甘肃省武威市凉州区东河乡、河东乡九年制学校2025年中考二模数学试题
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（2025·凉州模拟）2025年1月18日，根据地区生产总值统一核算结果，2024年江西省地区生产总值为34202.5亿元，按不变价格计算，同比增长.34202.5亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：34202.5亿，
故选：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题．
2．（2025·凉州模拟）若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程中，a=1，b=1，c=-6，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：=-1，=-6，然后将转化为，最后直接将和的值代入即可得解．
3．（2025·凉州模拟）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
，
故③正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
，故不正确．
故选：C．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置的到a，b，c的值判断①；根据抛物线的对称性可的当x=-1时，y>0判断②；根据对称轴判断③；根据二次函数的增减性判断④解答即可．
4．（2025·凉州模拟）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由题意，画图如下：
由图可知：A的对应点的坐标为；
故选：D．
【分析】根据旋转的性质画出图形，根据点的位置写出点的坐标即可．
5．（2025·凉州模拟）如图， 在中， 直径与弦相交于点 P， 连接， ，，若，， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
又 ∵为直径，即，
，
故选：D．
【分析】根据圆周角定理得出，再根据三角形外角和定理求出∠BDP的值，利用直径所对的圆周角是直角可得，然后根据角的和差解答即可．
6．（2025·凉州模拟）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有2张“霜降”，1张“惊蛰”，1张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“霜降”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的可能性为．
故选：A．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．（2025·凉州模拟）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（ ）
A．16 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，
∴，
∴，
∴，
设，
∵正方形和矩形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（舍去）；
经检验是原方程的解；
∴．
故选C．
【分析】根据反比例函数的解析式求出点坐标，设，根据两个图形的面积求出点坐标，代入反比例函数解析式即可求出a的值解题．
8．（2025·凉州模拟）在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的中点，
，
．
故选：D．
【分析】证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，再利用勾股定理求出长解题即可．
9．（2025·凉州模拟）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则的长为
C．若，则长度的最小值为1.8
D．和不可能全等
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴；故选项A错误，不符合题意；
同上可知：，，
∵，
∴设，，则：，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）；
∴，
∴，
在中，；故选项B正确，符合题意；
当时，连接，则，
∵折叠，
∴，
∴，
∴的最小值为2；故选项C错误，不符合题意；
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴当时，；故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【分析】根据折叠的性质，得到，判断A选项，设，，推理得到，根据正弦求出，进而求出EG长，利用正切求出得到，在中，求出x和y的值，得到的值，根据勾股定理求出的长，判断B选项，连接，根据勾股定理求出的长，根据，判断C选项，利用折叠，得到当时，，判断D选项即可解题．
10．（2025·凉州模拟）如图所示的零件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图是从上往下看可得出零件的俯视图是：
，
故选：B.
【分析】根据从上往下看得到的几何图形是俯视图解答即可．
二、填空题（共24分，每空3分）
11．（2025·凉州模拟）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：一元二次方程的两个根分别为，
，，
，
故答案为：.
【分析】根据的两个实数根分别为、，则，可知，，然后整体代入计算解答即可．
12．（2025·凉州模拟）中，若，，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
设，
在中，，，
，，
设，则，
，
在中，，即，
整理得：，
这个关于的一元二次方程有实数根，
此方程根的判别式，即，
解一元二次方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，，
又，
，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：．
【分析】过点作，交延长线于点，设，即可得到，，再设，可得，然后在中，利用勾股定理得到关于的一元二次方程，根据根的判别式解答即可．
13．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称 ，
对称点的坐标为（-1，-2），
故答案为： .
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解.
14．（2025·凉州模拟）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，即可得到是等边三角形，进而得出，利用含直角三角形得性质得，根据勾股定理求出，利用线段的和差解答即可．
15．（2025·凉州模拟）双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是 ．
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，
∴落在双曲线上，
∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2，
∴设平移后，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意设平移后，则，再将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．（2025·凉州模拟）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再根据相似三角形的判定与性质求出，的面积，根据计算解题．
17．（2025·凉州模拟）矩形纸片ABCD中，，，点M在AD边所在的直线上，且，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 .
【答案】或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接、，易证垂直平分，
如图，当点在点左侧时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
垂直平分，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
如图，当点在点右侧时，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】本题是矩形翻折综合题，考查了矩形的性质、全等三角形性质、勾股定理等，根据条件确定点M的位置进行分类讨论是解题关键.
18．（2025·凉州模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
【答案】250
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
【分析】根据位似图形求出位似比，然后利用面积比等于位似比的平方解答即可．
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形．
（1）将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到；
（2）将绕格点O顺时针旋转，得到．
（1）将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到；
（2）将绕格点O顺时针旋转，得到．
【答案】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和距离得到即可解题；
（2）作出点A'，B'，C'关于点O的旋转后的对应边，依次连接得到即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：（1），
．
；
（2）
解不等式①，得．
解不等式②，得．
在数轴上表示出解不等式①，②的解集，
所以，原不等式组的解集是.
【知识点】零指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算根据立方根，零指数幂定义和特殊角三角函数值，然后合并同类二次根式解题．
（2）分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示解集即可．
21．（2025·凉州模拟）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率．
【答案】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据“ 2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元 列一元二次方程解答即可．
22．（2025·凉州模拟）如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到．
（1）求证：B，D，E三点共线；
（2）连接，交于点G，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，，，
∵由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴三点共线．
（2）解：∵正方形，∴，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，，，得到为等边三角形，即可得到，推理得到，，进而得到是的垂直平分线，证明结论；
（2）根据旋转的性质可以得到，，利用三角形的内角和定理和等边对等角得到，然后根据三角形的外角解答即可．
（1）证明：如图，连接，，，
∵由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴三点共线．
（2）解：∵正方形，
∴，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，
∴．
23．（2025·凉州模拟）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，即可得到，根据直径可得，即可得到证明结论；
（2）设的半径为，在中利用勾股定理计算解答即可．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则
由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
24．（2025·凉州模拟）数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练．
（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____；
（2）小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种．
P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是
【分析】（1）根据概率公式解答；
（2）通过列表得到所有的等可能情况，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种．
P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）．
25．（2025·凉州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且．
（1）求的值；
（2）求直线的函数表达式．
【答案】（1）解：如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到点的坐标，然后代入求出反比例函数的解析式；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
26．（2025·凉州模拟）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】解：延长交于点，过点作，由题意，得：，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，
∵斜坡的坡度i为，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由题意，得：，
∴，
∴；
答：古树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长交于点，过点作，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正切求出的长，根据线段的和差解答即可．
27．（2025·凉州模拟）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
设直线DC的解析式为：，把代入，
得：，
∴k=2.
∴，
令x=0，可得：y=-12，
即直线DC与y轴的交点为（0，-12），
∴.
∴，
∵ 点P为直线上方抛物线上的一个动点，
∴过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，如图所示：
则，
∴AE=2，
∴E(0，﹣4).
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴直线PQ的解析式为：y=x－4.
由得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，且对称轴为直线.
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）两点式写出函数解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）利用割补法求出△DAC的面积，继而可根据求得△PAC的面积，再过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，于是有，再根据面积公式即可求得点E的坐标；求得直线AC的解析式，再根据平行线的性质可得直线PQ的解析式，最后联立得并求解，即可得到点P的横坐标.
（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
1 / 1甘肃省武威市凉州区东河乡、河东乡九年制学校2025年中考二模数学试题
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（2025·凉州模拟）2025年1月18日，根据地区生产总值统一核算结果，2024年江西省地区生产总值为34202.5亿元，按不变价格计算，同比增长.34202.5亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·凉州模拟）若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．（2025·凉州模拟）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·凉州模拟）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·凉州模拟）如图， 在中， 直径与弦相交于点 P， 连接， ，，若，， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025·凉州模拟）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有2张“霜降”，1张“惊蛰”，1张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·凉州模拟）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（ ）
A．16 B．8 C． D．
8．（2025·凉州模拟）在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2025·凉州模拟）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则的长为
C．若，则长度的最小值为1.8
D．和不可能全等
10．（2025·凉州模拟）如图所示的零件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每空3分）
11．（2025·凉州模拟）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为 ．
12．（2025·凉州模拟）中，若，，则的最大值为 ．
13．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（2025·凉州模拟）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
15．（2025·凉州模拟）双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是 ．
16．（2025·凉州模拟）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ．
17．（2025·凉州模拟）矩形纸片ABCD中，，，点M在AD边所在的直线上，且，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 .
18．（2025·凉州模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形．
（1）将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到；
（2）将绕格点O顺时针旋转，得到．
（1）将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到；
（2）将绕格点O顺时针旋转，得到．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（2025·凉州模拟）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率．
22．（2025·凉州模拟）如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到．
（1）求证：B，D，E三点共线；
（2）连接，交于点G，求的度数．
23．（2025·凉州模拟）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
24．（2025·凉州模拟）数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练．
（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____；
（2）小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率．
25．（2025·凉州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且．
（1）求的值；
（2）求直线的函数表达式．
26．（2025·凉州模拟）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
27．（2025·凉州模拟）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：34202.5亿，
故选：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程中，a=1，b=1，c=-6，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：=-1，=-6，然后将转化为，最后直接将和的值代入即可得解．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
，
故③正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
，故不正确．
故选：C．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置的到a，b，c的值判断①；根据抛物线的对称性可的当x=-1时，y>0判断②；根据对称轴判断③；根据二次函数的增减性判断④解答即可．
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由题意，画图如下：
由图可知：A的对应点的坐标为；
故选：D．
【分析】根据旋转的性质画出图形，根据点的位置写出点的坐标即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
又 ∵为直径，即，
，
故选：D．
【分析】根据圆周角定理得出，再根据三角形外角和定理求出∠BDP的值，利用直径所对的圆周角是直角可得，然后根据角的和差解答即可．
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“霜降”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的可能性为．
故选：A．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，
∴，
∴，
∴，
设，
∵正方形和矩形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（舍去）；
经检验是原方程的解；
∴．
故选C．
【分析】根据反比例函数的解析式求出点坐标，设，根据两个图形的面积求出点坐标，代入反比例函数解析式即可求出a的值解题．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的中点，
，
．
故选：D．
【分析】证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，再利用勾股定理求出长解题即可．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴；故选项A错误，不符合题意；
同上可知：，，
∵，
∴设，，则：，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）；
∴，
∴，
在中，；故选项B正确，符合题意；
当时，连接，则，
∵折叠，
∴，
∴，
∴的最小值为2；故选项C错误，不符合题意；
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴当时，；故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【分析】根据折叠的性质，得到，判断A选项，设，，推理得到，根据正弦求出，进而求出EG长，利用正切求出得到，在中，求出x和y的值，得到的值，根据勾股定理求出的长，判断B选项，连接，根据勾股定理求出的长，根据，判断C选项，利用折叠，得到当时，，判断D选项即可解题．
10．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图是从上往下看可得出零件的俯视图是：
，
故选：B.
【分析】根据从上往下看得到的几何图形是俯视图解答即可．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：一元二次方程的两个根分别为，
，，
，
故答案为：.
【分析】根据的两个实数根分别为、，则，可知，，然后整体代入计算解答即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
设，
在中，，，
，，
设，则，
，
在中，，即，
整理得：，
这个关于的一元二次方程有实数根，
此方程根的判别式，即，
解一元二次方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，，
又，
，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：．
【分析】过点作，交延长线于点，设，即可得到，，再设，可得，然后在中，利用勾股定理得到关于的一元二次方程，根据根的判别式解答即可．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称 ，
对称点的坐标为（-1，-2），
故答案为： .
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，即可得到是等边三角形，进而得出，利用含直角三角形得性质得，根据勾股定理求出，利用线段的和差解答即可．
15．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，
∴落在双曲线上，
∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2，
∴设平移后，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意设平移后，则，再将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再根据相似三角形的判定与性质求出，的面积，根据计算解题．
17．【答案】或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接、，易证垂直平分，
如图，当点在点左侧时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
垂直平分，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
如图，当点在点右侧时，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】本题是矩形翻折综合题，考查了矩形的性质、全等三角形性质、勾股定理等，根据条件确定点M的位置进行分类讨论是解题关键.
18．【答案】250
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
【分析】根据位似图形求出位似比，然后利用面积比等于位似比的平方解答即可．
19．【答案】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和距离得到即可解题；
（2）作出点A'，B'，C'关于点O的旋转后的对应边，依次连接得到即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
20．【答案】解：（1），
．
；
（2）
解不等式①，得．
解不等式②，得．
在数轴上表示出解不等式①，②的解集，
所以，原不等式组的解集是.
【知识点】零指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算根据立方根，零指数幂定义和特殊角三角函数值，然后合并同类二次根式解题．
（2）分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示解集即可．
21．【答案】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据“ 2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元 列一元二次方程解答即可．
22．【答案】（1）证明：如图，连接，，，
∵由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴三点共线．
（2）解：∵正方形，∴，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，，，得到为等边三角形，即可得到，推理得到，，进而得到是的垂直平分线，证明结论；
（2）根据旋转的性质可以得到，，利用三角形的内角和定理和等边对等角得到，然后根据三角形的外角解答即可．
（1）证明：如图，连接，，，
∵由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴三点共线．
（2）解：∵正方形，
∴，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，即可得到，根据直径可得，即可得到证明结论；
（2）设的半径为，在中利用勾股定理计算解答即可．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则
由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
24．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种．
P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是
【分析】（1）根据概率公式解答；
（2）通过列表得到所有的等可能情况，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种．
P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）．
25．【答案】（1）解：如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到点的坐标，然后代入求出反比例函数的解析式；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
26．【答案】解：延长交于点，过点作，由题意，得：，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，
∵斜坡的坡度i为，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由题意，得：，
∴，
∴；
答：古树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长交于点，过点作，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正切求出的长，根据线段的和差解答即可．
27．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
设直线DC的解析式为：，把代入，
得：，
∴k=2.
∴，
令x=0，可得：y=-12，
即直线DC与y轴的交点为（0，-12），
∴.
∴，
∵ 点P为直线上方抛物线上的一个动点，
∴过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，如图所示：
则，
∴AE=2，
∴E(0，﹣4).
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴直线PQ的解析式为：y=x－4.
由得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，且对称轴为直线.
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）两点式写出函数解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）利用割补法求出△DAC的面积，继而可根据求得△PAC的面积，再过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，于是有，再根据面积公式即可求得点E的坐标；求得直线AC的解析式，再根据平行线的性质可得直线PQ的解析式，最后联立得并求解，即可得到点P的横坐标.
（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
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