4.4 数学归纳法*
1.一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k∈N*）时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）
A.一切正整数命题成立
B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立
D.以上都不对
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ）
A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）
3.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
A.1＋＜2 B.1＋＋＜2
C.1＋＋＜3 D.1＋＋＋＜3
4.已知8＞7，16＞9，32＞11，…，则有（ ）
A.2n＞2n＋1 B.2n＋1＞2n＋1
C.2n＋2＞2n＋5 D.2n＋3＞2n＋7
5.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N*）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）＝（ ）
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
6.（多选）用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B.“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项
D.当n＝2时不等式左边是
7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取 .
8.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋ .
9.用数学归纳法证明“（3n＋1）·7n－1（n∈N*）能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项 能被9整除.
10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N*）.
11.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A.（k＋1）2
B.k2＋1
C.
D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2
12.（多选）已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A.p（k）对k＝528成立
B.p（k）对每一个自然数k都成立
C.p（k）对每一个正偶数k都成立
D.p（k）对某些偶数可能不成立
13.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f（n）表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f（n＋1）与f（n）之间的关系为 .
14.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.
4.4 数学归纳法*
1.B 本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.
2.B 因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第（k＋1）个正奇数即n＝2k＋1正确.
3.B 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2，故选B.
4.C 由8＞7，16＞9，32＞11，得到23＞2×3＋1，24＞2×4＋1，25＞2×5＋1，即22＋1＞2×（2＋1）＋1＝2×1＋5，22＋2＞2×（2＋2）＋1＝2×2＋5，22＋3＞2×（2＋3）＋1＝2×3＋5，由此可得第四项为64＞13，即22＋4＞2×（2＋4）＋1＝2×4＋5，故有2n＋2＞2n＋5，故选C.
5.C 因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
6.CD 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋＋…＋（k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确.
7.8 解析：据已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8.
8.k＋1 解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝－＝k＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
9.3·7k＋1＋6 解析：假设n＝k时命题成立，即（3k＋1）·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1－[（3k＋1）·7k－1]＝（3k＋4）·7k＋1－（3k＋1）·7k＝[（3k＋1）＋3]·7k＋1－（3k＋1）·7k＝（3k＋1）·7k＋1＋3·7k＋1－（3k＋1）·7k＝6·（3k＋1）·7k＋3·7k＋1＝6·[（3k＋1）·7k－1]＋3·7k＋1＋6.由（3k＋1）·7k－1能被9整除可知要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除.
10.证明：当n＝2时，左边＝f（1）＝1，
右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立.
假设n＝k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）
＝k[f（k）－1]＋f（k）
＝（k＋1）f（k）－k
＝（k＋1）－k
＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）
＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立.
∴f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N*）.
11.D 因为当n＝k时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋（k＋1）2，所以增加了（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2.
12.AD 由题意知p（k）对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p（k）是否成立，故选A、D.
13.f（n＋1）＝f（n）＋2n 解析：依题意得，由n个圆增加到（n＋1）个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f（n＋1）＝f（n）＋2n.
14.解：（1）当n＝2时，左边＝＝，
右边＝1－＝.因为＜，所以不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
15.解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝；当n＝3时，
S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝；当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.
猜想Sn＝.
（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当n＝1时，猜想显然成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋－Sk），
∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·，
∴Sk＋1＝.
故当n＝k＋1时，猜想也成立.
由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝.故猜想成立.
∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝.
2 / 24.4 数学归纳法*
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 逻辑推理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908—1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
（1）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）假设当n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
根据（1）（2）就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法.
提醒 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
【想一想】
用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ）
（2）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（ ）
（3）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（ ）
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.当验证n＝1时，上式左端计算所得为 .
题型一 对数学归纳法的理解
【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于（ ）
A.1 B.3 C.5 D.6
（2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝”的过程中，第二步从k到k＋1应添加的项为 .
通性通法
数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1；
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
【跟踪训练】
对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A.过程全部正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
题型二 用数学归纳法证明等式、不等式
角度1 用数学归纳法证明等式
【例2】 （链接教科书第171页例2）用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N*）.
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）n＝n0时，等式的结构；
（2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系.
角度2 用数学归纳法证明不等式
【例3】 （链接教科书第175页习题4题）求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
通性通法
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
（1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N*）.
题型三 归纳——猜想——证明
【例4】 （链接教科书第173页例4）设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－nan＋1，n＝1，2，3，….
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
通性通法
“归纳——猜想——证明”的一般环节
【跟踪训练】
试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.
1.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N*），验证n＝1时，左边应取的项是（ ）
A.1 B.1＋2
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
2.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明，错误是 .
3.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝ .
4.4 数学归纳法*
【基础知识·重落实】
想一想
提示：不一定.如：证明多边形内角和为（n－2）×180°时，第一步应验证n＝3.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.C 边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
3.1＋a＋a2
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）（k＋1）2＋k2
解析：（1）由题意，得当n＝1时，21＜（1＋1）2；当n＝2时，22＜（2＋1）2；当n＝3时，23＜（3＋1）2；当n＝4时，24＜（4＋1）2；当n＝5时，25＜（5＋1）2；当n＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于6.
（2）当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添加的项是（k＋1）2＋k2.
跟踪训练
D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.
【例2】 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.
左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋＝（＋＋…＋）＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
【例3】 证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立.
【例4】 解：（1）由a1＝2得a2＝－a1＋1＝3，
a3＝－2a2＋1＝4，a4＝－3a3＋1＝5.
（2）由（1）猜想{an}的一个通项公式为an＝n＋1（n∈N*），
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，
即ak＝k＋1，
那么ak＋1＝－kak＋1＝（k＋1）2－k（k＋1）＋1＝k＋2＝（k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据①②，对于所有n≥1，有an＝n＋1.
跟踪训练
解：当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，
由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N*）.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，即2k＋2＞k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2.
又因为2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3
＝（k－3）（k＋1）≥0，
即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2＞（k＋1）2成立.
根据（1）和（2），原不等式对于任意n∈N*都成立.
随堂检测
1.D 当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2.未用归纳假设 解析：本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
3.＋＋ 解析：注意末项与首项，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
4 / 4(共61张PPT)
4.4 数学归纳法*
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中
的一些简单命题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数
学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：
某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则
养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早
晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米
吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一
定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在
第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天
吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的
推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的数学命题，可按如下两个步骤
进行：
（1）证明当 n ＝ n0（ n0∈N*）时命题成立；
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥ n0， k ∈N*）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋1时
命题也成立.
根据（1）（2）就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都
成立，上述证明方法叫作数学归纳法.
提醒 数学归纳法的实质在于递推，所以从“ k ”到“ k ＋1”的
过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构
成规律，弄清由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时，等式的两边会增加多少
项，增加怎样的项.
【想一想】
用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证 n ＝1时成立吗？
提示：不一定.如：证明多边形内角和为（ n －2）×180°时，第一步
应验证 n ＝3.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.
（ × ）
（2）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.
（ √ ）
（3）推证 n ＝ k ＋1时可以不用 n ＝ k 时的假设. （ × ）
×
√
×
2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n （ n －3）条时，第
一步应验证 n ＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 边数最少的凸 n 边形是三角形，故选C.
3. 用数学归纳法证明“1＋ a ＋ a2＋…＋ an＋1＝ （ a ≠1）”.当
验证 n ＝1时，上式左端计算所得为 .
1＋ a ＋ a2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数学归纳法的理解
【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n ∈N*）
时，初始值 n0应等于（ D ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 6
解析：由题意，得当 n ＝1时，21＜（1＋1）2；当 n ＝2
时，22＜（2＋1）2；当 n ＝3时，23＜（3＋1）2；当 n ＝4时，24
＜（4＋1）2；当 n ＝5时，25＜（5＋1）2；当 n ＝6时，26＞（6
＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n
∈N*）时，初始值 n0应等于6.
（2）设 S1＝12， S2＝12＋22＋12， S3＝12＋22＋32＋22＋12，…， Sn ＝
12＋22＋32＋…＋ n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“ Sn ＝
”的过程中，第二步从 k 到 k ＋1应添加的项为
.
解析：当 n ＝ k 时， Sk ＝12＋22＋…＋ k2＋…＋22＋12；当 n
＝ k ＋1时， Sk＋1＝12＋22＋…＋ k2＋（ k ＋1）2＋ k2＋…＋22＋
12，可见，从 k 到 k ＋1应添加的项是（ k ＋1）2＋ k2.
（ k ＋
1）2＋ k2
通性通法
数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值
不一定是1；
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中
项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
（3）利用假设是核心：在第二步证明 n ＝ k ＋1时，一定要利用归纳
假设.
【跟踪训练】
对于不等式 ＜ n ＋1（ n ∈N*），某同学用数学归纳法的证
明过程如下：
（1）当 n ＝1时， ＜1＋1，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥1且 k ∈N*）时，不等式成立，即 ＜ k
＋1，则当 n ＝ k ＋1时， ＝
＜ ＝ ＝（ k
＋1）＋1，
∴当 n ＝ k ＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A. 过程全部正确
B. n ＝1验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1的推理不正确
解析： 在 n ＝ k ＋1时，没有应用 n ＝ k 时的归纳假设，不是
数学归纳法.
题型二 用数学归纳法证明等式、不等式
角度1 用数学归纳法证明等式
【例2】 （链接教科书第171页例2）用数学归纳法证明：1－ ＋ －
＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*）.
证明： （1）当 n ＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ .
左边＝右边，等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥1）时等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋
－ ＝ ＋ ＋…＋ ，
则当 n ＝ k ＋1时，
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
即当 n ＝ k ＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数 n 等式都成立.
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1） n ＝ n0时，等式的结构；
（2） n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时，两个式子的结构： n ＝ k ＋1时的代数式比
n ＝ k 时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与 n 的关系.
角度2 用数学归纳法证明不等式
【例3】 （链接教科书第175页习题4题）求证： ＋ ＋…＋
＞ （ n ≥2， n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝2时，
左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）时不等式成立，即 ＋ ＋…
＋ ＞ ，则当 n ＝ k ＋1时，
＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋
＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋
－ ）＞ ＋ ＝ ，
所以当 n ＝ k ＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切 n ≥2， n ∈N*均成立.
通性通法
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
（1）适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他办
法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）关键：由 n ＝ k 时命题成立证 n ＝ k ＋1时命题也成立，在归纳假
设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证
明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题
得以简化.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋ n （3 n ＋1）＝ n （ n
＋1）2（其中 n ∈N*）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右
边，等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…
＋ k （3 k ＋1）＝ k （ k ＋1）2.
那么，当 n ＝ k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋ k （3 k ＋1）＋（ k
＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝ k （ k ＋1）2＋（ k ＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝
（ k ＋1）（ k2＋4 k ＋4）＝（ k ＋1）[（ k ＋1）＋1]2，即当 n ＝ k ＋1
时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何 n ∈N*都成立.
题型三 归纳——猜想——证明
【例4】 （链接教科书第173页例4）设数列{ an }满足 a1＝2， an＋1＝
－ nan ＋1， n ＝1，2，3，….
（1）求 a2， a3， a4；
解：由 a1＝2得 a2＝ － a1＋1＝3，
a3＝ －2 a2＋1＝4， a4＝ －3 a3＋1＝5.
（2）猜想出{ an }的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
解：由（1）猜想{ an }的一个通项公式为 an ＝ n ＋1（ n ∈N*），
下面用数学归纳法证明：
①当 n ＝1时， a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时猜想成立，
即 ak ＝ k ＋1，
那么 ak＋1＝ － kak ＋1＝（ k ＋1）2－ k （ k ＋1）＋1＝ k ＋2＝
（ k ＋1）＋1，即当 n ＝ k ＋1时，猜想也成立，
根据①②，对于所有 n ≥1，有 an ＝ n ＋1.
通性通法
“归纳——猜想——证明”的一般环节
【跟踪训练】
试比较2 n ＋2与 n2的大小（ n ∈N*），并用数学归纳法证明你的
结论.
解：当 n ＝1时，21＋2＝4＞ n2＝1，
当 n ＝2时，22＋2＝6＞ n2＝4，
当 n ＝3时，23＋2＝10＞ n2＝9，
当 n ＝4时，24＋2＝18＞ n2＝16，
由此可以猜想，2 n ＋2＞ n2（ n ∈N*）.
下面用数学归纳法证明：
（1）当 n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
当 n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当 n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥3，且 k ∈N*）时，不等式成立，即2 k ＋2＞
k2.
那么当 n ＝ k ＋1时，2 k＋1＋2＝2·2 k ＋2＝2（2 k ＋2）－2＞2 k2－2.
又因为2 k2－2－（ k ＋1）2＝ k2－2 k －3
＝（ k －3）（ k ＋1）≥0，
即2 k2－2≥（ k ＋1）2，故2 k＋1＋2＞（ k ＋1）2成立.
根据（1）和（2），原不等式对于任意 n ∈N*都成立.
1. 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（ n ＋3）＝ （ n
∈N*），验证 n ＝1时，左边应取的项是（ ）
A. 1 B. 1＋2
C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4
解析： 当 n ＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2. 用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2 n－1＝2 n －1（ n ∈N*）的过
程如下：
①当 n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2 k－1＝2 k
－1，则当 n ＝ k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2 k－1＋2 k ＝ ＝2 k＋1－
1，所以当 n ＝ k ＋1时等式也成立.由此可知对于任何 n ∈N*，等式
都成立.上述证明，错误是 .
解析：本题在由 n ＝ k 成立证明 n ＝ k ＋1成立时，应用了等比数列
的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
未用归纳假设
3. 设 f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*），那么 f （ n ＋1）－ f
（ n ）＝ .
解析：注意末项与首项，所以 f （ n ＋1）－ f （ n ）＝ ＋ ＋
.
＋ ＋
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n ＝1时命题成立，并在假设
当 n ＝ k （ k ∈N*）时命题成立的基础上，证明了当 n ＝ k ＋2时命题
成立，那么综合上述，对于（ ）
A. 一切正整数命题成立 B. 一切正奇数命题成立
C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对
解析： 本题证明了当 n ＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命
题对一切正奇数成立.
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2. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn ＋ yn 能被 x ＋ y 整除”的
第二步是（ ）
A. 假设 n ＝2 k ＋1时正确，再推 n ＝2 k ＋3时正确
B. 假设 n ＝2 k －1时正确，再推 n ＝2 k ＋1时正确
C. 假设 n ＝ k 时正确，再推 n ＝ k ＋1时正确
D. 假设 n ＝ k （ k ≥1），再推 n ＝ k ＋2时正确（以上 k ∈N*）
解析： 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应
先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n ＝2 k －1正确，再推第
（ k ＋1）个正奇数即 n ＝2 k ＋1正确.
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3. 用数学归纳法证明1＋ ＋ ＋…＋ ＜ n （ n ∈N*， n ＞1）时，
第一步应验证不等式（ ）
解析： 由题意得，当 n ＝2时，不等式为1＋ ＋ ＜2，故选B.
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4. 已知8＞7，16＞9，32＞11，…，则有（ ）
A. 2 n ＞2 n ＋1 B. 2 n＋1＞2 n ＋1
C. 2 n＋2＞2 n ＋5 D. 2 n＋3＞2 n ＋7
解析： 由8＞7，16＞9，32＞11，得到23＞2×3＋1，24＞2×4
＋1，25＞2×5＋1，即22＋1＞2×（2＋1）＋1＝2×1＋5，22＋2＞
2×（2＋2）＋1＝2×2＋5，22＋3＞2×（2＋3）＋1＝2×3＋5，由
此可得第四项为64＞13，即22＋4＞2×（2＋4）＋1＝2×4＋5，故
有2 n＋2＞2 n ＋5，故选C.
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5. 用数学归纳法证明 n ＋（ n ＋1）＋（ n ＋2）＋…＋（3 n －2）＝
（2 n －1）2（ n ∈N*）时，若记 f （ n ）＝ n ＋（ n ＋1）＋（ n ＋
2）＋…＋（3 n －2），则 f （ k ＋1）－ f （ k ）＝（ ）
A. 3 k －1 B. 3 k ＋1
C. 8 k D. 9 k
解析： 因为 f （ k ）＝ k ＋（ k ＋1）＋（ k ＋2）＋…＋（3 k －
2）， f （ k ＋1）＝（ k ＋1）＋（ k ＋2）＋…＋（3 k －2）＋（3 k
－1）＋3 k ＋（3 k ＋1），则 f （ k ＋1）－ f （ k ）＝3 k －1＋3 k ＋3
k ＋1－ k ＝8 k .
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6. （多选）用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ －1（ n
∈N*， n ≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A. 第一步应该验证当 n ＝1时不等式成立
C. 从“ n ＝ k （ k ∈N*， k ≥2）到 n ＝ k ＋1”左边需要增加2 k－1项
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解析：第一步应该验证当 n ＝2时不等式成立，所以A不正
确；因为 ＋ ＋ ＋…＋ －（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋
＋…＋ （ k ∈N*），所以从“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左边需要
增加的代数式是 ＋ ＋…＋ ，所以B不正确；所以从
“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左边需要增加2 k－1项，所以C正确；当 n ＝2
时， ＝ ，不等式左边是 ，所以D正确.
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7. 用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＞ （ n ∈N*）成
立，其初始值至少应取 .
解析：据已知可转化为 ＞ ，整理得2 n ＞128，解得 n
＞7，故原不等式的初始值为 n ＝8.
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8. 用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 f
（ n ）部分，则 f （ n ）＝1＋ .”证明第二步归纳递推
时，用到 f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋ .
解析： f （ k ）＝1＋ ， f （ k ＋1）＝1＋ ，∴ f
（ k ＋1）－ f （ k ）＝ － ＝ k ＋
1，∴ f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋（ k ＋1）.
k ＋1
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9. 用数学归纳法证明“（3 n ＋1）·7 n －1（ n ∈N*）能被9整除”，在
假设 n ＝ k 时命题成立之后，需证明 n ＝ k ＋1时命题也成立，这时
除了用归纳假设外，还需证明的是余项 能被9整除.
3·7 k＋1＋6
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解析：假设 n ＝ k 时命题成立，即（3 k ＋1）·7 k －1能被9整除，那
么当 n ＝ k ＋1时，[3（ k ＋1）＋1]·7 k＋1－1－[（3 k ＋1）·7 k －1]
＝（3 k ＋4）·7 k＋1－（3 k ＋1）·7 k ＝[（3 k ＋1）＋3]·7 k＋1－（3 k
＋1）·7 k ＝（3 k ＋1）·7 k＋1＋3·7 k＋1－（3 k ＋1）·7 k ＝6·（3 k ＋
1）·7 k ＋3·7 k＋1＝6·[（3 k ＋1）·7 k －1]＋3·7 k＋1＋6.由（3 k ＋1）·7 k
－1能被9整除可知要证上式能被9整除，还需证明3·7 k＋1＋6也能被9
整除.
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10. 设 f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*）.求证： f （1）＋ f （2）
＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n ∈N*）.
证明：当 n ＝2时，左边＝ f （1）＝1，
右边＝2× ＝1，左边＝右边，等式成立.
假设 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）时，等式成立，即
f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＝ k [ f （ k ）－1]，
那么，当 n ＝ k ＋1时，
f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＋ f （ k ）
＝ k [ f （ k ）－1]＋ f （ k ）
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＝（ k ＋1） f （ k ）－ k
＝（ k ＋1） － k
＝（ k ＋1） f （ k ＋1）－（ k ＋1）
＝（ k ＋1）[ f （ k ＋1）－1]，
∴当 n ＝ k ＋1时等式仍然成立.
∴ f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n
∈N*）.
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11. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋ n2＝ ，则当 n ＝ k ＋1时左
端应在 n ＝ k 的基础上加上（ ）
A. （ k ＋1）2
B. k2＋1
D. （ k2＋1）＋（ k2＋2）＋（ k2＋3）＋…＋（ k ＋1）2
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解析： 因为当 n ＝ k 时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋ k2，当 n
＝ k ＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋（ k ＋1）2，所以增加了
（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋（ k2＋3）＋…＋（ k ＋1）2.
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12. （多选）已知一个命题 p （ k ）， k ＝2 n （ n ∈N*），若当 n ＝1，
2，…，1 000时， p （ k ）成立，且当 n ＝1 001时也成立，则下列
判断中正确的是（ ）
A. p （ k ）对 k ＝528成立
B. p （ k ）对每一个自然数 k 都成立
C. p （ k ）对每一个正偶数 k 都成立
D. p （ k ）对某些偶数可能不成立
解析： 由题意知 p （ k ）对 k ＝2，4，6，…，2 002成立，当
k 取其他值时不能确定 p （ k ）是否成立，故选A、D.
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13. 平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无
公共点，用 f （ n ）表示这 n 个圆把平面分割的区域数，那么 f （ n
＋1）与 f （ n ）之间的关系为 .
解析：依题意得，由 n 个圆增加到（ n ＋1）个圆，增加了2 n 个交
点，这2 n 个交点将新增的圆分成2 n 段弧，而每一段弧都将原来的
一块区域分成了2块，故增加了2 n 块区域，因此 f （ n ＋1）＝ f
（ n ）＋2 n .
f （ n ＋1）＝ f （ n ）＋2 n
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14. 用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （ n ≥2， n
∈N*）.
解：（1）当 n ＝2时，左边＝ ＝ ，
右边＝1－ ＝ .因为 ＜ ，所以不等式成立.
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（2）假设当 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）时，不等式成立，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ ，
则当 n ＝ k ＋1时，
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－
＝1－ ＜1－ ＝1－ ，
所以当 n ＝ k ＋1时，不等式也成立.
综上所述，对任意 n ≥2的正整数，不等式都成立.
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15. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 a1＝1， Sn ＝ n2 an （ n ∈N*）.
（1）写出 S1， S2， S3， S4，并猜想 Sn 的表达式；
解：∵ a1＝1， Sn ＝ n2 an ，∴ S1＝ a1＝1；
当 n ＝2时， S2＝ a1＋ a2＝4 a2，可得 a2＝ ， S2＝1＋ ＝ ；
当 n ＝3时， S3＝ a1＋ a2＋ a3＝9 a3，可得 a3＝ ， S3＝1＋
＋ ＝ ；当 n ＝4时， S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝16 a4，可得 a4
＝ ， S4＝ .猜想 Sn ＝ .
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（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an 的表达式.
解：下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当 n ＝1时，猜想显然成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N*）时，猜想成立，即 Sk ＝ ，
则当 n ＝ k ＋1时， Sk＋1＝（ k ＋1）2 ak＋1＝（ k ＋ － Sk ），
∴（ k2＋2 k ） Sk＋1＝（ k ＋1）2 Sk ＝（ k ＋1）2· ，
∴ Sk＋1＝ .
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故当 n ＝ k ＋1时，猜想也成立.
由①和②可知，对于任意的 n ∈N*都有 Sn ＝ .故猜想成立.
∵ Sn ＝ n2 an ，∴ an ＝ ＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
