5.2.1 基本初等函数的导数
1.函数y＝2x在x＝2处的导数为（ ）
A.2 B.4
C.2ln 2 D.4ln 2
2.下列求导运算正确的是（ ）
A.（cos）'＝sin
B.（）'＝－
C.（lg x）'＝
D.（）'＝
3.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体在第2 s时下滑的加速度a＝（ ）
A.ln 2 B.2ln 2
C. D.
4.（2024·泰州月考）已知直线y＝x＋b是曲线y＝ln x（x＞0）的一条切线，则实数b＝（ ）
A.－1 B.0
C.ln 2－1 D.ln 2＋1
5.（多选）已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点的坐标为（ ）
A.（－1，1） B.（－1，－1）
C.（1，1） D.（1，－1）
6.（多选）直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A.f（x）＝ B.f（x）＝x4
C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex
7.（2024·南通期中）曲线y＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是 ，切线方程为 .
8.设函数y＝f（x）是一次函数，若f（1）＝－1，且f'（2）＝－4，则f（x）＝ .
9.若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 .
10.求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝－2sin（1－2cos2）.
11.已知f（x）＝2cos2－1，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0的解集为（ ）
A.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}
B.{x｜x＝2kπ，k∈Z}
C.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}
D.{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}
12.（多选）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A.f（x）＝cos x B.f（x）＝ln x
C.f（x）＝ex D.f（x）＝x2
13.（2024·镇江质检）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ .
14.已知点P（，a）在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线.
（1）求a的值；
（2）求过点P且与直线l垂直的直线方程.
15.（2024·南京月考）已知点A，B（2，1），函数f（x）＝log2x.
（1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程；
（2）在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
5.2.1 基本初等函数的导数
1.D y'＝（2x）'＝2xln 2，故所求导数为4ln 2.
2.C （cos）'＝0，故A不正确；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正确；（lg x）'＝，故C正确；（）'＝（）'＝，故D不正确.故选C.
3.D v'（t）＝（log2t）'＝，又t＝2，∴a＝.
4.C 设切点坐标为（x0，y0），则y0＝ln x0.y'＝（ln x）'＝，∴k＝.由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
5.BC y'＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为（－1，－1）或（1，1）.
6.BCD f（x）＝，f'（x）＝－＝不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正确；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正确；故直线y＝x＋b能作为B、C、D中函数图象的切线.故选B、C、D.
7. x－ey＝0 解析：∵y'＝（ln x）'＝，∴y'｜x＝e＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
8.－4x＋3 解析：由题意设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（1）＝a＋b＝－1，又f'（2）＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f（x）＝－4x＋3.
9.4 解析：因为y'＝，所以切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4.
10.解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝.
（2）y'＝（）'＝（x－5）'＝－5x－5－1＝－5x－6＝－.
（3）∵y＝－2sin（1－2cos2）＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x，∴y'＝（sin x）'＝cos x.
11.A ∵f（x）＝2cos2－1＝cos x，∴f'（x）＝－sin x，g'（x）＝1，由f'（x）＋g'（x）≤0得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，∴sin x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z.不等式的解集为{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}.故选A.
12.AD 由题意y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.对于选项A，f'（x）＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项B，f'（x）＝，x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项C，f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项D，f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1.
13.21 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）在点（ak，）处的切线斜率k＝2ak，则在点（ak，）处的切线方程为：y－＝2ak（x－ak），即y＝2akx－，∴ak＋1＝ak，∴a1＋a3＋a5＝a1（1＋＋）＝16×＝21.
14.解：（1）因为P（，a）在曲线f（x）＝cos x上，
所以a＝cos＝.
（2）因为f'（x）＝－sin x，
所以kl＝f'（）＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝（x－），
即y＝x－＋.
15.解：（1）设切点为（m，log2m）（m＞0），
因为f（x）＝log2x，所以f'（x）＝.
由题意可得＝，解得m＝e，所以切线方程为y－log2e＝（x－e），即y＝x.
（2）过点A，B（2，1）的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P（n，log2n），≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜，所以在曲线y＝f（x）上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
2 / 25.2.1 基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x，y＝ln x很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝
f（x）＝x f'（x）＝1
f（x）＝kx＋b（k，b为常数） f'（x）＝
f（x）＝x2 f'（x）＝
f（x）＝x3 f'（x）＝3x2
f（x）＝ f'（x）＝
f（x）＝ f'（x）＝
【想一想】
常数函数的导数为0说明什么？
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝xα（α为常数） f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0， 且a≠1） f'（x）＝logae＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
f（x）＝sin x f'（x）＝cos x
f（x）＝cos x f'（x）＝
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）因为（ln x）'＝，所以（）'＝ln x.（ ）
（2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（ ）
（3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（ ）
2.设f（x）＝ax－b，若f'（－1）＝4，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.4
3.已知f（x）＝cos x，则f'（）＝ .
题型一 基本初等函数的导数
【例1】 （链接教科书第203页练习2题）求下列函数的导数：
（1）f（x）＝x12；（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝3x；（4）f（x）＝log5x.
通性通法
求简单函数的导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x；
（3）f（x）＝lox.
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 （链接教科书第204页练习6题）求函数f（x）＝在x＝1处的导数.
通性通法
求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数求解.
【跟踪训练】
（2024·镇江月考）已知函数f（x）＝在x＝a处的导数为－2，则实数a＝ .
题型三 求切线方程
【例3】 （链接教科书第204页练习3题）（1）曲线y＝在点（，）处的切线方程为（ ）
A.4x－4y＋2－1＝0 B.4x－4y＋1＝0
C.4x－4y＋2－＝0 D.4x＋4y－3＝0
（2）过点（1，0）且与曲线y＝x2相切的直线方程为 .
通性通法
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【跟踪训练】
1.（多选）若曲线f（x）＝上某点处的切线的倾斜角为π，则该点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C.（－1，1） D.（1，－1）
2.（2024·苏州月考）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
1.若f（x）＝sin x，则f'＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
2.（多选）下列求导正确的是（ ）
A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0
B.若f（x）＝，则f'（x）＝－
C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝
D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1
3.若f（x）＝10x，则f'（1）＝ .
4.若质点P的运动方程是s（t）＝（s的单位：m，t的单位：s），则质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
5.2.1 基本初等函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点一
0 k 2x －
想一想
提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
知识点二
αxα－1 ex －sin x
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.D f'（x）＝a，f'（－1）＝a＝4，∴a＝4，故选D.
3.－ 解析：因为f（x）＝cos x，所以f'（x）＝－sin x，则f'（）＝－sin＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）f'（x）＝（x12）'＝12x11.
（2）f'（x）＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－.
（3）f'（x）＝（3x）'＝3xln 3.
（4）f'（x）＝（log5x）'＝.
跟踪训练
解：（1）f'（x）＝＝ln ＝－ln 2.
（2）f'（x）＝（x）'＝（）'＝＝.
（3）f'（x）＝'＝＝－.
【例2】 解：∵f（x）＝＝，
∴f'（x）＝（）'＝－，
∴f'（1）＝－.
跟踪训练
± 解析：f'（x）＝－，当x＝a时，f'（a）＝－＝－2，即a＝±.
【例3】 （1）B （2）y＝0或y＝4x－4
解析：（1）由于y＝，所以y'＝，于是y'＝1，所以曲线在点（，）处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.
（2）∵y'＝2x，设切点坐标为（x0，），则切线方程为y－＝2x0（x－x0）.又∵该切线方程过点（1，0），∴－＝2x0（1－x0），解得x0＝0或x0＝2.即切线方程为y＝0或y＝4x－4.
跟踪训练
1.AB 切线的斜率k＝tan π＝－1，f'（x）＝－，设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝－1，所以－＝－1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为（1，1）或（－1，－1）.
2. 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0＝1，则y0＝ln x0＝1，从而可得x0＝e，则k＝.
随堂检测
1.D f'（x）＝cos x，f'＝cos＝.
2.ACD 只有B是错误的.因为f'（x）＝＝'＝－＝－.
3.10ln10 解析：∵f'（x）＝10xln10，∴f'（1）＝10ln10.
4. 解析：因为s'（t）＝（）'＝（）'＝，所以s'（8）＝×＝×2－1＝，所以质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
3 / 3(共53张PPT)
5.2.1
基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走
过的路程 s （单位：m）关于时间 t （单位：s）的函数为 s ＝ f （ t ），
求它的瞬时速度，就是求 f （ t ）的导数.根据导数的定义，就是求当Δ
t →0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如 y ＝
sin x ， y ＝ln x 很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f （ x ）＝ C （ C 为常数） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x f'（ x ）＝1
f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b
为常数） f'（ x ）＝
0
k
原函数 导函数
f （ x ）＝ x2 f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x3 f'（ x ）＝3 x2
f'（ x ）＝
2 x
－
【想一想】
常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数 f （ x ）＝ C 图象上每一点处的切线的斜率都为
0，即每一点处的切线都平行（或重合）于 x 轴.
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f （ x ）＝ xα（α为常数） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1） f'（ x ）＝ ax ln a
f （ x ）＝e x f'（ x ）＝
f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）
f （ x ）＝ln x f'（ x ）＝
f （ x ）＝ sin x f'（ x ）＝ cos x
f （ x ）＝ cos x f'（ x ）＝
α xα－1
e x
－ sin x
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）因为（ln x ）'＝ ，所以（ ）'＝ln x . （ × ）
（2）若f'（ x ）＝ sin x ，则 f （ x ）＝ cos x . （ × ）
（3）若 f （ x ）＝5 x ，则f'（ x ）＝5 x log5e. （ × ）
×
×
×
2. 设 f （ x ）＝ ax － b ，若f'（－1）＝4，则 a ＝（ ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 4
解析： f'（ x ）＝ a ，f'（－1）＝ a ＝4，∴ a ＝4，故选D.
3. 已知 f （ x ）＝ cos x ，则f'（ ）＝ － .
解析：因为 f （ x ）＝ cos x ，所以f'（ x ）＝－ sin x ，则f'（ ）＝－
sin ＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 基本初等函数的导数
【例1】 （链接教科书第203页练习2题）求下列函数的导数：
（1） f （ x ）＝ x12；（2） f （ x ）＝ ；
（3） f （ x ）＝3 x ；（4） f （ x ）＝log5 x .
（3）f'（ x ）＝（3 x ）'＝3 x ln 3.
（4）f'（ x ）＝（log5 x ）'＝ .
解：（1）f'（ x ）＝（ x12）'＝12 x11.
（2）f'（ x ）＝ '＝（ x－4）'＝－4 x－5＝－ .
通性通法
求简单函数的导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过
恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） f （ x ）＝ ；（2） f （ x ）＝ x ；（3） f （ x ）＝lo x .
解：（1）f'（ x ）＝ ＝ ln ＝－ ln 2.
（2）f'（ x ）＝（ x ）'＝（ ）'＝ ＝ .
（3）f'（ x ）＝ '＝ ＝－ .
题型二 求函数在某点处的导数
【例2】 （链接教科书第204页练习6题）求函数 f （ x ）＝ 在 x ＝
1处的导数.
解：∵ f （ x ）＝ ＝ ，
∴f'（ x ）＝（ ）'＝－ ，
∴f'（1）＝－ .
通性通法
求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最
后将变量的值代入导函数求解.
【跟踪训练】
（2024·镇江月考）已知函数 f （ x ）＝ 在 x ＝ a 处的导数为－2，则
实数 a ＝ .
解析：f'（ x ）＝－ ，当 x ＝ a 时，f'（ a ）＝－ ＝－2，即 a ＝±
.
±
题型三 求切线方程
【例3】 （链接教科书第204页练习3题）（1）曲线 y ＝ 在点
（ ， ）处的切线方程为（ B ）
B. 4 x －4 y ＋1＝0
D. 4 x ＋4 y －3＝0
解析：由于 y ＝ ，所以y'＝ ，于是y' ＝1，所以曲线在点（ ， ）处的切线的斜率等于1，切线方程为4 x －4 y ＋1＝0.
（2）过点（1，0）且与曲线 y ＝ x2相切的直线方程为
.
解析：∵y'＝2 x ，设切点坐标为（ x0， ），则切线方程
为 y － ＝2 x0（ x － x0）.又∵该切线方程过点（1，0），∴－
＝2 x0（1－ x0），解得 x0＝0或 x0＝2.即切线方程为 y ＝0或 y
＝4 x －4.
y ＝0或 y ＝4 x
－4
通性通法
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜
率公式进行求解.
【跟踪训练】
1. （多选）若曲线 f （ x ）＝ 上某点处的切线的倾斜角为 π，则该点
的坐标为（ ）
A. （1，1） B. （－1，－1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
解析： 切线的斜率 k ＝tan π＝－1，f'（ x ）＝－ ，设切点
为（ x0， y0），则f'（ x0）＝－1，所以－ ＝－1，所以 x0＝1或 x0
＝－1，所以切点坐标为（1，1）或（－1，－1）.
2. （2024·苏州月考）已知 y ＝ kx 是曲线 y ＝ln x 的一条切线，则 k
＝ .
解析：设切点坐标为（ x0， y0），由题意得y'＝ ＝ k ，又 y0＝ kx0
＝1，则 y0＝ln x0＝1，从而可得 x0＝e，则 k ＝ .
1. 若 f （ x ）＝ sin x ，则f' ＝（ ）
解析： f'（ x ）＝ cos x ，f' ＝ cos ＝ .
2. （多选）下列求导正确的是（ ）
A. 若 f （ x ）＝3，则f'（ x ）＝0
D. 若 f （ x ）＝ x ，则f'（ x ）＝1
解析： 只有B是错误的.因为f'（ x ）＝ ＝ '＝－
＝－ .
3. 若 f （ x ）＝10 x ，则f'（1）＝ .
解析：∵f'（ x ）＝10 x ln10，∴f'（1）＝10ln10.
10ln10
4. 若质点 P 的运动方程是 s （ t ）＝ （ s 的单位：m， t 的单位：
s），则质点 P 在 t ＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
解析：因为s'（ t ）＝（ ）'＝（ ）'＝ ，所以s'（8）＝
× ＝ ×2－1＝ ，所以质点 P 在 t ＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝2 x 在 x ＝2处的导数为（ ）
A. 2 B. 4
C. 2ln 2 D. 4ln 2
解析： y'＝（2 x ）'＝2 x ln 2，故所求导数为4ln 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 下列求导运算正确的是（ ）
解析： （ cos ）'＝0，故A不正确；（ ）'＝（ x－3）'＝－3 x
－4，故B不正确；（lg x ）'＝ ，故C正确；（ ）'＝（ ）'
＝ ，故D不正确.故选C.
1
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15
3. 一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足 v （ t ）＝log2
t ，则该物体在第2 s时下滑的加速度 a ＝（ ）
A. ln 2 B. 2ln 2
解析： v'（ t ）＝（log2 t ）'＝ ，又 t ＝2，∴ a ＝ .
1
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4. （2024·泰州月考）已知直线 y ＝ x ＋ b 是曲线 y ＝ln x （ x ＞0）的
一条切线，则实数 b ＝（ ）
A. －1 B. 0
C. ln 2－1 D. ln 2＋1
解析： 设切点坐标为（ x0， y0），则 y0＝ln x0.y'＝（ln x ）'＝
，∴ k ＝ .由题意知 ＝ ，∴ x0＝2， y0＝ln 2.由ln 2＝ ×2＋
b ，得 b ＝ln 2－1.
1
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5. （多选）已知曲线 y ＝ x3在点 P 处的切线斜率为3，则 P 点的坐标为
（ ）
A. （－1，1） B. （－1，－1）
C. （1，1） D. （1，－1）
解析： y'＝3 x2，因为 k ＝3，所以3 x2＝3，所以 x ＝±1，则 P
点坐标为（－1，－1）或（1，1）.
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6. （多选）直线 y ＝ x ＋ b 能作为下列函数图象的切线的有（ ）
B. f （ x ）＝ x4
C. f （ x ）＝ sin x D. f （ x ）＝e x
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解析： f （ x ）＝ ，f'（ x ）＝－ ＝ 不成立，所以A不正
确； f （ x ）＝ x4，f'（ x ）＝4 x3＝ 可以成立，所以B正确； f
（ x ）＝ sin x ，f'（ x ）＝ cos x ＝ 可以成立，所以C正确； f （ x ）
＝e x ，f'（ x ）＝e x ＝ 可以成立，所以D正确；故直线 y ＝ x ＋ b 能
作为B、C、D中函数图象的切线.故选B、C、D.
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7. （2024·南通期中）曲线 y ＝ln x 在点 M （e，1）处的切线的斜率
是 ，切线方程为 .
解析：∵y'＝（ln x ）'＝ ，∴y'｜ x＝e＝ .∴切线方程为 y －1＝
（ x －e），即 x －e y ＝0.
x －e y ＝0
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8. 设函数 y ＝ f （ x ）是一次函数，若 f （1）＝－1，且f'（2）＝－4，
则 f （ x ）＝ .
解析：由题意设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），则 f （1）＝ a ＋ b ＝－
1，又f'（2）＝ a ＝－4.∴ a ＝－4， b ＝3，∴ f （ x ）＝－4 x ＋3.
－4 x ＋3
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9. 若曲线 y ＝ 在点 P （ a ， ）处的切线与两坐标轴围成的三角
形的面积为2，则实数 a 的值是 .
解析：因为y'＝ ，所以切线方程为 y － ＝ （ x － a ），令 x
＝0，得 y ＝ ，令 y ＝0，得 x ＝－ a ，由题意知 · · a ＝2，所以
a ＝4.
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10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；（2） y ＝ ；
（3） y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）.
解：（1）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ .
（2）y'＝（ ）'＝（ x－5）'＝－5 x－5－1＝－5 x－6＝－ .
（3）∵ y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）＝2 sin （2 cos 2 －
1）＝2 sin cos ＝ sin x ，∴y'＝（ sin x ）'＝ cos x .
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11. 已知 f （ x ）＝2 cos 2 －1， g （ x ）＝ x ，则关于 x 的不等式f'
（ x ）＋g'（ x ）≤0的解集为（ ）
B. { x ｜ x ＝2 k π， k ∈Z}
D. { x ｜ x ＝2 k π＋π， k ∈Z}
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解析： ∵ f （ x ）＝2 cos 2 －1＝ cos x ，∴f'（ x ）＝－ sin x ，
g'（ x ）＝1，由f'（ x ）＋g'（ x ）≤0得－ sin x ＋1≤0，即 sin x
≥1，∴ sin x ＝1，解得 x ＝ ＋2 k π， k ∈Z. 不等式的解集为{ x ｜
x ＝ ＋2 k π， k ∈Z}.故选A.
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12. （多选）若函数 y ＝ f （ x ）的图象上存在两点，使得函数的图象
在这两点处的切线互相垂直，则称 y ＝ f （ x ）具有 T 性质，下列
函数中具有 T 性质的是（ ）
A. f （ x ）＝ cos x B. f （ x ）＝ln x
C. f （ x ）＝e x D. f （ x ）＝ x2
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解析： 由题意 y ＝ f （ x ）具有 T 性质，则存在 x1， x2，使得f'
（ x1）f'（ x2）＝－1.对于选项A，f'（ x ）＝－ sin x ，存在 x1＝
， x2＝－ ，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；对于选项B，f'（ x ）＝
， x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；对于选项
C，f'（ x ）＝e x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；
对于选项D，f'（ x ）＝2 x ，存在 x1＝1， x2＝－ ，使得f'（ x1）f'
（ x2）＝4 x1 x2＝－1.
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13. （2024·镇江质检）函数 y ＝ x2（ x ＞0）的图象在点（ ak ， ）处
的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak＋1，其中 k ∈N*，若 a1＝16，则
a1＋ a3＋ a5＝ .
解析：∵y'＝2 x ，∴ y ＝ x2（ x ＞0）在点（ ak ， ）处的切线斜
率 k ＝2 ak ，则在点（ ak ， ）处的切线方程为： y － ＝2 ak
（ x － ak ），即 y ＝2 akx － ，∴ ak＋1＝ ak ，∴ a1＋ a3＋ a5＝ a1
（1＋ ＋ ）＝16× ＝21.
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14. 已知点 P （ ， a ）在曲线 f （ x ）＝ cos x 上，直线 l 是以点 P 为切
点的切线.
（1）求 a 的值；
解：因为 P （ ， a ）在曲线 f （ x ）＝ cos x 上，
所以 a ＝ cos ＝ .
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（2）求过点 P 且与直线 l 垂直的直线方程.
解：因为f'（ x ）＝－ sin x ，
所以 kl ＝f'（ ）＝－ sin ＝－ .
又因为所求直线与直线 l 垂直，
所以所求直线的斜率为－ ＝ ，
所以所求直线方程为 y － ＝ （ x － ），
即 y ＝ x － ＋ .
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15. （2024·南京月考）已知点 A ， B （2，1），函数 f （ x ）＝
log2 x .
（1）过坐标原点 O 作曲线 y ＝ f （ x ）的切线，求切线方程；
解：设切点为（ m ，log2 m ）（ m ＞0），
因为 f （ x ）＝log2 x ，所以f'（ x ）＝ .
由题意可得 ＝ ，解得 m ＝e，所以切线方程为 y －
log2e＝ （ x －e），即 y ＝ x .
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（2）在曲线 y ＝ f （ x ） 上是否存在点 P ，使得过点 P
的切线与直线 AB 平行？若存在，求出点 P 的横坐标；若不
存在，请说明理由.
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解：过点 A ， B （2，1）的直线的斜率为 kAB ＝ .
假设存在点 P ，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，设 P
（ n ，log2 n ）， ≤ n ≤2，
则有 ＝ ，得 n ＝ .
又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以 ＜ ＜ ，所以在曲线 y ＝ f （ x ） 上存在点 P ，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，且点 P 的横坐标为 .
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