第3课时 实数的大小比较
实数的大小比较
1.下列四个实数中,最小的数是 ( )
A.-5 B.- C.1 D.π
2.下列实数中,平方最大的数是 ( )
A.3 B. C. D.-2
3.实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示,这四个数中绝对值最小的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
4.用“>”“<”或“=”填空: 1.
5.已知下列各数:-,(-2)2,,-.
(1)在如图所示的数轴上,描出各数在数轴上的对应点的大致位置.
(2)把各数用“<”连接.
6.(1)填空.(在横线上填“>”“<”或“=”)
①若a-b>0,则a b;
②若a-b=0,则a b;
③若a-b<0,则a b.
(2)利用上述方法比较实数与的大小.
实数的估算
7.估算-1的值在 ( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
8.如图,在数轴上的4个点中,与表示数-的点最接近的是点 .
9.写出所有适合下列条件的数.
(1)大于-而小于的所有整数.
(2)绝对值小于的所有整数.
1.实数+1在数轴上的对应点可能是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
2.下列各数中,大于3的数是 ( )
A. B. C. D.
3.已知a,b为两个连续的整数,且a<4.已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间,1是b的一个平方根.
(1)求a,b的值.
(2)比较a+b的算术平方根与的大小.
5.已知a=|-|,b=|-|-|-|,c=--|-|,d=-|-|-(-),试确定a,b,c,d的大小关系.
6.阅读下面的文字,解答问题.
现规定:分别用[x]和表示实数x的整数部分和小数部分,如实数3.14的整数部分是[3.14]=3,小数部分是<3.14>=0.14,实数的整数部分是[]=2,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即-2就是的小数部分,所以<>=-2.
(1)[]= ,<>= ,[]= ,<>= .
(2)如果<>=a,[]=b,求a+b-的立方根.
微专题2 比较实数大小的常用方法
比较实数的大小是实数内容中一类常见的题型,常用的方法有三种:①比较被开方数法;②数轴法;③作差法.
1.比较大小:- -4.(填“>”“<”或“=”)
2.在数轴上表示下列各数:0,-3.5,-(-4),-3,-,-1,并用“<”连接.
3.(教材变式)比较与大小.
【详解答案】
基础达标
1.A 2.A 3.B 4.>
5.解:(1)∵-=-3,(-2)2=4,
∴各数在数轴上的对应点的大致位置如图所示:
(2)由数轴得-<-<(-2)2.
6.解:(1)①> ②= ③<
(2),
∵62=36>22,∴6>,
∴6->0,∴>0.
∴.
7.B 8.B
9.解:(1)∵4<<5,3<<4,
∴-5<-<-4.
∴大于-的所有整数为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
(2)∵4<<5,
∴绝对值小于的所有整数为0,±1,±2,±3,±4.
能力提升
1.D 解析:因为1<<2,所以2<+1<3.故选D.
2.C 解析:A.=3,排除;B.=3,排除;C.=3,符合题意;D.=2<3,排除.故选C.
3.11 解析:因为5<<6,所以a=5,b=6,则a+b=5+6=11.
4.解:(1)∵4<8<9,∴2<<3.
又+1在两个连续的自然数a和a+1之间,1是b的一个平方根,
∴a=3,b=1.
(2)由(1)知a=3,b=1,∴a+b=3+1=4.
∴a+b的算术平方根是2.
∵4<5,∴2<.
5.解:a=|-|=>0,
b=|-|-|-|=<0,
c=--|-|=-<0,
d=-|-|-(-)=>0.
∵>-,
∴a>d>b>c.
6.解:(1)1 -1 3 -3
(2)∵的整数部分是2,的整数部分是10,∴<>=a=-2,[]=b=10,
∴a+b--2+10-=8.
又∵8的立方根为2,
∴a+b-的立方根是2.
微专题2
1.< 解析:∵4=,且,∴-<-,即-<-4.
2.解:∵-(-4)=4,=3,-=-2.5,=5,
∴各数在数轴上的对应点如图所示.
∴-3.5<-<0<<
-(-4)<.
3.解:,∵>2,∴<0,∴.第2课时 实数的分类和实数的有关概念
实数与数轴
1.实数在数轴上对应的点P的大致位置是 ( )
A
B
C
D
2.如图,若x为最大负整数,则表示-x的值的点落在 ( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
3.数学课上,为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示,张老师作了如图所示的演示,把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周,到达点A,此时点A表示的数是 .
实数的分类
4.下列说法中,正确的是 ( )
A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.有理数包括正有理数、零和负有理数
D.实数可以分为正实数和负实数两类
5.的倒数是 ( )
A.正无理数 B.负无理数
C.正有理数 D.负有理数
6.把下列各数填入相应的大括号内:
3.8,-, ,-, ,-π,0.66,
0.626 226 222 6…(每两个6之间依次多一个2),,-.
有理数:{ …};
无理数:{ …};
正实数:{ …};
负实数:{ …}.
实数的绝对值、相反数和倒数
7.实数-3的相反数是 ( )
A.- B. C.3 D.-3
8.(2025衡水武邑月考)已知实数a=,则实数a的倒数为 ( )
A. B. C.- D.-
9.|1-|的值为 ( )
A.1- B.1+ C.-1 D.-1-
10.2-π的绝对值是 ;相反数是 ;倒数是 .
11.已知实数a,b,c,d,e,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为2,求×ab+-e的值.
1.(2025郑州二七区期中)下面是一位同学做的练习题,他的得分应是 ( )
姓名:××× 得分:
填空(每小题4分,共20分)
①的倒数是 ;
②-的绝对值是 ;
③= ±3 ;
④= -4 ;
⑤平方根与立方根相等的数是 0和1 .
A.16分 B.12分 C.8分 D.4分
2.在0.100 100 01,,0.,0.202 002 000 2…(每两个2之间依次多一个0)这四个数中,既是正实数也是无理数的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.关于,下列说法不正确的是 ( )
A.是一个无理数
B.可以用数轴上的一个点来表示
C.可以表示体积为9的正方体的棱长
D.它的相反数是
4.下列各组数中,互为相反数的一组是 ( )
A.-2与 B.-和
C.与2 D.|2|和2
5.下列各数:-,-,1-,,-1.2,,绝对值和相反数相等的数有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.的相反数是 ,绝对值是 .
7.(开放性试题)先判断下列命题的真假,然后对其中的假命题举出一个反例.
(1)一个实数不能既是有理数又是无理数.
(2)一个实数不能既是整数又是负数.
(3)一个实数不能既是非负数又是正无理数.
(4)一个实数不能既是正数又是负数.
8.已知a=||+|1-|-|-2|,求-2a+2的平方根.
9.(应用意识)如图,将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上,使正方形一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
(1)分别求点A表示的数与点B表示的数.
(2)求线段AB的长度.
(3)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C,设点C表示的数为c,求实数c的值.(结果保留根号)
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C 3.π-1 4.C 5.C
6.解:有理数:
;
无理数:
-, ,-π,0.626 226 222 6…(每两个6之间依次多一个2),,-,…;
正实数:
3.8, ,,0.626 226 222 6…(每两个6之间依次多一个2),0.66,,…;
负实数:
.
7.C 8.B 9.C
10.π-2 π-2
11.解:由题意,可得ab=1,c+d=0,e=±2.
当e=2时,原式=×1+-2=-2=-;
当e=-2时,原式=×1++2=+2=.
综上所述,原式的值为-.
能力提升
1.C 解析:①,错误;②-,正确;③=3,错误;④=-4,正确;⑤平方根与立方根相等的数是0,错误.综上,这位同学做对了2道题,所以得分为2×4=8(分).故选C.
2.A 解析:0.202 002 000 2…(每两个2之间依次多一个0)既是正实数也是无理数.故选A.
3.D 解析:∵不能完全开立方,∴是无理数,故A不符合题意;是一个实数,实数与数轴上的点是一一对应的,故B不符合题意;∵正方体的体积等于棱长的立方,∴=9,故C不符合题意;它的相反数是-,故D符合题意.故选D.
4.A 解析:A.∵=2,∴-2与互为相反数,符合题意;B.∵=-,∴-相等,不符合题意;C.与2互为倒数,不符合题意;D.∵|2|=2,∴|2|与2相等,不符合题意.故选A.
5.B 解析:-,相反数为,符合题意;-,相反数为,不符合题意;1--1,相反数为-1,符合题意;的绝对值为2,相反数为-2,不符合题意;-1.2的绝对值为1.2-,相反数为1.2-,符合题意;的绝对值为0,相反数为0,符合题意.∴绝对值和相反数相等的数有4个.故选B.
6.
7.解:(1)真命题.
(2)假命题.例如:-2既是整数又是负数,所以“一个实数不能既是整数又是负数”是假命题.
(3)假命题.例如:既是非负数又是正无理数,所以“一个实数不能既是非负数又是正无理数”是假命题.
(4)真命题.
8.解:∵1<<2<,
∴<0,1-<0,-2>0.
∴a=||+|1-|-|-2|=-1-+2=1.
∴-2a+2=-2×1+2=-2+2=0.
∴-2a+2的平方根是0.
9.解:∵两个正方形的面积分别为2,3,
∴OA=,OB=.
(1)∵点A在原点的左边,点B在原点的右边,∴点A表示的数是-,点B表示的数是.
(2)线段AB的长度为OA+OB=.
(3)根据题意,OC=2-OA=2-.
∴点C表示的数是2-.
∴实数c的值为2-.第1课时 认识实数
无理数
1.(2024福建中考)下列实数中,无理数是 ( )
A.-3 B.0 C. D.
2.在3.14,-,π,,-0.31,,0.808 008 000 8…(每两个8之间依次多一个0)这些数中,无理数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列说法:①无理数就是开方开不尽的数;②无限小数是无理数﹔③无理数包括正无理数、零、负无理数.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
实数
4.把下列各数填入相应的大括号内.(只填序号)
①,②3-π,③3.14,④,⑤,⑥-,⑦,⑧-0.,⑨,⑩-5.212 112 111 211…(每两个2之间依次多一个1).
有理数:{ …};
无理数:{ …};
实数:{ …}.
1.(易错题)下列实数:①;②3.141 592 6;③0.;④,其中有理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知某个圆的半径为5 cm,则这个圆的周长是 cm(结果保留π),这个周长是 (填“有理数”或“无理数”).
3.已知某个长方体的体积是1 620 cm3,它的长、宽、高的比是5∶4∶3,问该长方体的长、宽、高是无理数吗 为什么
4.(推理能力)具有什么特征的数是无理数,小智和小慧分别发表了自己的观点:
小智:有理数的方根都是无理数,如3的平方根是无理数,5的立方根是无理数;
小慧:带有分数线的数都不是无理数,如是有理数而不是无理数,是有理数而不是无理数.
你认为他们的观点正确吗 若正确,说明理由;若不正确,请分别举出三个反例.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.C 3.A
4.解:有理数:{③④⑤⑦⑧;
无理数:{①②⑥⑨⑩;
实数:{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ .
能力提升
1.C 2.10π 无理数
3.解:该长方体的长、宽、高不是无理数.理由如下:
设长方体的长、宽、高分别是5k cm,4k cm,3k cm.
根据题意,得5k·4k·3k=1 620,即k3=27.
两边开立方,得k=3.
∴5k=15,4k=12,3k=9.
∴该长方体的长、宽、高分别为15 cm、12 cm、9 cm.
∴该长方体的长、宽、高均为有理数,不是无理数.
4.解:小智的观点不正确,如0的平方根为0,1的立方根为1,4的平方根为2和-2,它们都是有理数而不是无理数,所以有理数的方根不都是无理数;
小慧的观点不正确,如,,等,虽然它们都带有分数线,但由于π,,是无理数,所以,,也是无理数,所以带有分数线的数可能是无理数.
