5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册

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名称 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-07 21:29:59

文档简介

5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.(2024·无锡月考)设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0=(  )
A.e2   B.e
C.   D.ln 2
2.函数f(x)=的导数是(  )
A.   B.
C.   D.
3.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为(  )
A.y=-2x+1   B.y=-3x+2
C.y=2x-3   D.y=x-2
4.(2024·扬州月考)一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度y(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数为y=h(t)=,当t=3时,水面下降的速度为(  )
A.- cm/s   B. cm/s
C.- cm/s   D. cm/s
5.(多选)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为(  )
A.f(x)=3cos x   B.f(x)=x+sin x
C.f(x)=x+   D.f(x)=ex+x
6.(多选)(2024·常州月考)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,其导函数为f'(x),则(  )
A.f(0)=-1   B.f'(0)=1
C.f(0)=1   D.f'(0)=-1
7.设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=   .
8.已知函数f(x)=f'()·cos x+sin x,则f'()=    ,f()=    .
9.曲线f(x)=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为    .
10.求下列函数的导数:
(1)y=ln x+;
(2)y=;
(3)y=(x2+9)(x-);
(4)y=.
11.(2024·苏州质检)已知f(x)=x2+sin(+x),f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是(  )
12.曲线y=在点(1,1)处的切线为l,则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最短距离是    .
13.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f'(0)=    .
14.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
15.(2024·南通质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.B ∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1(x>0),由f'(x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1,解得x0=e.
2.A f'(x)='=
==.
3.A y=的导数为y'=-,在点(1,-1)处的切线斜率k=y'|x=1=-2,∴曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
4.B 由题意得,h'(t)==,所以h'(3)==-,故当t=3时,水面下降的速度为 cm/s,故选B.
5.BC 由题意可知,f'(x)必为偶函数.对于A选项,f'(x)=-3sin x为奇函数;对于B选项,f'(x)=1+cos x为偶函数;对于C选项,f'(x)=1-为偶函数;对于D选项,f'(x)=ex+1为非奇非偶函数.故选B、C.
6.BC 因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,所以f(0)=2-f'(0).因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sin x,所以f'(0)=f(0).故f'(0)=f(0)=1.故选B、C.
7.1 解析:由于f'(x)=,故f'(1)==,解得a=1.
8.-1 1 解析:∵f'(x)=-f'()·sin x+cos x,∴f'()=-f'()×+,得f'()=-1.∴f(x)=(-1)cos x+sin x.∴f()=1.
9.1 解析:由题意可知,f'(x)=x·ex,f'(1)=2,∴切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.令x=0得y=-2;令y=0得x=1.∴曲线f(x)=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积S=×2×1=1.
10.解:(1)y'=(ln x+)'=(ln x)'+()'=-.
(2)y'=()'

=-.
(3)y=x3+6x-,y'=3x2++6.
(4)y'=

=.
11.A ∵f(x)=x2+sin(+x)=x2+cos x,∴f'(x)=x-sin x.易知f'(x)=x-sin x是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B、D.由f'()=-<0,排除C,故选A.
12.2-1 解析:y'=-,则k=-1,∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,圆心(-2,0)到直线的距离d=2,圆的半径r=1,∴所求最短距离为2-1.
13.4 096 解析:因为f'(x)=(x)'·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]'·x=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]'·x,所以f'(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列,所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以f'(0)=84=4 096.
14.解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即曲线C上任意一点处切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,
则由条件和(1)中结论可知,
解得-1≤k<0或k≥1,
故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,
得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).
15.解:(1)由7x-4y-12=0得y=x-3.
当x=2时,y=,所以f(2)=, ①
又f'(x)=a+,
所以f'(2)=, ②
由①②得解得
故f(x)=x-.
(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
2 / 25.2.2 函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数 数学运算
  利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数,但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的初等函数,如某质点运动,运动距离s与时间t的函数为s(t)=t2+;某商品网购量x(件)与支付款y(元)之间的关系为y=10x-ln x(x≥1)等.
【问题】 (1)由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢?
(2)除用定义法之外,是否有更简便的求导方法呢?
                                            
                                            
知识点 函数的和、差、积、商的求导法则
1.条件:f(x),g(x)是可导的.
2.结论:(1)(f(x)±g(x))'=    ;
(2)(Cf(x))'=Cf'(x)(C为常数);
(3)(f(x)g(x))'=        ;
(4)'=          .
提醒 (1)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化),即(u(x)±v(x)±…±w(x))'=u'(x)±v'(x)±…±w'(x);(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数,即(u(x)v(x)·…·w(x))'=u'(x)v(x)·…·w(x)+u(x)v'(x)·…·w(x)+…+u(x)v(x)·…·w'(x);(3)注意()'≠.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)(ex+cos )'=ex.(  )
(2)函数f(x)=xex的导数是f'(x)=ex(x+1).(  )
(3)当g(x)≠0时,=.(  )
(4)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x.(  )
2.设f(x)=x3+ax2-2x+b,若f'(1)=4,则a的值是(  )
A.   B.  C.-1   D.-
3.(2024·淮安月考)曲线f(x)=x2+2x在点(2,f(2))处的切线斜率为    .
题型一 f(x)±g(x)的导数
【例1】 (链接教科书第205页例2)求下列函数的导数:
(1)y=x5-x3+cos x;
(2)y=lg x-ex.
通性通法
  两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),对每一项分别利用函数的求导法则即可.
【跟踪训练】
求下列函数的导数:
(1)y=x4-x2-x+3;
(2)y=x3+sin x.
题型二 f(x)g(x)和的导数
【例2】 (链接教科书第205页例3)求下列函数的导数:
(1)y=x2+xln x;
(2)y=;
(3)y=(2x2-1)(3x+1).
通性通法
1.先区分函数的运算方式,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.
2.如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
【跟踪训练】
求下列函数的导数:
(1)y=x3ex;
(2)y=x2+tan x;
(3)y=.
题型三 导数四则运算法则的应用
【例3】 (1)记函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则f(1)=(  )
A.1   B.2
C.   D.
(2)(2024·连云港月考)曲线y=xln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是(  )
A.   B.
C.1   D.2
通性通法
1.解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以转化为这三个要素间的关系;
(2)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
2.含f'(c)函数的求导问题的解决策略
含f'(c)函数在求导时一定要抓住f'(c)为常数这一特点,也就是说,不管应用加、减、乘、除哪一法则,求导时,把f'(c)一律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=excos x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(  )
A.0   B.
C.1   D.
2.原油是工业的血液,它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热,如果x h时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).则第6 h时,原油温度的瞬时变化率为    ℃/h,其意义为     .
1.设函数y=-2exsin x,则y'=(  )
A.-2excos x
B.-2exsin x
C.2exsin x
D.-2ex(sin x+cos x)
2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=(  )
A.1   B.  
C.-1   D.0
3.(2024·泰州月考)曲线f(x)=xln x在点(1,f(1))处的切线的方程为    .
4.求下列函数的导数:
(1)f(x)=(x-2)(x2+2x+4);
(2)f(x)=-2x.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
【基础知识·重落实】
知识点
2.(1)f'(x)±g'(x) (3)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (4)(g(x)≠0)
自我诊断
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.B f'(x)=3x2+2ax-2,故f'(1)=3+2a-2=4,解得a=.
3.4 解析:因为f(x)=x2+2x,所以f'(x)=x+2,则f'(2)=2+2=4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)y'=(x5)'-(x3)'+(cos x)'=5x4-3x2-sin x.
(2)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=-ex.
跟踪训练
 解:(1)∵y=x4-x2-x+3,
∴y'=4x3-2x-1.
(2)∵y=x3+sin x,
∴y'=3x2+cos x.
【例2】 解:(1)y'=(x2+xln x)'=(x2)'+(xln x)'
=2x+(x)'ln x+x(ln x)'=2x+ln x+x·=2x+ln x+1.
(2)y'=()'==.
(3)法一 y'=[(2x2-1)(3x+1)]'
=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'
=4x(3x+1)+(2x2-1)×3
=12x2+4x+6x2-3
=18x2+4x-3.
法二 因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'
=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)'=18x2+4x-3.
跟踪训练
 解:(1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=(3x2+x3)ex.
(2)因为y=x2+,
所以y'=(x2)'+()'
=2x+
=2x+.
(3)y'=
==.
【例3】 (1)D (2)B 解析:(1)∵f'(x)=3f'(2)-,∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)=,∴f(x)=x-2ln x,∴f(1)=.
(2)设曲线y=xln x在点M0(x0,y0)处的切线与直线x-y-2=0平行.∵y'=ln x+1,∴y=xln x在点M0处的切线斜率为k=ln x0+1=1,解得x0=1,∴y0=0,即切点坐标为(1,0).∴切点(1,0)到直线x-y-2=0的距离为d==,即曲线y=xln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是.
跟踪训练
1.B 对函数求导得f'(x)=ex(cos x-sin x),∴f'(0)=1,∴函数f(x)=excos x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为.
2.5 在第6 h附近时,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升 解析:f'(x)=2x-7,则f'(6)=2×6-7=5.在第6 h附近时,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
随堂检测
1.D y'=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x).
2.A ∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,又∵f'(1)=2a,∴2a=2,∴a=1.
3.x-y-1=0 解析:f'(x)=1+ln x,则曲线在点(1,f(1))处切线的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=0,故所求的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0.
4.解:(1)法一 f'(x)=(x-2)'(x2+2x+4)+(x-2)(x2+2x+4)'=x2+2x+4+(x-2)(2x+2)=3x2.
法二 ∵f(x)=(x-2)(x2+2x+4)=x3-8.
∴f'(x)=3x2.
(2)f'(x)=-2x·ln 2=-2x·ln 2=+ln x-2xln 2.
3 / 3(共58张PPT)
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运
算法则,求简单函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数,
但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、
减、乘、除运算得到的初等函数,如某质点运动,运动距离 s 与时间 t
的函数为 s ( t )= t2+ ;某商品网购量 x (件)与支付款 y (元)
之间的关系为 y =10 x -ln x ( x ≥1)等.
【问题】 (1)由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的
函数该如何求导呢?
(2)除用定义法之外,是否有更简便的求导方法呢?
                      
                       
                      
                      
                      
知识点 函数的和、差、积、商的求导法则
1. 条件: f ( x ), g ( x )是可导的.
2. 结论:(1)( f ( x )± g ( x ))'= ;
(2)( Cf ( x ))'=Cf'( x )( C 为常数);
(3)( f ( x ) g ( x ))'=

f'( x )±g'( x ) 
f'( x ) g ( x )+ f ( x )g'
( x ) 
(4) '=   ( g ( x )≠0) .
提醒 (1)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广
到任意有限个可导函数的情形(一般化),即( u ( x )± v
( x )±…± w ( x ))'=u'( x )±v'( x )±…±w'
( x );(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积
的导数,即( u ( x ) v ( x )·…· w ( x ))'
( g ( x )≠0) 
=u'( x ) v ( x )·…· w ( x )+ u ( x )v'( x )·…· w ( x )
+…+ u ( x ) v ( x )·…·w'( x );(3)注意( )
'≠ .
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)(e x + cos )'=e x . ( √ )
(2)函数 f ( x )= x e x 的导数是f'( x )=e x ( x +1).
( √ )
(3)当 g ( x )≠0时, = . ( √ )
(4)函数 f ( x )= x ln x 的导数是f'( x )= x . ( × )



×
2. 设 f ( x )= x3+ ax2-2 x + b ,若f'(1)=4,则 a 的值是(  )
C. -1
解析:  f'( x )=3 x2+2 ax -2,故f'(1)=3+2 a -2=4,解
得 a = .
3. (2024·淮安月考)曲线 f ( x )= x2+2 x 在点(2, f (2))处的
切线斜率为 .
解析:因为 f ( x )= x2+2 x ,所以f'( x )= x +2,则f'(2)=2
+2=4.
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 f ( x )± g ( x )的导数
【例1】 (链接教科书第205页例2)求下列函数的导数:
(1) y = x5- x3+ cos x ;
解: y'=( x5)'-( x3)'+( cos x )'=5 x4-3 x2- sin x .
(2) y =lg x -e x .
解: y'=(lg x -e x )'=(lg x )'-(e x )'= -e x .
通性通法
  两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或
差),对每一项分别利用函数的求导法则即可.
【跟踪训练】
求下列函数的导数:
(1) y = x4- x2- x +3;
解: ∵ y = x4- x2- x +3,∴y'=4 x3-2 x -1.
(2) y = x3+ sin x .
解: ∵ y = x3+ sin x ,∴y'=3 x2+ cos x .
题型二
【例2】 (链接教科书第205页例3)求下列函数的导数:
(1) y = x2+ x ln x ;
解: y'=( x2+ x ln x )'=( x2)'+( x ln x )'
=2 x +( x )'ln x + x (ln x )'=2 x +ln x + x · =2 x +ln x +1.
(2) y = ;
解: y'=( )'= = .
法二 因为 y =(2 x2-1)(3 x +1)=6 x3+2 x2-3 x -1,
所以y'=(6 x3+2 x2-3 x -1)'
=(6 x3)'+(2 x2)'-(3 x )'-(1)'=18 x2+4 x -3.
(3) y =(2 x2-1)(3 x +1).
解: 法一 y'=[(2 x2-1)(3 x +1)]'
=(2 x2-1)'(3 x +1)+(2 x2-1)(3 x +1)'
=4 x (3 x +1)+(2 x2-1)×3
=12 x2+4 x +6 x2-3
=18 x2+4 x -3.
通性通法
1. 先区分函数的运算方式,即函数的和、差、积、商,再根据导数的
运算法则求导数.
2. 如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变
形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等
变换后求导等.
【跟踪训练】
求下列函数的导数:
(1) y = x3e x ;
解:y'=( x3)'e x + x3(e x )'=(3 x2+ x3)e x .
(2) y = x2+tan x ;
解: 因为 y = x2+ ,
所以y'=( x2)'+( )'
=2 x +
=2 x + .
(3) y = .
解:y'=
= = .
题型三 导数四则运算法则的应用
【例3】 (1)记函数 f ( x )的导函数为f'( x ),且 f ( x )=3xf'
(2)-2ln x ,则 f (1)=(  )
A. 1 B. 2
解析: ∵f'( x )=3f'(2)- ,∴f'(2)=3f'(2)-1,
解得f'(2)= ,∴ f ( x )= x -2ln x ,∴ f (1)= .
(2)(2024·连云港月考)曲线 y = x ln x 上的点到直线 x - y -2=0的
最短距离是(  )
C. 1 D. 2
解析:设曲线 y = x ln x 在点 M0( x0, y0)处的切线与直线 x - y -
2=0平行.∵y'=ln x +1,∴ y = x ln x 在点 M0处的切线斜率为 k
=ln x0+1=1,解得 x0=1,∴ y0=0,即切点坐标为(1,
0).∴切点(1,0)到直线 x - y -2=0的距离为 d =
= ,即曲线 y = x ln x 上的点到直线 x - y -2=0的最短距离是
.
通性通法
1. 解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要
元素,其他的条件可以转化为这三个要素间的关系;
(2)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,
这是解题时的易错点.
2. 含f'( c )函数的求导问题的解决策略
含f'( c )函数在求导时一定要抓住f'( c )为常数这一特点,也就
是说,不管应用加、减、乘、除哪一法则,求导时,把f'( c )一
律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1. 函数 f ( x )=e x cos x 的图象在点(0, f (0))处的切线的倾斜角
为(  )
A. 0
C. 1
解析:  对函数求导得f'( x )=e x ( cos x - sin x ),∴f'(0)=
1,∴函数 f ( x )=e x cos x 的图象在点(0, f (0))处的切线的
倾斜角为 .
2. 原油是工业的血液,它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从
原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热,如果 x h时,原
油温度(单位:℃)为 f ( x )= x2-7 x +15(0≤ x ≤8).则第6 h
时,原油温度的瞬时变化率为 ℃/h,其意义为
.
解析:f'( x )=2 x -7,则f'(6)=2×6-7=5.在第6 h附近时,
原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
5
在第6 h附近
时,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升 
1. 设函数 y =-2e x sin x ,则y'=(  )
A. -2e x cos x B. -2e x sin x
C. 2e x sin x D. -2e x ( sin x + cos x )
解析:  y'=-2(e x sin x +e x cos x )=-2e x ( sin x + cos x ).
2. 已知函数 f ( x )= ax2+ c ,且f'(1)=2,则 a =(  )
A. 1
C. -1 D. 0
解析: ∵ f ( x )= ax2+ c ,∴f'( x )=2 ax ,又∵f'(1)=2
a ,∴2 a =2,∴ a =1.
3. (2024·泰州月考)曲线 f ( x )= x ln x 在点(1, f (1))处的切
线的方程为    .
x - y -1=0
解析:f'( x )=1+ln x ,则曲线在点(1, f (1))处切线的斜率
k =f'(1)=1,又 f (1)=0,故所求的切线方程为 y -0=1×( x
-1),即 x - y -1=0.
4. 求下列函数的导数:
(1) f ( x )=( x -2)( x2+2 x +4);
解:法一 f'( x )=( x -2)'( x2+2 x +4)+( x -2)( x2+2 x +4)'= x2+2 x +4+( x -2)(2 x +2)=3 x2.
法二 ∵ f ( x )=( x -2)( x2+2 x +4)= x3-8.
∴f'( x )=3 x2.
解: f'( x )= -2 x ·ln 2=
-2 x ·ln 2
= + ln x -2 x ln 2.
(2) f ( x )= -2 x .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. (2024·无锡月考)设 f ( x )= x ln x ,若f'( x0)=2,则 x0=
(  )
A. e2 B. e
D. ln 2
解析:  ∵ f ( x )= x ln x ,∴f'( x )=ln x +1( x >0),由f'
( x0)=2,得ln x0+1=2,即ln x0=1,解得 x0=e.
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2. 函数 f ( x )= 的导数是(  )
解析:  f'( x )= '=
= = .
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3. 曲线 y = 在点(1,-1)处的切线方程为(  )
A. y =-2 x +1 B. y =-3 x +2
C. y =2 x -3 D. y = x -2
解析:   y = 的导数为y'=- ,在点(1,-1)处的
切线斜率 k =y'| x=1=-2,∴曲线 y = 在点(1,-1)处的切
线方程为 y +1=-2( x -1),即 y =-2 x +1.
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4. (2024·扬州月考)一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程
中,水面高度 y (单位:cm)关于时间 t (单位:s)的函数为 y =
h ( t )= ,当 t =3时,水面下降的速度为(  )
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解析 : 由题意得,h'( t )= = ,所以h'
(3)= =- ,故当 t =3时,水面下降的速度为
cm/s,故选B.
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5. (多选)若函数 f ( x )的导函数f'( x )的图象关于 y 轴对称,则 f
( x )的解析式可能为(  )
A. f ( x )=3 cos x B. f ( x )= x + sin x
D. f ( x )=e x + x
解析:  由题意可知,f'( x )必为偶函数.对于A选项,f'( x )
=-3 sin x 为奇函数;对于B选项,f'( x )=1+ cos x 为偶函数;
对于C选项,f'( x )=1- 为偶函数;对于D选项,f'( x )=e x
+1为非奇非偶函数.故选B、C.
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6. (多选)(2024·常州月考)已知函数 f ( x )= x2+ f (0)· x -f'
(0)· cos x +2,其导函数为f'( x ),则(  )
A. f (0)=-1 B. f'(0)=1
C. f (0)=1 D. f'(0)=-1
解析:  因为 f ( x )= x2+ f (0)· x -f'(0)· cos x +2,所以 f
(0)=2-f'(0).因为f'( x )=2 x + f (0)+f'(0)· sin x ,所
以f'(0)= f (0).故f'(0)= f (0)=1.故选B、C.
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7. 设函数 f ( x )= .若f'(1)= ,则 a = .
解析:由于f'( x )= ,故f'(1)= = ,解
得 a =1.
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8. 已知函数 f ( x )=f'( )· cos x + sin x ,则f'( )=   -1 , f
( )= .
解析:∵f'( x )=-f'( ) sin x + cos x ,∴f'( )=-f'( )
× + ,得f'( )= -1.∴ f ( x )=( -1) cos x + sin
x .∴ f ( )=1.
-1 
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9. 曲线 f ( x )= ( x -1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的
面积为 .
解析:由题意可知,f'( x )= x ·e x ,f'(1)=2,∴切线方程为 y
=2( x -1),即2 x - y -2=0.令 x =0得 y =-2;令 y =0得 x =
1.∴曲线 f ( x )= ( x -1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围
成的面积 S = ×2×1=1.
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10. 求下列函数的导数:
(1) y =ln x + ;(2) y = ;
(3) y =( x2+9)( x - );(4) y = .
解:(1)y'=(ln x + )'=(ln x )'+( )'= - .
(2)y'=( )'= =- .
(3) y = x3+6 x - ,y'=3 x2+ +6.
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(4)y'=
= = .
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11. (2024·苏州质检)已知 f ( x )= x2+ sin ( + x ),f'( x )为
f ( x )的导函数,则f'( x )的大致图象是(  )
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解析:  ∵ f ( x )= x2+ sin ( + x )= x2+ cos x ,
∴f'( x )= x - sin x .易知f'( x )= x - sin x 是奇函数,
其图象关于原点对称,故排除B、D. 由f'( )= - <0,
排除C,故选A.
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12. 曲线 y = 在点(1,1)处的切线为 l ,则 l 上的点到圆 x2+ y2+
4 x +3=0上的点的最短距离是 .
解析:y'=- ,则 k =-1,∴切线方程为 y -1=-( x
-1),即 x + y -2=0,圆心(-2,0)到直线的距离 d =2 ,
圆的半径 r =1,∴所求最短距离为2 -1.
2 -1 
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13. 等比数列{ an }中, a1=2, a8=4,函数 f ( x )= x ( x - a1)( x
- a2)·…·( x - a8),则f'(0)= .
解析:因为f'( x )=( x )'·[( x - a1)( x - a2)·…·( x -
a8)]+[( x - a1)( x - a2)·…·( x - a8)]'· x =( x - a1)( x
- a2)·…·( x - a8)+[( x - a1)·( x - a2)·…·( x -
a8)]'· x ,所以f'(0)=(0- a1)(0- a2)·…·(0- a8)+0=
a1 a2·…· a8.因为数列{ an }为等比数列,所以 a1 a8= a2 a7= a3 a6= a4
a5=8,所以f'(0)=84=4 096.
4 096 
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14. 已知函数 f ( x )= x3-2 x2+3 x ( x ∈R)的图象为曲线 C .
(1)求曲线 C 上任意一点处切线斜率的取值范围;
解: 由题意得f'( x )= x2-4 x +3,
则f'( x )=( x -2)2-1≥-1,
即曲线 C 上任意一点处切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
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(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与
曲线 C 的切点的横坐标的取值范围.
解:设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k ,
则由条件和(1)中结论可知,
解得-1≤ k <0或 k ≥1,
故由-1≤ x2-4 x +3<0或 x2-4 x +3≥1,得 x ∈(-∞,2
- ]∪(1,3)∪[2+ ,+∞).
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15. (2024·南通质检)设函数 f ( x )= ax - ,曲线 y = f ( x )在点
(2, f (2))处的切线方程为7 x -4 y -12=0.
(1)求 f ( x )的解析式;
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解: 由7 x -4 y -12=0得 y = x -3.
当 x =2时, y = ,所以 f (2)= , ①
又f'( x )= a + ,
所以f'(2)= , ②
由①②得解得
故 f ( x )= x - .
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(2)证明:曲线 y = f ( x )上任一点处的切线与直线 x =0和直线
y = x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
解: 证明:设 P ( x0, y0)为曲线上任一点,由y'=1
+ 知曲线在点 P ( x0, y0)处的切线方程为
y - y0= ( x - x0),
即 y - = ( x - x0).
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令 x =0得 y =- ,从而得切线与直线 x =0的交点坐标为
.
令 y = x 得 y = x =2 x0,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标
为(2 x0,2 x0).
所以点 P ( x0, y0)处的切线与直线 x =0, y = x 所围成的
三角形面积为 |2 x0|=6.
故曲线 y = f ( x )上任一点处的切线与直线 x =0, y = x 所
围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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谢 谢 观 看!