16.3 角的平分线 同步练 （含答案）2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

16.3角的平分线
角平分线的性质定理
1.(2025重庆万州区月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若AC=10,AD=7,则点D到AB的距离为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为 (　　)
A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定
3.如图,OP平分∠AOB,PD⊥OA于点D,点E是射线OB上的一个动点,若PD=3,则PE的最小值是　　　　.
4.如图,已知BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.
求证:PM=PN.
角平分线性质定理的逆定理
5.小明发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样说的依据是 (　　)
A.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
角平分线的尺规作图
6.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,适当长为半径画弧,两弧交于点O,作射线AO交BC于点D.若CD=3,P为AB上一动点,则PD的最小值为　　　　.
1.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 (　　)
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.如图,在△ABC中,AD是角平分线,S△ABD=10,AB=5,则点D到边AC的距离为 (　　)
A.6 B.4
C.3 D.2
3.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为15,AB=6,DE=3,则AC的长是　　　　.
4.(2025高碑店期末)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°,则根据作图痕迹,可知∠BAD的度数为　　　　,∠DAE的度数为　 　　.
5.(2025霸州月考)图1是一个平分角的仪器,其中OD=OE,DF=EF.
(1)如图2,将仪器放置在△ABC上,使点O与顶点A重合,D,E分别在边AB,AC上,沿AF画一条射线AP,交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗 请判断并说明理由.
(2)如图3,在(1)的条件下,过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=6,AC=9,△ABC的面积是60,求AB的长.
微专题6 与角平分线有关的常规辅助线
　　 在有关角平分线的问题中,一条常用的常规辅助线是过角平分线的交点作边的垂线,由此构造出满足角平分线性质的基本图形,从而为利用角平分线的性质提供了方便.
1.如图所示,点O是△ABC内一点,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=5,AB=20,则△AOB的面积是　　　　.
2.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD.
(1)如果DM平分∠ADC,求证:AM⊥DM.
(2)如果M为BC的中点,求证:DM平分∠ADC.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.B　3.3
4.证明:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
5.A　6.3
能力提升
1.A　解析:从题图上可以看出点M在∠AOB的平分线上,其他三点不在∠AOB的平分线上.所以点M到∠AOB两边的距离相等.故选A.
2.B　
解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵S△ABD=10,AB=5,∴×5DE=10.∴DE=4.∵AD是∠CAB的平分线,∴点D到边AC的距离=DE=4.故选B.
3.4　解析:如图,过点D作DF⊥AC于点F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF=3,∴S△ABC=×6×3+AC·3=15,解得AC=4.
4.40°　25°　解析:由作图痕迹,得DF垂直平分AB,∴∠DFA=∠DFB=90°,FA=FB.∵FD=FD,∴△ADF≌△BDF(SAS).∴∠BAD=∠B=40°.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°-40°-50°=90°.∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°.由作图痕迹,得AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=25°.
5.解:(1)AP是∠BAC的平分线,理由如下:
在△ADF和△AEF中,
∴△ADF≌△AEF(SSS).
∴∠DAF=∠EAF,
∴AP平分∠BAC.
(2)如图,过点P作PG⊥AC于点G.
∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
∴PG=PQ=6.
∵S△ABC=S△ABP+S△APC=AB·PQ+AC·PG,
∴AB×6+×9×6=60,解得AB=11.
微专题6
1.50　解析:过O作OE⊥AB于点E,如图所示,∵BO平分∠ABD,OD⊥BC于点D,∴OD=OE=5,∴△AOB的面积=AB·OE=×20×5=50.
2.证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴2∠MAD+2∠ADM=180°,即∠MAD+∠ADM=90°.
∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.
(2)作NM⊥AD交AD于点N,如图所示.
∵∠B=90°,
∴BM⊥AB.
∵AM平分∠BAD,
∴BM=MN.
∵M为BC的中点,
∴BM=CM.
∴MN=CM.
∵∠B=90°,AB∥CD,
∴∠C=90°.
∴CM⊥CD.
∴M在∠ADC的角平分线上,即DM平分∠ADC.