∴数列 是以3为公差的等差数列，∴ －
＝2×3＝6.故选B.
（2）等差数列{ an }的前 m 项和为30，前2 m 项和为100，求数列{ an }
的前3 m 项的和 S3 m .
解：法一 在等差数列中，∵ Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等差
数列，
∴30，70， S3 m －100成等差数列.
∴2×70＝30＋（ S3 m －100），∴ S3 m ＝210.
法二 在等差数列中， ， ， 成等差数列，
∴ ＝ ＋ .
即 S3 m ＝3（ S2 m － Sm ）＝3×（100－30）＝210.
通性通法
等差数列前 n 项和的常用性质
（1）等差数列的依次 k 项之和， Sk ， S2 k － Sk ， S3 k － S2 k ，…组成公
差为 k2 d 的等差数列；
（2）数列 是等差数列，公差为数列{ an }的公差的 倍.事实上，
＝ An ＋ B （ A ， B 为常数） 为等差数列，且有 ， ，
成等差数列，其实质是 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等差数列
的变形.
【跟踪训练】
1. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＝－10， － ＝1，则
S10＝ .
解析：在等差数列中，因为 a1＝－10， － ＝1，所以 ＝－
10，所以{ }是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝－
10＋9×1＝－1， S10＝－10.
－10
2. 已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项
之和.
解：在等差数列中， S10， S20－ S10， S30－ S20，…， S100－ S90， S110
－ S100成等差数列.
设其公差为 d ，前10项和为10 S10＋ d ＝ S100＝10，解得 d ＝－
22，
∴ S110－ S100＝ S10＋（11－1） d ＝100＋10×（－22）＝－120，
∴ S110＝－120＋ S100＝－110.
题型二 等差数列前 n 项和的最值问题
【例2】 （链接教科书第154页习题11题）在等差数列{ an }中， a1＝
25， S17＝ S9，求该数列前 n 项和 Sn 的最大值.
解：由 S17＝ S9且 a1＝25，得25×17＋ d ＝25×9＋
d ，解得 d ＝－2，
法一 Sn ＝25 n ＋ ×（－2）＝－（ n －13）2＋169.
由二次函数性质得，当 n ＝13时， Sn 有最大值169.
法二 ∵ a1＝25＞0，由得
即12 ≤ n ≤13 .
又∵ n ∈N*，∴当 n ＝13时， Sn 有最大值169.
通性通法
求等差数列前 n 项和的最值的方法
（1）二次函数法：即先求得 Sn 的表达式，然后配方.若对称轴恰
好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，
则应在离对称轴最近的正整数处取得最值， n 的值有时有2
个，有时为1个；
（2）不等式法：①当 a1＞0， d ＜0时，由 Sm 为最大值；
②当 a1＜0， d ＞0时，由 Sm 为最小值.
【跟踪训练】
设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＝－11， a4＋ a6＝－6，则当 Sn
取最小值时， n ＝（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 设等差数列的公差为 d ，∵ a4＋ a6＝－6，∴2 a5＝－6，
∴ a5＝－3.又∵ a1＝－11，∴－3＝－11＋4 d ，∴ d ＝2.∴ Sn ＝－11 n
＋ ×2＝ n2－12 n ＝（ n －6）2－36，故当 n ＝6时， Sn 取得最
小值，故选A.
题型三 等差数列前 n 项和公式的实际应用
【例3】 （链接教科书第151页例4）某地去年9月份曾发生流感，据
统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感
染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部
门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数
比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感
染者人数；
解： 由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构
成一个首项 a1＝40，公差 d ＝40的等差数列{ an }，
所以9月10日的新感染者人数为 a10＝40＋（10－1）×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减
少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
（2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
解： 9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 S10＝
＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项 b1＝390，公差 d1
＝－10的等差数列{ bn }，
又 b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
T20＝ ＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
通性通法
应用等差数列模型解决实际问题的一般思路
【跟踪训练】
（2024·淮安月考）某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，
为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道
防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号
翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车，
目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调
集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设
为 a1， a2，…， a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且 a1＝24，公差 d ＝－ .
25辆翻斗车的工作时间为： a1＋ a2＋…＋ a25＝25×24＋25×12×
＝500，
而完成本次工作需要的工作时间为24×20＝480.
∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
1. 等差数列{ an }中， S3＝3， S6＝9，则 S12＝（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
解析： 根据题意，在等差数列{ an }中， S3， S6－ S3， S9－ S6，
S12－ S9，…也成等差数列，又由 S3＝3， S6＝9，得 S6－ S3＝6，则
S9－ S6＝9， S12－ S9＝12，则 S12＝ S3＋（ S6－ S3）＋（ S9－ S6）＋
（ S12－ S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2. 已知数列{ an }满足 an ＝26－2 n ，则使其前 n 项和 Sn 取最大值的 n 的
值为（ ）
A. 11或12 B. 12
C. 13 D. 12或13
解析： ∵ an ＝26－2 n ，∴ an － an－1＝－2（ n ≥2， n ∈N*），
∴数列{ an }为等差数列.又 a1＝24， d ＝－2，∴ Sn ＝24 n ＋
×（－2）＝－ n2＋25 n ＝－（ n － ）2＋ .∵ n
∈N*，∴当 n ＝12或 n ＝13时， Sn 最大.
3. （2024·苏州质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减
分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两
银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则
长兄可分得银子的数目为（ ）
A. 两 B. 两
C. 两 D. 两
解析： 设10个兄弟由大到小依次分得 an （ n ＝1，2，…，10）
两银子，设数列{ an }的公差为 d ，其前 n 项和为 Sn ，则由题意得
即解得所以长兄分
得 两银子.
4. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sm ＝－2， Sm＋1＝0， Sm＋2＝
3，则 m ＝ .
解析：因为 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，所以数列{ }是等差数
列，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＝0，解得 m ＝4.
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知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S9＝72，则 a2＋ a4＋ a9＝
（ ）
A. 24 B. 25
C. 26 D. 27
解析：A ∵ S9＝9 a5，∴ a5＝8，∴ a2＋ a4＋ a9＝（ a2＋ a9）＋ a4
＝（ a5＋ a6）＋ a4＝3 a5＝24，故选A.
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2. 在等差数列{ an }中， a1＝1，其前 n 项和为 Sn ，若 － ＝2，则
S10＝（ ）
A. 10 B. 100
C. 110 D. 120
解析： ∵{ an }是等差数列， a1＝1，∴{ }也是等差数列且首
项为 ＝1.又 － ＝2，∴{ }的公差是1，∴ ＝1＋（10－
1）×1＝10，∴ S10＝100.
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3. 若数列{ an }满足： a1＝19， an＋1＝ an －3（ n ∈N*），则数列{ an }
的前 n 项和数值最大时， n 的值为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 因为 an＋1－ an ＝－3，所以数列{ an }是以19为首项，－3
为公差的等差数列，所以 an ＝19＋（ n －1）×（－3）＝22－3 n .
由前 n 项和最大，则有所以所
以 ≤ n ≤ .因为 n ∈N*，所以 n ＝7.故满足条件的 n 的值为7.
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4. 已知等差数列前3项的和为34，后3项的和为146，所有项的和为
390，则这个数列的项数为（ ）
A. 13 B. 12
C. 11 D. 10
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解析： 设该等差数列为{ an }，其前 n 项和为 Sn .由题意得， a1＋
a2＋ a3＝34， an－2＋ an－1＋ an ＝146，∴（ a1＋ a2＋ a3）＋（ an－2＋
an－1＋ an ）＝（ a1＋ an ）＋（ a2＋ an－1）＋（ a3＋ an－2）＝3（ a1
＋ an ）＝34＋146，∴ a1＋ an ＝60.又 Sn ＝ ，∴390＝
，解得 n ＝13，故选A.
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5. （多选）已知数列{ an }是等差数列，其前 n 项和 Sn 满足 a1＋3 a2＝
S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A. a7＝0 B. S13＝0
C. S7最小 D. S5＝ S8
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解析： 根据题意，设等差数列{ an }的公差为 d .对于A， a1＋
3 a2＝ S6，即4 a1＋3 d ＝6 a1＋ d ，变形可得 a1＋6 d ＝0，即 a7＝
0，故A正确；对于B， S13＝ ＝13 a7＝0，故B正确；
对于C， S7＝ ＝7 a4，可能大于0，也可能小于0，故C不
正确；对于D， S5－ S8＝（5 a1＋ d ）－（8 a1＋ d ）＝－3 a1
－18 d ＝－3 a7＝0，故D正确.
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6. （多选）（2024·常州月考）设 Sn 是公差为 d （ d ≠0）的无穷等差
数列{ an }的前 n 项和，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 d ＜0，则数列{ Sn }有最大项
B. 若数列{ Sn }有最大项，则 d ＜0
C. 若数列{ Sn }是递增数列，则对任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0
D. 若对任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0，则数列{ Sn }是递增数列
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解析： 显然 Sn 对应的二次函数有最大值时 d ＜0，且若 d ＜
0，则 Sn 有最大值，故A、B正确；又若对任意 n ∈N*， Sn ＞0，则
a1＞0， d ＞0，{ Sn }必为递增数列，故D正确；而对于C项，令 Sn ＝
n2－2 n ，则数列{ Sn }递增，但 S1＝－1＜0，故C不正确.
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7. 已知等差数列{ an }的首项 a1＝7，公差 d ＝－2，则前 n 项和 Sn 的最
大值为 .
解析：等差数列{ an }的首项 a1＝7，公差 d ＝－2，∴ Sn ＝7 n ＋
×（－2）＝－ n2＋8 n ＝－（ n －4）2＋16.则前 n 项和 Sn
的最大值为16.
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8. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相
邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最
小，此最小值为 m.
解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树
坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10
或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首
项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S ＝9×20
＋ ×20＋10×20＋ ×20＝2 000（m）.
2 000
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9. 已知等差数列{ an }的首项 a1＝0，等差数列{ bn }的首项 b1＝－4，
{ an }和{ bn }的前 m 项和分别为 Sm ，S' m ，若 Sm ＋S' m ＝0，则 am ＋
bm ＝ .
解析：法一 由等差数列的前 n 项和公式，得 Sm ＋S' m ＝
＋ ＝0，所以 am ＋ bm ＝－（ a1＋
b1）＝4.
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法二 由于数列{ an }，{ bn }是等差数列，因此数列{ an ＋ bn }也是等差
数列.由条件知该数列的首项为 a1＋ b1＝－4，前 m 项的和为0.根据等
差数列的前 n 项和公式得0＝ ＝
.故 am ＋ bm ＝4.
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10. 一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天
先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利
率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月.
（1）分期付款的第10个月应付多少钱？
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解： 购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50
元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{ an }，则
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
所以数列{ an }是等差数列，公差 d ＝－0.5， an ＝60－0.5
（ n －1）（1≤ n ≤20）.
由 n ＝10，得 a10＝60－0.5×9＝55.5，
故第10个月应付55.5元.
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（2）全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？
解： 全部货款付清后付款总数为 S20＋150＝
＋150＝（2 a1＋19 d ）×10＋150＝（2×60－
19×0.5）×10＋150＝1 255.
故全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元.
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11. 已知等差数列{ an }满足 S30＝120， a3＋ a6＋ a9＋…＋ a30＝60，则
an ＝（ ）
A. 2 n －25 B. 2 n －27
C. 3 n －15 D. 3 n －18
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解析： 设等差数列的公差为 d ，则 S30＝（ a1＋ a4＋…＋ a28）
＋（ a2＋ a5＋…＋ a29）＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）＝（ a3＋ a6＋…＋
a30）－20 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）－10 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）
＝180－30 d ，即120＝180－30 d ，解得 d ＝2.又 S30＝30 a1＋
×2＝120，解得 a1＝－25.所以 an ＝－25＋（ n －1）×2＝2 n －
27，故选B.
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12. （多选）已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，且 S6＞ S7＞ S5，则
下列四个命题正确的是（ ）
A. d ＜0
B. S11＞0
C. S12＜0
D. 数列{ Sn }中的最大项为 S11
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解析： ∵ S6＞ S7，∴ a7＜0，∵ S7＞ S5，∴ a6＋ a7＞0，∴ a6
＞0，∴ d ＜0，A正确；又 S11＝ （ a1＋ a11）＝11 a6＞0，B正
确； S12＝ （ a1＋ a12）＝6（ a6＋ a7）＞0，C不正确；{ Sn }中最
大项为 S6，D不正确.
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13. （2024·徐州月考）现有100根相同的钢管，把它们堆成正三角形
垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 .
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解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个
等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为 Sn
＝1＋2＋3＋…＋ n ＝ .当 n ＝13时， S13＝91；当 n ＝14
时， S14＝105＞100.∴当 n ＝13时，剩余钢管根数最少，为9根.
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14. 已知等差数列{ an }中， a1＝9， a4＋ a7＝0.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 由 a1＝9， a4＋ a7＝0，
得 a1＋3 d ＋ a1＋6 d ＝0，解得 d ＝－2，
∴ an ＝ a1＋（ n －1） d ＝11－2 n .
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（2）当 n 为何值时，数列{ an }的前 n 项和取得最大值？
解： 法一 由 a1＝9， d ＝－2，
得 Sn ＝9 n ＋ ·（－2）＝－ n2＋10 n ＝－（ n －5）2
＋25，
∴当 n ＝5时， Sn 取得最大值.
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法二 由（1）知 a1＝9， d ＝－2＜0，∴{ an }是递减数列.
令 an ≥0，则11－2 n ≥0，解得 n ≤ .
∵ n ∈N*，∴ n ≤5时， an ＞0， n ≥6时， an ＜0.
∴当 n ＝5时， Sn 取得最大值.
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15. 已知 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，且 a1＝－15， S5＝－55.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 设等差数列{ an }的公差为 d ，
S5＝5× ＝5 a3＝－55，
所以 a3＝－11，所以 d ＝ ＝ ＝2.所以 an ＝ a1＋
（ n －1） d ＝－15＋（ n －1）×2＝2 n －17.
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（2）若不等式 Sn ＞ t 对于任意的 n ∈N*恒成立，求实数 t 的取
值范围.
解： 由（1）知， an ＝2 n －17，所以 Sn ＝
＝ ＝ n （ n －16）＝（ n －8）2－64，
所以（ Sn ）min＝－64.
Sn ＞ t 对任意 n ∈N*恒成立等价于（ Sn ）min＞ t ，即－64＞ t .
所以实数 t 的取值范围为（－∞，－64）.
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谢 谢 观 看！
