第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
1.某质点沿曲线运动的方程为f（x）＝－2x2＋1（x表示时间，f（x）表示位移），则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为（ ）
A.－4 B.－8
C.6 D.－6
2.一质点的运动方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（ ）
A.－3 B.3
C.6 D.－6
3.一物体运动的速度方程为v（t）＝t2＋3，则t＝2时物体的瞬时加速度为（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
4.（2024·无锡质检）某质点的运动方程是f（x）＝x2－1，其在区间[1，m]上的平均速度为3，则实数m的值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
5.（多选）已知自由落体的运动方程为s（t）＝5t2，则下列结论正确的是（ ）
A.t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20＋5Δt
B.t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20
C.落体在t＝2时的瞬时速度为20
D.落体在t＝2时的瞬时速度为25
6.（多选）已知物体作自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8，则9.8是（ ）
A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度
C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率
7.一物体的运动方程为S＝3t2－2，则其在t＝ 时的瞬时速度为1.
8.已知某物体的位移S（m）与时间t（s）的关系是S（t）＝3t－t2.则t＝0 s到t＝2 s的平均速度为 ；此物体在t＝2 s时的瞬时速度为 .
9.（2024·徐州月考）高台跳水运动员在t秒时距水面高度h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10（单位：米），则该运动员的初速度为 米/秒.
10.飞机起飞一段时间内，第t s时的高度h（t）＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中高度h的单位为m，时间t的单位为s.
（1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？
（2）求第2 s内的平均速度；
（3）求第2 s末的瞬时速度.
11.（2024·扬州质检）甲、乙的速度v与时间t的关系如图，a（t0）是在t＝t0时的加速度，S（t0）是从t＝0到t＝t0的路程，则下列说法正确的是（ ）
A.a甲（t0）＝a乙（t0） B.a甲（t0）＜a乙（t0）
C.S甲（t0）＝S乙（t0） D.S甲（t0）＜S乙（t0）
12.火车开出车站一段时间内，速度v（单位：米/秒）与行驶时间t（单位：秒）之间的关系是v（t）＝0.6t2＋0.4t，则火车加速度为2.8米/秒2时，刚好开出了（ ）
A.秒 B.2秒 C.秒 D.秒
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t＝2时的瞬时变化率是 .
14.一物体的运动方程如下（位移：m，时间：s）：S＝
（1）求物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）求物体的初速度；
（3）求物体在t＝1时的瞬时速度.
15.（2024·南京月考）某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c（元）与产量x（台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7 000x＋600.
（1）求产量为1 000台的总利润与平均利润；
（2）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
（3）当Δx无限趋近于0时，求与，并说明它们的实际意义.
第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
1.D 由题意得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.
2.D 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6，即质点在t＝1时的瞬时速度是－6.
3.A 因为＝＝2t＋Δt.所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t.所以t＝2时物体的瞬时加速度为4.
4.D 根据题意，该质点在区间[1，m]上的平均速度为＝＝m＋1，则有m＋1＝3，解得m＝2.
5.AC 由题知物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为v＝＝20＋5Δt，则当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于20，即t＝2时的瞬时速度为20.
6.CD 由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
7. 解析：＝＝6t＋3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6t，因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝.
8.1 m/s －1 m/s 解析：v＝＝1（m/s）.＝
＝
＝－1－Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，∴此物体在t＝2 s时的瞬时速度为－1 m/s.
9.6.5 解析：＝＝－4.9Δt＋6.5，∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，∴该运动员的初速度为6.5米/秒.
10.解：（1）h（0）表示飞机起飞前的高度；
h（1）表示飞机起飞后第1 s时的高度；
h（2）表示飞机起飞后第2 s时的高度.
（2）飞机起飞后第2 s内的平均速度＝＝
＝170（m/s）.
（3）第2 s末的瞬时速度为＝＝
－
＝
＝5（Δt）2＋60Δt＋225.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于225.
∴第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
11.B 加速度是速度对时间的函数的切线斜率，由图可得在t＝t0处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在t＝t0处的加速度小于乙在t＝t0处的加速度；由图知，从t＝0到t＝t0，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝t0的路程大于乙从t＝0到t＝t0的路程.
12.B 由题意可知，＝
＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t＝2.8，得t＝2秒.
13.2 解析：∵S（t）＝OA·AB＝·t·t＝t2，＝＝＝t＋，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于t，∴S（t）在t＝2时的瞬时变化率是2.
14.解：（1）在t∈[3，5]内，物体的运动方程S＝3t2＋2，
则该段时间内的位移ΔS＝（3×25＋2）－（3×9＋2）＝48（m），
可知平均速度v＝＝＝24（m/s）.
（2）当0≤t＜3时，S＝29＋3（t－3）2＝3t2－18t＋56，
物体的初速度即物体在t＝0时的瞬时速度，当t＝0时，
＝＝3Δt－18，
当Δt无限趋近于0时，物体的初速度为－18 m/s.
（3）当t＝1时，＝
＝3Δt－12，当Δt趋近于0时，趋近于－12，
故t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
15.解：（1）产量为1 000台时的总利润为c（1 000）＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600（元），
平均利润为＝5 000.6（元）.
（2）当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
＝＝2 000（元）.
（3）∵当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－4x＋7 000，
∴＝3 000，
＝1 000，
它们指的是当产量为1 000台时，生产一台机械可多获利3 000元；而当产量为1 500台时，生产一台机械可多获利1 000元.
2 / 2第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
知识点 瞬时速度与瞬时加速度
1.平均速度：在物理学中，运动物体的位移与 的比称为平均速度.
提醒 （1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应；
（2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同.
2.瞬时速度：一般地，如果当Δt 趋近于0时，运动物体位移S（t）的平均变化率 无限趋近于一个 ，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率.
提醒 瞬时速度与平均速度的区别和联系：①区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关；②联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
3.瞬时加速度：一般地，如果当Δt 趋近于0时，运动物体速度v（t）的平均变化率 无限趋近于一个 ，那么这个常数称为物体在 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）瞬时加速度是速度的极限值.（ ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时，s（t0＋Δt）＞s（t0）.（ ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物理量.（ ）
2.某物体运动t s后，其位移（单位：m）为y＝t2＋2t.在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
3.如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为（ ）
A.6 B.18
C.54 D.81
4.（2024·镇江月考）一质点沿直线作加速运动，假设t秒时的速度为v（t）＝t2＋10，求质点在t＝3时的瞬时加速度.
题型一 平均速度
【例1】 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.甲、乙两人的平均速度各是多少？
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）；
（2）再计算时间的改变量t2－t1；
（3）得平均速度＝.
【跟踪训练】
一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.6
题型二 瞬时速度
【例2】 （链接教科书第195页练习2题）某物体运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数S（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1时的瞬时速度.
【母题探究】
（变设问）若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
通性通法
求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1）求位移改变量ΔS＝S（t0＋Δt）－S（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度.
【跟踪训练】
（2024·盐城月考）一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝ .
题型三 瞬时加速度
【例3】 （链接教科书第194页例6）一辆汽车从停止状态开始加速行驶，并且前5 s的速度v（m/s）与时间t（s）的关系可近似地表示为v＝－t2＋10t，0＜t≤5，则汽车在t＝1 s时的瞬时加速度为（ ）
A.10 m/s2 B.9 m/s2
C.8 m/s2 D.7 m/s2
通性通法
1.瞬时加速度即为瞬时速度在Δt无限趋近于0时的极限值，要求瞬时加速度应先求出质点运动速度关于时间的函数.
2.瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化快慢的物理量.
【跟踪训练】
某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）＝（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（ ）
A.t1 B.t2
C.t3 D.t4
1.质点运动规律S＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]中，质点的平均速度等于（ ）
A.6＋Δt B.6＋Δt＋
C.3＋Δt D.9＋Δt
2.（2024·南通月考）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是y＝－t2＋9t，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度为（ ）
A.3 B.6
C.12 D.16
3.某物体的运动速度与时间的关系为v（t）＝2t2－1，则t＝2时的瞬时加速度为（ ）
A.2 B.－2
C.8 D.－8
第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
【基础知识·重落实】
知识点
1.所用时间 2.无限
常数 3.无限 常数 t＝t0
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.A 当t＝2时，位移为×22＋2×2＝6，当t＝4时，位移为×42＋2×4＝16，在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为＝5 m/s.故选A.
3.B ∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，即质点A在t0＝3时的瞬时速度为18.
4.解：质点在t＝3到t＝3＋Δt的时间内平均加速度为＝＝＝＝6＋Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6，
即质点在t＝3时的瞬时加速度为6.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s，
所以＝＝＝＝（m/s）.
跟踪训练
B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1.
【例2】 解：在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度＝＝＝
＝3＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3，
∴S（t）在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1时的瞬时速度为3 m/s.
母题探究
解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，
∴S（t）在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
跟踪训练
2 解析：因为＝＝＝4a＋aΔt，当Δt无限趋近于0时，4a＋aΔt无限趋近于4a，即质点M在t＝2 s时的瞬时速度为4a m/s，由4a＝8，得a＝2.
【例3】 C 由题意得，＝
＝－2t＋10－Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－2t＋10，则汽车在t＝1 s时的瞬时加速度为8 m/s2.
跟踪训练
C 如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线所在直线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V（t）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3.
随堂检测
1.A 平均速度为＝＝6＋Δt.
2.A Δy＝－（3＋Δt）2＋9（3＋Δt）－（－9＋27）＝－9－（Δt）2－6Δt＋27＋9Δt＋9－27＝－（Δt）2＋3Δt，所以＝＝－Δt＋3，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3，故选A.
3.C 由题意知，＝＝4t＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4t，则该物体在t＝2时的瞬时加速度为8.
3 / 3(共59张PPT)
第2课时
瞬时速度与瞬时加速度
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为 s ＝8＋3 t2，其中 s 表示位移， t 表示时
间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员
进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
【问题】 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学
意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学
上称为什么？
知识点 瞬时速度与瞬时加速度
1. 平均速度：在物理学中，运动物体的位移与 的比称为
平均速度.
提醒 （1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，
它与一段位移或一段时间相对应；
（2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相
同，与运动方向不一定相同.
所用时间
提醒 瞬时速度与平均速度的区别和联系：①区别：瞬时速度刻画
物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时
间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关；②联系：瞬时速
度是平均速度的极限值.
无限
常
数
3. 瞬时加速度：一般地，如果当Δ t 趋近于0时，运动物体速
度 v （ t ）的平均变化率 无限趋近于一
个 ，那么这个常数称为物体在 时的瞬时加速
度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.
无限
常数
t ＝ t0
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）瞬时加速度是速度的极限值. （ × ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时， s （ t0＋Δ t ）＞ s （ t0）.
（ × ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[ t0， t0＋Δ t ]（Δ t ＞0）上变化快
慢的物理量. （ × ）
×
×
×
2. 某物体运动 t s后，其位移（单位：m）为 y ＝ t2＋2 t .在2≤ t ≤4这
段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A. 5 m/s B. 6 m/s
C. 8 m/s D. 10 m/s
解析： 当 t ＝2时，位移为 ×22＋2×2＝6，当 t ＝4时，位移为
×42＋2×4＝16，在2≤ t ≤4这段时间里，该物体的平均速度为
＝5 m/s.故选A.
3. 如果质点 A 按照规律 s （ t ）＝3 t2运动，则在 t0＝3时的瞬时速度为
（ ）
A. 6 B. 18
C. 54 D. 81
解析： ∵ s （ t ）＝3 t2， t0＝3，∴Δ s ＝ s （ t0＋Δ t ）－ s （ t0）
＝3（3＋Δ t ）2－3×32＝18Δ t ＋3（Δ t ）2.∴ ＝18＋3Δ t .当Δ t 无
限趋近于0时， 无限趋近于18，即质点 A 在 t0＝3时的瞬时速度为
18.
4. （2024·镇江月考）一质点沿直线作加速运动，假设 t 秒时的速度为
v （ t ）＝ t2＋10，求质点在 t ＝3时的瞬时加速度.
解：质点在 t ＝3到 t ＝3＋Δ t 的时间内平均加速度为 ＝ ＝
＝ ＝6＋Δ t ，
当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于6，
即质点在 t ＝3时的瞬时加速度为6.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平均速度
【例1】 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.甲、
乙两人的平均速度各是多少？
解：由题图可知，当 t ＝0时，甲、乙从起点出发，当 t ＝12 s时，甲、
乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即 y总＝100 m， t总＝
12 s，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ （m/s）.
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量 s （ t2）－ s （ t1）；
（2）再计算时间的改变量 t2－ t1；
（3）得平均速度 ＝ .
【跟踪训练】
一个物体做直线运动，位移 s （单位：m）与时间 t （单位：s）之间的
函数关系为 s （ t ）＝5 t2＋ bt ，且这一物体在2≤ t ≤3这段时间内的平
均速度为26 m/s，则实数 b ＝（ ）
A. 2 B. 1
C. －1 D. 6
解析： 由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3 b ）－
（5×22＋2 b ）＝26，解得 b ＝1.
题型二 瞬时速度
【例2】 （链接教科书第195页练习2题）某物体运动的位移 S （单
位：m）与时间 t （单位：s）的关系可用函数 S （ t ）＝ t2＋ t ＋1表
示，求物体在 t ＝1时的瞬时速度.
解：在1到1＋Δ t 的时间内，物体的平均速度 ＝ ＝
＝ ＝3＋Δ t ，
∴当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于3，
∴ S （ t ）在 t ＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在 t ＝1时的瞬时速度为3 m/s.
【母题探究】
（变设问）若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解：求物体的初速度，即求物体在 t ＝0时的瞬时速度.
∵ ＝
＝ ＝1＋Δ t ，
∴当Δ t 无限趋近于0时，1＋Δ t 无限趋近于1，
∴ S （ t ）在 t ＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
通性通法
求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1）求位移改变量Δ S ＝ S （ t0＋Δ t ）－ S （ t0）；
（2）求平均速度 ＝ ；
（3）求瞬时速度，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于的常数 v 即为
瞬时速度.
【跟踪训练】
（2024·盐城月考）一质点 M 按运动方程 s （ t ）＝ at2＋1做直线运动
（位移单位：m，时间单位：s），若质点 M 在 t ＝2 s时的瞬时速度为
8 m/s，则常数 a ＝ .
解析：因为 ＝ ＝ ＝4 a ＋ a Δ t ，当Δ t
无限趋近于0时，4 a ＋ a Δ t 无限趋近于4 a ，即质点 M 在 t ＝2 s时的瞬
时速度为4 a m/s，由4 a ＝8，得 a ＝2.
2
题型三 瞬时加速度
【例3】 （链接教科书第194页例6）一辆汽车从停止状态开始加速
行驶，并且前5 s的速度 v （m/s）与时间 t （s）的关系可近似地表示为
v ＝－ t2＋10 t ，0＜ t ≤5，则汽车在 t ＝1 s时的瞬时加速度为（ ）
A. 10 m/s2 B. 9 m/s2
C. 8 m/s2 D. 7 m/s2
解析： 由题意得， ＝ ＝－2 t ＋
10－Δ t ，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于－2 t ＋10，则汽车在 t
＝1 s时的瞬时加速度为8 m/s2.
通性通法
1. 瞬时加速度即为瞬时速度在Δ t 无限趋近于0时的极限值，要求瞬时
加速度应先求出质点运动速度关于时间的函数.
2. 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变
化快慢的物理量.
【跟踪训练】
某堆雪在融化过程中，其体积 V （单位：m3）与融化时间 t （单位：
h）近似满足函数关系： V （ t ）＝ （ H 为常数），其
图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，
观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（ ）
A. t1 B. t2
C. t3 D. t4
解析： 如图所示，平均融化速度实际上是点 A 与点
B 连线所在直线的斜率 k ；瞬时融化速度实际上是曲线
V （ t ）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线在 t3时
刻的切线斜率与 k 相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的
时刻是 t3.
1. 质点运动规律 S ＝ t2＋3，则在时间[3，3＋Δ t ]中，质点的平均速
度等于（ ）
A. 6＋Δ t
C. 3＋Δ t D. 9＋Δ t
解析： 平均速度为 ＝ ＝6＋Δ t .
2. （2024·南通月考）一物体做直线运动，其位移 y （单位：m）与时
间 t （单位：s）的关系是 y ＝－ t2＋9 t ，则该物体在 t ＝3 s时的瞬时
速度为（ ）
A. 3 B. 6
C. 12 D. 16
解析： Δ y ＝－（3＋Δ t ）2＋9（3＋Δ t ）－（－9＋27）＝－9
－（Δ t ）2－6Δ t ＋27＋9Δ t ＋9－27＝－（Δ t ）2＋3Δ t ，所以 ＝
＝－Δ t ＋3，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于3，故
选A.
3. 某物体的运动速度与时间的关系为 v （ t ）＝2 t2－1，则 t ＝2时的瞬
时加速度为（ ）
A. 2 B. －2
C. 8 D. －8
解析： 由题意知， ＝ ＝4 t ＋2Δ t ，当Δ t
无限趋近于0时， 无限趋近于4 t ，则该物体在 t ＝2时的瞬时加速
度为8.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某质点沿曲线运动的方程为 f （ x ）＝－2 x2＋1（ x 表示时间， f
（ x ）表示位移），则该质点从 x ＝1到 x ＝2的平均速度为（ ）
A. －4 B. －8
C. 6 D. －6
解析： 由题意得该质点从 x ＝1到 x ＝2的平均速度为
＝ ＝－6.
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2. 一质点的运动方程为 S ＝5－3 t2，若该质点在时间段[1，1＋Δ t ]内
相应的平均速度为－3Δ t －6，则该质点在 t ＝1时的瞬时速度是
（ ）
A. －3 B. 3
C. 6 D. －6
解析： 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δ t 无限趋近于0
时， 无限趋近于－6，即质点在 t ＝1时的瞬时速度是－6.
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3. 一物体运动的速度方程为 v （ t ）＝ t2＋3，则 t ＝2时物体的瞬时加
速度为（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 因为 ＝ ＝2 t ＋Δ t .所以当Δ t 无限趋
近于0时， 无限趋近于2 t .所以 t ＝2时物体的瞬时加速度为4.
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4. （2024·无锡质检）某质点的运动方程是 f （ x ）＝ x2－1，其在区间
[1， m ]上的平均速度为3，则实数 m 的值为（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析： 根据题意，该质点在区间[1， m ]上的平均速度为 ＝
＝ m ＋1，则有 m ＋1＝3，解得 m ＝2.
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5. （多选）已知自由落体的运动方程为 s （ t ）＝5 t2，则下列结论正
确的是（ ）
A. t 在2到2＋Δ t 这一段时间内落体的平均速度为20＋5Δ t
B. t 在2到2＋Δ t 这一段时间内落体的平均速度为20
C. 落体在 t ＝2时的瞬时速度为20
D. 落体在 t ＝2时的瞬时速度为25
解析： 由题知物体在 t ＝2到 t ＝2＋Δ t 这一段时间内的平均速
度为 v ＝ ＝20＋5Δ t ，则当Δ t 无限趋近于0时， v 无
限趋近于20，即 t ＝2时的瞬时速度为20.
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6. （多选）已知物体作自由落体运动的位移函数为 s （ t ）＝ gt2， g
＝9.8，若 v ＝ ，当Δ t 无限趋近于0时， v 趋近于
9.8，则9.8是（ ）
A. 物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B. 物体从1 s到（1＋Δ t ）s这段时间的平均速度
C. 物体在 t ＝1 s这一时刻的瞬时速度
解析：由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
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7. 一物体的运动方程为 S ＝3 t2－2，则其在 t ＝ 时的瞬时速度为1.
解析： ＝ ＝6 t ＋3Δ t .当Δ t 无限趋近于0时，
无限趋近于6 t ，因为瞬时速度为1，故6 t ＝1，即 t ＝ .
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8. 已知某物体的位移 S （m）与时间 t （s）的关系是 S （ t ）＝3 t － t2.
则 t ＝0 s到 t ＝2 s的平均速度为 ；此物体在 t ＝2 s时的瞬时速
度为 .
1 m/s
－1 m/s
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解析： v ＝ ＝1（m/s）.
＝
＝ ＝－1－Δ t ，
当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于－1，∴此物体在 t ＝2 s时的瞬
时速度为－1 m/s.
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9. （2024·徐州月考）高台跳水运动员在 t 秒时距水面高度 h （ t ）
＝－4.9 t2＋6.5 t ＋10（单位：米），则该运动员的初速度
为 米/秒.
解析： ＝ ＝－4.9Δ t ＋6.5，∵当Δ t 无限
趋近于0时，－4.9Δ t ＋6.5无限趋近于6.5，∴该运动员的初速度
为6.5米/秒.
6.5
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10. 飞机起飞一段时间内，第 t s时的高度 h （ t ）＝5 t3＋30 t2＋45 t ＋
4，其中高度 h 的单位为m，时间 t 的单位为s.
（1） h （0）， h （1）， h （2）分别表示什么？
解：h （0）表示飞机起飞前的高度；
h （1）表示飞机起飞后第1 s时的高度；
h （2）表示飞机起飞后第2 s时的高度.
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（2）求第2 s内的平均速度；
解：飞机起飞后第2 s内的平均速度 ＝ ＝
＝170（m/s）.
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解：第2 s末的瞬时速度为 ＝ ＝
－
＝
＝5（Δ t ）2＋60Δ t ＋225.
当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于225.
∴第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
（3）求第2 s末的瞬时速度.
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11. （2024·扬州质检）甲、乙的速度 v 与时间 t 的关系如图， a （ t0）
是在 t ＝ t0时的加速度， S （ t0）是从 t ＝0到 t ＝ t0的路程，则下列
说法正确的是（ ）
A. a甲（ t0）＝ a乙（ t0） B. a甲（ t0）＜ a乙（ t0）
C. S甲（ t0）＝ S乙（ t0） D. S甲（ t0）＜ S乙（ t0）
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解析： 加速度是速度对时间的函数的切线斜率，由图可得在 t
＝ t0处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在 t ＝ t0处的加速
度小于乙在 t ＝ t0处的加速度；由图知，从 t ＝0到 t ＝ t0，甲的速度
总大于等于乙的速度，所以甲从 t ＝0到 t ＝ t0的路程大于乙从 t ＝0
到 t ＝ t0的路程.
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12. 火车开出车站一段时间内，速度 v （单位：米/秒）与行驶时间 t
（单位：秒）之间的关系是 v （ t ）＝0.6 t2＋0.4 t ，则火车加速度
为2.8米/秒2时，刚好开出了（ ）
B. 2秒
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解析： 由题意可知， ＝
＝0.4＋1.2 t ＋0.6Δ t ，当Δ t 无限趋近于0时， 无限趋近于0.4＋
1.2 t ，由0.4＋1.2 t ＝2.8，得 t ＝2秒.
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13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝ x ， y ＝0， x ＝ t （ t
＞0）围成的△ OAB 的面积为 S （ t ），则 S （ t ）在 t ＝2时的瞬时
变化率是 .
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解析：∵ S （ t ）＝ OA · AB ＝ · t · t ＝ t2， ＝
＝ ＝ t ＋ ，当Δ t 无限趋
近于0时， 无限趋近于 t ，∴ S （ t ）在 t ＝2时的瞬时变化率
是2 .
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14. 一物体的运动方程如下（位移：m，时间：s）： S ＝
（1）求物体在 t ∈[3，5]内的平均速度；
解： 在 t ∈[3，5]内，物体的运动方程 S ＝3 t2＋2，
则该段时间内的位移Δ S ＝（3×25＋2）－（3×9＋2）＝48（m），
可知平均速度 v ＝ ＝ ＝24（m/s）.
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（2）求物体的初速度；
解：当0≤ t ＜3时， S ＝29＋3（ t －3）2＝3 t2－18 t ＋56，
物体的初速度即物体在 t ＝0时的瞬时速度，当 t ＝0时，
＝ ＝3Δ t －18，
当Δ t 无限趋近于0时，物体的初速度为－18 m/s.
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（3）求物体在 t ＝1时的瞬时速度.
解：当 t ＝1时， ＝
＝3Δ t －12，当Δ t 趋近于0时， 趋近于－12，
故 t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
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15. （2024·南京月考）某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总
利润 c （元）与产量 x （台）之间的关系式为 c （ x ）＝－2 x2＋7
000 x ＋600.
（1）求产量为1 000台的总利润与平均利润；
解：产量为1 000台时的总利润为 c （1 000）＝－2×1
0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600（元），
平均利润为 ＝5 000.6（元）.
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（2）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
解：当产量由1 000台提高到1 500台时，
总利润的平均改变量为 ＝
＝2 000（元）.
（3）当Δ x 无限趋近于0时，求 与
，并说明它们的实际意义.
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解：∵当Δ x 无限趋近于0时，
无限趋近于－4 x ＋7 000，
∴ ＝3 000，
＝1 000，
它们指的是当产量为1 000台时，生产一台机械可多获利
3 000元；而当产量为1 500台时，生产一台机械可多获利1000元.
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谢 谢 观 看！
