第1课时 等比数列的前n项和公式
1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于（ ）
A.－25 B.25
C.－31 D.31
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
3.（2024·徐州月考）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第2层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个数为（ ）
A.64 B.128
C.224 D.512
4.数列an＝4n－1＋n的前n项和Sn＝（ ）
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
5.（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（ ）
A.q＝ B.a7＝2
C.a8＝8 D.S6＝126
6.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若数列{an}的通项公式是an＝其前n项和为Sn，则S30＝ .
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝ .
9.已知等比数列{an}的首项为1，公比为3，则＋＋…＋＝ .
10.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
11.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
12.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是 .
13.设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝，an＝f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn＝ .
14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
（1）证明{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}落入区间（10，2 024）的所有项的和.
15.将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③a66＝.
请解答以下问题：
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）.
第1课时 等比数列的前n项和公式
1.D 因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{an}的前5项的和为＝31.
2.C 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得解得
3.B 设最下层的浮雕像的数量为a1，依题意有公比q＝2，n＝7，S7＝＝1 016，解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2（1≤n≤7，n∈N*），所以a5＝27＝128.
4.B Sn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n）＝＋.
5.AD 因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正确；所以a1＝64，a7＝64×＝1，B错误；a8＝a1q7＝64×＝，C错误；S6＝＝126，D正确.故选A、D.
6.ABC 由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C.
7.240 解析：由题意得S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30）＝（1＋2＋…＋15）＋（1＋2＋…＋15）＝×2＝240.
8.－或1 解析：当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意.
9.（9n－1） 解析：由题意得＝32＝9，故{}为首项为12＝1，公比为9的等比数列，则＋＋…＋＝＝（9n－1）.
10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
由题意得an＝qn－1，q4＝4q2，
解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.
故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.
（2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得＝63，
即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
11.C ∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.
12.（－1，0）∪（0，＋∞） 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
13.1－ 解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f（n），∴＝＝f（1）＝a1＝，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴Sn＝＝1－.
14.解：（1）∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2（an＋1），即＝2，∴{an＋1}是公比为2的等比数列.
∵首项为a1＋1＝2，公比为2，∴an＋1＝2n，
∴an＝2n－1.
（2）令10＜2n－1＜2 024，即11＜2n＜2 025，
∵n∈N*，∴n可取4，5，6，7，8，9，10，
∴数列{an}落入区间（10，2 024）的所有项的和S＝a4＋a5＋…＋a9＋a10＝（24－1）＋（25－1）＋…＋（210－1）＝－7＝2 025.
15.解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝.
（2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列.
故a66＝b10·q2，
又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2.
故S（k）＝＝（2k＋2－1）.
2 / 24.3.3 等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
第1课时 等比数列的前n项和公式
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
【问题】 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
知识点 等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
提醒 求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列前n项和Sn不可能为0.（ ）
（2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（ ）
（3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（ ）
2.在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝（ ）
A.12 B.13
C.24 D.26
3.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（ ）
A.2－ B.2－
C.2－ D.2－
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝ .
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用
【例1】 （链接教科书第162页例1）求下列等比数列前8项的和：
（1），，，…；
（2）a1＝27，a9＝，q＜0.
通性通法
求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立.
【跟踪训练】
（1）求数列{（－1）n＋2}的前100项的和；
（2）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数.
题型二 利用等比数列前n项和公式求基本量
【例2】 （链接教科书第163页例2）在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
（1）a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
（2）S3＝，S6＝，求an及Sn.
通性通法
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
题型三 分组转化法求和
【例3】 （链接教科书第163页例3）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{bn－an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
通性通法
分组求和的适用题型
一般情况下，形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.
【跟踪训练】
若数列{an}满足an＝则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝ .（用具体数值作答）
1.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝（ ）
A.93 B.－93 C.45 D.－45
2.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝ .
3.求an＝2n＋n的前n项和.
第1课时 等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.D S3＝＝26.
3.B 易知公比q＝，则S10＝＝2－.
4.1 解析：依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为a1＝，a2＝，可得q＝，
所以S8＝＝.
（2）由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q＜0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
跟踪训练
解：（1）法一 a1＝（－1）3＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
法二 数列{（－1）n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×（－1＋1）＝0.
（2）设此数列的公比为q（易知q≠1），
则解得故此数列共有5项.
【例2】 解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
（2）法一 由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，解得q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
法二 由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3.
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，解得q＝2.
代入＝，得a1＝，
∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
跟踪训练
解：由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，
∴q2＝4，负值舍去，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，
∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1，
∴S8＝＝85.
综上知S8＝255或S8＝85.
【例3】 解：（1）当n＝1时，a2＝2a1＋1＝3.当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，则an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，且a2＝3a1.故{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1.
（2）由题意bn－an＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以bn＝3n－1＋2n－1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（30＋31＋…＋3n－1）＋（1＋3＋…＋2n－1）＝＋n2＝＋n2.
跟踪训练
107 解析：由题意可得：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝＋＝45＋62＝107.
随堂检测
1.A S5＝＝＝93.
2.3或－4 解析：由题意得q≠1.因为S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，解得q＝3或－4.
3.解：由an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋.
3 / 3(共57张PPT)
4.3.3
等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前 n 项和公式，理解等比数
列的通项公式与前 n 项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并
解决相应的问题 逻辑推理、
数学运算
第1课时
等比数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3
个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给
了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在
传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数
就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
【问题】 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息
的人数共有多少？
知识点 等比数列的前 n 项和公式
已知量 首项 a1与公比 q 首项 a1，末项 an 与公比 q
公式 Sn
＝ Sn ＝
提醒 求等比数列的前 n 项和，需对公比分 q ＝1与 q ≠1两种情况进行
讨论，当 q ＝1时，应利用公式 Sn ＝ na1求和.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列前 n 项和 Sn 不可能为0. （ × ）
（2）若首项为 a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前 n 项和
等于 na . （ √ ）
（3）若 a ∈R，则1＋ a ＋ a2＋…＋ an－1＝ . （ × ）
×
√
×
2. 在等比数列{ an }中， a1＝2， q ＝3，则 S3＝（ ）
A. 12 B. 13
C. 24 D. 26
解析： S3＝ ＝26.
3. 在等比数列{ an }中，若 a1＝1， a4＝ ，则该数列的前10项和 S10＝
（ ）
解析： 易知公比 q ＝ ，则 S10＝ ＝2－ .
4. 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为2，且 S4＝15，则 a1
＝ .
解析：依题意， a1＋ a2＋ a3＋ a4＝15，故 a1＋2 a1＋4 a1＋8 a1＝
15，解得 a1＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列前 n 项和公式的直接应用
【例1】 （链接教科书第162页例1）求下列等比数列前8项的和：
（1） ， ， ，…；
解：因为 a1＝ ， a2＝ ，可得 q ＝ ，
所以 S8＝ ＝ .
（2） a1＝27， a9＝ ， q ＜0.
解：由 a1＝27， a9＝ ，可得 ＝27· q8.
又由 q ＜0，可得 q ＝－ ，
所以 S8＝ ＝ ＝ ＝ .
通性通法
求等比数列的前 n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公
比，注意公比 q ＝1是否成立.
【跟踪训练】
（1）求数列{（－1） n＋2}的前100项的和；
解：法一 a1＝（－1）3＝－1， q ＝－1.
∴ S100＝ ＝0.
法二 数列{（－1） n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴ S100＝50×（－1＋1）＝0.
解：设此数列的公比为 q （易知 q ≠1），
则解得故此数列共有5项.
（2）在14与 之间插入 n 个数，组成所有项的和为 的等比数列，求
此数列的项数.
题型二 利用等比数列前 n 项和公式求基本量
【例2】 （链接教科书第163页例2）在等比数列{ an }中，公比为 q ，
前 n 项和为 Sn .
（1） a1＝8， an ＝ ， Sn ＝ ，求 n ；
解：显然 q ≠1，由 Sn ＝ ，即 ＝ ，
∴ q ＝ .又∵ an ＝ a1 qn－1，即8× ＝ ，
∴ n ＝6.
（2） S3＝ ， S6＝ ，求 an 及 Sn .
解：法一 由 S6≠2 S3知 q ≠1，由题意得
②÷①，得1＋ q3＝9，∴ q3＝8，解得 q ＝2.
代入①得 a1＝ ，∴ an ＝ a1 qn－1＝ ×2 n－1＝2 n－2，
Sn ＝ ＝2 n－1－ .
法二 由 S3＝ a1＋ a2＋ a3， S6＝ S3＋ a4＋ a5＋ a6＝ S3＋ q3（ a1＋ a2＋
a3）＝ S3＋ q3 S3＝（1＋ q3） S3.
∴1＋ q3＝ ＝9，∴ q3＝8，解得 q ＝2.
代入 ＝ ，得 a1＝ ，
∴ an ＝ a1 qn－1＝ ×2 n－1＝2 n－2，
Sn ＝ ＝2 n－1－ .
通性通法
在等比数列{ an }的五个量 a1， q ， an ， n ， Sn 中， a1与 q 是最基
本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用 a1与 q 表示 an
与 Sn ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体
消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
在等比数列{ an }中，已知 a6－ a4＝24， a3· a5＝64，求 S8.
解：由题意，得
化简得
①÷②，得 q2－1＝±3，
∴ q2＝4，负值舍去，∴ q ＝2或 q ＝－2.
当 q ＝2时，代入①得 a1＝1，
∴ S8＝ ＝255.
当 q ＝－2时，代入①得 a1＝－1，
∴ S8＝ ＝85.
综上知 S8＝255或 S8＝85.
题型三 分组转化法求和
【例3】 （链接教科书第163页例3）已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1
＝2 Sn ＋1，其中 Sn 为{ an }的前 n 项和， n ∈N*.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解：当 n ＝1时， a2＝2 a1＋1＝3.当 n ≥2时， an ＝2 Sn－1＋
1，则 an＋1－ an ＝2 an ，即 an＋1＝3 an ，且 a2＝3 a1.故{ an }是以1
为首项，3为公比的等比数列，所以 an ＝3 n－1.
（2）设{ bn － an }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{ bn }的前 n
项和 Tn .
解：由题意 bn － an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1，所以 bn ＝3 n
－1＋2 n －1，所以 Tn ＝ b1＋ b2＋…＋ bn ＝（30＋31＋…＋3 n－1）
＋（1＋3＋…＋2 n －1）＝ ＋ n2＝ ＋ n2.
通性通法
分组求和的适用题型
一般情况下，形如 cn ＝ an ± bn ，其中数列{ an }与{ bn }一个是等差
数列，另一个是等比数列，求数列{ cn }的前 n 项和，分别利用等差数
列和等比数列前 n 项和公式求和即可.
【跟踪训练】
若数列{ an }满足 an ＝则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a10
＝ .（用具体数值作答）
解析：由题意可得： a1＋ a2＋ a3＋…＋ a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25
＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝ ＋ ＝
45＋62＝107.
107
1. 已知等比数列{ an }的首项 a1＝3，公比 q ＝2，则 S5＝（ ）
A. 93 B. －93
C. 45 D. －45
解析： S5＝ ＝ ＝93.
2. 在等比数列{ an }中， a1＝2， S3＝26，则公比 q ＝ .
解析：由题意得 q ≠1.因为 S3＝ ＝ ＝26，所以
q2＋ q －12＝0，解得 q ＝3或－4.
3. 求 an ＝2 n ＋ n 的前 n 项和.
解：由 an ＝2 n ＋ n ，所以 Sn ＝（2＋22＋…＋2 n ）＋（1＋2＋…＋
n ）＝2 n＋1－2＋ .
3或－4
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在数列{ an }中，已知 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，则数列{ an }的前5项的
和等于（ ）
A. －25 B. 25
C. －31 D. 31
解析： 因为 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，所以数列{ an }是首项为1，
公比为2的等比数列，所以数列{ an }的前5项的和为 ＝31.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和， Sn ＝93， an ＝48，公比 q ＝
2，则项数 n ＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 由 Sn ＝93， an ＝48，公比 q ＝2，得
解得
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3. （2024·徐州月考）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为
世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美
的图案.若从下往上计算，从第2层开始，每层浮雕像个数依次是下
层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个
数为（ ）
A. 64 B. 128
C. 224 D. 512
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解析： 设最下层的浮雕像的数量为 a1，依题意有公比 q ＝2， n
＝7， S7＝ ＝1 016，解得 a1＝8，则 an ＝8×2 n－1＝2 n＋2
（1≤ n ≤7， n ∈N*），所以 a5＝27＝128.
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4. 数列 an ＝4 n－1＋ n 的前 n 项和 Sn ＝（ ）
解析： Sn ＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4 n－1＋ n ）＝（40＋
41＋…＋4 n－1）＋（1＋2＋…＋ n ）＝ ＋ .
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5. （多选）已知等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，若 a1≠
a2， a3 a4＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3），则下列结论正确的是
（ ）
B. a7＝2
C. a8＝8 D. S6＝126
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解析：因为等比数列{ an }中， a1≠ a2，所以 q ≠1，因为 a3· a4
＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3）＝2 q （ a3－ a2），所以 q5＝2 a1，
且2 q ＝1，即 q ＝ ，A正确；所以 a1＝64， a7＝64× ＝1，B错
误； a8＝ a1 q7＝64× ＝ ，C错误； S6＝ ＝126，D
正确.故选A、D.
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6. （多选）设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若8 a2＋ a5＝0，则下列
式子中数值确定的是（ ）
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解析： 由8 a2＋ a5＝0得8 a2＋ a2 q3＝0，∵ a2≠0，∴ q3＝－
8，∴ q ＝－2.A中， ＝ q2＝4；B中， ＝ ＝ ＝
；C中， ＝ ＝ ＝ ；D中， ＝
与 n 有关，不确定.故选A、B、C.
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7. 若数列{ an }的通项公式是 an ＝其前 n 项和为 Sn ，
则 S30＝ .
解析：由题意得 S30＝（ a1＋ a3＋…＋ a29）＋（ a2＋ a4＋…＋ a30）
＝（1＋2＋…＋15）＋（1＋2＋…＋15）＝ ×2＝240.
240
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8. 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S3＝15， a3＝5，则公比 q ＝
.
解析：当 q ≠1时，∵ S3＝15， a3＝5，∴解得 q
＝－ .当 q ＝1时，{ an }为各项均为5的常数列，符合题意.
－
或1
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9. 已知等比数列{ an }的首项为1，公比为3，则 ＋ ＋…＋ ＝
.
解析：由题意得 ＝32＝9，故{ }为首项为12＝1，公比为9的
等比数列，则 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （9 n －1）.
（9 n －1）
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10. 在等比数列{ an }中， a1＝1， a5＝4 a3.
（1）求{ an }的通项公式；
解： 设等比数列{ an }的公比为 q ，
由题意得 an ＝ qn－1， q4＝4 q2，
解得 q ＝0（舍去）， q ＝－2或 q ＝2.
故 an ＝（－2） n－1或 an ＝2 n－1.
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（2）记 Sn 为{ an }的前 n 项和.若 Sm ＝63，求 m .
解： 若 an ＝（－2） n－1，则 Sn ＝ .
由 Sm ＝63得 ＝63，
即（－2） m ＝－188，此方程没有正整数解.
若 an ＝2 n－1，则 Sn ＝2 n －1.由 Sm ＝63得2 m －1＝63，即2 m ＝
64，解得 m ＝6.综上， m ＝6.
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11. 数列{ an }中， a1＝2， an＋1＝2 an ，若 ak＋1＋ ak＋2＋…＋ ak＋10＝215
－25，则 k ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： ∵ an＋1＝2 an ，∴ ＝2，又 a1＝2，∴数列{ an }是以
2为首项，以2为公比的等比数列，则 an ＝2×2 n－1＝2 n ， ak＋1＋ ak
＋2＋…＋ ak＋10＝ ＝ ＝2 k＋1（210－1）
＝25（210－1），∴2 k＋1＝25，则 k ＋1＝5，解得 k ＝4.
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12. 等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和 Sn ＞0（ n ＝1，2，3，…），
则 q 的取值范围是 .
解析：因为数列{ an }为等比数列， Sn ＞0，所以 a1＝ S1＞0， q
≠0.当 q ＝1时， Sn ＝ na1＞0；当 q ≠1时， Sn ＝ ＞0，
即 ＞0，所以或所以－1＜ q ＜1或
q ＞1.综上， q 的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
（－1，0）∪（0，＋∞）
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13. 设 f （ x ）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数 x ，
y ，都有 f （ x ）· f （ y ）＝ f （ x ＋ y ）.若 a1＝ ， an ＝ f （ n ）（ n
∈N*），则数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ .
解析：令 x ＝ n ， y ＝1，则 f （ n ）· f （1）＝ f （ n ＋1），又 an ＝ f
（ n ），∴ ＝ ＝ f （1）＝ a1＝ ，∴数列{ an }是以
为首项， 为公比的等比数列，∴ Sn ＝ ＝1－ .
1－
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14. 已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝2 an ＋1.
（1）证明{ an ＋1}是等比数列，并求{ an }的通项公式；
解： ∵ an＋1＝2 an ＋1，∴ an＋1＋1＝2（ an ＋1），即
＝2，∴{ an ＋1}是公比为2的等比数列.
∵首项为 a1＋1＝2，公比为2，∴ an ＋1＝2 n ，
∴ an ＝2 n －1.
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（2）求数列{ an }落入区间（10，2 024）的所有项的和.
解： 令10＜2 n －1＜2 024，即11＜2 n ＜2 025，
∵ n ∈N*，∴ n 可取4，5，6，7，8，9，10，
∴数列{ an }落入区间（10，2 024）的所有项的和 S ＝ a4＋ a5
＋…＋ a9＋ a10＝（24－1）＋（25－1）＋…＋（210－1）＝
－7＝2 025.
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15. 将数列{ an }中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多
一项”的规则排成如下数表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
记表中的第一列数 a1， a4， a8，…构成的数列为{ bn }，已知：
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①在数列{ bn }中， b1＝1，对于任何 n ∈N*，都有（ n ＋1） bn＋1－
nbn ＝0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为 q （ q ＞0）的等比数
列；
③ a66＝ .
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请解答以下问题：
（1）求数列{ bn }的通项公式；
解： 由（ n ＋1） bn＋1－ nbn ＝0，得数列{ nbn }为常数
列，故 nbn ＝1· b1＝1，∴ bn ＝ .
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（2）求上表中第 k （ k ∈N*）行所有项的和 S （ k ）.
解： ∵3＋4＋…＋11＝63，
∴表中第一行至第九行共含有{ an }的前63项， a66在表中第
十行第三列.
故 a66＝ b10· q2，
又 a66＝ ，而 b10＝ ， q ＞0，∴ q ＝2.
故 S （ k ）＝ ＝ （2 k＋2－1）.
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谢 谢 观 看！
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