17.4 直角三角形全等的判定 同步练 （含答案）2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

17.4直角三角形全等的判定
判定直角三角形全等
1.下列说法不正确的是 (　　)
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C.斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D.有两边相等的两个直角三角形全等
2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是(　　)
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
3.(2025承德双滦区月考)如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件:　　　　.
4.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)△OBC是何种三角形 证明你的结论.
5.如图所示,直线AD是线段BE的垂直平分线,垂足为O,A,D是直线AD上的两点,连接AB,DE,已知AB=DE,则AB∥DE,为什么
6.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,且BC=DC.BE与DF相等吗 请说明你的理由.
根据“HL”用尺规作三角形
7.下列条件不能作出唯一的直角三角形的是 (　　)
A.已知两条直角边
B.已知一锐角和一斜边
C.已知两锐角
D.已知斜边和一直角边
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,请你利用尺规作图作Rt△DEF,使得∠F=90°,DE=AB,DF=AC.不写作法,保留作图痕迹.
1.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°,则∠AEC=(　　)
A.28° B.59° C.60° D.62°
2.(2025武威期中)如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=　　　　.
3.(新考法)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF.
求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
4.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接AD,已知DE=DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF.
(2)求证:△ABC是等腰三角形.
5.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若B,C在DE的同侧如图1所示,且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧如图2所示,且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是请给出证明;若不是,请说明理由.
图1　 　图2
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D
3.BC=EF(答案不唯一)
4.解:(1)证明:在△ABC和△DCB中,
∠A=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
(2)△OBC是等腰三角形.证明如下:
由(1),得Rt△ABC≌Rt△DCB,
∴∠ACB=∠DBC.
∴OB=OC.
∴△OBC是等腰三角形.
5.解:∵直线AD是线段BE的垂直平分线,
∴O是BE的中点,则OB=OE.
∵AD⊥BE,∴∠AOB=∠DOE=90°.
在Rt△AOB与Rt△DOE中,
∵
∴Rt△AOB≌Rt△DOE(HL),
∴∠B=∠E,
∴AB∥DE.
6.解:BE=DF.
理由:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠FAC.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF.
在Rt△DCF和Rt△BCE中,
∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL).
∴BE=DF.
7.C
8.解:作出的Rt△DEF如图所示.
能力提升
1.B　解析:在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,且AE=AE,∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL).∴∠CAE=∠DAE=∠CAB.
∵∠B+∠CAB=90°,∠B=28°,∴∠CAB=90°-28°=62°.∴∠AEC=90°-∠CAB=90°-31°=59°.故选B.
2.7　解析:∵MN∥PQ,AB⊥PQ,∴AB⊥MN,∴∠DAE=∠EBC=90°,∵AD=BE,DE=EC,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴AE=BC,∵AD+BC=7,∴AB=AE+BE=AD+BC=7.
3.证明:连接BD(图略),
∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴△ABD和△CBD都是直角三角形.
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).
∴AD=CD.
∵AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
4.证明:(1)DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF都是直角三角形.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
5.解:(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,
即∠BAC=90°.
∴AB⊥AC.