第1课时 二次根式及其化简
二次根式的定义
1.下列各式中,一定属于二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.下列式子中,不属于二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
二次根式有意义的条件
3.若有意义,则a的值可以是 ( )
A.-1 B.0 C.2 D.6
4.若代数式有意义,则实数x的取值范围为 ( )
A.x≥-2 B.x>-2 C.x≠-2 D.x>2
5.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
6.(名师原创)若二次根式有意义,则实数x的取值范围是 .
二次根式的双重非负性
7.若实数x,y满足y=-1,则x-y的值是 ( )
A.1 B.-6 C.4 D.6
8.若y=,则xy= ( )
A.-13 B.0 C.13 D.26
9.已知x,y为实数,且y=-2,则xy的值是 .
10.已知b=+7,求的值.
二次根式的化简
11.化简(-)2的结果是 ( )
A.±3 B.-3
C.3 D.9
12.计算的结果为 ( )
A.±2 B.2
C.4 D.
13.若=3-b,则b满足的条件是 ( )
A.b>3 B.b<3 C.b≤3 D.b≥3
14.如图,数轴上点A表示的数为a,化简a+= .
1.(2025沧州南皮县月考)下列式子一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
2.下列二次根式中,化简结果为-5的是 ( )
A. B.(-)2
C.- D.
3.要使式子有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x>1 B.x>-1
C.x≥1 D.x≥-1
4.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图,则化简|a-1|-的结果是 ( )
A.2a-3 B.-1
C.1 D.3-2a
5.化简:= .
6.计算:
(1)15. (2)(-2)2.
(3)(10)2. (4).
7.阅读:
,,,…
感知:
(1)= ,
= .
归纳:
(2)根据你的观察、猜想,写一个含n(n为正整数)的等式表示该规律,不用证明.
应用:
(3)利用这一规律计算:
×…×.(写出计算过程)
微专题3 二次根式非负性的应用
二次根式具有双重非负性,即二次根式(a≥0)的值是非负数,被开方数a的值也是非负数,利用二次根式的这个性质,可以进行化简或求值.
1.若y=+8,则的值是 .
2.若a+=2,则的值是 .
3.(2025黄骅月考)若|2 024-a|+=a,求a-2 0242的值.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C 3.D 4.B
5.x≥1 6.x≤
7.D 8.B 9.
10.解:根据题意,得
解得a=,
∴b=0+0+7=7,
∴=3.
11.C 12.B 13.C 14.2
能力提升
1.D 解析:因为x,x+2,x2-2的值可能是负数,所以A,B,C不一定是二次根式;因为x2一定是非负数,所以D一定是二次根式.故选D.
2.C
3.C 解析:根据题意,得x-1≥0且2x-1≠0,解得x≥1且x≠,即x≥1.故选C.
4.A 解析:由题图知1
0,a-2<0.原式=a-1-[-(a-2)]=a-1+(a-2)=2a-3.故选A.
5.3- 解析:∵<3,即-3<0,∴=3-.
6.解:(1)15=15×=12.
(2)(-2)2=(-2)2×()2=4×3=12.
(3)(10)2=102×()2=100×2.25=225.
(4).
7.解:(1)
解析:,
.
(2).
(3)×…××…×.
微专题3
1.5 解析:根据题意,得x-3≥0,6-2x≥0,所以x=3,所以y=8,所以原式==5.
2.2 解析:根据题意,得=2-a,所以a-2≥0,2-a≥0,所以a=2,所以=2.
3.解:由,得
a-2 025≥0,得a≥2 025.
∴原式=a-2 024+=a,
得=2 024.
根据平方根的意义,得a-2 025=2 0242.
∴a-2 0242=2 025.第2课时 二次根式的性质
积的算术平方根
1.化简的结果为 ( )
A.3 B.27 C.3 D.9
2.将化简,正确的结果是 ( )
A.6 B.±6
C.3 D.±3
3.(易错题)若·总能成立,则m,n满足的条件是 ( )
A.mn≥0 B.m≥0,n≥0
C.m≥0,n>0 D.m>0,n>0
4.若a=,则= ( )
A.2a B.4a C.8a D.16a
5.化简:= .
6.化简:= .
7.化简:
(1). (2).
(3). (4).
商的算术平方根
8.下列计算中正确的是 ( )
A.
B.=-=-
C.
D.=±=±
9.化简的正确结果为 .
10.化简:
(1). (2). (3).
最简二次根式
11.下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
12.(教材变式)已知下列二次根式:①;②;③;④;⑤;⑥.
(1)指出其中的最简二次根式.
(2)把不是最简二次根式的化简为最简二次根式.
1.化简的结果是 ( )
A. B.6 C. D.6
2.把二次根式化为最简二次根式,正确结果是 ( )
A.±3 B.±2
C.3 D.2
3.(新考法)若aA.-a B.a
C.a D.
4.(易错题)有下列二次根式:①;②;③;④2;⑤;⑥.琪琪说:“最简二次根式只有①④.”嘉嘉说:“我认为最简二次根式只有③⑥.”下列说法正确的是 ( )
A.嘉嘉说的对
B.琪琪说的对
C.嘉嘉和琪琪合在一起对
D.嘉嘉和琪琪合在一起也不对
5.如果=-x·,那么等式成立的条件是 .
6.已知最简二次根式与的被开方数相同,则a+b= .
7.化简:
(1). (2).
(3). (4).
8.小明制作了一张面积为256 cm2的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长方形信封如图所示,长、宽之比为3∶2,面积为420 cm2.
(1)求长方形信封的长和宽.
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗 请通过计算给出判断.
9.(推理能力)先来看一个有趣的现象:=2.这里根号里的因数2经过适当的演变,竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如:=3,=4等.
(1)猜想:= ,并验证你的猜想.
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗
(3)证明你找到的规律.
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数.
【详解答案】
基础达标
1.C 2.A 3.B 4.B
5.8 6.
7.解:(1)=2.
(2)=6.
(3)=2.
(4)=10.
8.C 9.
10.解:(1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
11.C
12.解:(1)①⑤是最简二次根式.
(2)②;
③;
④;
⑥.
能力提升
1.A 解析:.故选A.
2.D 解析:=2.故选D.
3.A 解析:∵a0,∴ab<0,∴a<0,b>0,∴=∣a∣·=-a.故选A.
4.C 解析:根据最简二次根式的定义可知,①,③,④2,⑥是最简二次根式,②,⑤不是最简二次根式,因此嘉嘉和琪琪合在一起对.故选C.
5.-2≤x≤0 解析:如果=-x·,那么x≤0,2+x≥0,解得-2≤x≤0.
6.8 解析:根据题意,得∴a+b=8.
7.解:(1)原式=.
(2)原式==5.
(3)原式=.
(4)原式=.
8.解:(1)设长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm,
根据题意,得3x·2x=420,
∴x2=70,
∴x=(负值舍去).
∴3x=3,2x=2.
答:长方形信封的长为3 cm,宽为2 cm.
(2)∵=16,
∴正方形贺卡的边长是16 cm.
∵70>64,∴>8,∴2>16,
即信封的宽大于正方形贺卡的边长.
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
9.解:(1)5
验证:
=5.
(2)=n.
(3)证明:=n.
(4)=6(答案不唯一).