第1课时 导数与函数的单调性
1.对于函数y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，2） B.（0，3）
C.（1，4） D.（2，＋∞）
3.（2024·南京月考）已知f（x）在R上是可导函数，y＝f（x）的图象如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为（ ）
A.（－2，0）∪（2，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D.（－2，－1）∪（1，2）
4.（2024·镇江质检）设函数f（x）＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，3] B.（0，2]
C.[3，＋∞） D.[2，＋∞）
5.（多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x
6.（多选）设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
7.函数f（x）＝的单调递增区间为 .
8.已知函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是 .
9.若函数f（x）的导函数为f'（x）＝x2－4x＋3，则函数f（1＋x）的单调递减区间是 .
10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性.
11.（2024·德州一中月考）函数f（x）＝xcos x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致是（ ）
12.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.（0，1） D.（1，2）
13.（多选）（2024·徐州质检）若函数exf（x）（e＝2.718 28……是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A.f（x）＝2－x B.f（x）＝x2＋2
C.f（x）＝3－x D.f（x）＝cos x
14.已知函数f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）利用（1）的结论证明当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.
15.（2024·常州质检）已知函数f（x）＝（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
第1课时 导数与函数的单调性
1.A 由f'（x）＞0 函数f（x）为增函数，但函数f（x）为增函数 /f'（x）＞0，知“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的充分不必要条件.
2.D 因为f'（x）＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex，由f'（x）＞0得（x－2）ex＞0，所以x＞2.所以f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）.
3.C 因为f（x）在区间（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（x）＞0.
4.A 由函数f（x）＝4ln x－x2＋3x，可得f'（x）＝－x＋3＝，x＞0，令f'（x）≥0，即≥0，即－x2＋3x＋4≥0，解得0＜x≤4，所以函数f（x）在（0，4]上单调递增，又由函数f（x）在[a，a＋1]上单调递增，所以解得0＜a≤3，故选A.
5.AB 由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
6.ABC A、B、C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f（x）应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f（x）应为减函数，也不符合.
7.（0，e） 解析：f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝e.因为当0＜x＜e时，f'（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e）.
8.（－1，2），（4，＋∞） 解析：由题图可知，在区间（－1，2），（4，＋∞）上f'（x）＞0；在区间（－∞，－1），（2，4）上f'（x）＜0.由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f（x）的单调递增区间是（－1，2），（4，＋∞）.
9.（0，2） 解析：令f'（x）＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函数f（1＋x）的单调递减区间为（0，2）.
10.解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）.
当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0；
当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减.
11.A 因为f（x）＝xcos x，所以f'（x）＝cos x－xsin x.因为f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.由f'（0）＝1可排除C、D.而f'（1）＝cos 1－sin 1＜0，排除B.
12.B 由题图知f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
13.AB 设g（x）＝ex·f（x），对于A，g（x）＝ex·2－x＝（）x在定义域R上是增函数，故A正确；对于B，g（x）＝（x2＋2）ex，g'（x）＝（x2＋2x＋2）ex＝[（x＋1）2＋1]ex＞0，所以g（x）在定义域R上是增函数，故B正确；对于C，g（x）＝ex·3－x＝（）x在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g（x）＝ex·cos x，则g'（x）＝excos（x＋），g'（x）＞0在定义域R上不恒成立，D不正确.故选A、B.
14.解：（1）∵f'（x）＝－1＝，
∴当x＞1时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＞0.
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.
（2）证明：由（1）知f（x）＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）＝0，即ln x＜x－1.
15.解：（1）由f（x）＝，
可得f'（x）＝.
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f'（1）＝0，即＝0，解得k＝1.
（2）由（1）知，f'（x）＝（x＞0），
设h（x）＝－ln x－1（x＞0），
则h'（x）＝－－＜0.
可知h（x）在（0，＋∞）上单调递减，由h（1）＝0知，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）＝0，故f'（x）＞0；
当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，故f'（x）＜0.
综上，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
2 / 25.3.1 单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
第1课时 导数与函数的单调性
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点 函数的单调性与导数的关系
对于函数y＝f（x）：
（1）如果在某区间上f'（x）＞0，那么f（x）在该区间上 ；
（2）如果在某区间上f'（x）＜0，那么f（x）在该区间上 .
提醒 若在某区间内有有限个点使f'（x）＝0，在其余的点恒有f'（x）＞0（＜0），则f（x）在该区间上单调递增（递减）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（ ）
（2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（ ）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（ ）
2.函数f（x）＝2x＋cos x在（－∞，＋∞）上（ ）
A.先增后减 B.先减后增
C.是增函数 D.是减函数
3.函数f（x）＝ln x－x的单调增区间是 .
题型一 利用导数判断函数的单调性
【例1】 （链接教科书第213页例2）利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f（x）＝x3－x2＋2x－5；
（2）f（x）＝x－ex（x＞0）.
通性通法
利用导数判断函数的单调性的策略
利用导数判断或证明一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论.
【跟踪训练】
证明：函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.
题型二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 （链接教科书第214页例3）求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1；
（2）f（x）＝（x＞0且x≠1）.
通性通法
利用导数求函数单调区间的方法
（1）列表法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③确定零点：判断导函数f'（x）有无零点，若有零点，通过解方程f'（x）＝0求出零点；④列表：用f'（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.
（2）解不等式法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③解不等式：在定义域内，令f'（x）＞0，解得函数f（x）的单调递增区间；令f'（x）＜0，解得函数f（x）的单调递减区间.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝2x3＋3x2－36x；
（2）f（x）＝2x2－ln x.
题型三 函数图象与导函数图象的关系
【例3】 （链接教科书第222页习题10题）已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，试画出函数f（x）的大致图象.
通性通法
研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
1.（2024·淮安月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（ ）
2.（2024·盐城月考）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ ）
1.函数f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
2.已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）的图象大致形状是（ ）
3.（2024·扬州月考）函数f（x）＝x3－3x的单调递减区间为 .
4.判断函数f（x）＝ex＋e－x在[0，＋∞）上的单调性.
第1课时 导数与函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点
（1）单调递增 （2）单调递减
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.C ∵f'（x）＝2－sin x＞0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.
3.（0，1） 解析：f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调增区间是（0，1）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为f（x）＝x3－x2＋2x－5，x∈R，
所以f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0，
所以函数f（x）＝x3－x2＋2x－5在R上是增函数.
（2）因为f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞），所以f'（x）＝1－ex＜0，所以f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上是减函数.
跟踪训练
证明：由题意，得f'（x）＝＝.
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1，∴1－ln x＞0，
∴f'（x）＝＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可知函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.
【例2】 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－8x＋4＝（x－2）（3x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝或x＝2.
列表如下：
x （－∞， ） （，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 f（） 单调递减 f（2） 单调 递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，）和（2，＋∞），单调递减区间为（，2）.
（2）法一（列表法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
令f'（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （0，） （，1） （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － －
f（x） 单调递增 f（） 单调递减 单调递减
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
由f'（x）＞0，得ln x＋1＜0，所以0＜x＜.
由f'（x）＜0，得ln x＋1＞0，所以x＞.
又因为x≠1，所以＜x＜1或x＞1.
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，1）和（1，＋∞）.
跟踪训练
解：（1）f'（x）＝6x2＋6x－36＝6（x＋3）（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝－3或x＝2，
x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，
f'（x）在各区间上的正负，以及f（x）的单调性如表所示，
x （－∞， －3） －3 （－3，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 f（－3） ＝81 单调递减 f（2）＝ －44 单调 递增
故f（x）的单调递增区间是（－∞，－3），（2，＋∞）；
单调递减区间是（－3，2）.
（2）函数f（x）＝2x2－ln x的定义域为（0，＋∞）.
f'（x）＝4x－＝.
因为x＞0，所以2x＋1＞0，由f'（x）＞0，解得x＞，所以函数f（x）的单调递增区间为（，＋∞）；
由f'（x）＜0，解得x＜，
又x∈（0，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）.
【例3】 解：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致形状如图所示.
跟踪训练
1.D 因为函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递减，所以当x＞0时，f'（x）＜0，当x＜0，f'（x）＜0.故选D.
2.C 由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增；当0＜x＜x1时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x1时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确.
随堂检测
1.B ∵f'（x）＝cos x－2＜0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
2.C 观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意.
3.（－1，1） 解析：对f（x）求导得f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），令f'（x）＜0，解得－1＜x＜1.故f（x）的单调递减区间为（－1，1）.
4.解：f'（x）＝（ex）'＋（e－x）'＝ex＋e－x（－x）'＝ex－e－x＝，
因为当x∈[0，＋∞）时，ex≥1，所以f'（x）≥0，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f（x）＝ex＋e－x在[0，＋∞）上单调递增.
2 / 3(共58张PPT)
5.3.1 单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与
导数的关系 数学抽象、直观
想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学
运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函
数的单调区间 数学运算
第1课时
导数与函数的单调性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走
低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图
来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们
常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点 函数的单调性与导数的关系
对于函数 y ＝ f （ x ）：
（1）如果在某区间上f'（ x ）＞0，那么 f （ x ）在该区间上
；
（2）如果在某区间上f'（ x ）＜0，那么 f （ x ）在该区间上
.
提醒 若在某区间内有有限个点使f'（ x ）＝0，在其余的点恒有
f'（ x ）＞0（＜0），则 f （ x ）在该区间上单调递增（递减）.
单调递
增
单调递
减
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＜0，则函数 f （ x ）在定
义域上是减函数. （ × ）
（2）函数 f （ x ）在某区间内单调递增，则一定有f'（ x ）＞0.
（ × ）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝
对值越大. （ √ ）
×
×
√
2. 函数 f （ x ）＝2 x ＋ cos x 在（－∞，＋∞）上（ ）
A. 先增后减 B. 先减后增
C. 是增函数 D. 是减函数
解析： ∵f'（ x ）＝2－ sin x ＞0，∴ f （ x ）在（－∞，＋∞）
上是增函数.
3. 函数 f （ x ）＝ln x － x 的单调增区间是 .
解析：f'（ x ）＝ －1，令f'（ x ）＞0，又 x ＞0，∴0＜ x ＜1，则 f
（ x ）的单调增区间是（0，1）.
（0，1）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数判断函数的单调性
【例1】 （链接教科书第213页例2）利用导数判断下列函数的单
调性：
（1） f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5；
解：因为 f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5， x ∈R，
所以f'（ x ）＝ x2－2 x ＋2＝（ x －1）2＋1＞0，
所以函数 f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5在R上是增函数.
（2） f （ x ）＝ x －e x （ x ＞0）.
解： 因为 f （ x ）＝ x －e x ， x ∈（0，＋∞），所以f'（ x ）
＝1－e x ＜0，所以 f （ x ）＝ x －e x 在（0，＋∞）上是减函数.
通性通法
利用导数判断函数的单调性的策略
利用导数判断或证明一个可导函数在给定区间内的单调性，实质
上就是判断f'（ x ）的正负或证明不等式f'（ x ）≥0（或f'（ x ）≤0）
在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（ x ）；②判断f'（ x ）
的符号；③得出结论.
【跟踪训练】
证明：函数 f （ x ）＝ 在区间（0，2）上单调递增.
证明：由题意，得f'（ x ）＝ ＝ .
∵0＜ x ＜2，∴ln x ＜ln 2＜1，∴1－ln x ＞0，
∴f'（ x ）＝ ＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可知函数 f （ x ）＝ 在区间（0，
2）上单调递增.
题型二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 （链接教科书第214页例3）求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝ x3－4 x2＋4 x －1；
解： 函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝3 x2－8 x ＋4＝
（ x －2）（3 x －2）.
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝ 或 x ＝2.
列表如下：
x 2 （2，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递增 单调递减 f （2） 单调递增
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（－∞， ）和（2，＋
∞），单调递减区间为（ ，2）.
（2） f （ x ）＝ （ x ＞0且 x ≠1）.
解： 法一（列表法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，
＋∞），f'（ x ）＝－ ，
令f'（ x ）＝0，得 x ＝ .
列表如下：
x （1，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － －
f （ x ） 单调递增 单调递减 单调递减
所以 f （ x ）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是
（ ，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法） 函数的定义域为（0，1）∪（1，＋
∞），f'（ x ）＝－ ，
由f'（ x ）＞0，得ln x ＋1＜0，所以0＜ x ＜ .
由f'（ x ）＜0，得ln x ＋1＞0，所以 x ＞ .
又因为 x ≠1，所以 ＜ x ＜1或 x ＞1.
所以 f （ x ）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是（ ，1）和（1，＋∞）.
通性通法
利用导数求函数单调区间的方法
（1）列表法：①求定义域：确定函数 f （ x ）的定义域；②求导：求f'
（ x ）；③确定零点：判断导函数f'（ x ）有无零点，若有零点，
通过解方程f'（ x ）＝0求出零点；④列表：用f'（ x ）的零点和函
数的无定义点将 f （ x ）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'
（ x ）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数 f （ x ）在
定义域内的单调性.
（2）解不等式法：①求定义域：确定函数 f （ x ）的定义域；②求
导：求f'（ x ）；③解不等式：在定义域内，令f'（ x ）＞0，解得
函数 f （ x ）的单调递增区间；令f'（ x ）＜0，解得函数 f （ x ）
的单调递减区间.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝2 x3＋3 x2－36 x ；
解： f'（ x ）＝6 x2＋6 x －36＝6（ x ＋3）（ x －2）.
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－3或 x ＝2，
x ＝－3和 x ＝2把函数的定义域划分为三个区间，
f'（ x ）在各区间上的正负，以及 f （ x ）的单调性如表所示，
x （－∞，
－3） －3 （－3，
2） 2 （2，＋
∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递增 f （－3） ＝81 单调递减 f （2）＝ －44 单调递增
故 f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－3），（2，＋∞）；
单调递减区间是（－3，2）.
（2） f （ x ）＝2 x2－ln x .
解：函数 f （ x ）＝2 x2－ln x 的定义域为（0，＋∞）.
f'（ x ）＝4 x － ＝ .
因为 x ＞0，所以2 x ＋1＞0，由f'（ x ）＞0，解得 x ＞ ，所以函
数 f （ x ）的单调递增区间为（ ，＋∞）；
由f'（ x ）＜0，解得 x ＜ ，
又 x ∈（0，＋∞），所以函数 f （ x ）的单调递减区间为（0， ）.
题型三 函数图象与导函数图象的关系
【例3】 （链接教科书第222页习题10题）已知导函数f'（ x ）的下列
信息：当 x ＜0或 x ＞7时，f'（ x ）＞0；当0＜ x ＜7时，f'（ x ）＜0；
当 x ＝0或 x ＝7时，f'（ x ）＝0，试画出函数 f （ x ）的大致图象.
解：当 x ＜0或 x ＞7时，f'（ x ）＞0，可知函数 f
（ x ）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调
递增；当0＜ x ＜7时，f'（ x ）＜0，可知函数 f
（ x ）在区间（0，7）上单调递减；当 x ＝0或 x ＝7
时，f'（ x ）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们
为“稳定点”.综上，函数 f （ x ）的大致形状如图
所示.
通性通法
研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'（ x ）图象在 x 轴上方时对应的自变量的取值区间为原函
数 f （ x ）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'
（ x ）图象在 x 轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数 f （ x ）图
象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
1. （2024·淮安月考）函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则导函数 y ＝
f'（ x ）的图象可能是（ ）
解析： 因为函数 f （ x ）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调
递减，所以当 x ＞0时，f'（ x ）＜0，当 x ＜0，f'（ x ）＜0.故选D.
2. （2024·盐城月考）已知f'（ x ）是 f （ x ）的导函数，若f'（ x ）的图
象如图所示，则 f （ x ）的图象可能是（ ）
解析： 由导函数的图象可知，当 x ＜0时，f'（ x ）＞0，即函数 f
（ x ）单调递增；当0＜ x ＜ x1时，f'（ x ）＜0，即函数 f （ x ）单调
递减；当 x ＞ x1时，f'（ x ）＞0，即函数 f （ x ）单调递增.结合选项
易知C正确.
1. 函数 f （ x ）＝ sin x －2 x 在（－∞，＋∞）上（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
解析： ∵f'（ x ）＝ cos x －2＜0，∴ f （ x ）在（－∞，＋∞）
上是减函数.
2. 已知二次函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则其导函数 y ＝f'（ x ）
的图象大致形状是（ ）
解析： 观察 y ＝ f （ x ）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调
递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数 y ＝f'（ x ）在（－
∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有
选项C符合题意.
3. （2024·扬州月考）函数 f （ x ）＝ x3－3 x 的单调递减区间为
.
解析：对 f （ x ）求导得f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），
令f'（ x ）＜0，解得－1＜ x ＜1.故 f （ x ）的单调递减区间为（－
1，1）.
（－
1，1）
4. 判断函数 f （ x ）＝e x ＋e－ x 在[0，＋∞）上的单调性.
解：f'（ x ）＝（e x ）'＋（e－ x ）'＝e x ＋e－ x （－ x ）'＝e x －e－ x ＝
，
因为当 x ∈[0，＋∞）时，e x ≥1，所以f'（ x ）≥0，当且仅当 x ＝0
时等号成立，
所以 f （ x ）＝e x ＋e－ x 在[0，＋∞）上单调递增.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 对于函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， b ），“f'（ x ）＞0”是“函数 y
＝ f （ x ）为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 由f'（ x ）＞0 函数 f （ x ）为增函数，但函数 f （ x ）为
增函数 /f'（ x ）＞0，知“f'（ x ）＞0”是“函数 y ＝ f （ x ）为增
函数”的充分不必要条件.
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2. 函数 f （ x ）＝（ x －3）e x 的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，2） B. （0，3）
C. （1，4） D. （2，＋∞）
解析： 因为f'（ x ）＝e x ＋（ x －3）e x ＝（ x －2）e x ，由f'
（ x ）＞0得（ x －2）e x ＞0，所以 x ＞2.所以 f （ x ）的单调递增区
间为（2，＋∞）.
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3. （2024·南京月考）已知 f （ x ）在R上是可导函数， y ＝ f （ x ）的
图象如图所示，则不等式f'（ x ）＞0的解集为（ ）
A. （－2，0）∪（2，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－2，－1）∪（1，2）
解析： 因为 f （ x ）在区间（－∞，－1），（1，＋∞）上单调
递增，所以在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（ x ）＞0.
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4. （2024·镇江质检）设函数 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x 在区间[ a ， a
＋1]上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （0，3] B. （0，2]
C. [3，＋∞） D. [2，＋∞）
解析： 由函数 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x ，可得f'（ x ）＝ － x
＋3＝ ， x ＞0，令f'（ x ）≥0，即 ≥0，即－ x2＋
3 x ＋4≥0，解得0＜ x ≤4，所以函数 f （ x ）在（0，4]上单调递
增，又由函数 f （ x ）在[ a ， a ＋1]上单调递增，所以
解得0＜ a ≤3，故选A.
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5. （多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（ ）
A. y ＝ x3＋ x －1 B. y ＝ sin x － x
C. y ＝ x e x ＋1 D. y ＝e x － x
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解析： 由 y ＝ x3＋ x －1，得y'＝3 x2＋1≥1，所以函数是增函
数，A满足题意；由 y ＝ sin x － x ，得y'＝ cos x －1≤0，所以函数
是减函数，B满足题意；由 y ＝ x e x ＋1，得y'＝e x （ x ＋1），当 x ≥
－1时，y'＝e x （ x ＋1）≥0，函数单调递增，当 x ＜－1时，y'＝e x
（ x ＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单
调函数，C不满足题意；由 y ＝e x － x ，得y'＝e x －1，当 x ≥0时，y'
＝e x －1≥0，函数单调递增，当 x ＜0时，y'＝e x －1＜0，函数单调
递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
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6. （多选）设f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，将 y ＝ f （ x ）和 y ＝f'
（ x ）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
解析： A、B、C均有可能；对于D，若 C1为导函数，则 y ＝ f
（ x ）应为增函数，不符合；若 C2为导函数，则 y ＝ f （ x ）应为减
函数，也不符合.
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7. 函数 f （ x ）＝ 的单调递增区间为 .
解析：f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝e.因为当0＜ x ＜e
时，f'（ x ）＞0，所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（0，e）.
（0，e）
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8. 已知函数 f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象如图所示，则函数 f
（ x ）的单调递增区间是 .
解析：由题图可知，在区间（－1，2），（4，＋∞）上f'（ x ）＞
0；在区间（－∞，－1），（2，4）上f'（ x ）＜0.由导函数的正
负与函数单调性的关系可得，函数 f （ x ）的单调递增区间是（－
1，2），（4，＋∞）.
（－1，2），（4，＋∞）
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9. 若函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，则函数 f （1＋ x ）
的单调递减区间是 .
解析：令f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3＜0，得1＜ x ＜3，由1＜1＋ x ＜3，
解得0＜ x ＜2，故函数 f （1＋ x ）的单调递减区间为（0，2）.
（0，2）
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10. 判断函数 f （ x ）＝2 x （e x －1）－ x2的单调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝2（e x －1＋ x e x － x ）＝
2（e x －1）（ x ＋1）.
当 x ∈（－∞，－1）时，f'（ x ）＞0；
当 x ∈（－1，0）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0.
故 f （ x ）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－
1，0）上单调递减.
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11. （2024·德州一中月考）函数 f （ x ）＝ x cos x 的导函数f'（ x ）在区
间[－π，π]上的图象大致是（ ）
解析： 因为 f （ x ）＝ x cos x ，所以f'（ x ）＝ cos x － x sin x .因
为f'（－ x ）＝f'（ x ），所以f'（ x ）为偶函数，所以函数图象关于
y 轴对称.由f'（0）＝1可排除C、D. 而f'（1）＝ cos 1－ sin 1＜
0，排除B.
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12. 定义在R上的可导函数 f （ x ），已知 y ＝ef'（ x）的图象如图所示，
则 y ＝ f （ x ）的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，1）
B. （－∞，2）
C. （0，1）
D. （1，2）
解析： 由题图知f'（ x ）≥0的区间是（－∞，2），故函数 y ＝
f （ x ）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.
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13. （多选）（2024·徐州质检）若函数e xf （ x ）（e＝2.718 28……是
自然对数的底数）在 f （ x ）的定义域上单调递增，则称函数 f
（ x ）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是（ ）
A. f （ x ）＝2－ x B. f （ x ）＝ x2＋2
C. f （ x ）＝3－ x D. f （ x ）＝ cos x
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解析： 设 g （ x ）＝e x · f （ x ），对于A， g （ x ）＝e x ·2－ x ＝
（ ） x 在定义域R上是增函数，故A正确；对于B， g （ x ）＝（ x2
＋2）e x ，g'（ x ）＝（ x2＋2 x ＋2）e x ＝[（ x ＋1）2＋1]e x ＞0，
所以 g （ x ）在定义域R上是增函数，故B正确；对于C， g （ x ）
＝e x ·3－ x ＝（ ） x 在定义域R上是减函数，C不正确；对于D， g
（ x ）＝e x · cos x ，则g'（ x ）＝ e x cos （ x ＋ ），g'（ x ）＞0
在定义域R上不恒成立，D不正确.故选A、B.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ln x － x ＋1， x ∈（0，＋∞）.
（1）讨论 f （ x ）的单调性；
解： ∵f'（ x ）＝ －1＝ ，
∴当 x ＞1时，f'（ x ）＜0；当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0.
∴ f （ x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为
（1，＋∞）.
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（2）利用（1）的结论证明当 x ∈（1，＋∞）时ln x ＜ x －1.
解： 证明：由（1）知 f （ x ）＝ln x － x ＋1在（1，＋
∞）上单调递减，
∴ f （ x ）＜ f （1）＝0，即ln x ＜ x －1.
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15. （2024·常州质检）已知函数 f （ x ）＝ （ k 为常数，e为自然
对数的底数），曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线与 x
轴平行.
（1）求实数 k 的值；
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解： 由 f （ x ）＝ ，
可得f'（ x ）＝ .
∵曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线与 x 轴平行，
∴f'（1）＝0，即 ＝0，解得 k ＝1.
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（2）求函数 f （ x ）的单调区间.
解：由（1）知，f'（ x ）＝ （ x ＞0），
设 h （ x ）＝ －ln x －1（ x ＞0），
则h'（ x ）＝－ － ＜0.
可知 h （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，由 h （1）＝0知，
当0＜ x ＜1时， h （ x ）＞ h （1）＝0，
故f'（ x ）＞0；
当 x ＞1时， h （ x ）＜ h （1）＝0，故f'（ x ）＜0.
综上， f （ x ）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
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