第1课时 函数的最大（小）值
1.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'（x）（ ）
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
2.函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（ ）
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
3.（2024·宿迁月考）函数f（x）＝x＋2cos x在区间上的最小值是（ ）
A.－ B.2
C.＋ D.＋1
4.函数f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A.[0，1） B.（0，1）
C.（－1，1） D.
5.（多选）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.f（a）＜f（b）＜f（c）
B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c时，f（x）取得最大值
D.x＝d时，f（x）取得最小值
6.（多选）已知函数f（x）＝xln x，则（ ）
A.f（x）的单调递增区间为（e，＋∞）
B.f（x）在（0，）上单调递减
C.当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－
D.f（x）在定义域内无极值
7.函数y＝在[0，2]上的最大值是 .
8.（2024·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ .
9.设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则f（x）的最小值是 ，实数m的取值范围是 .
10.求下列函数的最值：
（1）f（x）＝sin x＋cos x，x∈［－，］；
（2）f（x）＝ex（3－x2），x∈[2，5].
11.（2024·镇江月考）已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对任意x1，x2∈[－3，2]，都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（ ）
A.20 B.18
C.3 D.0
12.函数f（x）＝ax3－6ax2＋b在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29（a＞0），则a，b的值为（ ）
A.a＝2，b＝－29 B.a＝3，b＝2
C.a＝2，b＝3 D.以上都不对
13.已知函数f（x）＝，若函数在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值.
15.（2024·连云港质检）已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值.
第1课时 函数的最大（小）值
1.A 因为M＝m，所以f（x）为常函数，故f'（x）＝0，故选A.
2.D f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上单调递减，无最大值和最小值，故选D.
3.A f'（x）＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2sin x＞0在上恒成立.所以f（x）在上单调递增.所以f（x）min＝f（－）＝－＋2cos＝－.
4.B ∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又∵x∈（0，1），∴0＜a＜1，故选B.
5.AB 由f'（x）的图象可知：当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减.对于A，因为a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；对于C，由单调性知f（c）为极大值，当x＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；对于D，由单调性知f（e）＜f（d），D错误.
6.BC 因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝.当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，x＝是极小值点，所以A错误，B正确.当x∈（0，1]时，根据单调性可知，f（x）min＝f（）＝－，故C正确.显然f（x）有极小值f（），故D错误.
7. 解析：因为y＝，则y'＝.当0≤x＜1时，y'＞0，此时函数y＝单调递增，当1＜x≤2时，y'＜0，此时函数y＝单调递减.所以，当x＝1时，函数y＝取得最大值，即ymax＝.
8.20 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.0 （－∞，0） 解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x －2 （－2， 0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递减 极小 值0 单调 递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）f'（x）＝cos x－sin x.
令f'（x）＝0，即tan x＝1，
且x∈［－，］，所以x＝.
又因为f（）＝，f（－）＝－1，f（）＝1，
所以当x∈［－，］时，函数f（x）的最大值为，最小值为－1.
（2）因为f（x）＝3ex－exx2，
所以f'（x）＝3ex－（exx2＋2exx）＝－ex（x2＋2x－3）＝－ex（x＋3）（x－1）.
因为在区间[2，5]上，f'（x）＝－ex（x＋3）（x－1）＜0，
即函数f（x）在区间[2，5]上单调递减，
所以在区间[2，5]上，当x＝2时，函数f（x）取得最大值－e2；当x＝5时，函数f（x）取得最小值－22e5.
11.A 由f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）＝0得x＝1或x＝－1.又f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又由题设知在区间[－3，2]上，｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故实数t的最小值是20.
12.C 函数f（x）的导数f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4）.因为a＞0，所以由f'（x）＜0得0＜x＜4，此时函数单调递减，由f'（x）＞0，得x＞4或x＜0，此时函数单调递增，即函数在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f（0）＝b＝3，则f（x）＝ax3－6ax2＋3，f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3，则f（－1）＞f（2），即函数的最小值为f（2）＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.
13.（，1） 解析：由题意知函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，即为最大值，因为函数f（x）在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，所以解得＜a＜1.
14.解：函数的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＋＝.
①若k≤0，则在上恒有f'（x）＜0，
所以f（x）在上单调递减.
②若0＜k＜，则f'（x）＝＝，
由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，
所以＜0在上恒成立，
所以f（x）在上单调递减.
综上，当k＜时，f（x）在上单调递减，
所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1，f（x）max＝f（）＝e－k－1.
15.解：（1）f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex.
由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0，解得a＝1.
（2）由（1）得f（x）＝（x－2）ex，
则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex.
令f'（x）＝0，得x＝1，
当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
①当m≥1时，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）em；
②当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f（x）在区间[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝－e；
③当m≤0时，m＋1≤1，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递减，f（x）min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1.
综上，f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值f（x）min＝
2 / 25.3.3 最大值与最小值
新课程标准解读 核心素养
1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值 数学运算
2.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 直观想象
第1课时 函数的最大（小）值
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最大（小）值
1.定义：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），那么f（x0）为函数在定义域上的最大值（最小值）.最大（小）值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大（小）值，那么最大（小）值唯一.
2.求函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
（1）求函数f（x）在区间（a， b）上的 ；
（2）将（1）中求得的 与 ， 比较，得到f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值.
提醒 连续可导函数，在闭区间上一定有最值.【想一想】
函数y＝f（x）有最大（小）值时，最大（小）值只有一个，其最大（小）值点唯一吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（ ）
（2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（ ）
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（ ）
（4）函数f（x）在区间（a，b）上连续，则f（x）在区间（a，b）上一定有最值，但不一定有极值.（ ）
2.若函数f（x）＝－x4＋2x2＋3，则f（x）（ ）
A.最大值为4，最小值为－4
B.最大值为4，无最小值
C.最小值为－4，无最大值
D.既无最大值，也无最小值
3.（2024·徐州月考）若函数f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.
题型一 极值与最值的关系
【例1】 如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
通性通法
极值与最值的关系
（1）最值在极值点或区间端点处取得；
（2）开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得.
提醒 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
【跟踪训练】
设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）的极值点一定是最值点
B.f（x）的最值点一定是极值点
C.f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点
题型二 求函数的最值
角度1 求不含参函数的最值
【例2】 （链接教科书第217页例6、218页例7）求下列函数的最大值与最小值：
（1）f（x）＝2x3－12x，x∈[－2，3]；
（2）f（x）＝.
通性通法
求不含参数的函数的最值的步骤
（1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在给定区间内；
（2）判断函数的单调性，研究函数的极值；
（3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值.
角度2 求含参函数的最值
【例3】 若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值.
通性通法
求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（x）；
（2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f'（x）＝0的根是否在区间[a，b]内；
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值.
【跟踪训练】
1.（2024·苏州月考）函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为（ ）
A.0 B. C. D.
2.已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值.
题型三 由函数的最值求参数值（范围）
【例4】 （1）（2024·南京月考）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a＝（ ）
A.3 B.1 C.2 D.－1
（2）已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
通性通法
已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，求a的值.
1.下列结论正确的是（ ）
A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值
2.函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（ ）
A.π－1 B.－1
C.π D.π＋1
3.已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间（－2，－1）上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是 .
第1课时 函数的最大（小）值
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）极值 （2）极值 f（a） f（b）
想一想
提示：不一定.例如f（x）＝sin x的最大值点有无穷多个.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.B 令t＝x2，则t≥0，则有g（t）＝－t2＋2t＋3＝4－（t－1）2，t≥0，由二次函数的性质可知g（t）max＝g（1）＝4，无最小值.即f（x）的最大值为4，无最小值.故选B.
3.C f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－1，∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋，f（0）＝m，f（1）＝m＋，比较知f（1）最大，∴m＋＝，m＝2，故选C.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题图可知，y＝f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；
比较极值和端点值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）.
跟踪训练
C 根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值点，f（x）的最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确，若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则函数f（x）在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
【例2】 解：（1）因为f（x）＝2x3－12x，x∈[－2，3]，
所以f'（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），
令f'（x）＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x －2 （－2， －） － （－， ） （， 3） 3
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 ↗ 8 ↘ －8 ↗ 18
因为f（－2）＝8，f（3）＝18，f（）＝－8，f（－）＝8，
所以当x＝时，f（x）取得最小值－8；
当x＝3时，f（x）取得最大值18.
（2）函数f（x）＝的定义域为R，
f'（x）＝＝，
当f'（x）＝0时，x＝2，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ↘
∴f（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，
∴f（x）无最小值，且当x＝2时，f（x）max＝f（2）＝.
【例3】 解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）.
因为a＞0，则令f'（x）＝0，解得x＝±.
因为x∈[0，1]，所以只考虑x＝的情况.
（1）若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x 0 （0， ） （， 1） 1
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 0 单调 递增 2a 单调 递减 3a－1
由表可知，当x＝时，f（x）有最大值f（）＝2a.
（2）若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）有最大值f（1）＝3a－1.
综上可知，在区间[0，1]上，
若0＜a＜1，则x＝时，f（x）有最大值2a.
若a≥1，则x＝1时，f（x）有最大值3a－1.
跟踪训练
1.B y'＝1－2sin x，令y'＝0，得sin x＝，∵x∈，∴x＝. 由y'＞0得sin x＜，∴0≤x＜；由y'＜0得sin x＞，∴＜x≤，∴原函数在上单调递增，在上单调递减.当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋＞2＞，∴当x＝时取最大值，故选B.
2.解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），
令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（a）＝－a3.
②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，
f（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝0.
③当a＜0时，f（x）在［0，－）上单调递减，在［－，＋∞）上单调递增.
所以f（x）min＝f（－）＝a3.
综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3；
当a＝0时，f（x）的最小值为0；
当a＜0时，f（x）的最小值为a3.
【例4】 （1）B f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－（舍去）或x＝1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，则f（2）最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
（2）解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h'（x）＝3x2＋6x－9.
令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x （－∞， －3） －3 （－3， 1） 1 （1， ＋∞）
h'（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗
当x＝－3时，h（x）取极大值28；
当x＝1时，h（x）取极小值－4.
而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.
故实数k的取值范围为（－∞，－3].
跟踪训练
解：∵f'（x）＝－a，x＞0，
∴当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，故函数f（x）是增函数，不存在最大值；
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，
∴当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（）＝ln－1＝0，解得a＝.
随堂检测
1.D 函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
2.C y'＝1－cos x，当x∈［，π］时，y'＞0，则函数在区间［，π］上单调递增，所以ymax＝π－sin π＝π，故选C.
3.（－4，－2） 解析：f'（x）＝m－2x，令f'（x）＝0，得x＝.由题意得∈（－2，－1），故m∈（－4，－2）.
4 / 4(共72张PPT)
5.3.3 最大值与最小值
新课程标准解读 核心素养
1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的
多项式函数的最大值、最小值 数学运算
2.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 直观想象
第1课时
函数的最大（小）值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察如图所示的函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－3，2]的图象，回忆函
数极值的定义，回答下列问题：
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最大（小）值
1. 定义：如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x ∈ I ，总有 f
（ x ）≤ f （ x0）（ f （ x ）≥ f （ x0）），那么 f （ x0）为函数在定
义域上的最大值（最小值）.最大（小）值是相对函数定义域整体
而言的，如果存在最大（小）值，那么最大（小）值唯一.
（1）求函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）上的 ；
（2）将（1）中求得的 与 ， 比
较，得到 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值.
极值
极值
f （ a ）
f （ b ）
2. 求函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值的步骤
提醒 连续可导函数，在闭区间上一定有最值.
【想一想】
函数 y ＝ f （ x ）有最大（小）值时，最大（小）值只有一
个，其最大（小）值点唯一吗？
提示：不一定.例如 f （ x ）＝ sin x 的最大值点有无穷多个.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值. （ √ ）
（2）函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值一定在区间
端点处取得. （ × ）
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.
（ × ）
（4）函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）上连续，则 f （ x ）在区间
（ a ， b ）上一定有最值，但不一定有极值. （ × ）
√
×
×
×
2. 若函数 f （ x ）＝－ x4＋2 x2＋3，则 f （ x ）（ ）
A. 最大值为4，最小值为－4
B. 最大值为4，无最小值
C. 最小值为－4，无最大值
D. 既无最大值，也无最小值
解析： 令 t ＝ x2，则 t ≥0，则有 g （ t ）＝－ t2＋2 t ＋3＝4－（ t
－1）2， t ≥0，由二次函数的性质可知 g （ t ）max＝ g （1）＝4，无
最小值.即 f （ x ）的最大值为4，无最小值.故选B.
3. （2024·徐州月考）若函数 f （ x ）＝ x3＋ x2＋ m 在[－2，1]上的最
大值为 ，则 m ＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2
解析： f'（ x ）＝3 x2＋3 x ＝3 x （ x ＋1），令f'（ x ）＝0，得 x
＝0或 x ＝－1，∵ f （－2）＝ m －2， f （－1）＝ m ＋ ， f （0）＝
m ， f （1）＝ m ＋ ，比较知 f （1）最大，∴ m ＋ ＝ ， m ＝2，
故选C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 极值与最值的关系
【例1】 如图是函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象，写出函数
的极大值、极小值、最大值和最小值.
解：由题图可知， y ＝ f （ x ）在 x1， x3处取得极小值，在 x2处取得极
大值，所以极小值为 f （ x1）， f （ x3），极大值为 f （ x2）；
比较极值和端点值可知函数的最小值是 f （ x3），最大值在 b 处取得，
最大值为 f （ b ）.
通性通法
极值与最值的关系
（1）最值在极值点或区间端点处取得；
（2）开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得.
提醒 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
【跟踪训练】
设 f （ x ）是区间[ a ， b ]上的连续函数，且在（ a ， b ）内可导，则下
列结论中正确的是（ ）
A. f （ x ）的极值点一定是最值点
B. f （ x ）的最值点一定是极值点
C. f （ x ）在区间[ a ， b ]上可能没有极值点
D. f （ x ）在区间[ a ， b ]上可能没有最值点
解析： 根据函数的极值与最值的概念知， f （ x ）的极值点不一定
是最值点， f （ x ）的最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间
上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确，若函数 f （ x ）在区间
[ a ， b ]上单调，则函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上没有极值点，所以C
正确.
题型二 求函数的最值
角度1 求不含参函数的最值
【例2】 （链接教科书第217页例6、218页例7）求下列函数的最大
值与最小值：
（1） f （ x ）＝2 x3－12 x ， x ∈[－2，3]；
解：因为 f （ x ）＝2 x3－12 x ， x ∈[－2，3]，
所以f'（ x ）＝6 x2－12＝6（ x ＋ ）（ x － ），
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－ 或 x ＝ .
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表所示：
x －2 3
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 8 ↗ ↘ ↗ 18
因为 f （－2）＝8， f （3）＝18， f （ ）＝－8 ， f （－
）＝8 ，
所以当 x ＝ 时， f （ x ）取得最小值－8 ；
当 x ＝3时， f （ x ）取得最大值18.
（2） f （ x ）＝ .
解： 函数 f （ x ）＝ 的定义域为R，
f'（ x ）＝ ＝ ，
当f'（ x ）＝0时， x ＝2，
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表所示：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ↘
∴ f （ x ）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调
递减，
∴ f （ x ）无最小值，且当 x ＝2时， f （ x ）max＝ f （2）＝ .
通性通法
求不含参数的函数的最值的步骤
（1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（ x ）＝0的根是
否在给定区间内；
（2）判断函数的单调性，研究函数的极值；
（3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最
小值.
角度2 求含参函数的最值
【例3】 若 a ＞0，求函数 f （ x ）＝－ x3＋3 ax （0≤ x ≤1）的
最大值.
解：f'（ x ）＝－3 x2＋3 a ＝－3（ x2－ a ）.
因为 a ＞0，则令f'（ x ）＝0，解得 x ＝± .
因为 x ∈[0，1]，所以只考虑 x ＝ 的情况.
（1）若0＜ ＜1，即0＜ a ＜1，则当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的
变化情况如下表：
x 0 1
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） 0 单调递增 单调递减 3 a －1
由表可知，当 x ＝ 时， f （ x ）有最大值 f （ ）＝2 a .
（2）若 ≥1，即 a ≥1时，则当0≤ x ≤1时，f'（ x ）≥0，此时函数
f （ x ）在[0，1]上单调递增，所以当 x ＝1时， f （ x ）有最大值 f
（1）＝3 a －1.
综上可知，在区间[0，1]上，
若0＜ a ＜1，则 x ＝ 时， f （ x ）有最大值2 a .
若 a ≥1，则 x ＝1时， f （ x ）有最大值3 a －1.
通性通法
求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（ x ）；
（2）求方程f'（ x ）＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f'
（ x ）＝0的根是否在区间[ a ， b ]内；
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大
值、最小值.
【跟踪训练】
1. （2024·苏州月考）函数 y ＝ x ＋2 cos x 在 上取最大值时， x
的值为（ ）
A. 0
解析： y'＝1－2 sin x ，令y'＝0，得 sin x ＝ ，∵ x ∈ ，
∴ x ＝ . 由y'＞0得 sin x ＜ ，∴0≤ x ＜ ；由y'＜0得 sin x ＞ ，
∴ ＜ x ≤ ，∴原函数在 上单调递增，在 上单调递
减.当 x ＝0时， y ＝2，当 x ＝ 时， y ＝ ，当 x ＝ 时， y ＝ ＋
，∵ ＋ ＞2＞ ，∴当 x ＝ 时取最大值，故选B.
2. 已知函数 f （ x ）＝ x3－ ax2－ a2 x ，求函数 f （ x ）在[0，＋∞）上
的最小值.
解：f'（ x ）＝3 x2－2 ax － a2＝（3 x ＋ a ）（ x － a ），
令f'（ x ）＝0，得 x1＝－ ， x2＝ a .
①当 a ＞0时， f （ x ）在[0， a ）上单调递减，在[ a ，＋∞）上单
调递增.
所以 f （ x ）min＝ f （ a ）＝－ a3.
②当 a ＝0时，f'（ x ）＝3 x2≥0，
f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，
所以 f （ x ）min＝ f （0）＝0.
③当 a ＜0时， f （ x ）在［0，－ ）上单调递减，在［－ ，＋
∞）上单调递增.
所以 f （ x ）min＝ f （－ ）＝ a3.
综上所述，当 a ＞0时， f （ x ）的最小值为－ a3；
当 a ＝0时， f （ x ）的最小值为0；
当 a ＜0时， f （ x ）的最小值为 a3.
题型三 由函数的最值求参数值（范围）
【例4】 （1）（2024·南京月考）函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a 在区
间[0，2]上的最大值是3，则 a ＝（ ）
A. 3 B. 1
C. 2 D. －1
解析： f'（ x ）＝3 x2－2 x －1，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－ （舍
去）或 x ＝1，又 f （0）＝ a ， f （1）＝ a －1， f （2）＝ a ＋2，则 f
（2）最大，即 a ＋2＝3，所以 a ＝1.
（2）已知函数 h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1在区间[ k ，2]上的最大值是
28，求 k 的取值范围.
解：∵ h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1，
∴h'（ x ）＝3 x2＋6 x －9.
令h'（ x ）＝0，得 x1＝－3， x2＝1，
当 x 变化时，h'（ x ）， h （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
h （ x ） ↗ 28 ↘ －4 ↗
当 x ＝－3时， h （ x ）取极大值28；
当 x ＝1时， h （ x ）取极小值－4.
而 h （2）＝3＜ h （－3）＝28，如果 h （ x ）在区间[ k ，2]上的
最大值为28，则 k ≤－3.
故实数 k 的取值范围为（－∞，－3].
通性通法
已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的
逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探
索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ln x － ax 存在最大值0，求 a 的值.
解：∵f'（ x ）＝ － a ， x ＞0，
∴当 a ≤0时，f'（ x ）＞0恒成立，故函数 f （ x ）是增函数，不存在最
大值；
当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ ，
∴当 x ∈（0， ）时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）单调递增；
当 x ∈（ ，＋∞）时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）单调递减，
∴ f （ x ）max＝ f （ ）＝ln －1＝0，解得 a ＝ .
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极大值，则极大值一定是[ a ， b ]上的最
大值
B. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极小值，则极小值一定是[ a ， b ]上的最
小值
C. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极大值，则极大值一定是在 x ＝ a 和 x ＝ b
处取得
D. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，则 f （ x ）在[ a ， b ]上存在最大值和
最小值
解析： 函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的极值不一定是最值，最值也
不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[ a ， b ]上一定
存在最大值和最小值.
2. 函数 y ＝ x － sin x ， x ∈［ ，π］的最大值是（ ）
A. π－1
C. π D. π＋1
解析： y'＝1－ cos x ，当 x ∈［ ，π］时，y'＞0，则函数在区
间［ ，π］上单调递增，所以 ymax＝π－ sin π＝π，故选C.
3. 已知 f （ x ）＝－ x2＋ mx ＋1在区间（－2，－1）上的最大值就是函
数 f （ x ）的极大值，则 m 的取值范围是 .
解析：f'（ x ）＝ m －2 x ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ .由题意得 ∈
（－2，－1），故 m ∈（－4，－2）.
（－4，－2）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 M ， m 分别是函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的最大值和最小值，若 M
＝ m ，则f'（ x ）（ ）
A. 等于0 B. 小于0
C. 等于1 D. 不确定
解析： 因为 M ＝ m ，所以 f （ x ）为常函数，故f'（ x ）＝0，故
选A.
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2. 函数 f （ x ）＝ x3－3 x （｜ x ｜＜1）（ ）
A. 有最大值，但无最小值
B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，但有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
解析： f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），当 x ∈（－1，
1）时，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）在（－1，1）上单调递减，无最
大值和最小值，故选D.
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3. （2024·宿迁月考）函数 f （ x ）＝ x ＋2 cos x 在区间 上的最
小值是（ ）
B. 2
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解析： f'（ x ）＝1－2 sin x ，因为 x ∈ ，所以 sin x
∈[－1，0]，所以－2 sin x ∈[0，2].所以f'（ x ）＝1－2 sin x ＞0在
上恒成立.所以 f （ x ）在 上单调递增.所以 f
（ x ）min＝ f （－ ）＝－ ＋2 cos ＝－ .
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4. 函数 f （ x ）＝ x3－3 ax － a 在（0，1）内有最小值，则 a 的取值范
围是（ ）
A. [0，1） B. （0，1）
C. （－1，1）
解析： ∵f'（ x ）＝3 x2－3 a ，令f'（ x ）＝0，可得 a ＝ x2，
又∵ x ∈（0，1），∴0＜ a ＜1，故选B.
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5. （多选）已知函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A. f （ a ）＜ f （ b ）＜ f （ c ）
B. f （ e ）＜ f （ d ）＜ f （ c ）
C. x ＝ c 时， f （ x ）取得最大值
D. x ＝ d 时， f （ x ）取得最小值
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解析： 由f'（ x ）的图象可知：当 x ∈（－∞， c ）∪（ e ，＋
∞）时，f'（ x ）＞0；当 x ∈（ c ， e ）时，f'（ x ）＜0.所以 f
（ x ）在（－∞， c ），（ e ，＋∞）上单调递增，在（ c ， e ）上
单调递减.对于A，因为 a ＜ b ＜ c ，所以 f （ a ）＜ f （ b ）＜ f
（ c ），A正确；对于B，因为 c ＜ d ＜ e ，所以 f （ e ）＜ f （ d ）＜ f
（ c ），B正确；对于C，由单调性知 f （ c ）为极大值，当 x ＞ e
时，可能存在 f （ x0）＞ f （ c ），C错误；对于D，由单调性知 f
（ e ）＜ f （ d ），D错误.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x ln x ，则（ ）
A. f （ x ）的单调递增区间为（e，＋∞）
D. f （ x ）在定义域内无极值
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解析： 因为f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0）.令f'（ x ）＝0，解得 x
＝ .当 x ∈（0， ）时，f'（ x ）＜0；当 x ∈（ ，＋∞）时，f'
（ x ）＞0，所以 f （ x ）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）
上单调递增， x ＝ 是极小值点，所以A错误，B正确.当 x ∈（0，
1]时，根据单调性可知， f （ x ）min＝ f （ ）＝－ ，故C正确.显
然 f （ x ）有极小值 f （ ），故D错误.
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7. 函数 y ＝ 在[0，2]上的最大值是 .
解析：因为 y ＝ ，则y'＝ .当0≤ x ＜1时，y'＞0，此时函数 y
＝ 单调递增，当1＜ x ≤2时，y'＜0，此时函数 y ＝ 单调递减.
所以，当 x ＝1时，函数 y ＝ 取得最大值，即 ymax＝ .
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8. （2024·南京质检）若函数 f （ x ）＝ x3－3 x － a 在区间[0，3]上的
最大值、最小值分别为 m ， n ，则 m － n ＝ .
解析：∵f'（ x ）＝3 x2－3，∴当 x ＞1或 x ＜－1时，f'（ x ）＞0；
当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0.∴ f （ x ）在[0，1]上单调递减，在
[1，3]上单调递增.∴ f （ x ）min＝ f （1）＝1－3－ a ＝－2－ a ＝ n .
又∵ f （0）＝－ a ， f （3）＝18－ a ，∴ f （0）＜ f （3）.∴ f
（ x ）max＝ f （3）＝18－ a ＝ m ，∴ m － n ＝18－ a －（－2－ a ）
＝20.
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9. 设函数 f （ x ）＝ x2e x ，若当 x ∈[－2，2]时，不等式 f （ x ）＞ m
恒成立，则 f （ x ）的最小值是 ，实数 m 的取值范围是
.
解析：f'（ x ）＝ x e x ＋ x2e x ＝ · x （ x ＋2），令f'（ x ）＝0得 x ＝
0或 x ＝－2.当 x ∈[－2，2]时，f'（ x ）， f （ x ）随 x 的变化情况如
下表：
0
（－
∞，0）
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x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（ x ） 0 － 0 ＋
f （ x ） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当 x ＝0时， f （ x ）min＝ f （0）＝0，要使 f （ x ）＞ m 对 x ∈[－
2，2]恒成立，只需 m ＜ f （ x ）min，∴ m ＜0.
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10. 求下列函数的最值：
（1） f （ x ）＝ sin x ＋ cos x ， x ∈［－ ， ］；
解： f'（ x ）＝ cos x － sin x .
令f'（ x ）＝0，即tan x ＝1，
且 x ∈［－ ， ］，所以 x ＝ .
又因为 f （ ）＝ ， f （－ ）＝－1， f （ ）＝1，
所以当 x ∈［－ ， ］时，函数 f （ x ）的最大值为 ，最
小值为－1.
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（2） f （ x ）＝e x （3－ x2）， x ∈[2，5].
解： 因为 f （ x ）＝3e x －e xx2，
所以f'（ x ）＝3e x －（e xx2＋2e xx ）＝－e x （ x2＋2 x －
3）＝－e x （ x ＋3）（ x －1）.
因为在区间[2，5]上，f'（ x ）＝－e x （ x ＋3）（ x －
1）＜0，
即函数 f （ x ）在区间[2，5]上单调递减，
所以在区间[2，5]上，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得最大
值－e2；当 x ＝5时，函数 f （ x ）取得最小值－22e5.
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11. （2024·镇江月考）已知函数 f （ x ）＝ x3－3 x －1，若对任意 x1，
x2∈[－3，2]，都有｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ t ，则实数 t 的最小
值是（ ）
A. 20 B. 18
C. 3 D. 0
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解析： 由f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x －1）（ x ＋1）＝0得 x ＝1或
x ＝－1.又 f （－3）＝－19， f （－1）＝1， f （1）＝－3， f
（2）＝1，所以在区间[－3，2]上， f （ x ）max＝1， f （ x ）min＝
－19，又由题设知在区间[－3，2]上，｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ f
（ x ）max－ f （ x ）min＝20，所以 t ≥20，故实数 t 的最小值是20.
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12. 函数 f （ x ）＝ ax3－6 ax2＋ b 在区间[－1，2]上的最大值为3，最
小值为－29（ a ＞0），则 a ， b 的值为（ ）
A. a ＝2， b ＝－29 B. a ＝3， b ＝2
C. a ＝2， b ＝3 D. 以上都不对
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解析： 函数 f （ x ）的导数f'（ x ）＝3 ax2－12 ax ＝3 ax （ x －
4）.因为 a ＞0，所以由f'（ x ）＜0得0＜ x ＜4，此时函数单调递
减，由f'（ x ）＞0，得 x ＞4或 x ＜0，此时函数单调递增，即函数
在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，即函数在 x ＝0处
取得极大值同时也是最大值，则 f （0）＝ b ＝3，则 f （ x ）＝ ax3
－6 ax2＋3， f （－1）＝－7 a ＋3， f （2）＝－16 a ＋3，则 f （－
1）＞ f （2），即函数的最小值为 f （2）＝－16 a ＋3＝－29，计
算得出 a ＝2， b ＝3.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，若函数在区间（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞
0）内存在最大值，则实数 a 的取值范围为 .
（ ，1）
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解析：由题意知函数 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），且f'
（ x ）＝－ ，当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增；
当 x ＞1时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，即 f （ x ）在区间
（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当 x ＝1
时，函数 f （ x ）取得极大值，即为最大值，因为函数 f （ x ）在区
间（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞0）内存在最大值，所以
解得 ＜ a ＜1.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ k ln x ， k ＜ ，求函数 f （ x ）在
上的最大值和最小值.
解：函数的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋ ＝ .
①若 k ≤0，则在 上恒有f'（ x ）＜0，
所以 f （ x ）在 上单调递减.
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②若0＜ k ＜ ，则f'（ x ）＝ ＝ ，
由 k ＜ ，得 ＞e，则 x － ＜0在 上恒成立，
所以 ＜0在 上恒成立，
所以 f （ x ）在 上单调递减.
综上，当 k ＜ 时， f （ x ）在 上单调递减，
所以 f （ x ）min＝ f （e）＝ ＋ k －1， f （ x ）max＝ f （ ）＝e－ k －1.
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15. （2024·连云港质检）已知函数 f （ x ）＝（ ax －2）e x 在 x ＝1处取
得极值.
（1）求 a 的值；
解： f'（ x ）＝ a e x ＋（ ax －2）e x ＝（ ax ＋ a －2）e x .
由已知得f'（1）＝0，即（2 a －2）e＝0，解得 a ＝1.
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（2）求函数 f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上的最小值.
解： 由（1）得 f （ x ）＝（ x －2）e x ，
则f'（ x ）＝e x ＋（ x －2）e x ＝（ x －1）e x .
令f'（ x ）＝0，得 x ＝1，
当 x ∈（－∞，1）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减；
当 x ∈（1，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.
①当 m ≥1时， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上单调递增， f
（ x ）min＝ f （ m ）＝（ m －2）e m ；
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②当0＜ m ＜1时， m ＜1＜ m ＋1， f （ x ）在区间[ m ，1]上
单调递减，在[1， m ＋1]上单调递增， f （ x ）min＝ f （1）
＝－e；
③当 m ≤0时， m ＋1≤1， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上单调
递减， f （ x ）min＝ f （ m ＋1）＝（ m －1）e m＋1.
综上， f （ x ）在区间[ m ， m ＋1]上的最小值 f （ x ）min＝
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