第1课时 等腰三角形与等边三角形及其性质
等腰三角形及“等边对等角”的性质
1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,CD是AB边上的高线,若∠A=40°,则∠BCD的度数为 ( )
A.18° B.20° C.25° D.30°
2.若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是 ( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
3.如图,已知D,E是等腰三角形ABC底边BC上两点,且BD=CE.
求证:∠ADE=∠AED.
等腰三角形“三线合一”的性质
4.如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC,这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角
B.等角对等边
C.垂线段最短
D.等腰三角形“三线合一”
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为中线,∠B=70°,则∠1= ( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
6.(教材变式)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是∠BAC的平分线,BE是∠ABC的平分线,AD与BE交于点O,求∠AOB的度数.
等边三角形及其性质
7.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.如图,△ABC是等边三角形,则∠1+∠2= ( )
A.60° B.90° C.120° D.180°
1.(易错题)已知等腰三角形的两边长a,b满足|a-2|+b2-10b+25=0,那么这个等腰三角形的周长为( )
A.8 B.12
C.9或12 D.9
2.如图,在△ABD中,∠D=20°,CE垂直平分AD,交BD于点C,交AD于点E,连接AC.若AB=AC,则∠BAD的度数是 ( )
A.100° B.110°
C.120° D.150°
3.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于 ( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
4.(新考法)某平板电脑支架的示意图如图所示,其中AB=CD,EA=ED,为了使用的舒适性,可调整∠AEC的大小.若∠AEC增大16°,则∠BDE的变化情况是 ( )
A.增大16° B.减小16°
C.增大8° D.减小8°
5.如图,AD是等边三角形ABC的高,AE=AD,则∠EDC= .
6.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB=72°.
(1)若BD⊥AC于点D,求∠ABD的度数.
(2)若CE平分∠ACB,求证:∠A=∠ACE.
7.(推理能力)已知△ABC为等边三角形,M是BC上的一点,N是CA上的一点,且BM=CN,直线AM,BN相交于Q点.
(1)若点M是BC的中点,N是AC的中点,如图1所示,求∠BQM的度数.
(2)若点M不是BC的中点,N不是AC的中点,如图2所示,请你探究∠BQM的度数是否变化,为什么
(3)若M是BC延长线上的点,N是CA延长线上的点,如图3所示,请你探究∠BQM的度数是否变化,为什么
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C
3.证明:在等腰三角形ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC,∴∠ADE=∠AED.
4.D 5.A
6.解:在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∠BAC=80°,
∴AD⊥BC,∠ACB=∠ABC=×(180°-∠BAC)=50°.
∴∠ADB=90°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠CBO=∠ABC=25°.
∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=25°+90°=115°.
7.C 8.C
能力提升
1.B 解析:∵|a-2|+b2-10b+25=0,∴|a-2|+(b-5)2=0.又∵|a-2|≥0,(b-5)2≥0,∴a-2=0,b-5=0.∴a=2,b=5.如果a为腰长,b为底边长,三角形的三边长分别为2,2,5,此时2+2<5,不能构成三角形,舍去;如果a为底边长,b为腰长,三角形的三边长分别为2,5,5,此时能构成三角形,周长为2+5+5=12.故选B.
2.C 解析:∵CE垂直平分AD,∴AC=CD.∴∠CAD=∠D=20°.∴∠ACB=∠CAD+∠D=40°.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=40°.∴∠BAD=180°-∠B-∠D=120°.故选C.
3.C 解析:∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴AD是线段BC的垂直平分线.∵E为AD上一点,∴EB=EC.
∴∠EBD=∠ECD.∵∠CED=50°,∴∠ECD=∠EBD=180°-90°-50°=40°.又∵∠ABC=60°,∴∠ABE=60°-40°=20°.故选C.
4.D 解析:∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠AEC=∠EAD+∠ADE=2∠ADE,∵∠AEC增大16°,∴∠ADE增大8°,∵∠BDE=180°-∠ADE,∴∠BDE减小8°.故选D.
5.15° 解析:∵AD是等边三角形ABC的高,∴∠ADC=90°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
6.解:(1)∵在等腰三角形ABC中,
AB=AC,∠ACB=72°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD⊥AC于点D,
∴∠DBC=180°-90°-72°=18°.
∴∠ABD=72°-18°=54°.
(2)证明:由(1),知∠ABC=∠ACB=
72°,
∴∠A=36°.
∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB=36°.
∴∠A=∠ACE.
7.解:(1)∵△ABC为等边三角形,且M是BC的中点,
∴AM⊥BC,即∠QMB=90°.
∵△ABC为等边三角形,且N是AC的中点,
∴BN平分∠ABC,得∠QBM=30°.
∴∠BQM=180°-∠QMB-∠QBM=180°-90°-30°=60°.
(2)不变.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠C=∠ABC=60°.
又∵BM=CN,
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BAM=∠CBN.
∴∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.
(3)不变.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°.
又∵BM=CN,
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠M=∠N.
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC=∠ACB=60°.第2课时 等腰三角形与等边三角形的判定
等腰三角形的判定
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD,AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图,等腰三角形ABC的底边为BC,∠B=36°,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接AD,则图中是等腰三角形的为 .
3.如图,已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点,作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°,求∠AGC的度数.
等边三角形的判定
4.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.不能确定形状
5.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE=DB,则△CEB是 三角形.
6.如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB'C',则△ABB'的形状是
三角形.
7.(2025咸阳实验中学月考)如图,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠ABD=30°.
求证:△ABC为等边三角形.
利用尺规作等腰三角形
8.(教材变式)如图所示,已知线段a,b,用尺规作等腰三角形ABC,使得AB=2a,AC=BC=b,写出作法,保留作图痕迹.
1.将两个大小相同且含有30°的两个三角板(△ABC和△DEF)拼成如图所示的形状,其中∠A=
∠D=30°,∠ACB=∠DFE=90°,AC与DF在同一直线上,AB与EF,DE分别相交于点G,I,BC与DE相交于点H,则图中等腰三角形的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2025沧州南皮县月考)如图所示,线段AC,BD相交于点O且互相垂直平分,则图中等腰三角形有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形,并提出下列说法:①图1是三边互不相等的三角形;②图2是等腰三角形;③图3是等腰三角形;④图3是等边三角形.其中正确的是 (填序号).
4.(2025石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点,DE⊥AB于点E,ED的延长线交BC的延长线于点F,且CD=CF.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)当∠F为多少度时,△ABC是等边三角形 请证明你的结论.
5.(推理能力)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“ <”或“=”).
(2)如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“ <”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F……(请你写出完整的解答过程).
(3)在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形).
图1 图2
【详解答案】
基础达标
1.D 2.△ABC,△ADC,△ABD
3.解:(1)证明:∵AF平分∠DAC,
∴∠DAF=∠CAF.∵AF∥BC,
∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB.
∴∠B=∠ACB.∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵AB=AC,∠B=40°,
∴∠ACB=∠B=40°.∴∠BAC=100°.
∴∠ACE=∠BAC+∠B=140°.
∵CG平分∠ACE,
∴∠ACG=∠ACE=70°.
∵AF∥BC,
∴∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°.
4.B 5.等边 6.等边
7.证明:∵AB=BC,BD⊥AC于点D,
∴∠ABC=2∠ABD,
∵∠ABD=30°,
∴∠ABC=60°,
又AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
8.解:作法如下:
(1)在直线OP上截取线段OA=OB=a,且点A,B位于O点的两侧.
(2)过O点作线段AB的垂线OC.
(3)以点A为圆心,b为半径画弧交射线OC于点C.连接AC,BC,则△ABC即为所求,如图所示.
能力提升
1.B 解析:∵∠A=∠D=30°,∠ACB=∠DFE=90°,∴∠E=∠B=∠AGF=∠DHC=60°,∴∠EGI=∠BHI=60°,
∴∠EIG=∠BIH=180°-∠B-∠BHI=60°.根据“三个角相等的三角形是等边三角形”可得△EGI、△BHI是等边三角形,根据“等角对等边”可得△AID是等腰三角形.故选B.
2.C 解析:∵线段AC,BD互相垂直平分,∴AB=AD,CB=CD,DA=DC,BA=BC,∴等腰三角形有△ABD,△CBD,△DAC,△BAC,共4个.故选C.
3.①②③④ 解析:①因为2≠3≠4,故图1是三边互不相等的三角形,正确;②根据等角对等边可知正确;③根据等腰三角形定义可知正确;④根据“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”可知正确.
4.解:(1)证明:∵CD=CF,
∴∠F=∠CDF.
∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE.
∵DE⊥AB,
∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°.
∴∠B=∠A.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)当∠F=30°时,△ABC是等边三角形.证明如下:
∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°.
∴∠B=90°-30°=60°.
由(1),知△ABC是等腰三角形,
∴△ABC是等边三角形.
5.解:(1)=
(2)=
理由如下:
过点E作EF∥BC,交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°,∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF为等边三角形.
∴AE=AF,BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°-∠D,
∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中,
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF,∴AE=DB.
(3)如图所示.作EF∥AC,则△EFB为等边三角形,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECF.
在△DBE和△CFE中,
∴△DBE≌△CFE(AAS).
∵AB=1,AE=2,∴BE=1.
∵DB=FC=FB+BC=2,∴CD=BC+DB=3.
