13.1 命题与证明 同步练（含答案） 2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

13.1命题与证明
互逆命题
1.下列命题中,逆命题是真命题的是 (　　)
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数,那么它们的和是偶数
C.两直线平行,内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
2.(名师原创)命题:在分式中,如果z=0,那么这个分式没有意义.其逆命题是　　　　　　　　　,这个逆命题是　　　(填“真”或“假”)命题.
3.命题:分式有意义的条件是分母不等于0.
(1)请将上述命题改写成“如果……,那么……”的形式,并指出命题的条件与结论.
(2)写出这个命题的逆命题并指出其真假.
命题的证明
4.下列内容:①基本事实;②定义;③定理;④已知条件.其中能作为证明命题的依据的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2025邢台威县月考)已知命题“两直线平行,同旁内角互补”.嘉淇想证明该命题,下面是她的解题过程,请将其补全,并在括号内填上推理的根据.
已知:如图,直线AB∥CD,直线EF截AB,CD于点M,N.
求证:∠AMN+　　　　=180°.
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠AME=∠CNM(　　　　　　　　).
∵∠AME+　　　　=180°(平角的定义),
∴∠AMN+　　　　=180°(　　　　　).
6.命题:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式:　　　　　　　　　　　　　　.
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程.
已知:如图,a⊥l,　　　　.
求证:　　　　.
互逆定理
7.下列命题写出逆命题后,两者是互逆定理的是 (　　)
A.同角的余角相等
B.互余的两个角都是锐角
C.两直线平行,同位角相等
D.若直线a⊥c,b⊥c,则a∥b
1.已知命题:如果一个分式的分子和分母没有公因式,那么这个分式是最简分式.这个命题的逆命题是 (　　)
A.分子和分母没有公因式
B.没有公因式的分式是最简分式
C.最简分式
D.如果一个分式是最简分式,那么这个分式的分子和分母没有公因式
2.下列命题:①若a2>b2,则a>b;②如果|a|=|b|,那么a3=b3;③同角或等角的补角相等;④如果C是AB的中点,那么AC=CB.原命题和逆命题都是真命题的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列选项中,能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是 (　　)
A.∠A=20°,∠B=60°
B.∠A=30°,∠B=90°
C.∠A=40°,∠B=50°
D.∠A=50°,∠B=100°
4.如图,若AO⊥CO,BO⊥DO,则∠AOB=∠COD,推理的理由是 (　　)
A.同角的补角相等 B.同角的余角相等
C.AO⊥CO D.BO⊥DO
5.(教材变式)证明:两直线平行,内错角的平分线也平行.
6.按要求完成下列各题.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角;
②如果a+b>0,那么ab>0.
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.
7.(推理能力)如图,点B,E,C在同一条直线上,请你从下面三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个真命题.①AB∥CD;②∠1=∠2,∠3=∠4;③AE⊥ED.
(1)上述问题有哪几个真命题
(2)选择(1)中的一个真命题加以证明.
【详解答案】
基础达标
1.C
2.在分式中,如果这个分式没有意义,那么z=0　真
3.解:(1)如果分式有意义,那么分母不等于0.
条件:分式有意义;结论:分母不等于0.
(2)逆命题为:如果分式的分母不等于0,那么这个分式有意义.
这是一个真命题.
4.D
5.∠CNM　两直线平行,同位角相等
∠AMN　∠CNM　等量代换
6.解:(1)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行
(2)b⊥l　a∥b
证明:如图,∵a⊥l,b⊥l,∴∠1=∠2=90°.
∴a∥b.
7.C
能力提升
1.D　解析:首先必须明确逆命题的定义:通俗地讲,原命题为若A,则B.则其逆命题为若B,则A.D选项符合逆命题因果倒置的特点,故正确.故选D.
2.A　解析:①若a2>b2,则a>b,错误,为假命题;逆命题为若a>b,则a2>b2,错误,为假命题.②如果|a|=|b|,那么a3=b3,错误,为假命题;逆命题为如果a3=b3,那么|a|=|b|,正确,为真命题.③同角或等角的补角相等,正确,为真命题;逆命题为如果两个角的补角相等,那么这两个角相等或为同一个角,正确,是真命题,符合题意.④如果C是AB的中点,那么AC=CB,正确,为真命题;逆命题为如果AC=CB,那么C是AB的中点,错误,为假命题.故选A.
3.C　解析:观察四个选项,满足题设:两个角都是锐角的选项有A和C,其中A选项的两个角的和为锐角,C选项的两个角的和不是锐角,∴能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是∠A=40°,∠B=50°.故选C.
4.B　解析:∵AO⊥CO,BO⊥DO,∴∠DOB=∠AOC=90°.∴∠COD+∠COB=∠AOB+∠COB=90°.∴∠AOB=∠COD.故选B.
5.解:已知:如图,AB∥CD,EF交AB,CD于点G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.
求证:GM∥HN.
证明:∵GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD(已知),
∴∠1=∠AGF,∠2=∠EHD(角平分线定义).
又∵AB∥CD(已知),
∴∠AGF=∠EHD(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠2,
∴GM∥HN(内错角相等,两直线平行).
即两直线平行,内错角的平分线也平行.
6.解:(1)①相等的角是内错角的逆命题是:如果两个角是内错角,那么这两个角相等.
②如果a+b>0,那么ab>0的逆命题是:如果ab>0,那么a+b>0.
(2)因为定理首先是真命题,而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题,所以(1)中①的原命题和逆命题不是互逆定理.
7.解:(1)有两个真命题,分别是:
命题1:①②→③;命题2:②③→①.
(2)选择命题1:①②→③.
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠B+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠B+∠1+∠2=180°,∠C+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∴∠C=∠1+∠2(等量代换),
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°(等量代换),
∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知),
∴∠2+∠3=90°(等式的基本性质),
∴∠AED=90°(平角的定义),
∴AE⊥ED(垂直的定义).
选择命题2:②③→①.
证明:∵AE⊥ED(已知),
∴∠AED=90°(垂直的定义),
∴∠2+∠3=90°(平角的定义),
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°(等式的基本性质),
又∵∠B=180°-∠1-∠2,∠C=180°-∠3-∠4(三角形内角和定理),
∴∠B+∠C=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°(等式的基本性质),
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).