第1课时 平方根
平方根的定义
1.16的平方根是 ( )
A.4 B.-4
C.±4 D.8
2.(2025泉州月考)下列式子正确的是 ( )
A.±=±2 B.±=2
C.=±2 D.=-2
3.的平方根是 ,用符号可表示为 .
4.已知-是有理数m的平方根,则m的值为 .
5.±表示的意义是 ,±的被开方数是 .
平方根的性质
6.(-2)2的平方根是 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.
7.如果m没有平方根,那么m可以是 ( )
A.-32 B.|-3| C.(-3)2 D.-(-3)
8.下列说法正确的是 ( )
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
9.一个数具有以下两个特点:①它的平方等于7;②它是负数.这个数是 .
开平方
10.求下列各数的平方根:
(1)0.25. (2)400.
(3)6. (4)(-10)2.
(5)121. (6).
11.求下列各式中x的值:
(1)(x-1)2=36.
(2)5(x-3)2-125=0.
1.下列说法中错误的个数是 ( )
①(-5)2的平方根是±5;②-a2没有平方根;③非负数a的平方根是非负数;④因为负数没有平方根,所以平方根不可能为负;⑤0和1的平方根等于本身.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(易错题)如果a+3和2a-15是某个非负数的平方根,那么这个数是 ( )
A.49 B.441
C.7或21 D.49或441
3.已知|a-1|+|b-4|=0,则的平方根是 ( )
A. B.± C.± D.
4.已知正数x的两个平方根为a和a+b.
(1)当b=6时,x的值为 .
(2)若a2x+(a+b)2x=8,则x的值为 .
5.求下列各式中x的值:
(1)2x2-1=9. (2)-64x2+=0.
(3)(1-2x)2=1. (4)9(3x+1)2=64.
6.已知一个正数m的两个平方根为3a-7和a+3.
(1)求a和m的值.
(2)求m的两个平方根.
7.【观察】|-2|=2,|2|=2,(-3)2=9,32=9.
【推理】(1)若|x|=1,则x= .
(2)若y2=16,则y= .
【应用】(3)已知|a+1|=2,b2=25.
①求a,b的值;
②若a,b同号,求a-b的值.
8.(应用意识)小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为240 cm2的长方形纸片.并使长方形的长宽之比为5∶3,小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗 若能,请帮小丽设计一种裁剪方案;若不能,请简要说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.C 2.A
3.± ±=± 4.
5.10的平方根 10
6.C 7.A 8.C 9.-
10.解:(1)∵(±0.5)2=0.25,∴0.25的平方根是±0.5,即±=±0.5.
(2)∵(±20)2=400,∴400的平方根是±20,
即±=±20.
(3)∵6,且,∴6的平方根是±,
即±=±.
(4)∵(-10)2=100,且(±10)2=100,∴(-10)2的平方根是±10,即±=±10.
(5)∵(±11)2=121,∴121的平方根是±11,即±=±11.
(6)∵=25,且(±5)2=25,∴的平方根是±5,即±=±5.
11.解:(1)两边开平方,得x-1=±6,
当x-1=6时,解得=7,
当x-1=-6时,解得x=-5.
∴x的值为7或-5.
(2)原式可变形为(x-3)2=25.
两边开平方,得x-3=±5.
当x-3=5时,解得x=8,
当x-3=-5时,解得x=-2.
∴x的值为8或-2.
能力提升
1.D 解析:①正确;②错误,当a=0时,-a2=0,有平方根;③错误,正数的平方根有两个,一个是正数,一个是负数;④错误;⑤错误,1的平方根为±1.故选D.
2.D 解析:由题可分类讨论:(1)a+3=2a-15,∴a=18,∴a+3=21,∴212=441.(2)a+3=-(2a-15),∴a=4,∴a+3=7,∴72=49.∴这个数是49或441.故选D.
3.B 解析:根据题意,得a-1=0,b-4=0.解得a=1,b=4,则的平方根是±=±.故选B.
4.(1)9 (2)2 解析:(1)∵正数x的两个平方根是 a和a+b,∴a+a+b=0.∵b=6,∴2a+6=0,∴a=-3,∴x=a2=(-3)2=9.(2)∵正数x的两个平方根是a和a+b,∴(a+b)2=x,a2=x.∵a2x+(a+b)2x=8,∴x2+x2=8,∴x2=4.∵x>0,∴x=2.
5.解:(1)2x2-1=9,
2x2=10,
x2=5,
x=±.
(2)-64x2+=0,
64x2=,
x2=,
x=±.
(3)(1-2x)2=1,
1-2x=±1,
1-2x=1或1-2x=-1,
x=0或x=1.
(4)9(3x+1)2=64,
(3x+1)2=,
3x+1=±,
3x+1=或3x+1=-,
x=或x=-.
6.解:(1)根据题意,得3a-7+a+3=0,
解得a=1,
∴a+3=1+3=4,
∴m=(a+3)2=16.
(2)由(1)得a=1,a+3=4.
∴3a-7=3×1-7=-4.
综上所述,m的两个平方根为4和-4.
7.解:(1)±1
(2)±4
(3)①|a+1|=2,b2=25,
∴a+1=±2,b=±5,
即a=1或a=-3,b=±5.
②由a,b同号可知,
当a=1,b=5时,a-b=1-5=-4;
当a=-3,b=-5时,
a-b=-3-(-5)=2.
所以a-b的值为-4或2.
8.解:能.
∵长方形纸片的长宽之比为5∶3,
∴设长方形纸片的长为5x cm,宽为3x cm,
∴5x·3x=240,化简,得x2=16.
∵(±4)2=16,
∴16的平方根是±4.
∵长方形的边长是正数,
∴x=4.
∴长方形纸片的长是5×4=20(cm),宽为3×4=12(cm).
∵(±20)2=400,
∴400的平方根是±20.
∵正方形纸片的边长是正数,
∴正方形纸片的边长是20 cm.
∵长方形纸片的长与正方形的边长相等,宽小于正方形的边长,
∴小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片,此长方形纸片的长为20 cm,宽为12 cm.第2课时 算术平方根
算术平方根
1.16的算术平方根是 ( )
A.-4 B.4
C.8 D.-8
2.下列判断不正确的是 ( )
A.3是9的算术平方根
B.6是(-6)2的算术平方根
C.-5是25的算术平方根
D.19的算术平方根是
3.当a=5时,代数式2a-10的算术平方根是 .
4.求下列各数的算术平方根:
(1)196. (2)0.000 4.
(3). (4)1.
算术平方根的实际应用
5.(教材变式)学校原有一块形状为正方形且面积为400 m2的草坪,根据实际需要计划对这块草坪进行扩建,如果扩建后的草坪仍是正方形但面积是原来的4倍,求扩建后草坪的边长.
1.下列说法中,正确的有 ( )
①5是25的算术平方根;②-9没有算术平方根;③(-17)2的算术平方根是±17;④一个数的算术平方根一定是正数;⑤(π-2)2的算术平方根是π-2.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(易错题)若一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是 ( )
A.1或-1 B.0或1
C.0或-1 D.0或1或-1
3.甲、乙两个圆,甲圆的面积是12.56 cm2,乙圆的周长是62.8 cm,则甲、乙两圆的半径之比是(π取3.14) ( )
A.1∶5 B.1∶4
C.2∶5 C.3∶5
4.一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则这个正数的算术平方根是 .
5.(应用意识)在平整的路面上,汽车紧急刹车后仍将滑行s m,根据经验,有公式s=,其中v表示刹车前汽车的速度(单位:km/h).一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s=27 m,若该路段限速100 km/h,判断该汽车刹车前有没有超速,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C 3.0
4.解:(1)∵142=196,∴196的算术平方根是14,即=14.
(2)∵0.022=0.000 4,∴0.000 4的算术平方根是0.02,即=0.02.
(3)∵,∴,即.
(4)∵1,且,∴1,即.
5.解:设扩建后的正方形草坪的边长为x m,
根据题意,得x2=400×4=1 600.
∴x=±=±=±40.
x=-40不合题意,舍去.
∴x=40.
答:扩建后的正方形草坪的边长为40 m.
能力提升
1.C 解析:5是25的算术平方根,所以①正确;-9是负数,负数没有平方根,所以②正确;(-17)2=289,289的算术平方根为17,所以③错误;0的算术平方根为0,所以④错误;正数的算术平方根为正数,π-2>0,所以⑤正确.故选C.
2.B 解析:算术平方根等于它本身的数是1或0.故选B.
3.A 解析:根据题意,得3.14×=12.56,解得r甲=2,2×3.14×r乙=62.8,解得r乙=10,所以r甲∶r乙=2∶10=1∶5.故选A.
4.3 解析:由题意,得(x+1)+(x-5)=0,解得x=2,则这个正数是(x+1)2=9,其算术平方根为3.
5.解:汽车刹车前没有超速,理由:
把s=27代入s=,得27=,
∴v2=8 100.
∴v=±=±90.
v=-90不合题意,舍去.
∴v=90.
∵90 km/h<100 km/h,
∴汽车刹车前没有超速.
