第3课时 线段垂直平分线的尺规作图
线段垂直平分线的尺规作图
1.(易错题)利用尺规作图作线段垂直平分线的依据是 ( )
A.线段垂直平分线的性质定理
B.线段垂直平分线性质定理的逆定理
C.线段垂直平分线的性质定理或其逆定理
D.线段垂直平分线的性质定理与其逆定理
2.利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以点M,N为圆心所画弧的半径分别为RM,RN,则下列要求正确的是 ( )
A.RM>MN,RN>MN B.RM=RN>MN
C.RM≠RN>MN D.RM=RN=MN
3.(名师原创)如图所示的是某个尺规作图的作图痕迹,请你观察作图痕迹然后在横线上填写适当的内容:
(1)该尺规作图的名称是:作 .
(2)图中标有数字①②③④的图形都是弧,其中图①的圆心是 ,半径的范围是 ;图②的圆心是 ,半径的范围是 ;图③的圆心是 ,半径的范围是 ;图④的圆心是 ,半径的范围是 .
(3)在(2)中,圆心相同的图形是 ,半径必须相等的图形是 ,圆心相同但半径可以相等也可以不相等的图形是 .
1.作线段AB的垂直平分线CD时,为了确定点C与点D的位置,分别以点A,B为圆心,大于AB为半径画弧,下列说法中不是该作图方法目的的是 ( )
A.保证点C到线段AB两端的距离相等
B.保证点D到线段AB两端的距离相等
C.保证画出的两弧能相交
D.保证点C与点D到线段AB的距离相等
2.如图所示,已知钝角三角形ABC,求作Rt△DEF,使其满足下列条件:
①DE边在线段AB的延长线上且点D与点B重合,点F与点C在直线AB的同侧;
②△ABC与△DEF的面积相等且AB=DE.
3.(几何直观)如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF.
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角α的数量关系.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.B
3.(1)线段AB的垂直平分线DE
(2)A 大于AB B 大于AB A 大于AB B 大于AB
(3)图①与图③,图②与图④ 图①与图②,图③与图④ 图①与图③,图②与图④
能力提升
1.D 解析:该作图方法就是为了确定到线段AB两个端点距离相等的点,所以A,B都不符合题意;因为所画弧的半径不大于AB,所画出的弧不能相交或只交于线段AB的中点,所以C不符合题意;因为点C与点D到线段AB的距离不一定相等,所以D符合题意.故选D.
2.解:作出的Rt△DEF如图所示.
3.解:(1)直线EF如图所示.
(2)如图,连接BO,B'O,B″O.
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,
∴∠B'OE=∠B″OE.
∴∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2α,即∠BOB″=2α.第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段垂直平分线性质定理的逆定理
1.如图,直线PO与AB交于点O,PA=PB,则下列结论正确的是 ( )
A.AO=BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
2.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AB边上的点,连接AD,DE,如果AD=BD,DE⊥AB,AB=5,则AE的长度为 .
3.证明:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.已知:如图,在△ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,垂足分别为点E,F,两线相交于点P.
求证:AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
证明:如图,连接PA,PB,PC.
∵P是AB边的垂直平分线上的一点,
∴PB= .
∵P是BC边的垂直平分线上的一点,
∴PB= .
∴ = .
∴点P在AC边的 上.
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点 .
1.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则 ( )
A.点D在线段AB的垂直平分线上
B.点D在线段AC的垂直平分线上
C.点D在线段BC的垂直平分线上
D.点D的位置不能确定
2.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中,找出格点C,使AC=BC,则满足条件的格点C有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.如图,将一张长方形纸片沿对角线BD折叠,使点C落在点C'的位置,设BC'交AD于点O,则点O BD的垂直平分线上.(填“在”或“不在”)
4.(应用意识)如图所示,AD为一根立在水平地面上的电线杆,AB,AC是两根加固电线杆的拉线,且B,D,C三点在同一条直线上.小力想知道这两根拉线的长度是否相等,可是手边只有一把卷尺,请你为小力设计一个简便易行的测量方案,画出示意图并说明你的理由.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.
3.PA PC PA PC 垂直平分线 P
能力提升
1.B 解析:∵BC=BD+AD=BD+CD,∴AD=CD.∴点D在AC的垂直平分线上.故选B.
2.A 解析:如图,满足AC=BC的格点C在AB的垂直平分线上,有5个.故选A.
3.在 解析:根据折叠方法,得∠A=∠C=∠C'=90°,AB=CD=C'D,又∵∠AOB=∠C'OD,∴△AOB≌△C'OD(AAS).∴OB=OD.∴点O在BD的垂直平分线上.
4.解:测量方案为:
(1)在AD上任取一点E,连接BE,CE.
(2)测量线段BD,CD,BE,CE的长度.
(3)比较BD与CD的长度,比较BE与CE的长度,如果BD=CD,且BE=CE,则两根拉线长度相等;否则,两根拉线长度不相等.画出的示意图如图所示.
理由如下:
∵BD=CD时,点D在线段BC的垂直平分线上,BE=CE时,点E在线段BC的垂直平分线上.
∴直线DE是线段BC的垂直平分线.
∵点A是直线DE上的点,
∴AB=AC.第1课时 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理
1.如图,P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9,AC=6,则△ACD的周长是( )
A.10.5 B.12
C.15 D.18
3.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D,E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为 ( )
A.70° B.75°
C.80° D.50°
4.如图,DE垂直平分线段AB于点E,DF垂直平分线段BC于点F,若AD=8,则CD= .
5.如图,在△ABC中,AB=AC=16 cm,AB的垂直平分线ED交AB于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)当AE=13 cm时,BE= cm.
(2)当△BEC的周长为26 cm时,BC= cm.
(3)当BC=15 cm时,△BEC的周长是 cm.
6.(2025义乌月考)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,作直线EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,连接AF.
(1)如果CD=2,CF=10,求线段AF的长.
(2)如果∠B=42°,求∠CAF的度数.
1.如图,MN是线段AB的垂直平分线,点C在MN外,且与点A在MN的同一侧,BC交MN于点P,连接AP,则 ( )
A.BC>PC+AP B.BC
C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP
2.如图,已知MN是边AB的垂直平分线,垂足为F,AD是∠CAB的平分线,且MN与AD相交于点O.连接BO并延长交AC于点E,则下列结论中,不一定成立的是 ( )
A.∠CAD=∠BAD B.OE=OF
C.AF=BF D.OA=OB
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,DC平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.35° D.40°
4.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AC于点D,交AB于点E,若AE=3,△BCD的周长为12,则△ABC的周长为 ( )
A.12 B.15
C.18 D.22
5.(2025盐城盐都区月考)如图,△ABC中,∠A=40°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,连接BE,则∠BEC的度数为 .
6.如图,在△ABC中,∠A=60°,D是BC边的中点,DE⊥BC,∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P,连接PC.
(1)若∠ACP=24°,求∠ABP的度数.
(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,请直接写出m,n满足的关系式: .
7.(几何直观)如图所示,在△ABC中,直线l1,l2分别为AB,BC的垂直平分线,已知直线l1,l2相交于点O,∠AOC=78°,求∠1的度数.
【详解答案】
基础达标
1.C 2.C 3.A 4.8
5.(1)13 (2)10 (3)31
6.解:(1)∵EF垂直平分AD,
∴AF=DF=CD+CF=2+10=12.
(2)∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD,AE=DE.
又∵EF=EF,∴△AEF≌△DEF(SSS),
∴∠ADF=∠DAF.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠ADF=∠B+∠BAD,
∠DAF=∠CAF+∠CAD,
∴∠CAF=∠B=42°.
能力提升
1.C 解析:∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.∵BC=PC+BP,∴BC=PC+AP.故选C.
2.B 解析:∵AD是∠CAB的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∴A不符合题意.∵由已知条件无法判断OE,OF是否相等,∴B符合题意.∵MN是边AB的垂直平分线,∴AF=BF,OA=OB,∴C,D不符合题意.故选B.
3.B 解析:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,AE=CE.又DE=DE.∴△AED≌△CED(SSS),∴∠ACD=∠A=50°.∵DC平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACD=100°.∴∠B=180°-100°-50°=30°.故选B.
4.C 解析:∵DE是线段AB的垂直平分线,∴AB=2AE=6,DA=DB,∵△BCD的周长为12,∴BD+CD+BC=12,∴AD+CD+BC=12,∴AC+BC=12,∵AB=6,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+12=18.故选C.
5.80° 解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,AD=BD.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(SSS),∴∠EBA=∠A=40°,∴∠BEC=∠EBA+∠A=80°.
6.解:(1)∵D是BC边的中点,DE⊥BC,
∴DE垂直平分BC.
∴BD=CD,PB=PC.
在△BPD与△CPD中,
∴△BPD≌△CPD(SSS).
∴∠PBC=∠PCB.
∵BP平分∠ABC,
∴∠PBC=∠ABP.
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP.
∵∠A=60°,∠ACP=24°,
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-60°-24°=96°.
∴3∠ABP=96°.∴∠ABP=32°.
(2)m+3n=120
7.解:连接OB,设l1与AB交于点D,l2 与BC交于点E,如图所示.
∵OD垂直平分AB,
∴AO=BO,AD=BD.
又∵OD=OD,
∴△AOD≌△BOD(SSS),
∴∠AOD=∠BOD,
∴OD平分∠AOB,∴∠BOD=∠AOB.
同理,得∠BOE=∠BOC.
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,
∴∠AOB+∠BOC=360°-∠AOC=360°-78°=282°.
∴∠BOD+∠BOE=(∠AOB+∠BOC)=×282°=141°.
∴∠1=180°-(∠BOD+∠BOE)=180°-141°=39°.