第1课时 曲线上一点处的切线
1.已知抛物线f（x）＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为（ ）
A.2 B.2.3
C.2.09 D.2.1
2.已知抛物线y＝x2，抛物线上有一点P（1，），Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为（ ）
A.（1＋Δx，（Δx）2） B.（Δx，（Δx）2）
C.（1＋Δx，（1＋Δx）2） D.（Δx，（1＋Δx）2）
3.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则直线l的斜率为（ ）
A. B.3
C.4 D.5
4.（2024·南京月考）已知函数f（x）＝x2图象上四点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），D（4，f（4）），割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A.k1＜k2＜k3 B.k2＜k1＜k3
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
5.已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是（ ）
A.（1，1） B.（－1，1）
C.（1，1）或（－1，－1） D.（2，8）或（－2，－8）
6.（2024·宿迁月考）近两年为抑制房价上涨过快，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系可用函数图象表示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）
7.曲线y＝在点P（2，1）处的切线方程为（ ）
A.x＝1 B.y＝1
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
8.过曲线y＝x2上两点A（2，4）和B（2＋Δx，4＋Δy）作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为 .
9.若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则a，b的值分别为 ， .
10.（2024·苏州月考）当h无限趋近于0时，无限趋近于 ，无限趋近于 .
11.若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.－1或1 D.－或1
12.在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为 .
13.若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标.
第1课时 曲线上一点处的切线
1.B ∵f（1）＝5，f（1.3）＝5.69，∴直线AB的斜率kAB＝＝＝2.3，故选B.
2.C 当x＝1＋Δx时，y＝（1＋Δx）2，点Q的坐标为（1＋Δx，（1＋Δx）2），故选C.
3.A 设曲线y＝f（x）在x＝4处的切线l的斜率为k，可得k＝＝，故选A.
4.A k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.
5.C ∵y＝x3，∴Δy＝（x＋Δx）3－x3，则＝3x2＋3x·Δx＋（Δx）2，当Δx无限趋近于0时，可得k＝3x2＝3，解得x＝1或x＝－1，当x＝1时y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标为（1，1）或（－1，－1）.故选C.
6.B 单位时间的供应量逐步提高对应供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是下凹的.
7.C Δy＝－＝－1＝，当Δx无限趋近于0时，＝无限趋近于－1，所以曲线y＝在点P（2，1）处的切线斜率为－1，故其切线方程为y－1＝－1（x－2），即x＋y－3＝0.
8.4.1 解析：kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.
9.1 1 解析：∵Δy＝f（Δx）－f（0）＝[（Δx）2＋aΔx＋b]－b＝（Δx）2＋aΔx，∴＝Δx＋a，当Δx趋近于0时，趋近于常数a，∴函数y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线的斜率为a，则a＝1.∵点（0，b）在切线x－y＋1＝0上，则b＝1，∴a，b的值均为1.
10.8 解析：＝＝8＋h，当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.＝＝，当h无限趋近于0时，无限趋近于.
11.A 根据题意得＝＝2a2＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2a2，故2a2＝2，∴a＝±1，当a＝1时，y＝x2，切点是（1，1），切线的斜率k＝2，故切线方程是y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0，此时与直线2x－y－1＝0重合，故a＝－1.
12.3x－y－11＝0 解析：设切点为P（x0，y0），曲线在点P处的切线斜率为k，＝[（x0＋Δx）3＋3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）－10－（＋3＋6x0－10）]＝3＋6x0＋6＋（Δx）2＋（3x0＋3）Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3＋6x0＋6＝3（x0＋1）2＋3.所以k＝3（x0＋1）2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为（－1，－14），其切线方程为3x－y－11＝0.
13.解：由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行，
设P（x0，y0），则＝＝＝8x＋4Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于8x，
由得
故所求的点为P（，1）.
2 / 25.1.2 瞬时变化率——导数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象
2.体会极限思想 数学抽象
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义 直观想象
第1课时 曲线上一点处的切线
“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子.
【问题】 如何利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段？
知识点 曲线上一点处的切线
名称 割线的斜率 切线的斜率
斜率 设曲线C上一点P（x，f（x）），过点P的一条直线交曲线C于另一点Q（x＋Δx，f（x＋Δx）），直线PQ称为曲线C的 ，则割线PQ的斜率为kPQ＝ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P（x，f（x））处的切线的斜率
提醒 对曲线上一点处的切线的理解：①过曲线上的一点可以作无数条割线，但在该点处的切线至多一条；②曲线上某一点处的切线是该点处的割线的极限位置.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）曲线的切线与曲线有且只有一个公共点.（ ）
（2）对于曲线上任意一点都可以用割线逼近切线的方法作出过这点的切线.（ ）
（3）若曲线在点P附近经过放大后可以近似看成直线，则曲线在点P处一定存在切线.（ ）
（4）以曲线上某点为切点的曲线的切线可以有两条.（ ）
2.已知曲线y＝f（x）＝2x2上一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ）
A.4 B.16
C.8 D.2
3.（2024·南通月考）已知曲线y＝x3在点（2，8）处的切线斜率为12a，则实数a的值为 .
题型一 以直代曲思想
【例1】 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为 .
通性通法
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的部分图象如图所示，若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为 .
题型二 曲线的割线和切线
【例2】 （1）已知点P（－1，1）为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则曲线在点P处的切线的斜率为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
（2）（2024·镇江月考）已知曲线y＝－1上两点A（2，－），B（2＋Δx，－＋Δy），当Δx＝1时，割线AB的斜率为（ ）
A. B.
C.－ D.1
通性通法
一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.
【跟踪训练】
写出曲线f（x）＝x－x2过点P（2，－2），Q（2＋h，f（2＋h））的割线的斜率，再让点Q沿曲线趋近于点P，求出曲线在点P处切线的斜率.
题型三 曲线在一点处的切线
【例3】 （链接教科书第192页例5）求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1，2）处的切线方程.
通性通法
根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于在该点处的切线斜率.
【跟踪训练】
（2024·泰州月考）抛物线y＝x2在点M（，）处的切线的倾斜角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
1.曲线y＝x2＋x在x＝1处切线的斜率为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
2.已知曲线y＝x2－1上两点A（2，3），B（2＋Δx，3＋Δy），当Δx＝1时，割线AB的斜率为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.求曲线f（x）＝在点（3，3）处的切线方程.
第1课时 曲线上一点处的切线
【基础知识·重落实】
知识点
割线
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.C 当Δx无限趋近于0时，＝＝8＋2Δx无限趋近于常数8，从而y＝f（x）在点A处的切线斜率为8.
3.1 解析：＝＝3x2＋3Δx·x＋（Δx）2，因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点（2，8）处的切线斜率k＝12，所以12a＝12，即a＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解析：S圆≈S正六边形＝6×＝.
跟踪训练
解析：若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝.
【例2】 （1）A （2）C 解析：（1）由切线的概念知，曲线在点P处切线的斜率为－2.
（2）由函数的解析式有Δy＝（－1）－（－1）＝－＝，则＝＝.当Δx＝1时，割线AB的斜率k＝＝＝－.
跟踪训练
解：因为f（2＋h）＝（2＋h）－（2＋h）2＝－h2－3h－2，所以kPQ＝＝＝－h－3，
当点Q沿曲线趋近于点P时，即h趋近于0时，该曲线在点P处切线的斜率为－3.
【例3】 解：由
＝＝Δx，
当Δx无限趋近于0时，可得切线的斜率为k＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×（x－1），即y＝2.
跟踪训练
B ∵点M（，）在抛物线y＝x2上，＝＝1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，∴在点M（，）处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
随堂检测
1.A 设P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1＋Δx），则kPQ＝＝3＋Δx，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于3.故选A.
2.D 当Δx＝1时，割线AB的斜率k＝＝＝＝5.
3.解：当Δx无限趋近于0时，＝9＝－9无限趋近于－，
所以曲线f（x）＝在点（3，3）处的切线斜率为－＝－1.
所以切线方程为y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0.
3 / 3(共48张PPT)
5.1.2
瞬时变化率——导数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬
时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象
2.体会极限思想 数学抽象
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义 直观想象
第1课时
曲线上一点处的切线
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，尤其体现在古
代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限
逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长
时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是
最早出现的“以直代曲”的例子.
【问题】 如何利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段？
知识点 曲线上一点处的切线
名称 割线的斜率 切线的斜率
斜率 设曲线 C 上一点 P （ x ， f
（ x ）），过点 P 的一条直
线交曲线 C 于另一点 Q （ x
＋Δ x ， f （ x ＋Δ x ）），直
线 PQ 称为曲线 C 的
，则割线 PQ 的斜率为
kPQ ＝
割
线
提醒 对曲线上一点处的切线的理解：①过曲线上的一点可以作无数
条割线，但在该点处的切线至多一条；②曲线上某一点处的切线是该
点处的割线的极限位置.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）曲线的切线与曲线有且只有一个公共点. （ × ）
（2）对于曲线上任意一点都可以用割线逼近切线的方法作出过这
点的切线. （ × ）
（3）若曲线在点 P 附近经过放大后可以近似看成直线，则曲线在
点 P 处一定存在切线. （ √ ）
（4）以曲线上某点为切点的曲线的切线可以有两条. （ × ）
×
×
√
×
2. 已知曲线 y ＝ f （ x ）＝2 x2上一点 A （2，8），则点 A 处的切线斜率
为（ ）
A. 4 B. 16
C. 8 D. 2
解析： 当Δ x 无限趋近于0时， ＝
＝8＋2Δ x 无限趋近于常数8，从而 y ＝ f （ x ）在点 A 处的切线斜率
为8.
3. （2024·南通月考）已知曲线 y ＝ x3在点（2，8）处的切线斜率为12
a ，则实数 a 的值为 .
解析： ＝ ＝3 x2＋3Δ x · x ＋（Δ x ）2，因为当Δ x 无
限趋近于0时， 无限趋近于3 x2，所以曲线在点（2，8）处的切线
斜率 k ＝12，所以12 a ＝12，即 a ＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 以直代曲思想
【例1】 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、
无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1的圆内
接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面
积的近似值为 .
解析： S圆≈ S正六边形＝6× ＝ .
通性通法
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼
近”“量变到质变”“近似与精确”的思想.
解析：若把曲线 AB 近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三
角形的面积 S ＝ ×1×3＝ .
题型二 曲线的割线和切线
【例2】 （1）已知点 P （－1，1）为曲线上的一点， PQ 为曲线的
割线，当Δ x 无限趋近于0时，若 kPQ 无限趋近于－2，则曲线在点 P 处
的切线的斜率为（ A ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析：由切线的概念知，曲线在点 P 处切线的斜率为－2.
（2）（2024·镇江月考）已知曲线 y ＝ －1上两点 A （2，－ ）， B
（2＋Δ x ，－ ＋Δ y ），当Δ x ＝1时，割线 AB 的斜率为
（ C ）
D. 1
解析：由函数的解析式有Δ y ＝（ －1）－（ －1）＝
－ ＝ ，则 ＝ ＝ .当Δ x ＝1时，
割线 AB 的斜率 k ＝ ＝ ＝－ .
通性通法
一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲
线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变
成了这条曲线的切线.
【跟踪训练】
写出曲线 f （ x ）＝ x － x2过点 P （2，－2）， Q （2＋ h ， f （2＋
h ））的割线的斜率，再让点 Q 沿曲线趋近于点 P ，求出曲线在点 P 处
切线的斜率.
解：因为 f （2＋ h ）＝（2＋ h ）－（2＋ h ）2＝－ h2－3 h －2，所以
kPQ ＝ ＝ ＝－ h －3，
当点 Q 沿曲线趋近于点 P 时，即 h 趋近于0时，该曲线在点 P 处切线的
斜率为－3.
题型三 曲线在一点处的切线
【例3】 （链接教科书第192页例5）求抛物线 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3在
点（1，2）处的切线方程.
解：由 ＝ ＝Δ x ，
当Δ x 无限趋近于0时，可得切线的斜率为 k ＝0.
所以切线的方程为 y －2＝0×（ x －1），即 y ＝2.
通性通法
根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方
程，只需求出切线的斜率，即在该点处，当Δ x 无限趋近于0时， 无
限趋近于在该点处的切线斜率.
【跟踪训练】
（2024·泰州月考）抛物线 y ＝ x2在点 M （ ， ）处的切线的倾斜角
是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： ∵点 M （ ， ）在抛物线 y ＝ x2上， ＝
＝1＋Δ x ，当Δ x 无限趋近于0时， 无限趋近于
1，∴在点 M （ ， ）处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
1. 曲线 y ＝ x2＋ x 在 x ＝1处切线的斜率为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 设 P （1，2）， Q （1＋Δ x ，（1＋Δ x ）2＋1＋Δ x ），
则 kPQ ＝ ＝3＋Δ x ，当Δ x 无限趋近于0时， kPQ 无
限趋近于3.故选A.
2. 已知曲线 y ＝ x2－1上两点 A （2，3）， B （2＋Δ x ，3＋Δ y ），当Δ
x ＝1时，割线 AB 的斜率为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 当Δ x ＝1时，割线 AB 的斜率 k ＝ ＝
＝ ＝5.
3. 求曲线 f （ x ）＝ 在点（3，3）处的切线方程.
解：当Δ x 无限趋近于0时， ＝9 ＝－9
无限趋近于－ ，
所以曲线 f （ x ）＝ 在点（3，3）处的切线斜率为－ ＝－1.
所以切线方程为 y －3＝－（ x －3），即 x ＋ y －6＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知抛物线 f （ x ）＝ x2＋4上两点 A ， B ， xA ＝1， xB ＝1.3，则直
线 AB 的斜率为（ ）
A. 2 B. 2.3
C. 2.09 D. 2.1
解析： ∵ f （1）＝5， f （1.3）＝5.69，∴直线 AB 的斜率 kAB
＝ ＝ ＝2.3，故选B.
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2. 已知抛物线 y ＝ x2，抛物线上有一点 P （1， ）， Q 是抛物线上点
P 附近的一点，则点 Q 的坐标为（ ）
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解析： 当 x ＝1＋Δ x 时， y ＝ （1＋Δ x ）2，点 Q 的坐标为（1
＋Δ x ， （1＋Δ x ）2），故选C.
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3. 如图，直线 l 是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝4处的切线，则直线 l 的斜率
为（ ）
B. 3
C. 4 D. 5
解析： 设曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝4处的切线 l 的斜率为 k ，可得 k
＝ ＝ ，故选A.
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4. （2024·南京月考）已知函数 f （ x ）＝ x2图象上四点 A （1， f
（1））， B （2， f （2））， C （3， f （3））， D （4， f
（4）），割线 AB ， BC ， CD 的斜率分别为 k1， k2， k3，则
（ ）
A. k1＜ k2＜ k3 B. k2＜ k1＜ k3
C. k3＜ k2＜ k1 D. k1＜ k3＜ k2
解析： k1＝ ＝4－1＝3， k2＝ ＝9－4
＝5， k3＝ ＝16－9＝7，∴ k1＜ k2＜ k3.
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5. 已知曲线 y ＝ x3在点 P 处的切线的斜率 k ＝3，则点 P 的坐标是
（ ）
A. （1，1）
B. （－1，1）
C. （1，1）或（－1，－1）
D. （2，8）或（－2，－8）
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解析： ∵ y ＝ x3，∴Δ y ＝（ x ＋Δ x ）3－ x3，则 ＝3 x2＋3 x ·Δ
x ＋（Δ x ）2，当Δ x 无限趋近于0时，可得 k ＝3 x2＝3，解得 x ＝1或
x ＝－1，当 x ＝1时 y ＝1；当 x ＝－1时， y ＝－1.故点 P 的坐标为
（1，1）或（－1，－1）.故选C.
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6. （2024·宿迁月考）近两年为抑制房价上涨过快，政府出台了一系
列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地
房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规
定的时间 T 内完成房产供应量任务 Q . 已知房产供应量 Q 与时间 t 的
函数关系可用函数图象表示，则在以下四种房产供应方案中，供应
效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）
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解析： 单位时间的供应量逐步提高对应供应量的增长速度越来
越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是
上升的，且越来越陡，故函数的图象应是下凹的.
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7. 曲线 y ＝ 在点 P （2，1）处的切线方程为（ ）
A. x ＝1 B. y ＝1
C. x ＋ y －3＝0 D. x － y ＋3＝0
解析： Δ y ＝ － ＝ －1＝ ，当Δ x 无限趋近于
0时， ＝ 无限趋近于－1，所以曲线 y ＝ 在点 P （2，1）
处的切线斜率为－1，故其切线方程为 y －1＝－1（ x －2），即 x ＋
y －3＝0.
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8. 过曲线 y ＝ x2上两点 A （2，4）和 B （2＋Δ x ，4＋Δ y ）作割线，当
Δ x ＝0.1时，割线 AB 的斜率为 .
解析： kAB ＝ ＝ ＝ ＝Δ x ＋4，所以当Δ x
＝0.1时，割线 AB 的斜率为4.1.
4.1
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9. 若曲线 y ＝ x2＋ ax ＋ b 在点（0， b ）处的切线方程是 x － y ＋1＝
0，则 a ， b 的值分别为 ， .
解析：∵Δ y ＝ f （Δ x ）－ f （0）＝[（Δ x ）2＋ a Δ x ＋ b ]－ b ＝（Δ
x ）2＋ a Δ x ，∴ ＝Δ x ＋ a ，当Δ x 趋近于0时， 趋近于常数 a ，
∴函数 y ＝ x2＋ ax ＋ b 在点（0， b ）处的切线的斜率为 a ，则 a ＝
1.∵点（0， b ）在切线 x － y ＋1＝0上，则 b ＝1，∴ a ， b 的值均
为1.
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10. （2024·苏州月考）当 h 无限趋近于0时， 无限趋近
于 ， 无限趋近于 .
解析： ＝ ＝8＋ h ，当 h 无限趋近于0时，8＋ h
无限趋近于8. ＝ ＝ ，当 h 无限趋近于0
时， 无限趋近于 .
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11. 若曲线 y ＝ ax2在 x ＝ a 处的切线与直线2 x － y －1＝0平行，则 a ＝
（ ）
A. －1 B. 1
C. －1或1
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解析： 根据题意得 ＝ ＝2 a2＋ a ·Δ x ，当Δ x
无限趋近于0时， 无限趋近于2 a2，故2 a2＝2，∴ a ＝±1，当 a
＝1时， y ＝ x2，切点是（1，1），切线的斜率 k ＝2，故切线方程
是 y －1＝2（ x －1），即2 x － y －1＝0，此时与直线2 x － y －1＝
0重合，故 a ＝－1.
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12. 在曲线 y ＝ x3＋3 x2＋6 x －10的切线中，斜率最小的切线方程为
.
解析：设切点为 P （ x0， y0），曲线在点 P 处的切线斜率为 k ，
＝ [（ x0＋Δ x ）3＋3（ x0＋Δ x ）2＋6（ x0＋Δ x ）－10－（ ＋
3 ＋6 x0－10）]＝3 ＋6 x0＋6＋（Δ x ）2＋（3 x0＋3）Δ x ，当
Δ x 无限趋近于0时， 无限趋近于3 ＋6 x0＋6＝3（ x0＋1）2＋
3.所以 k ＝3（ x0＋1）2＋3.当 x0＝－1时， k 有最小值3，此时点 P
的坐标为（－1，－14），其切线方程为3 x － y －11＝0.
3 x
－ y －11＝0
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13. 若抛物线 y ＝4 x2上的点 P 到直线 y ＝4 x －5的距离最短，求点 P 的
坐标.
解：由点 P 到直线 y ＝4 x －5的距离最短知，过点 P 的切线方程与
直线 y ＝4 x －5平行，
设 P （ x0， y0），
则 ＝
＝
＝8 x ＋4Δ x ，
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当Δ x 无限趋近于0时， 无限趋近于8 x ，
由 得
故所求的点为 P （ ，1）.
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