第3课时 导数
1.设f'（x0）＝0，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线（ ）
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
2.已知f（x）＝x2，则f'（2）＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.（2024·宿迁月考）已知函数f（x）满足f'（x1）＞0，f'（x2）＜0，则在x1和x2附近符合条件的f（x）的图象大致是（ ）
4.已知曲线f（x）＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
5.设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f'（x0）＝（ ）
A.1 B.－1
C.－ D.
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线
B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在
7.设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝ .
8.函数y＝（x－1）2的导数y'＝ .
9.（2024·盐城月考）请根据图中的函数图象，将下列数值按从小到大的顺序排列为 （填序号）.
①曲线在点A处切线的斜率；②曲线在点B处切线的斜率；③曲线在点C处切线的斜率；④割线AB的斜率；⑤数值0；⑥数值1.
10.求函数f（x）＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
11.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，1）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
12.若函数f（x）的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
13.（2024·南通质检）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋的图象在点（1，m）处的切线，则a＋b＝ ，m＝ .
14.某铜管厂生产铜管的利润函数为P（n）＝－n3＋600n2＋67 500n－1 200 000，其中n为工厂每月生产该铜管的根数，利润P（n）的单位是元.
（1）求利润函数P'（n）＝0时n的值；
（2）解释（1）中n的实际意义.
15.（2024·苏州质检）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－（f'（x0）≠0），称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解.
（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
（2）证明：x4＝x0－－－－.
第3课时 导数
1.B 因为f'（x0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为0，故切线与x轴平行或重合.
2.D f'（2）＝＝＝（4＋Δx）＝4.
3.D 由f'（x1）＞0，f'（x2）＜0可知，f（x）的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
4.D ∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－x2－x＝x·Δx＋（Δx）2＋Δx，∴＝x＋Δx＋1，∴f'（x）＝＝x＋1.设切点坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
5.C ∵＝
［·（－3）］＝－3f'（x0）＝1，∴f'（x0）＝－.故选C.
6.AC k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故A、C正确.
7.3 解析：因为f'（1）＝＝＝a，所以a＝3.
8.2（x－1） 解析：y'＝
＝
＝＝2x－2＝2（x－1）.
9.③⑤②④⑥① 解析：由图象可知：曲线在点A处的瞬时变化率大于y＝x的变化率，则曲线在点A处的切线斜率kA＞1；曲线在点B处的瞬时变化率为正且小于y＝x的变化率，则曲线在点B处的切线斜率0＜kB＜1；曲线在点C处的瞬时变化率为负，则曲线在点C处的切线斜率kC＜0；割线AB的斜率为正且小于y＝x的变化率，则割线AB的斜率0＜kAB＜1；又曲线在点B处的切线斜率小于割线AB的斜率，∴0＜kB＜kAB＜1；综上所述，按照从小到大的顺序排列为③⑤②④⑥①.
10.解：Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）
＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴f'（3）＝＝（2Δx＋16）＝16.
11.C y＝x＋上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y'＝
＝（1－）＝1－＜1，即k＜1，故选C.
12.A 函数f（x）的导函数f'（x）在[a，b]上单调递增，若对任意x1和x2满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.
13.5 3 解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，因为f'（1）＝＝（a－）＝a－2，所以曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
14.解：（1）因为Δy＝P（n＋Δn）－P（n）＝－（n＋Δn）3＋600（n＋Δn）2＋67 500（n＋Δn）－1 200 000－（－n3＋600n2＋67 500n－1 200 000）
＝（－3n2＋1 200n＋67 500）Δn＋（－3n＋600－Δn）（Δn）2，
所以＝－3n2＋1 200n＋67 500＋（－3n＋600－Δn）Δn.
当Δn无限趋近于0时，无限趋近于－3n2＋1 200n＋67 500.
所以P'（n）＝－3n2＋1 200n＋67 500.
由P'（n）＝0，即－3n2＋1 200n＋67 500＝0.
解得n＝450或n＝－50（舍）.
即当利润函数P'（n）＝0时，n的值为450.
（2）当P'（n）＝0时，n的值为450表示的实际意义是当工厂每月生产450根铜管时，利润增加量为零.
15.解：（1）令f（x）＝x2－2，则f'（x）＝＝2x，
取初始近似值x0＝2，则x1＝x0－＝2－＝，x2＝x1－＝－＝.
（2）证明：根据题意，可知x1＝x0－，x2＝x1－，x3＝x2－，x4＝x3－，上述四式相加，得x4＝x0－－－－.
2 / 2第3课时 导数
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
【问题】 如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
知识点 导数
1.导数的定义
设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于 时，比值＝无限趋近于一个 ，则称f（x）在x＝x0处 ，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作 .即f'（x0）＝.
提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
2.导数的几何意义
导数f'（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点 处的切线的 .
3.导函数的定义
若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数，记作 .
提醒 函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值.
【想一想】
若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.（ ）
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx的正负无关.（ ）
（3）函数在x＝x0处的导数f'（x0）是一个常数.（ ）
（4）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线的斜率.（ ）
2.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.（2024·常州月考）若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x－y＋1＝0，则（ ）
A.f'（x0）＞0 B.f'（x0）＜0
C.f'（x0）＝0 D.f'（x0）不存在
题型一 导数的概念
【例1】 若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，则的值为（ ）
A.0 B.a
C.2a D.3a
通性通法
1.利用定义求函数在某点处的导数，其格式采用的是求过一点的切线斜率，在求解时要注意分子、分母的对应关系.
2.导数的定义式可取不同的形式，常见的有：f'（x0）＝，f'（x0）＝.在这里h＝Δx；
f'（x0）＝，在这里Δx＝x－x0.
【跟踪训练】
设函数f（x）在x＝1处的导数为2，则＝ .
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 （链接教科书第196页例7）求函数f（x）＝x－在x＝1处的导数f'（1）.
通性通法
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
（1）求函数的改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）求导数f'（x0）＝.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝在x＝2处的导数为（ ）
A.2 B.－
C. D.－
2.函数y＝在x＝1处的导数为 .
题型三 导函数
【例3】 已知y＝，则y'＝ .
通性通法
求导函数的一般步骤
（1）求Δy＝f（x＋Δx）－f（x）；
（2）求＝；
（3）求.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝x2－x.则f'（x）＝ .
题型四 导数的几何意义及应用
【例4】 （2024·苏州月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
通性通法
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.
【跟踪训练】
已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f'（1）＝（ ）
A.4 B.－4
C.－2 D.2
1.设f（x）是可导函数，且＝－2，则f'（x0）＝（ ）
A.2 B.－1
C.1 D.－2
2.（2024·连云港月考）如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（ ）
A.f'（x1）＞f'（x2）
B.f'（x1）＜f'（x2）
C.f'（x1）＝f'（x2）
D.不能确定
3.求f（x）＝x2在x＝1处的导数.
第3课时 导数
【基础知识·重落实】
知识点
1.0 常数A 可导 f'（x0）
2.P（x0，f（x0）） 斜率 3.f'（x）
想一想
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.C f'（1）＝
＝＝2.
3.A 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，即k＝f'（x0）＝2＞0，故选A.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 由已知得
＝
＝＋
＝2f'（x0）＝2a，故选C.
跟踪训练
－1 解析：因为函数f（x）在x＝1处的导数为2，即f'（1）＝2，所以＝
－＝－f'（1）＝－1.
【例2】 解：∵Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴＝（1＋）＝2.
从而f'（1）＝2.
跟踪训练
1.D ∵＝＝＝－·，∴f'（2）＝＝（－·）＝－，∴f（x）在x＝2处的导数为－.
2. 解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'｜x＝1＝.
【例3】 解析：∵Δy＝－，∴＝，∴＝＝
＝＝，
即y'＝.
跟踪训练
2x－ 解析：∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（Δx）2＋2x·Δx－Δx，∴＝2x＋Δx－，∴f'（x）＝＝2x－.
【例4】 C kAB＝＝f（3）－f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据题图可知0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）.
跟踪训练
D 由导数的几何意义知f'（1）＝2.
随堂检测
1.C f'（x0）＝＝－×＝－×（－2）＝1.
2.A 如图，根据导数的几何意义，f'（x1）为曲线f（x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f'（x2）为曲线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）.
3.解：＝＝
＝（2＋Δx）＝2.
3 / 4(共60张PPT)
第3课时 导数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体
在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运
动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过 A ， B 两点的，则物体在 A 点
处的瞬时速度的方向与向量 v 的方向相同.
【问题】 如果设曲线的方程为 y ＝ f （ x ）， A （ x0， f （ x0）），那
么曲线在点 A 处的切线的斜率是什么？
知识点 导数
1. 导数的定义
设函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有定义， x0∈（ a ， b ），若
Δ x 无限趋近于 时，比值 ＝ 无限趋近于
一个 ，则称 f （ x ）在 x ＝ x0处 ，并称该常数 A
为函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作
.即f'（ x0）＝ .
0
常数 A
可导
f'
（ x0）
提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点 x0的附近有定义，否则
导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0及其附近的函数值有关，与Δ x 无关；③导数的实质是一个极
限值.
2. 导数的几何意义
导数f'（ x0）的几何意义就是曲线 y ＝ f （ x ）在点
处的切线的 .
3. 导函数的定义
若 f （ x ）对于区间（ a ， b ）内任一点都可导，则 f （ x ）在各点处
的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，
该函数称为 f （ x ）的导函数，记作 .
P （ x0， f
（ x0））
斜率
f'（ x ）
提醒 函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）、导函数f'（ x ）之间
的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（ x0）是在 x ＝ x0处函数值的改变
量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'
（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，是对某一区间内任意 x 而言的；②
联系：函数 f （ x ）在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）就是导函数f'（ x ）在 x
＝ x0处的函数值.
【想一想】
若函数 y ＝ f （ x ）在点 x0处的导数存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点 P
（ x0， f （ x0））处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － f （ x0）＝f'（ x0）
（ x － x0）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在 x ＝ x0处的导数反映了函数在区间[ x0， x0＋Δ x ]上变
化的快慢程度. （ × ）
（2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值与Δ x 的正负无关.
（ √ ）
（3）函数在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）是一个常数. （ √ ）
（4）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值就是曲线 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0处的切线的斜率. （ √ ）
×
√
√
√
2. 设 f （ x ）＝2 x ＋1，则f'（1）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： f'（1）＝
＝ ＝2.
3. （2024·常州月考）若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切
线方程为2 x － y ＋1＝0，则（ ）
A. f'（ x0）＞0 B. f'（ x0）＜0
C. f'（ x0）＝0 D. f'（ x0）不存在
解析： 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的
切线的斜率就是函数在该点处的导数，即 k ＝f'（ x0）＝2＞0，
故选A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 导数的概念
【例1】 若函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数等于 a ，则
的值为（ ）
A. 0 B. a
C. 2 a D. 3 a
解析： 由已知得 ＝
＝
＋ ＝2f'（ x0）＝2 a ，
故选C.
通性通法
1. 利用定义求函数在某点处的导数，其格式采用的是求过一点的切线
斜率，在求解时要注意分子、分母的对应关系.
2. 导数的定义式可取不同的形式，常见的有：
f'（ x0）＝ ，
f'（ x0）＝ .在这里 h ＝Δ x ；
f'（ x0）＝ ，在这里Δ x ＝ x － x0.
【跟踪训练】
设函数 f （ x ）在 x ＝1处的导数为2，则 ＝ .
解析：因为函数 f （ x ）在 x ＝1处的导数为2，即f'（1）＝2，所以
＝－ ＝－ f'（1）＝－1.
－1
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 （链接教科书第196页例7）求函数 f （ x ）＝ x － 在 x ＝1处
的导数f'（1）.
解：∵Δ y ＝（1＋Δ x ）－ －（1－ ）
＝Δ x ＋ ，
∴ ＝ ＝1＋ ，
∴ ＝ （1＋ ）＝2.
从而f'（1）＝2.
通性通法
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
（1）求函数的改变量Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）求导数f'（ x0）＝ .
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ 在 x ＝2处的导数为（ ）
A. 2
解析： ∵ ＝ ＝ ＝－ · ，
∴f'（2）＝ ＝ （－ · ）＝－ ，∴ f （ x ）在 x ＝
2处的导数为－ .
2. 函数 y ＝ 在 x ＝1处的导数为 .
解析：∵Δ y ＝ －1， ＝ ＝ ，
＝ ，∴y'｜ x＝1＝ .
题型三 导函数
【例3】 已知 y ＝ ，则y'＝ .
解析：∵Δ y ＝ － ，∴ ＝ ，∴ ＝
＝ ＝ ＝ ，即y'＝ .
通性通法
求导函数的一般步骤
（1）求Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）；
（2）求 ＝ ；
（3）求 .
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ x2－ x .则f'（ x ）＝ 2 x － .
解析：∵Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）＝（Δ x ）2＋2 x ·Δ x － Δ x ，
∴ ＝2 x ＋Δ x － ，∴f'（ x ）＝ ＝2 x － .
2 x －
题型四 导数的几何意义及应用
【例4】 （2024·苏州月考）已知函数 f （ x ）的图象如图所示，则下
列不等关系中正确的是（ ）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）
B. 0＜f'（2）＜ f （3）－ f （2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）
D. 0＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）＜f'（3）
解析： kAB ＝ ＝ f （3）－ f （2），f'（2）为函数 f
（ x ）的图象在点 B （2， f （2））处的切线的斜率，f'（3）为函数 f
（ x ）的图象在点 A （3， f （3））处的切线的斜率，根据题图可知0
＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）.
通性通法
函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在 x
＝ x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图
象，观察函数 y ＝ f （ x ）在这两点处对应切线的斜率的大小.
【跟踪训练】
已知曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程为2 x － y ＋2＝
0，则f'（1）＝（ ）
A. 4 B. －4
C. －2 D. 2
解析： 由导数的几何意义知f'（1）＝2.
1. 设 f （ x ）是可导函数，且 ＝－2，则f'
（ x0）＝（ ）
A. 2 B. －1
C. 1 D. －2
解析： f'（ x0）＝ ＝－ ×
＝－ ×（－2）＝1.
2. （2024·连云港月考）如图，点 A （ x1， f （ x1））， B （ x2， f
（ x2））在函数 f （ x ）的图象上，且 x2＜ x1，则f'（ x1）与f'（ x2）
的大小关系是（ ）
A. f'（ x1）＞f'（ x2）
B. f'（ x1）＜f'（ x2）
C. f'（ x1）＝f'（ x2）
D. 不能确定
解析： 如图，根据导数的几何意义，f'（ x1）
为曲线 f （ x ）在点 A 处切线的斜率，设该斜率为
k1，f'（ x2）为曲线 f （ x ）在点 B 处切线的斜率，
设该斜率为 k2，由图象可得0＞ k1＞ k2，即有f'
（ x1）＞f'（ x2）.
3. 求 f （ x ）＝ x2在 x ＝1处的导数.
解： ＝ ＝
＝ （2＋Δ x ）＝2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设f'（ x0）＝0，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切线
（ ）
A. 不存在 B. 与 x 轴平行或重合
C. 与 x 轴垂直 D. 与 x 轴斜交
解析： 因为f'（ x0）＝0，所以曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f
（ x0））处的切线斜率为0，故切线与 x 轴平行或重合.
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2. 已知 f （ x ）＝ x2，则f'（2）＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： f'（2）＝ ＝ ＝
（4＋Δ x ）＝4.
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3. （2024·宿迁月考）已知函数 f （ x ）满足f'（ x1）＞0，f'（ x2）＜
0，则在 x1和 x2附近符合条件的 f （ x ）的图象大致是（ ）
解析： 由f'（ x1）＞0，f'（ x2）＜0可知， f （ x ）的图象在 x1处
切线的斜率为正，在 x2处切线的斜率为负.
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4. 已知曲线 f （ x ）＝ x2＋ x 的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐
标为（ ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： ∵Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）＝ （ x ＋Δ x ）2＋（ x ＋
Δ x ）－ x2－ x ＝ x ·Δ x ＋ （Δ x ）2＋Δ x ，∴ ＝ x ＋ Δ x ＋1，
∴f'（ x ）＝ ＝ x ＋1.设切点坐标为（ x0， y0），则f'（ x0）
＝ x0＋1＝3，∴ x0＝2.
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5. 设函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处可导，且 ＝1，则f'
（ x0）＝（ ）
A. 1 B. －1
解析： ∵ ＝［ ·（－
3）］＝－3f'（ x0）＝1，∴f'（ x0）＝－ .故选C.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处也可
能有切线
B. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处有切线，则f'（ x0）必存
在
C. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切
线斜率不存在
D. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处没有切线，则f'（ x0）有
可能存在
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解析： k ＝f'（ x0），所以f'（ x0）不存在只能说明曲线在该点
处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，
其切线方程是 x ＝ x0，故A、C正确.
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7. 设函数 f （ x ）＝ ax ＋3，若f'（1）＝3，则 a ＝ .
解析：因为f'（1）＝ ＝
＝ a ，所以 a ＝3.
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8. 函数 y ＝（ x －1）2的导数y'＝ .
解析：y'＝
＝
＝ ＝2 x －2＝2（ x －1）.
2（ x －1）
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9. （2024·盐城月考）请根据图中的函数图象，将下列数值按从小到
大的顺序排列为 （填序号）.
③⑤②④⑥①
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①曲线在点 A 处切线的斜率；②曲线在点 B 处切线的斜率；③曲线
在点 C 处切线的斜率；④割线 AB 的斜率；⑤数值0；⑥数值1.
解析：由图象可知：曲线在点 A 处的瞬时变化率大于 y ＝ x 的变化
率，则曲线在点 A 处的切线斜率 kA ＞1；曲线在点 B 处的瞬时变化
率为正且小于 y ＝ x 的变化率，则曲线在点 B 处的切线斜率0＜ kB ＜
1；曲线在点 C 处的瞬时变化率为负，则曲线在点 C 处的切线斜率
kC ＜0；割线 AB 的斜率为正且小于 y ＝ x 的变化率，则割线 AB 的斜
率0＜ kAB ＜1；又曲线在点 B 处的切线斜率小于割线 AB 的斜率，
∴0＜ kB ＜ kAB ＜1；综上所述，按照从小到大的顺序排列为③⑤②
④⑥①.
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10. 求函数 f （ x ）＝2 x2＋4 x 在 x ＝3处的导数.
解：Δ y ＝2（3＋Δ x ）2＋4（3＋Δ x ）－（2×32＋4×3）
＝12Δ x ＋2（Δ x ）2＋4Δ x ＝2（Δ x ）2＋16Δ x ，
∴ ＝ ＝2Δ x ＋16.
∴f'（3）＝ ＝ （2Δ x ＋16）＝16.
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11. 曲线 y ＝ x ＋ 上任意一点 P 处的切线斜率为 k ，则 k 的取值范围是
（ ）
A. （－∞，－1） B. （－1，1）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
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解析： y ＝ x ＋ 上任意一点 P （ x0， y0）处的切线斜率为 k ＝
y' ＝ ＝ （1－ ）＝1－ ＜1，即 k ＜1，故选C.
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12. 若函数 f （ x ）的导函数在区间[ a ， b ]上单调递增，则函数 f
（ x ）在区间[ a ， b ]上的图象可能是（ ）
解析： 函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）在[ a ， b ]上单调递增，若
对任意 x1和 x2满足 a ＜ x1＜ x2＜ b ，则有f'（ a ）＜f'（ x1）＜f'
（ x2）＜f'（ b ），根据导数的几何意义，可知函数 y ＝ f （ x ）的
切线斜率在[ a ， b ]内单调递增，观察图象，只有A选项符合.
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13. （2024·南通质检）已知直线 x ＋ y ＝ b 是函数 f （ x ）＝ ax ＋ 的图
象在点（1， m ）处的切线，则 a ＋ b ＝ ， m ＝ .
解析：由题意知 m ＝ a ＋2，1＋ m ＝ b ，因为f'（1）＝
＝ （ a － ）＝ a －2，所以曲线 f
（ x ）在点（1， m ）处的切线斜率为 a －2，由 a －2＝－1，得 a
＝1， m ＝3， b ＝4， a ＋ b ＝5.
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14. 某铜管厂生产铜管的利润函数为 P （ n ）＝－ n3＋600 n2＋67 500 n
－1 200 000，其中 n 为工厂每月生产该铜管的根数，利润 P （ n ）
的单位是元.
（1）求利润函数P'（ n ）＝0时 n 的值；
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解： 因为Δ y ＝ P （ n ＋Δ n ）－ P （ n ）＝－（ n ＋Δ
n ）3＋600（ n ＋Δ n ）2＋67 500（ n ＋Δ n ）－1 200 000－
（－ n3＋600 n2＋67 500 n －1 200 000）
＝（－3 n2＋1 200 n ＋67 500）Δ n ＋（－3 n ＋600－Δ n ）（Δ n ）2，
所以 ＝－3 n2＋1 200 n ＋67 500＋（－3 n ＋600－Δ n ）Δ n .
当Δ n 无限趋近于0时， 无限趋近于－3 n2＋1 200 n ＋67 500.
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所以P'（ n ）＝－3 n2＋1 200 n ＋67 500.
由P'（ n ）＝0，即－3 n2＋1 200 n ＋67 500＝0.
解得 n ＝450或 n ＝－50（舍）.
即当利润函数P'（ n ）＝0时， n 的值为450.
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（2）解释（1）中 n 的实际意义.
解： 当P'（ n ）＝0时， n 的值为450表示的实际意义是
当工厂每月生产450根铜管时，利润增加量为零.
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15. （2024·苏州质检）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近
似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设 r 是 f （ x ）＝0
的根，选取 x0作为 r 的初始近似值，在点（ x0， f （ x0））处作曲
线 y ＝ f （ x ）的切线 l ： y － f （ x0）＝f'（ x0）
（ x － x0），则 l 与 x 轴的交点的横坐标 x1＝ x0－
（f'（ x0）≠0），称 x1是 r 的一次近似值；
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在点（ x1， f （ x1））处作曲线 y ＝ f （ x ）的切线，
则该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x2，称 x2是 r 的二次近似值；重
复以上过程，得 r 的近似值序列，其中 xn＋1＝ xn － （f'
（ xn ）≠0），称 xn＋1是 r 的 n ＋1次近似值.若使用该方法求方程
x2＝2的近似解.
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（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
解：令 f （ x ）＝ x2－2，则f'（ x ）
＝ ＝2 x ，
取初始近似值 x0＝2，则 x1＝ x0－
＝2－ ＝ ， x2＝ x1－
＝ － ＝ .
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（2）证明： x4＝ x0－ － － － .
解：证明：根据题意，可知 x1＝ x0
－ ， x2＝ x1－ ， x3＝ x2
－ ， x4＝ x3－ ，上述四
式相加，得 x4＝ x0－ －
－ － .
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谢 谢 观 看！
