第3课时 等比数列的综合问题
1.若数列{an}是公比为q的递增等比数列,则( )
A.a1>0,q>1
B.a1(q-1)>0
C.(a1-1)q>0
D.(a1-1)q<0
2.在等比数列{an}中,a1,a17是方程x2+2 024x+25=0的两个实根,则a9=( )
A.-5 B.±5
C.5 D.25
3.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}的前6项和为( )
A.-24 B.-3
C.3 D.8
4.(2024·盐城质检)已知{an}是等差数列,且公差d≠0,若a=,b=,c=,则a,b,c( )
A.成等比数列,不成等差数列
B.成等差数列,不成等比数列
C.既不成等比数列,又不成等差数列
D.既成等差数列,又成等比数列
5.(多选)已知{an}为等差数列,满足2a2-a1=2,{bn}为等比数列,满足b2=1,b4=4,则下列说法正确的是( )
A.数列{an}的首项为4
B.a3=2
C.b8=64
D.数列{bn}的公比为±2
6.(多选)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( )
A.a1+a3≥2a2
B.+≥2
C.若a1=a2,则a1=a3
D.若a3>a1,则a4>a2
7.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .
8.已知等比数列{an}中,a5a11=9a8,数列{bn}是等差数列,且b8=a8,则b3+b13= .
9.在各项为正的递增等比数列{an}中,a1a2a6=64,a1+a3+a5=21,则an= .
10.已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则此时的三个数成等差数列,求原来的三个数的和.
11.(2024·南京月考)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),则下列条件能使数列{an}成等比数列的是( )
A.f(an)=2n B.f(an)=n2
C.f(an)=2n D.f(an)=
12.(多选)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K5<K6,K6=K7>K8,则下列选项中成立的是( )
A.0<q<1
B.a7=1
C.K9>K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
13.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .
14.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,已知a1=8,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围.
15.已知数列{Am}:a1,a2,…,am(m≥2).若存在公比为q的等比数列{Bm+1}:b1,b2,…,bm+1,使得bk<ak<bk+1,其中k=1,2,…,m,则称数列{Bm+1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an=2n(n=1,2,…,10),其“等比分割数列”{B11}的首项为1,求数列{B11}的公比q的取值范围.
第3课时 等比数列的综合问题
1.B 依题意,不妨设a1=1,q=2,数列是递增的等比数列,由此判断C、D选项错误.设a1=-1,q=,数列是递增的等比数列,由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.
2.A 由题意得得a1<0,a17<0,则a9=a1q8<0.由=a1a17=25,得a9=-5.故选A.
3.A 根据题意得=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=0(舍去)或d=-2,所以数列{an}的前6项和为S6=6a1+d=1×6+×(-2)=-24.
4.A 由{an}是等差数列,且公差d≠0,得a1,a3,a5是公差为2d的等差数列,所以==22d,故a,b,c成等比数列.若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则该数列只能是常数列,而a,b,c不是常数列,故a,b,c不是等差数列.
5.BCD 对于A项,设{an}的公差为d,由2a2-a1=2可得2(a1+d)-a1=2,a1+2d=2,不能确定a1的值,故A项错误;对于B项,a3=a1+2d=2,故B项正确;对于C、D两项,设{bn}的公比为q,由b2=1,b4=4,可得q2=4,则q=±2,于是b8=b4q4=64,故C项正确,D项也正确.故选B、C、D.
6.BC 设等比数列{an}的公比为q,当a1<0,q<0时,a3<0,a2>0,故a1+a3≥2a2不成立,故A不正确;+=()2+(a2q)2=(+q2)≥2,当且仅当q2=1时,等号成立,故B正确;若a1=a2,则q=1,所以a1=a3成立,故C正确;当a1=1,q=-2时,a2=-2,a3=4,a4=-8,满足a3>a1,但a4>a2不成立,故D不正确.
7. 解析:设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得,28,28q石,∴+28+28q=98,∴q=2或q=.又0<q<1,∴q=.
8.18 解析:在等比数列{an}中,a5a11=9a8,即=9a8,又an≠0,所以a8=9,所以b8=a8=9,所以在等差数列{bn}中有b3+b13=2b8=18.
9.2n-1 解析:∵{an}为等比数列,设其公比为q,∴a1a2a6=q6=(a1q2)3==64,则a3=4,∵a1+a3+a5=21,∴+a3+a3q2=21,即+4+4q2=21,解得q=±2或q=±,又∵{an}各项为正且递增,∴q=2,a1=1,∴an=2n-1.
10.解:依题意,设原来的三个数依次为,a,aq.
因为·a·aq=512,所以a=8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列,所以(-2)+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,
所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4.
因为4+8+16=16+8+4=28,
所以原来的三个数的和等于28.
11.C 由f(x)=logax(a>0,a≠1),令y=logax,可得x=ay,故对于A,有an=,非等比数列;对于B,an=,非等比数列;对于C,an=a2n,为等比数列;对于D,an=,非等比数列.
12.ABD 根据题意,分析选项.对于B,由K6=K7,得a7==1,B正确;对于A,由K5<K6可得,a6=>1,则q=∈(0,1),故A正确;对于C,由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈(0,1)可得数列是递减数列,则有K9<K5,故C错误;对于D,结合K5<K6,K6=K7>K8,可得D正确.故选A、B、D.
13.64 解析:法一 设{an}的公比为q,依题意得解得所以an=()n-4,从而a1a2…an=(=(,当n=3或n=4时,[(n-)2-]取到最小值-6,此时(取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.
法二 设{an}的公比为q,由a1+a3=10,a2+a4=5,得a1=8,q=,则a2=4,a3=2,a4=1,a5=,所以a1a2…an≤a1a2a3a4=64.
14.解:(1)设数列{an}的公比为q.
由题意,可得an=8qn-1,且0<q<1.
由a1+13,4a2,a3+9成等差数列,
知8a2=30+a3,所以64q=30+8q2,
解得q=或q=(舍去),
所以an=8×()n-1=24-n,n∈N*.
(2)bn=an(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n,
由bn>bn+1,
得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n,
即λ<n+1,
所以λ<(n+1)min=2,
故实数λ的取值范围为(-∞,2).
15.解:因为{B11}的首项为1,公比为q,所以bn=qn-1,则qk-1<2k<qk对于k=1,2,…,10成立,
当k=1时1<2<q;
当k=2,3,…,10时,2<q<.
而y=2x是增函数,=1+随着k的增大而减小,
所以y=随着k的增大而减小,
从而()min=,所以2<q<.
2 / 2第3课时 等比数列的综合问题
题型一 等比数列与指数函数的关系
【例1】 (2024·无锡质检)在等比数列{an}中,如果公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
通性通法
判断等比数列{an}的单调性的方法
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;
(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;
(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列.
【跟踪训练】
1.设{an}是等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若等比数列{an}是递减数列,且a2+a4=30,a2a4=144,则公比q= .
题型二 等比数列中项的设法
【例2】 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.
通性通法
巧设等比数列项的方法
(1)若三个数成等比数列,常设为,a,aq.推广到一般,奇数个数成等比数列,可设为…,,,a,aq,aq2,…;
(2)四个符号相同的数成等比数列,常设为,,aq,aq3.推广到一般,偶数个符号相同的数成等比数列,可设为…,,,,aq,aq3,aq5,…;
(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,则这四个数的和是 .
题型三 等差、等比数列的综合问题
【例3】 (2024·淮安月考)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若S4,S6,Sn成等比数列,求n及此等比数列的公比.
通性通法
解决等差、等比数列综合问题时,一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系,然后利用两种数列的性质求解.
【跟踪训练】
在公比大于0的等比数列{an}中,已知a2,a3,6a1依次组成公差为4的等差数列,求{an}的通项公式.
1.在等比数列{an}中,已知a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
2.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= .
3.已知四个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为-,求这四个数.
第3课时 等比数列的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 D 如等比数列{(-1)n}的公比为-1,是摆动数列,不具有单调性;等比数列()n的公比为,是递减数列;等比数列-()n的公比为,是递增数列.
跟踪训练
1.B 设等比数列{an}的公比为q,由a1<a2,可得a1(q-1)>0,解得或此时数列{an}不一定是递增数列;若数列{an}为递增数列,可得或所以“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件.
2. 解析:∵a2+a4=30,a2a4=144,∴a2,a4是方程x2-30x+144=0的两个实数根(a2>a4),∴a2=24,a4=6,∴q2===,解得q=或q=-(舍去).
【例2】 解:法一 设前三个数分别为,a,aq,
则·a·aq=216,
所以a3=216,
所以a=6.
因此前三个数为,6,6q.
由题意知第4个数为12q-6,
所以6+6q+12q-6=12,
解得q=.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二 设后三个数分别为4-d,4,4+d,
则第一个数为(4-d)2,
由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216,
解得4-d=6.
所以d=-2.
故所求的四个数为9,6,4,2.
跟踪训练
45 解析:设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.
【例3】 解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
因为S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,
所以2S3=S1+1+S4,=a1a5,
即a2+a3=1+a4,(a1+d)2=a1(a1+4d).
解得a1=1,d=2,
所以an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)可得Sn==n2,
所以S4=42=16,S6=62=36.
因为S4,S6,Sn成等比数列,
所以=S4·Sn,
所以362=16n2,化为36=4n,解得n=9,
此等比数列的公比q==.
跟踪训练
解:设{an}的公比为q(q>0),因为a2,a3,6a1成等差数列,
所以a2+6a1=2a3,则2q2-q-6=0.
又q>0,所以q=2.
又因为a3-a2=4,即a1q2-a1q=4,
所以4a1-2a1=4,解得a1=2,
所以an=2×2n-1=2n.
随堂检测
1.A 由8a2-a5=0,可知=q3=8,解得q=2.又a1>0,所以数列{an}为递增数列.
2.1 解析:∵{an}为等差数列,a1=-1,a4=8=a1+3d=-1+3d,∴d=3,∴a2=a1+d=-1+3=2.∵{bn}为等比数列,b1=-1,b4=8=b1q3=-q3,∴q=-2,∴b2=b1q=2,则==1.
3.解:设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,
则
解得或
故所求四个数依次为-,,-2,8或8,-2,,-.
2 / 2(共47张PPT)
第3课时
等比数列的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列与指数函数的关系
【例1】 (2024·无锡质检)在等比数列{ an }中,如果公比为 q ,且 q
<1,那么等比数列{ an }是( )
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析: 如等比数列{(-1) n }的公比为-1,是摆动数列,不具有
单调性;等比数列 ( ) n 的公比为 ,是递减数列;等比数列 -
( ) n 的公比为 ,是递增数列.
通性通法
判断等比数列{ an }的单调性的方法
(1)当 q >1, a1>0或0< q <1, a1<0时,数列{ an }是递增数列;
(2)当 q >1, a1<0或0< q <1, a1>0时,数列{ an }是递减数列;
(3)当 q =1时,{ an }是常数列;当 q <0时,数列{ an }是摆动数列.
【跟踪训练】
1. 设{ an }是等比数列,则“ a1< a2”是“数列{ an }是递增数列”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析: 设等比数列{ an }的公比为 q ,由 a1< a2,可得 a1( q -
1)>0,解得或此时数列{ an }不一定是
递增数列;若数列{ an }为递增数列,可得或
所以“ a1< a2”是“数列{ an }为递增数列”的必要不充分条件.
2. 若等比数列{ an }是递减数列,且 a2+ a4=30, a2 a4=144,则公比 q
= .
解析:∵ a2+ a4=30, a2 a4=144,∴ a2, a4是方程 x2-30 x +144
=0的两个实数根( a2> a4),∴ a2=24, a4=6,∴ q2= = =
,解得 q = 或 q =- (舍去).
题型二 等比数列中项的设法
【例2】 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,
后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.
解:法一 设前三个数分别为 , a , aq ,
则 · a · aq =216,
所以 a3=216,所以 a =6.
因此前三个数为 ,6,6 q .
由题意知第4个数为12 q -6,
所以6+6 q +12 q -6=12,
解得 q = .
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二 设后三个数分别为4- d ,4,4+ d ,
则第一个数为 (4- d )2,
由题意知 (4- d )2×(4- d )×4=216,
解得4- d =6.所以 d =-2.
故所求的四个数为9,6,4,2.
通性通法
巧设等比数列项的方法
(1)若三个数成等比数列,常设为 , a , aq .推广到一般,奇数个
数成等比数列,可设为…, , , a , aq , aq2,…;
(2)四个符号相同的数成等比数列,常设为 , , aq , aq3.推广
到一般,偶数个符号相同的数成等比数列,可设为…, ,
, , aq , aq3, aq5,…;
(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为
a , aq , aq2, aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数
列,则这四个数的和是 .
45
解析:设这四个数分别为 a , aq , aq2, aq3,则 a -1, aq -1, aq2-
4, aq3-13成等差数列.即
整理得解得因此这四个数分别是3,6,
12,24,其和为45.
题型三 等差、等比数列的综合问题
【例3】 (2024·淮安月考)已知公差不为0的等差数列{ an }的前 n 项
和为 Sn , S1+1, S3, S4成等差数列,且 a1, a2, a5成等比数列.
(1)求数列{ an }的通项公式;
解: 设等差数列{ an }的公差为 d ( d ≠0).
因为 S1+1, S3, S4成等差数列,且 a1, a2, a5成等比数列,
所以2 S3= S1+1+ S4, = a1 a5,
即 a2+ a3=1+ a4,( a1+ d )2= a1( a1+4 d ).
解得 a1=1, d =2,
所以 an =1+2( n -1)=2 n -1, n ∈N*.
(2)若 S4, S6, Sn 成等比数列,求 n 及此等比数列的公比.
解: 由(1)可得 Sn = = n2,
所以 S4=42=16, S6=62=36.
因为 S4, S6, Sn 成等比数列,
所以 = S4· Sn ,
所以362=16 n2,化为36=4 n ,解得 n =9,
此等比数列的公比 q = = .
通性通法
解决等差、等比数列综合问题时,一定要弄清等差数列中的
某些项与等比数列中的某些项之间的关系,然后利用两种数列的
性质求解.
【跟踪训练】
在公比大于0的等比数列{ an }中,已知 a2, a3,6 a1依次组成公差为4
的等差数列,求{ an }的通项公式.
解:设{ an }的公比为 q ( q >0),因为 a2, a3,6 a1成等差数列,
所以 a2+6 a1=2 a3,则2 q2- q -6=0.
又 q >0,所以 q =2.
又因为 a3- a2=4,即 a1 q2- a1 q =4,
所以4 a1-2 a1=4,解得 a1=2,
所以 an =2×2 n-1=2 n .
1. 在等比数列{ an }中,已知 a1>0,8 a2- a5=0,则数列{ an }为
( )
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析: 由8 a2- a5=0,可知 = q3=8,解得 q =2.又 a1>0,
所以数列{ an }为递增数列.
2. 若等差数列{ an }和等比数列{ bn }满足 a1= b1=-1, a4= b4=8,则
= .
解析:∵{ an }为等差数列, a1=-1, a4=8= a1+3 d =-1+3 d ,
∴ d =3,∴ a2= a1+ d =-1+3=2.
∵{ bn }为等比数列, b1=-1, b4=8= b1 q3=- q3,∴ q =-2,
∴ b2= b1 q =2,则 = =1.
1
3. 已知四个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为- ,
求这四个数.
解:设四个数依次为 a , aq , aq2, aq3,
则
解得或
故所求四个数依次为- , ,-2,8或8,-2, ,- .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若数列{ an }是公比为 q 的递增等比数列,则( )
A. a1>0, q >1 B. a1( q -1)>0
C. ( a1-1) q >0 D. ( a1-1) q <0
解析: 依题意,不妨设 a1=1, q =2,数列是递增的等比数
列,由此判断C、D选项错误.设 a1=-1, q = ,数列是递增的等
比数列,由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.
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2. 在等比数列{ an }中, a1, a17是方程 x2+2 024 x +25=0的两个实
根,则 a9=( )
A. -5 B. ±5
C. 5 D. 25
解析: 由题意得得 a1<0, a17<0,
则 a9= a1 q8<0.由 = a1 a17=25,得 a9=-5.故选A.
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3. 等差数列{ an }的首项为1,公差不为0.若 a2, a3, a6成等比数列,
则{ an }的前6项和为( )
A. -24 B. -3
C. 3 D. 8
解析: 根据题意得 = a2 a6,即( a1+2 d )2=( a1+ d )( a1
+5 d ),解得 d =0(舍去)或 d =-2,所以数列{ an }的前6项和
为 S6=6 a1+ d =1×6+ ×(-2)=-24.
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4. (2024·盐城质检)已知{ an }是等差数列,且公差 d ≠0,若 a =
, b = , c = ,则 a , b , c ( )
A. 成等比数列,不成等差数列
B. 成等差数列,不成等比数列
C. 既不成等比数列,又不成等差数列
D. 既成等差数列,又成等比数列
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解析: 由{ an }是等差数列,且公差 d ≠0,得 a1, a3, a5是公差
为2 d 的等差数列,所以 = =22 d ,故 a , b , c 成等比数列.
若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则该数列只能是常数
列,而 a , b , c 不是常数列,故 a , b , c 不是等差数列.
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5. (多选)已知{ an }为等差数列,满足2 a2- a1=2,{ bn }为等比数
列,满足 b2=1, b4=4,则下列说法正确的是( )
A. 数列{ an }的首项为4
B. a3=2
C. b8=64
D. 数列{ bn }的公比为±2
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解析: 对于A项,设{ an }的公差为 d ,由2 a2- a1=2可得2
( a1+ d )- a1=2, a1+2 d =2,不能确定 a1的值,故A项错误;
对于B项, a3= a1+2 d =2,故B项正确;对于C、D两项,设{ bn }
的公比为 q ,由 b2=1, b4=4,可得 q2=4,则 q =±2,于是 b8=
b4 q4=64,故C项正确,D项也正确.故选B、C、D.
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6. (多选)已知{ an }为等比数列,下面结论中正确的是( )
A. a1+ a3≥2 a2 B. + ≥2
C. 若 a1= a2,则 a1= a3 D. 若 a3> a1,则 a4> a2
解析: 设等比数列{ an }的公比为 q ,当 a1<0, q <0时, a3<
0, a2>0,故 a1+ a3≥2 a2不成立,故A不正确; + =( )2
+( a2 q )2= ( + q2)≥2 ,当且仅当 q2=1时,等号成
立,故B正确;若 a1= a2,则 q =1,所以 a1= a3成立,故C正确;
当 a1=1, q =-2时, a2=-2, a3=4, a4=-8,满足 a3> a1,但
a4> a2不成立,故D不正确.
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7. 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98
石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .
解析:设衰分比例为 q ,则甲、乙、丙各分得 ,28,28 q 石,
∴ +28+28 q =98,∴ q =2或 q = .又0< q <1,∴ q = .
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8. 已知等比数列{ an }中, a5 a11=9 a8,数列{ bn }是等差数列,且 b8=
a8,则 b3+ b13= .
解析:在等比数列{ an }中, a5 a11=9 a8,即 =9 a8,又 an ≠0,所
以 a8=9,所以 b8= a8=9,所以在等差数列{ bn }中有 b3+ b13=2 b8
=18.
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9. 在各项为正的递增等比数列{ an }中, a1 a2 a6=64, a1+ a3+ a5=
21,则 an = .
解析:∵{ an }为等比数列,设其公比为 q ,∴ a1 a2 a6= q6=( a1
q2)3= =64,则 a3=4,∵ a1+ a3+ a5=21,∴ + a3+ a3 q2=
21,即 +4+4 q2=21,解得 q =±2或 q =± ,又∵{ an }各项为
正且递增,∴ q =2, a1=1,∴ an =2 n-1.
2 n-1
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10. 已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各
减去2,则此时的三个数成等差数列,求原来的三个数的和.
解:依题意,设原来的三个数依次为 , a , aq .
因为 · a · aq =512,所以 a =8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列,所以
( -2)+( aq -2)=2 a ,所以2 q2-5 q +2=0,所以 q =2或
q = ,
所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4.
因为4+8+16=16+8+4=28,
所以原来的三个数的和等于28.
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11. (2024·南京月考)已知函数 f ( x )=log ax ( a >0, a ≠1),则
下列条件能使数列{ an }成等比数列的是( )
A. f ( an )=2 n B. f ( an )= n2
C. f ( an )=2 n D. f ( an )=
解析: 由 f ( x )=log ax ( a >0, a ≠1),令 y =log ax ,可得
x = ay ,故对于A,有 an = ,非等比数列;对于B, an =
,非等比数列;对于C, an = a2 n ,为等比数列;对于D, an =
,非等比数列.
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12. (多选)设{ an }( n ∈N*)是各项均为正数的等比数列, q 是其公
比, Kn 是其前 n 项的积,且 K5< K6, K6= K7> K8,则下列选项中
成立的是( )
A. 0< q <1
B. a7=1
C. K9> K5
D. K6与 K7均为 Kn 的最大值
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解析: 根据题意,分析选项.对于B,由 K6= K7,得 a7=
=1,B正确;对于A,由 K5< K6可得, a6= >1,则 q = ∈
(0,1),故A正确;对于C,由{ an }是各项均为正数的等比数列
且 q ∈(0,1)可得数列是递减数列,则有 K9< K5,故C错误;
对于D,结合 K5< K6, K6= K7> K8,可得D正确.故选A、B、D.
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13. 设等比数列{ an }满足 a1+ a3=10, a2+ a4=5,则 a1 a2… an 的最大
值为 .
解析:法一 设{ an }的公比为 q ,依题意得解得
所以 an =( ) n-4,从而 a1 a2… an =(
=( ,当 n =3或 n =4时, [( n - )2-
]取到最小值-6,此时( 取到最大值26,
所以 a1 a2… an 的最大值为64.
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法二 设{ an }的公比为 q ,由 a1+ a3=10, a2+ a4=5,得 a1=8, q =
,则 a2=4, a3=2, a4=1, a5= ,所以 a1 a2… an ≤ a1 a2 a3 a4=64.
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14. 设数列{ an }是公比小于1的正项等比数列,已知 a1=8,且 a1+
13,4 a2, a3+9成等差数列.
(1)求数列{ an }的通项公式;
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解: 设数列{ an }的公比为 q .
由题意,可得 an =8 qn-1,且0< q <1.
由 a1+13,4 a2, a3+9成等差数列,
知8 a2=30+ a3,所以64 q =30+8 q2,
解得 q = 或 q = (舍去),
所以 an =8×( ) n-1=24- n , n ∈N*.
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(2)若 bn = an ( n +2-λ),且数列{ bn }是递减数列,求实数
λ的取值范围.
解: bn = an ( n +2-λ)=( n +2-λ)·24- n ,
由 bn > bn+1,
得( n +2-λ)·24- n >( n +3-λ)·23- n ,
即λ< n +1,所以λ<( n +1)min=2,
故实数λ的取值范围为(-∞,2).
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15. 已知数列{ Am }: a1, a2,…, am ( m ≥2).若存在公比为 q 的等
比数列{ Bm+1}: b1, b2,…, bm+1,使得 bk < ak < bk+1,其中 k
=1,2,…, m ,则称数列{ Bm+1}为数列{ Am }的“等比分割数
列”.若数列{ A10}的通项公式为 an =2 n ( n =1,2,…,10),
其“等比分割数列”{ B11}的首项为1,求数列{ B11}的公比 q 的取
值范围.
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解:因为{ B11}的首项为1,公比为 q ,所以 bn = qn-1,则 qk-1<2 k
< qk 对于 k =1,2,…,10成立,
当 k =1时1<2< q ;
当 k =2,3,…,10时,2< q < .
而 y =2 x 是增函数, =1+ 随着 k 的增大而减小,
所以 y = 随着 k 的增大而减小,
从而( )min= ,所以2< q < .
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谢 谢 观 看!