第4课时 具有特殊位置关系的三角形全等
平移变换与全等三角形
1.(2025长春南关区月考)△ABC与△DEF按如图所示的方式放在一起,其中点B,E,C,F在同一条直线上.已知AB=DE,∠B=∠DEF,下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.∠A=∠D B.AC∥DF
C.BE=CF D.AC=DF
2.(2025唐山路南区月考)如图,AC=DF,BC=EF,AD=BE,∠BAC=72°,∠F=32°,则∠ABC= .
3.如图,已知在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件:
①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF.
请选择其中的三个条件,证明△ABC≌△DEF.(写出一种情况即可)
旋转变换与全等三角形
4.(2025承德期末)如图,已知CA=CD,∠1=∠2,如果只添加一个条件(不加辅助线)使△ABC≌△DEC,则添加的条件不能为 ( )
A.AB=DE B.∠B=∠E
C.BC=EC D.∠A=∠D
5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,AB=AD,∠BAD=∠CAE,请你添加一个适当的条件: ,使△ABC≌△ADE.
6.如图,已知AD是△ABC的中线,点M在AD上,点N在AD的延长线上,且DM=DN.
(1)求证:△BDN≌△CDM.
(2)若∠AMC=80°,求∠N的度数.
1.(2025唐山期中)如图,AD=BC,AE=CF.E,F是BD上两点,BE=DF,∠AEB=100°,∠ADB=30°,则∠BCF的度数为 ( )
A.30° B.60° C.70° D.80°
2.(易错题)如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,则下列结论:①∠EAC=∠FAB;②CM=BN;③CD=BM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.在学习了判定三角形全等的知识后,小龙编了这样一个题目:“如图,已知AB=CD,∠A=∠D,AO=DO,求证:△ABO≌△DCO.”老师说他的已知条件给多了,你帮他去掉一个已知条件: .(写出一个即可)
4.如图,将周长为8 cm的△ABC沿BC方向平移1 cm得到△DEF,则四边形ABFD的周长为
cm.
5.如图,点F,G为线段BC上两点,FE⊥BC于点F,GD⊥BC于点G,连接BD,CE,∠B=∠C,BF=CG.
(1)如图1,求证:△BDG≌△CEF.
(2)如图2,设BD与CE相交于点O,连接BE,CD并延长相交于点A,请直接写出图中的4对全等三角形(△BDG≌△CEF除外).
图1 图2
6.(推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
求证:①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2
【详解答案】
基础达标
1.D 2.76°
3.解:当选择①②③时.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
当选择①③④时.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(答案不唯一,写出一种即可)
4.A 5.AC=AE(答案不唯一)
6.解:(1)证明:∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC,
在△BDN和△CDM中,
∴△BDN≌△CDM(SAS).
(2)∵∠AMC=80°,∴∠DMC=180°-∠AMC=180°- 80°=100°.
∵△BDN≌△CDM,
∴∠N=∠DMC=100°.
能力提升
1.C
2.B 解析:∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(AAS),∴∠FAC=∠EAB,AC=AB,∴∠EAC=∠FAB,①正确;又∵∠E=∠F=90°,AE=AF,∴△EAM≌△FAN(ASA),∴AM=AN,∵AB=AC,∴CM=BN,②正确;∵∠MAN为公共角,AB=AC,∠B=∠C,∴△ABM≌△ACN(ASA),④正确;∵∠C=∠B,∠CDM=∠BDN,CM=BN,∴△DMC≌△DNB(AAS),∴CD=BD,而BD≠BM,③错误.故选B.
3.AO=DO(或AB=CD) 解析:去掉AO=DO,可根据AAS判定△ABO≌△DCO;去掉AB=CD,可根据ASA判定△ABO≌△DCO.
4.10 解析:根据平移的性质,可知AD=CF=1 cm.∵平移不改变图形的形状和大小,∴△ABC≌△DEF.∴DF=AC.因此四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=(AB+BC+AC)+CF+AD=8+1+1=10(cm).
5.解:(1)证明:∵DG⊥BC于点G,EF⊥BC于点F,
∴∠DGB=∠EFC=90°,
又∵BF=CG,
∴BF+FG=CG+FG,即BG=CF,
在△BDG和△CEF中,
∴△BDG≌△CEF(ASA).
(2)图中的四对全等三角形:
①△BEC≌△CDB;②△EOB≌△DOC;③△ABD≌△ACE;④△BEF≌△CDG.
6.解:(1)证明:①∵∠ACD+∠ECB=180°-∠ACB=90°,∠DAC+∠ACD=180°-∠ADC=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②∵△ADC≌△CEB,∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD-BE.
证明:∵∠ACD+∠ECB=90°,
∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
又∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE-CD=AD-BE.第3课时 全等三角形的判定(ASA与AAS)
利用ASA判定全等三角形
1.(2025张家口桥东区月考)如图所示,在四边形ABDC中,AD为对角线,如果∠1=∠2,则添加下列条件后能利用ASA判定△ABD≌△ACD的是 ( )
A.AB=AC B.BD=CD
C.∠B=∠C D.∠ADB=∠ADC
2.如图,点C在线段BD上,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E.
求证:AC=DC.
利用AAS判定全等三角形
3.如图,已知△ABC的三条边、三个角,则甲、乙两个三角形中,与△ABC全等的图形是 ( )
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.都不是
4.如图,∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,那么能直接判定△ABC≌△DCB的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
5.如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
求证:△ABE≌△ACD.
6.如图,已知在△ABC中,点D是BC边上一点,点F是AC的中点.过点A作BC的平行线交DF的延长线于点E.
(1)求证:△AEF≌△CDF.
(2)若AE=4,BC=6,求BD的长.
1.如图,点E、点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC D.AF=DE
2.(2025北京怀柔区期末)如图,AF∥CE,∠A=∠C,如果要利用AAS判定△ABF≌△CDE,可以添加的条件是 .(添加一个即可)
3.如图,AC⊥BD,垂足为点B,点E为BD上一点,BC=BE,∠C=∠AEB,AB=6 cm,则图中长度为6 cm的线段还有 .
4.如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.
求证:△ABC≌△CDE.
5.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点F,且AB=DE.
(1)求证:BD=BC.
(2)若BD=6 cm,求AC的长.
6.(推理能力)已知P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与点A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系是 .
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,延长FQ交AE于点D.试判断QD与QF的数量关系,并给予证明.
图1 图2
【详解答案】
基础达标
1.D
2.证明:在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(ASA).
∴AC=DC.
3.C 4.C
5.证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
6.解:(1)证明:∵AE∥BC,
∴∠E=∠CDF,
∵点F是AC的中点,
∴AF=CF.
在△AEF和△CDF中,
∴△AEF≌△CDF(AAS).
(2)由(1)得△AEF≌△CDF,
∴AE=CD,
∵AE=4,BC=6,
∴CD=4,
∴BD=BC-CD=6-4=2.
能力提升
1.D 解析:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.∴当∠A=∠D时,利用AAS可得△ABF≌△DCE,故A不符合题意;当∠AFB=∠DEC时,利用ASA可得△ABF≌△DCE,故B不符合题意;当AB=DC时,利用SAS可得△ABF≌△DCE,故C不符合题意;当AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE,故D符合题意.故选D.
2.AB=CD(或BF=DE或BE=DF)
3.BD 解析:∵AC⊥BD,∴∠ABE=∠DBC=90°,
又∵BE=BC,∠AEB=∠C,∴△ABE≌△DBC(ASA),∴BD=AB=6 cm.
4.证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°.
∴∠DCE+∠DEC=180°-∠D=90°,
∠BCA+∠DCE=180°-∠ACE=90°.
∴∠BCA=∠DEC.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
5.解:(1)证明:∵DE⊥AB,
∴∠BFE=90°.
∴∠ABC+∠DEB=180°-∠BFE=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠A=180°-∠ACB=90°.
∴∠A=∠DEB.
在△ABC和△EDB中,
∴△ABC≌△EDB(AAS).
∴BD=BC.
(2)∵E是BC的中点,BD=6 cm,BD=BC,
∴BE=BC=BD=3 cm.
∵△ABC≌△EDB,
∴AC=BE=3 cm.
6.解:(1)AE∥BF QE=QF
(2)QD=QF.证明如下:
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴∠BFP=∠AEP.∴AE∥BF.
∴∠DAQ=∠FBQ.
又∵Q为AB的中点,∴BQ=AQ.
在△FBQ和△DAQ中,
∴△FBQ≌△DAQ(ASA).
∴QD=QF.第2课时 全等三角形的判定(SAS)
利用SAS判定全等三角形
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是 ( )
A. B.
C. D.
2.(2025南阳内乡县期中)如图,△ABC与△ADC的AC边重合,AB=AD.添加下列一个条件后,能直接用SAS判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠B=∠D D.∠ACB=∠ACD
3.(2025邢台期末)如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则可增加的条件是 ( )
A.∠ABE=∠DBE B.∠A=∠D
C.∠E=∠C D.∠ABD=∠EBC
4.(2025石家庄期中)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等 ( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
5.(2025北京朝阳区期末)如图,AC和BD相交于点O,AC=2OC,BD=2OD.
求证:AB=CD.
6.如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.
求证:BC=EF.
1.(2025唐山期中)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,B,D,E三点在一条直线上,∠1=25°,∠2=30°,则∠3= ( )
A.60° B.55°
C.50° D.无法计算
2.(易错题)如图,∠ACB=∠ACD,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,∠ACD=23°,则∠B的度数为 ( )
A.23° B.26° C.30° D.36°
3.如图,AB⊥BD,垂足为B,ED⊥BD,垂足为D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE的度数为 .
4.如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为 .
5.已知:如图,点A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,AB∥DE.
求证:∠B=∠E.
6.(推理能力)如图,△ABM的三边长均为6 cm,C,D分别是AM,BM上的点,已知AC=BD=4 cm,∠A=∠B=60°,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t s,则点Q的运动速度为多少时,能使得A,C,P三点构成的三角形与B,P,Q三点构成的三角形全等
【详解答案】
基础达标
1.C 2.B 3.D 4.C
5.证明:∵AC=2OC,BD=2OD,
∴OA=OC,OB=OD.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD.
6.证明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
∵AC∥DF,
∴∠A=∠EDF.
在△ABC与△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴BC=EF.
能力提升
1.B 解析:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).∵∠2=30°,∴∠ABD=∠2=30°.∵∠1=25°,∴∠3=∠ABD+∠1=55°.故选B.
2.B 解析:由CB=CD,∠ACB=∠ACD及AC为公共边,可得△ABC≌△ADC(SAS),∴∠B=∠D.∵∠EAC=∠D+∠ACD,则49°=∠D+23°,解得∠D=26°,∴∠B=∠D=26°.故选B.
3.90° 解析:∵AB=CD,∠ABC=∠CDE=90°,BC=DE,∴△ABC≌△CDE(SAS).∴∠ACB=∠E.
又∵∠E+∠ECD=180°-∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°.∴∠ACE=90°.
4.92° 解析:在△AMK和△BKN中,
∵∴△AMK≌△BKN(SAS).∴∠AKM=∠BNK.∵∠AKN=∠B+
∠BNK,即∠AKM+∠MKN=∠B+∠BNK,∴∠B=∠MKN=44°.∴∠P=180°-2×44°=92°.
5.证明:∵AF=DC,
∴AF-FC=DC-FC,即AC=DF.
∵AB∥DE,
∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠B=∠E.
6.解:∵∠A=∠B=60°,
∴A,C,P三点构成的三角形与B,P,Q三点构成的三角形全等,有两种情况:
当AP=BP,AC=BQ时,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ACP≌△BQP(SAS).
∵AP=BP,
∴1·t=6-1·t,解得t=3.
∴点Q的运动速度为 cm/s;
当AP=BQ,AC=BP时,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∵AC=BP,即AC=AB-AP,
∴4=6-1·t,解得t=2.
∴点Q的运动速度为=1 cm/s.
综上所述,点Q的运动速度为 cm/s或1 cm/s时,能使得A,C,P三点构成的三角形与B,P,Q三点构成的三角形全等.第1课时 全等三角形的判定(SSS)
利用SSS判定全等三角形
1.如图所示,已知OA=OB,OC=OD,如果利用SSS能得到△ABC≌△BAD,还需添加条件 ( )
A.AD=BC B.OA=OD
C.OB=OC D.OA=AD
2.如图,△ABC中,AB=AC,BE=CE,D是BC上的一点,连接AD,则由SSS能判定 ( )
A.△CED≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BED≌△EDC D.△ABD≌△BED
3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD和CE相交于点F,BD=CE,则△ABD≌ ,
△BEC≌ .
4.如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.
求证:△ABC≌△EDC.
5.(教材变式)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CE,CF=CE.
求证:∠ABC=∠DEF.
三角形的稳定性
6.如图,木工师傅做完窗框后,常像图中那样钉上一根斜拉的木条,这样做的数学原理是 ( )
A.全等三角形的对应角相等
B.三角形的内角和为180°
C.三角形具有稳定性
D.两直线平行,内错角相等
7.启迪中学计划为学生暑期军训配备如图所示的折叠凳,这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定,这种设计所运用的数学原理是 .
1.(易错题)三角形具有稳定性,而四边形、五边形等图形不具有稳定性,由此可知下列图形中具有稳定性的是 ( )
A B C D
2.小明用五根竹棒扎成如图所示的风筝框架,已知AB=CD,AD=CB,下列判断不正确的是( )
A.∠A=∠C B.∠ABC=∠CDA
C.∠ABD=∠CDB D.∠ABD=∠C
3.(传统文化)我国传统工艺中,油纸伞的制作工艺非常巧妙,其中蕴含着全等三角形的知识,如图是油纸伞的张开示意图,其中AE=AF,GE=GF,由此可知下列结论中不正确的是 ( )
A.∠AEG=∠AFG B.∠EAG=∠FAG
C.∠AGE=∠AGF D.AE=AG
4.如图,AB=AD,BE=DE,BC=DC,则图中全等三角形有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.如图,在△ABC与△ADE中,点E在BC边上,AD=AB,AE=AC,DE=BC,若∠1=25°,则∠DAB=
°,∠2= °.
6.如图所示是一个正五边形木框架,如果想固定这个框架,至少需要加钉几根木条 画图说明你的固定方法.
7.如图,AB=DC,AE=DF,CE=BF.
求证:AE∥DF.
8.(模型观念)你会自己制作风筝吗 如图是一个风筝的示意图,按照风筝的制作要求,应该∠E=∠F,小丽想检测这个风筝制作得是否符合要求,可是手边没有测量角的工具,只有一把卷尺,你有办法检测吗 若有,请你为小丽设计一个检测方案,并说出你的理由.
【详解答案】
基础达标
1.A 2.B
3.△ACE △CDB
4.证明:∵C是BD的中点,∴BC=DC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
5.证明:∵BE=CE,CF=CE,
∴BE+CE=CF+CE,∴BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
6.C 7.三角形具有稳定性
能力提升
1.A 解析:A.分割成了两个三角形,所以具有稳定性,其他图形中不都是三角形,则不具有稳定性.故选A.
2.D 解析:根据SSS可判定△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB,A正确,C正确;又可知∠ADB=∠CBD,∴∠ABD-∠CBD=∠CDB-∠ADB,即∠ABC=∠CDA.B正确,D错误.故选D.
3.D 解析:因为AE=AF,GE=GF,AG是公共边,所以△AEG≌△AFG(SSS),根据全等三角形的对应角相等,可知A,B,C均正确;因为AE与AG不是对应边,所以D不正确.故选D.
4.C 解析:在△ABE和△ADE中,
∴△ABE≌△ADE(SSS);在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS);在△BCE和△DCE中,∴△BCE≌△DCE(SSS).综上可得,共有3对全等三角形.故选C.
5.25 25 解析:在△ABC与△ADE中,∴△ABC≌△ADE(SSS).
∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,∴∠DAB=∠1=25°.∵∠B=∠D,∠BOE=∠AOD,∴∠2=∠DAB=25°.
6.解:因为三角形具有稳定性,并且加钉2根木条后,五边形框架则转化为3个三角形,所以至少需要2根木条,固定方法如图所示.(固定方法不唯一)
7.证明:∵CE=BF,
∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SSS).
∴∠AEB=∠DFC.
∴∠AEF=∠DFE.
∴AE∥DF.
8.解:有办法检测.检测方案为:
(1)用卷尺分别测量DE与DF的长度;
(2)用卷尺分别测量HE与HF的长度;
(3)比较各边的长度,若DE=DF,HE=HF,则风筝符合制作要求;否则,不符合制作要求.
理由:连接DH(图略),
在△DEH和△DFH中,
∵
∴△DEH≌△DFH(SSS),
∴∠E=∠F(全等三角形的对应角相等).
