2024-2025学年吉林省长春十七中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春十七中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，为虚数单位，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
4.在等腰三角形中，，，若为边上的动点，则( )
A. B. C. D.
5.如图，有，，三艘渔船在海岛附近作业，在的东北方向，在的东偏北方向，在的东偏北方向，在的正东方向，已知，相距，，相距，则( )
A. 在的北偏西方向 B.
C. ，相距 D. ，相距
6.下列命题正确的是( )
A. 若、是两条直线，、是两个平面，且，，则、是异面直线
B. 四边形可以确定一个平面
C. 已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是相交
D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，高为，则此三棱台的体积是( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若复数满足是虚数单位，则在复平面内对应的点位于第一象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.已知四面体的四个面都是边长为的正三角形，则以下正确的是( )
A. 四面体的高 B. 四面体表面积为
C. 四面体体积为 D. 四面体的内切球半径为
11.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. ， B.
C. 若，则 D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则实数的值为______．
13.一个腰长为的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为______．
14.如图甲，在梯形中，，，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内如图乙，那么在以下个结论中，正确的结论是______．
平面；平面；平面．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：；
已知复数，，求
16.本小题分
已知正方体中，，点，分别是线段，的中点．
求三棱锥的体积；
求证：直线、、三线共点．
17.本小题分
已知，其中，，．
求的单调递增区间；
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若，求外接圆的半径；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面；
求三棱锥与正方体的外接球半径之比．
参考答案
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14.
15.由复数的乘法运算法则得：
．
，，
由复数的加法运算法则得，
由复数模的公式得：．
16.因为正方体中，，，分别是线段，的中点，
所以三棱锥的体积为；
证明：因为，，
所以直线，相交，设交于，
则，
同理可得直线，相交于点，则，
所以与重合，
所以直线、、三线相交于点，
所以直线、、三线交于一点．
17.
，
令，
解得，
所以的单调递增区间．
因为，
所以，又，
所以，即．
因为，由余弦定理得．
因为向量与共线，
所以，由正弦定理得，
所以，．
18.因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
因为，且，
所以由余弦定理得：，所以，
所以，所以外接圆半径；
因为，，所以由余弦定理，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
因为三角形任意两边之和大于第三边，所以，所以．
所以，所以三角形周长范围为．
19.证明：在正方体中，为的中点，
连接交于点，连接，
在正方体中，底面为正方形，
为的中点，
又为中点，，
又平面，平面，
平面；
证明：连接，，，由有平面，
为中点，为中点，
，，且，，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面，
又，，平面，
平面平面；
解：设正方体外接球半径为，
外接球的直径为，
由，解得，
设三棱锥的外接球半径为，
分别取，的中点，，连接，，，，
，，，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
其外接球的直径等于长方体的对角线的长，
由，
，解得，
，
三棱锥与正方体的外接球半径之比．
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