第1课时 等比数列的通项公式
1.数列－，，－，，…的一个通项公式an＝（ ）
A. B.－ C. D.－
2.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n＝（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（ ）
A.607.5 B.608 C.607 D.159
4.各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则＝（ ）
A. B.
C. D.或
5.（多选）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则（ ）
A.q＝2 B.an＝2n
C.18是数列中的项 D.an＋an＋1＜an＋2
6.（多选）（2024·台州月考）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A.a，b，c依次成公比为2的等比数列
B.a，b，c依次成公比为的等比数列
C.a＝
D.c＝
7.已知{an}是等比数列，a1＝，a2＝4，则a3＝ ，a1a2a3a4a5a6＝ .
8.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 .
9.（2024·苏州月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
10.在等比数列{an}中，
（1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
（2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
11.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an＝（ ）
A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3
12.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53＝（ ）
，
，，
…
A. B. C. D.
13.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝ .
14.从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
（1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？
（2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？
15.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，设bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式.
第1课时 等比数列的通项公式
1.A 该数列是以－为公比，－为首项的等比数列，则an＝.
2.D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3.C 因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝＝607.
4.B 设{an}的公比为q（q＞0，q≠1），根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去），则＝＝.故选B.
5.ABD 由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确.
6.BD 依题意a＝2b，b＝2c，所以a，b，c依次成公比为的等比数列，a＋b＋c＝50，即4c＋2c＋c＝7c＝50，c＝，a＝4c＝.所以B、D选项正确.故选B、D.
7.32 239 解析：因为数列{an}是等比数列，且a1＝，a2＝4.所以等比数列{an}的公比q＝＝8，所以a3＝a2q＝4×8＝32，所以a1a2a3a4a5a6＝·q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
8.80，40，20，10 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80，40，20，10.
9.10 解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×（1.2）n－1，令an＝50×（1.2）n－1＝250，所以（1.2）n－1＝5，所以n－1＝log1.25＝≈＝8.75，所以n＝9.75，又因为n为正整数，所以n＝10.
10.解：（1）∵an＝a1qn－1，∴4×2n－1＝128，
∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
（2）∵a3＝a1q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝（－1）n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为an＝2n或an＝（－1）n－12n.
11.A 由－3an＋1an－4＝0，得（an＋1－4an）·（an＋1＋an）＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
12.C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（）3－1＝.
13. 解析：由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去）.
14.解：（1）由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，
则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，
第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－），
所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝（1－）n，
即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n.
（2）当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
15.解：（1）由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
所以b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
理由如下：由条件可得＝，
即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得＝2n－1，
所以an＝n·2n－1.
2 / 24.3.2 等比数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题 逻辑推理、数学运算
2.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象、数学运算
第1课时 等比数列的通项公式
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有许多相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间运用了类比思想，对于等比数列2，4，8，….
【问题】 （1）你能写出它的通项公式吗？
（2）你能根据等比数列的定义推导出等比数列的通项公式吗？
知识点 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列{an}的通项公式为an＝ .
提醒 由等比数列的通项公式an＝a1qn－1可得，an＝·qn，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在等比数列{an}中，an＝a1qn－1（n∈N*）.（ ）
（2）等比数列{an}的图象是指数型函数y＝·qx的图象上一些孤立的点.（ ）
（3）等比数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝（－1）n－1.（ ）
2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（ ）
A.32 B.－48
C.48 D.96
3.在数列{an}中，an＋1＝－3an且a2＝－3，则an＝（ ）
A.3n－2 B.（－3）n－2
C.－3n－1 D.（－3）n－1
题型一 等比数列通项公式的推导
【例1】 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求证：an＝a1qn－1.
通性通法
推导等比数列的通项公式除教科书中的累乘法外，还可类比等差数列通项公式的推导方法，通过归纳法或迭代法推导，最后一定要验证n＝1时是否成立.若n＝1时不成立，则通项公式用分段函数表示.
【跟踪训练】
已知等比数列{an}的第m项am与公比q，证明an＝amqn－m.
题型二 等比数列基本量的运算
【例2】 （链接教科书第158页例4）在等比数列{an}中：
（1）a1＝1，a4＝8，求an；
（2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
（3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
通性通法
关于等比数列基本量的运算
（1）a1和q是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中：
（1）若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
（2）若a2＝4，a5＝－，求an；
（3）若a2＝4，q＝2，an＝128，求n.
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 （2024·南通月考）某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生产总值为多少万元？
通性通法
等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
【跟踪训练】
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
（1）用一个式子表示第n（n∈N*）年这辆车的价值；
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
1.在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（ ）
A.4 B.6
C.8 D.16
2.在等比数列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则{an}的公比q＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a2＝2，a3a4＝32，则数列{an}的通项公式为 .
4.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 .
第1课时 等比数列的通项公式
【基础知识·重落实】
知识点
a1qn－1
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.C a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.D ∵an＋1＝－3an，即＝－3 ，∴{an}为等比数列，公比q＝－3，∴a1＝＝1，an＝a1·qn－1＝1×（－3）n－1＝（－3）n－1，故选D.
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：法一（归纳法） 由等比数列的定义可知，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1（n≥2）.当n＝1时，上面的等式两边均为a1，所以等式也成立，因此当n∈N*时，an＝a1qn－1成立.
（2）法二（迭代法） 由于数列{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝（an－2q）q＝an－2q2＝（an－3q）q2＝…＝a1qn－1（n≥2）.当n＝1时，等式也成立.
跟踪训练
证明：因为{an}是等比数列，所以an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，由＝qn－m，所以an＝amqn－m.
【例2】 解：（1）因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
（2）a1＝＝＝5.
（3）因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
跟踪训练
解：（1）因为a5＝a1q4，
而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝5×（－3）4＝405.
（2）由题意可知
所以q＝－，a1＝－8，
所以an＝a1qn－1＝－8×（－）n－1＝（－2）4－n.
（3）由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7.
【例3】 解：设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列.∴an＝a（1＋m%）n－1.
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋m%）19（万元）.
跟踪训练
解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5（1－10%），a3＝13.5（1－10%）2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·＝13.5×0.9n－1.
∴第n年车的价值为an＝13.5×0.9n－1万元.
（2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×0.95－1≈8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.
随堂检测
1.C 因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以a4＝a1·23＝8，故选C.
2.B 由题意＝＝q＝＝2.故选B.
3.an＝2n－1（n∈N*） 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3，所以又a1＞0，q＞0，解得所以an＝2n－1.
4.2 048 解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048.
3 / 3(共56张PPT)
4.3.2
等比数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式
解决一些简单的问题 逻辑推理、数学
运算
2.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象、数学
运算
第1课时
等比数列的通项公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有许多相似之
处，这其实就是我们在这两类数列之间运用了类比思想，对于等比数
列2，4，8，….
【问题】 （1）你能写出它的通项公式吗？
（2）你能根据等比数列的定义推导出等比数列的通项公式吗？
知识点 等比数列的通项公式
若等比数列{ an }的首项为 a1，公比为 q （ q ≠0），则等比数列{ an }的
通项公式为 an ＝ .
提醒 由等比数列的通项公式 an ＝ a1 qn－1可得， an ＝ · qn ，当 q ＞0
且 q ≠1时，等比数列{ an }的第 n 项 an 是指数型函数 f （ x ）＝ · qx
（ x ∈R）当 x ＝ n 时的函数值，即 an ＝ f （ n ）.
a1 qn－1
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在等比数列{ an }中， an ＝ a1 qn－1（ n ∈N*）. （ × ）
（2）等比数列{ an }的图象是指数型函数 y ＝ · qx 的图象上一些孤
立的点. （ √ ）
（3）等比数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为 an ＝（－1） n
－1. （ √ ）
×
√
√
2. 等比数列{ an }中， a1＝3，公比 q ＝2，则 a5＝（ ）
A. 32 B. －48
C. 48 D. 96
解析： a5＝ a1 q4＝3×24＝48.
3. 在数列{ an }中， an＋1＝－3 an 且 a2＝－3，则 an ＝（ ）
A. 3 n－2 B. （－3） n－2
C. －3 n－1 D. （－3） n－1
解析： ∵ an＋1＝－3 an ，即 ＝－3 ，∴{ an }为等比数列，公
比 q ＝－3，∴ a1＝ ＝1， an ＝ a1· qn－1＝1×（－3） n－1＝（－3）
n－1，故选D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列通项公式的推导
【例1】 已知等比数列{ an }的首项为 a1，公比为 q ，求证： an ＝ a1 qn
－1.
证明：法一（归纳法） 由等比数列的定义可知， a2＝ a1 q ， a3＝ a2 q
＝ a1 q2， a4＝ a3 q ＝ a1 q3， a5＝ a4 q ＝ a1 q4，…，归纳得 an ＝ a1 qn－1
（ n ≥2）.当 n ＝1时，上面的等式两边均为 a1，所以等式也成立，因
此当 n ∈N*时， an ＝ a1 qn－1成立.
法二（迭代法） 由于数列{ an }是等比数列，所以 an ＝ an－1 q ＝
（ an－2 q ） q ＝ an－2 q2＝（ an－3 q ） q2＝…＝ a1 qn－1（ n ≥2）.当 n ＝1
时，等式也成立.
通性通法
推导等比数列的通项公式除教科书中的累乘法外，还可类比等差
数列通项公式的推导方法，通过归纳法或迭代法推导，最后一定要验
证 n ＝1时是否成立.若 n ＝1时不成立，则通项公式用分段函数表示.
【跟踪训练】
已知等比数列{ an }的第 m 项 am 与公比 q ，证明 an ＝ amqn－ m .
证明：因为{ an }是等比数列，所以 an ＝ a1 qn－1， am ＝ a1 qm－1，由
＝ qn－ m ，所以 an ＝ amqn－ m .
题型二 等比数列基本量的运算
【例2】 （链接教科书第158页例4）在等比数列{ an }中：
（1） a1＝1， a4＝8，求 an ；
解：因为 a4＝ a1 q3，所以8＝ q3，所以 q ＝2，
所以 an ＝ a1 qn－1＝2 n－1.
（2） an ＝625， n ＝4， q ＝5，求 a1；
解：a1＝ ＝ ＝5.
（3） a2＋ a5＝18， a3＋ a6＝9， an ＝1，求 n .
解：因为
由 ，得 q ＝ ，从而 a1＝32.
又 an ＝1，
所以32× ＝1，
即26－ n ＝20，故 n ＝6.
通性通法
关于等比数列基本量的运算
（1） a1和 q 是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这
两个基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比数列的通项公式涉及4个量 a1， an ， n ， q ，只要知道其中
任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决.
【跟踪训练】
在等比数列{ an }中：
（1）若它的前三项分别为5，－15，45，求 a5；
解：因为 a5＝ a1 q4，
而 a1＝5， q ＝ ＝－3，所以 a5＝5×（－3）4＝405.
（2）若 a2＝4， a5＝－ ，求 an ；
解：由题意可知
所以 q ＝－ ， a1＝－8，
所以 an ＝ a1 qn－1＝－8×（－ ） n－1＝（－2）4－ n .
（3）若 a2＝4， q ＝2， an ＝128，求 n .
解：由 a2＝4， q ＝2，得 a1＝2，所以2·2 n－1＝128，解得 n＝7.
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 （2024·南通月考）某工厂2024年1月的生产总值为 a 万元，
计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长 m %，那么到2025
年8月底该厂的生产总值为多少万元？
解：设从2024年1月开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元，则 an＋1
＝ an ＋ anm %，
∴ ＝1＋ m %.
∴数列{ an }是首项 a1＝ a ，公比 q ＝1＋ m %的等比数列.∴ an ＝ a （1
＋ m %） n－1.
∴2025年8月底该厂的生产总值为 a20＝ a （1＋ m %）20－1＝ a （1＋ m
%）19（万元）.
通性通法
等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想
求出未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
【跟踪训练】
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速
度贬值.
（1）用一个式子表示第 n （ n ∈N*）年这辆车的价值；
解：从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为： a1，
a2， a3，…， an ，
由题意，得 a1＝13.5， a2＝13.5（1－10%）， a3＝13.5（1－
10%）2，….
由等比数列定义，知数列{ an }是等比数列，首项 a1＝13.5，公
比 q ＝1－10%＝0.9，
∴ an ＝ a1· ＝13.5×0.9 n－1.
∴第 n 年车的价值为 an ＝13.5×0.9 n－1万元.
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解：当他用满4年时，车的价值为 a5＝13.5×0.95－
1≈8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.
1. 在数列{ an }中， an＋1＝2 an ，且 a1＝1，则 a4＝（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 16
解析： 因为 an＋1＝2 an ， a1＝1，所以{ an }为公比为2的等比数
列，所以 a4＝ a1·23＝8，故选C.
2. 在等比数列{ an }中， a1＋ a3＝5， a2＋ a4＝10，则{ an }的公比 q ＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由题意 ＝ ＝ q ＝ ＝2.故选B.
3. 已知数列{ an }是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2＝2， a3 a4＝
32，则数列{ an }的通项公式为 .
解析：设等比数列{ an }的公比为 q ，则 a2＝ a1 q ， a3＝ a1 q2， a4＝
a1 q3，所以 又 a1＞0， q ＞0，解得所以 an ＝2
n－1.
an ＝2 n－1（ n ∈N*）
4. 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2
个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方
形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于
.
解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的
等比数列{ an }，所以 an ＝2×（ ） n－1，所以第10个正方形的面
积 S ＝ ＝[2×（ ）9]2＝4×29＝2 048.
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048
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式 an ＝（ ）
解析： 该数列是以－ 为公比，－ 为首项的等比数列，则 an ＝
.
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2. 在首项 a1＝1，公比 q ＝2的等比数列{ an }中，当 an ＝64时，项数 n
＝（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 因为 an ＝ a1 qn－1，所以1×2 n－1＝64，即2 n－1＝26，得 n
－1＝6，解得 n ＝7.
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3. 设 a1＝2，数列{1＋2 an }是公比为3的等比数列，则 a6＝（ ）
A. 607.5 B. 608
C. 607 D. 159
解析： 因为1＋2 an ＝（1＋2 a1）×3 n－1，所以1＋2 a6＝5×35，
所以 a6＝ ＝607.
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4. 各项都是正数的等比数列{ an }中， a2， a3， a1成等差数列，则
＝（ ）
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解析： 设{ an }的公比为 q （ q ＞0， q ≠1），根据题意可知 a3＝
a2＋ a1，∴ q2－ q －1＝0，解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去），则
＝ ＝ .故选B.
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5. （多选）已知正项等比数列{ an }满足 a1＝2， a4＝2 a2＋ a3，若设其
公比为 q ，则（ ）
A. q ＝2 B. an ＝2 n
C. 18是数列中的项 D. an ＋ an＋1＜ an＋2
解析： 由题意可得2 q3＝4 q ＋2 q2，即 q2－ q －2＝0，解得 q
＝2（负值舍去），选项A正确； an ＝2×2 n－1＝2 n ，选项B正确，C
错误； an ＋ an＋1＝3 an ，而 an＋2＝4 an ＞3 an ，选项D正确.
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6. （多选）（2024·台州月考）我国古代数学专著《九章算术》中有
这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主
曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各
出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗
主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一
半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比
率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还 a
升， b 升， c 升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
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A. a ， b ， c 依次成公比为2的等比数列
解析： 依题意 a ＝2 b ， b ＝2 c ，所以 a ， b ， c 依次成公比为
的等比数列， a ＋ b ＋ c ＝50，即4 c ＋2 c ＋ c ＝7 c ＝50， c ＝ ， a
＝4 c ＝ .所以B、D选项正确.故选B、D.
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7. 已知{ an }是等比数列， a1＝ ， a2＝4，则 a3＝ ， a1 a2 a3 a4 a5 a6
＝ .
解析：因为数列{ an }是等比数列，且 a1＝ ， a2＝4.所以等比数列
{ an }的公比 q ＝ ＝8，所以 a3＝ a2 q ＝4×8＝32，所以 a1 a2 a3 a4 a5
a6＝ · q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
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8. 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个
数依次为 .
解析：设这6个数所成等比数列的公比为 q ，则5＝160 q5，∴ q5＝
，∴ q ＝ .∴这4个数依次为80，40，20，10.
80，40，20，10
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9. （2024·苏州月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发
展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，
并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到
第 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考
数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
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解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模
型，且 a1＝50， q ＝1.2，所以 an ＝50×（1.2） n－1，令 an ＝50×
（1.2） n－1＝250，所以（1.2） n－1＝5，所以 n －1＝log1.25＝
≈ ＝8.75，所以 n ＝9.75，又因为 n 为正整数，所以 n ＝10.
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10. 在等比数列{ an }中，
（1）已知 an ＝128， a1＝4， q ＝2，求 n ；
解： ∵ an ＝ a1 qn－1，∴4×2 n－1＝128，
∴2 n－1＝32，∴ n －1＝5， n ＝6.
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（2）已知 a1＝2， a3＝8，求公比 q 和通项公式.
解： ∵ a3＝ a1 q2，即8＝2 q2，
∴ q2＝4，∴ q ＝±2.
当 q ＝2时， an ＝ a1 qn－1＝2×2 n－1＝2 n ，
当 q ＝－2时， an ＝ a1 qn－1＝2×（－2） n－1＝（－1） n－12 n ，
∴数列{ an }的公比为2或－2，对应的通项公式分别为 an ＝2 n
或 an ＝（－1） n－12 n .
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11. 若正项数列{ an }满足 a1＝2， －3 an＋1 an －4 ＝0，则数列
{ an }的通项公式 an ＝（ ）
A. 22 n－1 B. 2 n
C. 22 n＋1 D. 22 n－3
解析： 由 －3 an＋1 an －4 ＝0，得（ an＋1－4 an ）·（ an＋1
＋ an ）＝0.又{ an }是正项数列，所以 an＋1－4 an ＝0， ＝4.由
等比数列的定义知数列{ an }是以2为首项，4为公比的等比数列.由
等比数列的通项公式，得 an ＝2×4 n－1＝22 n－1.
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12. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从
第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记
第 i 行第 j 列的数为 aij （ i ， j ∈N*），则 a53＝（ ）
，
， ，
…
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解析： 第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以 a51＝
＋（5－1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而
且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等
比数列，所以 a53＝ ×（ ）3－1＝ .
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13. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两
项之和，则公比 q ＝ .
解析：由题意得 an ＝ an＋1＋ an＋2，所以1＝ q ＋ q2，即 q2＋ q －1＝
0，解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去）.
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14. 从盛满 a （ a ＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，
再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
（1）第 n 次操作后容器中酒精的浓度是多少？
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解： 由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第 n
次操作后容器中酒精的浓度为 an ，
则第1次操作后容器中酒精的浓度为 a1＝1－ ，
第 n ＋1次操作后容器中酒精的浓度为 an＋1＝ an （1－ ），
所以{ an }是首项为 a1＝1－ ，公比为 q ＝1－ 的等比数列，
所以 an ＝ a1 qn－1＝（1－ ） n ，
即第 n 次操作后容器中酒精的浓度是（1－ ） n .
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（2）当 a ＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于
10%？
解：当 a ＝2时，由 an ＝（ ） n ＜ ，解得 n ≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
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15. 已知数列{ an }满足 a1＝1， nan＋1＝2（ n ＋1） an ，设 bn ＝ .
（1）求 b1， b2， b3；
解：由条件可得 an＋1＝ an .
将 n ＝1代入得， a2＝4 a1，
而 a1＝1，所以 a2＝4.
将 n ＝2代入得， a3＝3 a2，所以 a3＝12.
所以 b1＝1， b2＝2， b3＝4.
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（2）判断数列{ bn }是否为等比数列，并说明理由；
解：数列{ bn }是首项为1，公比为2的等比数列.
理由如下：由条件可得 ＝ ，
即 bn＋1＝2 bn ，又 b1＝1，
所以数列{ bn }是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）求{ an }的通项公式.
解：由（2）可得 ＝2 n－1，
所以 an ＝ n ·2 n－1.
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谢 谢 观 看！
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