第十七章　特殊三角形 专题训练十　构造等腰三角形的常用方法 同步练 （含答案）2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

专题训练十　构造等腰三角形的常用方法
利用平行线构造等腰三角形
1.如图所示,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在AC边上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,已知EF=DF.
求证:AD=CE.
利用角平分线构造等腰三角形
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D,∠DCB=∠B.若AC=10,AB=25,求CD的长.
利用延长线段构造等腰三角形
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,CD=AD+BC,连接DE,CE.
求证:(1)DE⊥CE.
(2)S△ADE+S△BCE=S△CDE.
利用“倍角”构造等腰三角形
4.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,垂足为D.若BD=2,CD=8,求AB的长(用两种不同方法).
【详解答案】
1.证明:作DG∥BC交AC于点G,如图所示,
则∠DGF=∠ECF,
在△DFG和△EFC中,
∴△DFG≌△EFC(AAS).
∴DG=CE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DG∥BC,
∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB.
∴∠A=∠ADG=∠AGD.
∴△ADG是等边三角形,
∴AD=DG.
∴AD=CE.
2.解:如图,延长CD交AB于点E.
∵AD平分∠BAC.
∴∠1=∠2.
∵CD⊥AD,
∴∠ADE=∠ADC=90°.
∵在△ADE与△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(ASA).
∴AE=AC=10,DE=DC.
∵∠DCB=∠B,
∴BE=CE=2DC.
∴AB=AE+BE=10+2DC=25.
∴DC=7.5.
3.证明:(1)延长DE交CB的延长线于点F,如图所示.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F,
∵E为AB的中点,
∴AE=BE.
在△ADE与△BFE中,
∴△ADE≌△BFE(AAS),
∴AD=BF,DE=EF,
∵CD=AD+BC,
∴CD=CF,
∴DE⊥CE.
(2)由(1)知DE=EF,
CE⊥DF,∴S△CDE=S△CEF.
∵△ADE≌△BFE,
∴S△CDE=S△CEF=S△BFE+S△BCE=S△ADE+S△BCE.
4.解:方法一(截长法)　在CD上截取DE=BD=2,连接AE(图略).∵AD⊥BC,∴AB=AE.∴∠AEB=∠ABC=2∠C.
∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=CD-DE=6.∴AB=6.
方法二(补短法)　延长DB至点F,使得BF=AB,连接AF(图略),则∠F=∠BAF,∴∠ABC=∠F+∠BAF=
2∠F.∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C.∴AF=AC.∵AD⊥FC,∴FD=DC=8.∵BD=2,∴FB=FD-BD=6.∴AB=FB=6.