第2课时 勾股定理的应用
勾股定理的实际应用
1.为了监测学生健康状况,某中学在大门口的正上方A处装着一个离地2.1 m的红外线激光测温仪(如图所示),当人体进入感应范围内时,测温仪就会显示人体体温.一个身高1.6 m的学生(CD)正对门,缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC=1.2 m),测温仪自动显示体温,则人头顶离测温仪的距离AD等于( )
A.1.2 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.5 m
2.如图,这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣架,其中腰长为26 cm,底边的高AD为10 cm,则底边BC= cm.
3.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 n mile至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 n mile至C港,则A,C两港之间的距离为 n mile.
4.(2025银川三中月考)如图1,在某居民小区内有一块近似长方形的草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,仅仅少走了几步路,却踩伤了花草,如图2,经过测量得AC=
3 m,AB=4 m,则仅仅少走了 步(假设1 m为2步).
图1 图2
5.如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米.(先画出示意图,然后再求解)
6.(新考法)如图,为了测量某列动车组的速度,数学兴趣小组的同学们在距离铁轨300 m的点C处设立了观测站,并在铁轨上选定点D,使得CD=300 m,CD⊥AB,当动车车头在点A处时,恰好位于点C处的北偏东45°的方向上,14 s后,动车车头由A处到达点B处,此时测得B,C两点间的距离为500 m,求这列动车的平均速度.
1.如图,一个门框的尺寸如图所示,下列长方形木板不能从门框内通过的是 ( )
A.长3 m,宽2.2 m的长方形木板
B.长3 m,面积为6 m2的长方形木板
C.长4 m,宽2.1 m的长方形木板
D.长3 m,周长为11 m的长方形木板
2.如图,是一个儿童滑梯,AE,DF,MN是滑梯的三根加固支架,且AE和DF都垂直于地面BC,N是滑道DC的中点.小周测得FM=2 m,MN=4 m,MC=6 m,通过计算,他知道了滑道NC的长为 ( )
A.2 m B.2 m
C.3 m D.无法计算
3.(2025高碑店月考)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题重要的工具,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板离地面的垂直高度BE=1 m,将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD=4 m),踏板离地的垂直高度CF=3 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是 ( )
A.4 m B.5 m
C.6 m D.8 m
4.如图,是一个滑梯示意图,若将滑梯BD水平放置,则刚好与DE一样长,已知滑梯的高度CE为
3 m,BC的长为1 m.则滑道BD的长度为 m.
5.(安全责任)为了增强全民的消防安全意识,某校师生举行了消防演练,如图,云梯AC的长为25 m,云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上(墙与地面垂直),云梯底端A与墙角O的距离为7 m.
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离CO.
(2)现距离云梯顶端C下方4 m的D处发生火灾,需将云梯顶端C下滑到着火点D处,求云梯底端在水平方向上滑动的距离AB.
6.(应用意识)如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=2 m,求点B到地面的垂直距离BC.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.48 3.50 4.4
5.
解:示意图如图所示.过点D作DE⊥AB,垂足为E.
∵AB=13 m,CD=8 m,
又∵BE=CD,DE=BC,
∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5(m).
∴在Rt△ADE中,
DE=BC=12 m.
∴AD2=AE2+DE2=52+122=25+144=169.
∴AD=13 m(负值舍去).
答:小鸟飞行的最短路程为13 m.
6.解:在Rt△BCD中,BC=500 m,CD=300 m,
∴BD==400(m).
在Rt△ADC中,∠ACD=45°.
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-45°=45°.
∴∠CAD=∠ACD,∴CD=AD=300 m.
∴AB=BD+AD=400+300=700(m).
∴这列动车的平均速度为=50(m/s).
能力提升
1.D
解析:如图,连接AC.∵四边形ABCD是长方形,∴∠ABC=90°,根据勾股定理得AC==
≈2.236(m),D选项中木板宽度为(11-6)÷2=2.5>2.236,∴长3 m,周长为11 m的长方形木板不能从门框内通过.故选D.
2.A 解析:如图,连接FN,过点N作NG⊥CF于点G.∵FM=2 m,MC=6 m,∴CF=FM+MC=8 m.∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°.∵N是滑道DC的中点,∴FN=DC=CN.∵NG⊥CF,∴FG=CG=CF=4 m.∴MG=FG-FM=4-2=2(m).在Rt△MNG中,由勾股定理,得NG==2(m).在Rt△CNG中,由勾股定理,得NC==2(m).故选A.
3.B 解析:根据题意可知,CF=3 m,BE=1 m,∴BD=2 m.设AC的长为x m,则AB=AC=x m,∴AD=AB-BD=(x-2)m.在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,即(x-2)2+42=x2,解得x=5.故选B.
4.5 解析:设BD的长为x m,则DE=x m,AD=DE-AE=(x-1) m,由题意得∠BAD=90°,AB=CE=3 m,在Rt△ABD中,由勾股定理得x2=32+(x-1)2,解得x=5,即滑道BD的长为5 m.
5.解:(1)∵∠AOC=90°,OA=7 m,AC=25 m,
∴OC==24(m).
答:云梯顶端C与墙角O的距离CO为24 m.
(2)∵OD=OC-CD=24-4=20(m),
∴OB==15(m),
∴AB=OB-OA=15-7=8(m).
答:云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8 m.
6.解:在Rt△DAE中,∵∠DAE=45°,
∴∠ADE=∠DAE=45°.
∴AE=DE=2 m.
∴AD===4(m),
即梯子的总长为4 m.
∴AB=AD=4 m.
在Rt△ABC中,
∵∠BAC=60°,
∴∠ABC=30°.
∴AC=AB=2 m.
∴BC==2(m).
答:点B到地面的垂直距离BC为2 m.第1课时 勾股定理
勾股定理
1.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,∠BAC=90°.则该三角形的三边满足的关系是( )
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2
C.b2+c2=a2 D.a+b=c
2.如图,直角三角形中未知边的长度为 ( )
A. B. C.5 D.7
3.(新考法)已知一直角三角形的木板,三边的平方和为1 800,则斜边长为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是 ( )
A.2 B.20 C.100 D.400
5.(易错题)直角三角形中,若两条边的长分别为3,5,则第三条边的长为 .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=4,AB=3AC,求AC的长.
7.(2025余姚期末)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,且CD=4 cm,BD=3 cm.
(1)求AD的长.
(2)求△ABC的面积.
勾股定理的验证
8.已知Rt△ABC≌Rt△CDE,∠B=∠D=90°,小芳将两个三角形拼成如图所示图形,且B,C,D三点在同一条直线上,连接AE.
(1)请你用该图证明勾股定理.
(2)若△ABC的面积为4,△ACE的面积为20,求b-a的值.
1.如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为 ( )
A.- B.1- C.-1 D.-1-
2.将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放:先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点,则AB的长是 ( )
A.(2-)cm B.(2-2)cm
C.2 cm D.2 cm
3.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.如图,△ABC的顶点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形网格的边长都为1,则AC边上的高是 .
5.(2025沧州海兴县月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)如果a=8,b=20,求c.
(2)如果a=7,c=9,求△ABC的面积.
6.(推理能力)勾股定理体现了数与形的完美结合,小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感,发现新的拼图方法:如图,两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点D在BC边上,顶点F,B重合,连接AE,AD.设AB,DE交于点G.∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a>b),
AB=DE=c.请你回答以下问题:
(1)填空:∠AGE= °,= (用含字母c的代数式来表示).
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此验证勾股定理.
【详解答案】
基础达标
1.C 2.B 3.C 4.B
5.或4
6.解:设AC=x,则AB=3x.
在Rt△ABC中,∠C=90°.
∴AC2+BC2=AB2,即x2+(4)2=(3x)2,
化简,得x2+32=9x2,
移项、合并同类项,得8x2=32,
解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).
∴AC=2.
7.解:(1)设AD=x cm,则AB=AC=(x+3) cm,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
在Rt△ACD中,根据勾股定理,得
AD2+CD2=AC2,
即x2+42=(x+3)2,
解得x=.
∴AD的长为 cm.
(2)由(1)可知,AB=AC=+3=(cm),
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=AB·CD=×4=(cm2).
8.解:(1)证明:∵Rt△ABC≌Rt△CDE,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠BAC+∠BCA=90°,
∴∠DCE+∠BCA=90°.
∴∠ACE=180°-∠DCE-∠BCA=90°.
梯形ABDE的面积==S△ABC+S△ACE+S△CDE,
即ab+c2+ab,
化简整理得c2=a2+b2.
(2)∵△ABC的面积为4,△ACE的面积为20,∴ab=4,c2=20.
∴ab=8,c2=40.
由(1)知c2=a2+b2=40,
∴(b-a)2=a2+b2-2ab=40-16=24.
由题图可知b-a>0,
∴b-a=2.
能力提升
1.D 解析:在长方形ABCD中,AD=-1-(-4)=3,AB=CD=1,∴AC=.∴点A到点E的距离为.∵点A表示的数为-1,∴点E表示的数为-1-.故选D.
2.B 解析:如图,在Rt△ACD中,∠ACD=45°,∴∠CAD=45°=∠ACD.∴AD=CD=2 cm.在Rt△BCD中,∠BCD=60°,∴∠CBD=30°.∴BC=2CD=4 cm.∴BD==2(cm).∴AB=BD-AD=(2-2)cm.故选B.
3.D 解析:根据题意,得MN是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC.∴∠DAC=∠C.∵BD=CD,∴BD=AD.∴∠B=∠BAD.∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°.∴∠BAD+∠DAC=90°.∴∠BAC=90°.在Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,∴AB==6.故选D.
4. 解析:因为每个小正方形网格的边长都为1,所以AC==3,设AC边上的高为x,因为BC边上的高为3,所以×3×2=×3x,解得x=.
5.解:(1)根据勾股定理,得c=
=4.
(2)根据勾股定理,得b==4.
∴S△ABC=ab=×7×4=14.
6.解:(1)90
(2)方法一 =BC·(AC+EF)=a(b+a)=ab+a2.
方法二 =S△ACD+=b(a-b)+c2=ab-b2+c2.
根据方法一、方法二,得
ab+a2=ab-b2+c2,
整理,得ab+a2=ab-b2+c2,
∴a2+b2=c2.第3课时 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
1.下列能作为直角三角形三边长的是 ( )
A.1,2,3 B.1,,3
C.,2, D.4,5,6
2.如图,AD是△ABC的中线,DE⊥AC于点E,DF是△ABD的中线,且CE=2,DE=4,AE=8.
(1)求证:∠ADC=90°.
(2)求DF的长.
勾股定理的逆定理的实际应用
3.一块三角形草坪的形状如图,经管理人员测量,这块草坪的三条边AB=8 m,BC=15 m,AC=17 m.求这块草坪的面积.
1.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
2.(2025郑州中牟县月考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=90°
B.a2=3,b2=4,c2=5
C.a=5,b=12,c=13
D.a2=c2-b2
3.若一个三角形的三边长分别为5,12,13,则此三角形的最长边上的高为 .
4.如图是一个机器零件的平面示意图,按规定,这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到点A与点C之间的距离为10 cm,AD=8 cm,DC=6 cm,于是就断定这个零件合格,为什么
5.(几何直观)如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动,如果P,Q两点同时出发,经过3 s时,△BPQ的面积是多少
【详解答案】
基础达标
1.C
2.解:(1)证明:∵DE⊥AC于点E,
∴∠AED=∠CED=90°.
在Rt△ADE中,∠AED=90°.
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80.
同理,CD2=20,∴AD2+CD2=100.
∵AC=AE+CE=8+2=10,
∴AC2=100.
∴AD2+CD2=AC2.
∴△ADC是直角三角形.
∴∠ADC=90°.
(2)∵AD是△ABC的中线,
∠ADC=90°,
∴AD垂直平分BC.
∴AB=AC=10.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,
∵F是边AB的中点,
∴DF=AB=5.
3.解:∵AB=8 m,BC=15 m,AC=17 m,
∴AB2+BC2=82+152=289,AC2=172=289,
∴AB2+BC2=AC2,
即△ABC为直角三角形.
∴∠ABC=90°,
∴S△ABC=AB·BC=×8×15=60(m2).
答:这块草坪的面积是60 m2.
能力提升
1.C 解析:∵(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,∴a-b=0,a2+b2-c2=0.解得a=b,a2+b2=c2,∴△ABC的形状为等腰直角三角形.故选C.
2.B 解析:A.∵∠A+∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;B.∵a2+b2=3+4=7,c2=5,∴a2+b2≠c2,∴△ABC不是直角三角形,符合题意;C.∵a=5,b=12,c=13,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;D.∵a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,不符合题意.故选B.
3. 解析:∵52+122=25+144=169,132=169,∴52+122=132,∴该三角形是直角三角形,设此三角形的最长边上的高为h,则×13h=×5×12,解得h=.
4.解:这个零件合格.理由:如图,连接AC.
在△ACD中,
∵AC2=102=100,CD2+AD2=62+82=100,
∴AC2=CD2+AD2.
∴△ACD是直角三角形,即AD与CD垂直.∴这个零件合格.
5.解:∵AB∶BC∶CA=3∶4∶5,
∴设AB的长为3x cm,BC的长为4x cm,AC的长为5x cm.
∵△ABC的周长为36 cm,
即AB+BC+AC=36 cm,
∴3x+4x+5x=36.解得x=3.
∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm.
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
经过3 s,BP=9-3×1=6(cm),
BQ=2×3=6(cm),
∴S△BPQ=BP·BQ=×6×6=18(cm2).
