第2课时 函数单调性的应用
题型一 含参函数的单调性
【例1】 （链接教科书第214页练习2题）讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.
通性通法
讨论含参函数的单调性的关键点
（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结；
（2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0.
【跟踪训练】
设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是 .
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“单调递减”，则k的取值范围为 .
2.（变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，则k的取值范围为 .
通性通法
由函数的单调性求参数的技巧
（1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：
①转化为单调函数求参数，再求其补集；
②转化为函数的导函数有变号零点，再求参数.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）已知函数f（x）＝在（－2，＋∞）内单调递减，则实数a的取值范围为 .
题型三 函数单调性的应用
【例3】 （1）已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（ ）
A.x＞y B.x＝y
C.x＜y D.x，y的大小不确定
（2）已知函数f（x）＝x－sin x，则不等式f（x＋1）＋f（2－2x）＞0的解集是 .
通性通法
比较大小及求函数不等式解集的一般思路
（1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小；
（2）对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝ln x－，则（ ）
A.f（e）＞f（π） B.f（e）＜f（π）
C.f（e）＝f（π） D.无法确定
2.（2024·镇江月考）如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为 .
1.（2024·苏州月考）设函数f（x）＝2x＋sin x，则（ ）
A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2）
C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确
2.若函数f（x）＝ax3－1在R上是减函数，则（ ）
A.a＝1 B.a＝2
C.a≤0 D.a＜0
3.已知函数f（x）＝，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是 .
4.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0）.求函数f（x）的单调区间.
第2课时 最值在实际生活中的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为V（x），则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V（x）＝（a－2x）2x，0＜x＜.
即V（x）＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜.
V'（x）＝12x2－8ax＋a2.
令V'（x）＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.
解得x1＝a，x2＝a（舍去）.
当0＜x＜x1时，V'（x）＞0；
当x1＜x＜时，V'（x）＜0.
因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V（x）的最大值点.
即当截下的小正方形边长为a时，容积最大.
跟踪训练
解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝，又圆柱的体积V（r）＝πr2h＝（S－2πr2）＝，V'（r）＝，令V'（r）＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V'（r）只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大.又r＝，∴h＝2＝.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
【例2】 解：（1）设需新建n个桥墩，则（n＋1）x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f（x）＝256n＋（n＋1）（2＋）x
＝256＋（2＋）x
＝＋m＋2m－256.
（2）由（1）知，f'（x）＝－＋m＝（－512）.
令f'（x）＝0，得＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f'（x）＜0，f（x）在区间（0，64）内单调递减；
当64＜x＜640时，f'（x）＞0，f（x）在区间（64，640）内单调递增，
所以f（x）在x＝64处取得极小值且为最小值.
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
跟踪训练
解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k（k＞0），则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·＝，
∴y'＝
＝.
令y'＝0，解得v＝0（舍去）或v＝16.
若v0≥16，当v∈（8，16）时，y'＜0，函数单调递减；当v∈（16，v0]时，y'＞0，函数单调递增.
故v＝16（千米/时）时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.
若v0＜16，当v∈（8，v0]时，y'＜0，y在（8，v0]上单调递减.
故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.
综上可得，若v0≥16，则当v＝16（千米/时）时，全程燃料费最省；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省.
【例3】 解：（1）因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y＝＋10（x－6）2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）＝（x－3）＝2＋10（x－3）·（x－6）2，3＜x＜6.
从而f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]＝30（x－4）（x－6）.
令f'（x）＝0，解得x＝4或x＝6（舍去）.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （3，4） 4 （4，6）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
跟踪训练
解：（1）由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x（1－p）.
因为次品率p＝，当每天生产x件时，
有x·件次品，有x件正品.
所以T＝200x－100x·
＝25·（x∈N*）.
（2）T'＝－25·，
由T'＝0得x＝16或x＝－32（舍去）.
当0＜x≤16时，T'≥0；当x≥16时，T'≤0；
所以当x＝16时，T取极大值且为最大值.
即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利.
随堂检测
1.C 瞬时变化率即为f'（x）＝x2－2x为二次函数，且f'（x）＝（x－1）2－1，又x∈[0，5]，故x＝1时，f'（x）min＝－1.
2.B 设圆锥的高为h cm，0＜h＜20，∴V圆锥＝π（202－h2）×h＝π（400－h2）h，∴V'＝π（400－3h2），令V'＝0得h＝，当h∈时，V'＞0，当h∈时，V'＜0，故当h＝时，体积最大.
3.解：（1）由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，再由C（0）＝8，得k＝40，
因此C（x）＝.
而建造费用为C1（x）＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x
＝＋6x（0≤x≤10）.
（2）f'（x）＝6－，
令f'（x）＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－（舍去）.
当0＜x＜5时，f'（x）＜0，当5＜x＜10时，f'（x）＞0，
故x＝5是f（x）的极小值点同时为最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70.
故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
2 / 2(共60张PPT)
第2课时
最值在实际生活中的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 几何问题中的最值
【例1】 （链接教科书第219页例8）有一块边长为 a 的正方形铁板，
现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的
无盖容器.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为 x ，容器容积为 V （ x ），则做成的长方
体形无盖容器底面边长为 a －2 x ，高为 x ，
V （ x ）＝（ a －2 x ）2 x ，0＜ x ＜ .
即 V （ x ）＝4 x3－4 ax2＋ a2 x ，0＜ x ＜ .
V'（ x ）＝12 x2－8 ax ＋ a2.
令V'（ x ）＝0，得12 x2－8 ax ＋ a2＝0.
解得 x1＝ a ， x2＝ a （舍去）.
当0＜ x ＜ x1时，V'（ x ）＞0；
当 x1＜ x ＜ 时，V'（ x ）＜0.
因此 x1是极大值点，且在区间 内， x1是唯一的极值点，所以 x
＝ a 是 V （ x ）的最大值点.
即当截下的小正方形边长为 a 时，容积最大.
通性通法
几何中的最值的求解思路
面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问
题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函
数，再按函数求最值的方法求解，最后注意检验.
【跟踪训练】
已知圆柱的表面积为定值 S ，当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 的值
为 .
解析：设圆柱的底面半径为 r ，则 S圆柱底＝2π r2， S圆柱侧＝2π rh ，∴圆
柱的表面积 S ＝2π r2＋2π rh .∴ h ＝ ，又圆柱的体积 V （ r ）＝π
r2 h ＝ （ S －2π r2）＝ ，V'（ r ）＝ ，令V'（ r ）＝0得 S
＝6π r2，∴ h ＝2 r ，∵V'（ r ）只有一个极值点，故当 h ＝2 r 时圆柱的
容积最大.又 r ＝ ，∴ h ＝2 ＝ .即当圆柱的容积 V 最大
时，圆柱的高 h 为 .
题型二 用料（费用）最少问题
【例2】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余
下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程
费用为256万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋
） x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其
他因素，记余下工程的费用为 y 万元.
（1）试写出 y 关于 x 的函数关系式；
解： 设需新建 n 个桥墩，则（ n ＋1） x ＝ m ，
即 n ＝ －1.
所以 y ＝ f （ x ）＝256 n ＋（ n ＋1）（2＋ ） x
＝256 ＋ （2＋ ） x
＝ ＋ m ＋2 m －256.
（2）当 m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
解： 由（1）知，f'（ x ）＝－ ＋ m ＝
（ －512）.
令f'（ x ）＝0，得 ＝512，所以 x ＝64.
当0＜ x ＜64时，f'（ x ）＜0， f （ x ）在区间（0，64）内单
调递减；
当64＜ x ＜640时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在区间（64，640）
内单调递增，
所以 f （ x ）在 x ＝64处取得极小值且为最小值.
此时 n ＝ －1＝ －1＝9.
故需新建9个桥墩才能使 y 最小.
通性通法
实际生活中用料最省、费用最少、损耗最小、最节省时间等问题
一般都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'（ x ）＝0求出极值
点（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）后，函数在该点附近满
足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.
【跟踪训练】
已知 A ， B 两地相距200千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水速为
8千米/时，船在静水中的航行速度为 v 千米/时（8＜ v ≤ v0）.若船每小
时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当 v ＝
12（千米/时）时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃
料费最省，船在静水中的航行速度 v 应为多少？
解：设船每小时航行所需的燃料费为 y1元，比例系数为 k （ k ＞0），
则 y1＝ kv2.
∵当 v ＝12时， y1＝720，∴720＝ k ·122，得 k ＝5.
设全程燃料费为 y 元，由题意，得 y ＝ y1· ＝ ，
∴y'＝ ＝ .
令y'＝0，解得 v ＝0（舍去）或 v ＝16.
若 v0≥16，当 v ∈（8，16）时，y'＜0，函数单调递减；当 v ∈（16，
v0]时，y'＞0，函数单调递增.
故 v ＝16（千米/时）时， y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料
费最省.
若 v0＜16，当 v ∈（8， v0]时，y'＜0， y 在（8， v0]上单调递减.
故当 v ＝ v0时， y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.
综上可得，若 v0≥16，则当 v ＝16（千米/时）时，全程燃料费最省；
若 v0＜16，则当 v ＝ v0时，全程燃料费最省.
题型三 利润最大问题
【例3】 （链接教科书第220页例10）某商场销售某种商品的经验表
明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）与销售价格 x （单位：元/
千克）满足关系式 y ＝ ＋10（ x －6）2.其中3＜ x ＜6， a 为常数.已
知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求 a 的值；
解： 因为 x ＝5时， y ＝11，
所以 ＋10＝11， a ＝2.
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每
日销售该商品所获得的利润最大.
解： 由（1）可知，该商品每日的销售量 y ＝ ＋10（ x －6）2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润 f （ x ）＝（ x －3）
＝2＋10（ x －3）·（ x －6）2，3＜ x ＜6.
从而f'（ x ）＝10[（ x －6）2＋2（ x －3）（ x －6）]
＝30（ x －4）（ x －6）.
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝4或 x ＝6（舍去）.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x （3，4） 4 （4，6）
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得， x ＝4是函数 f （ x ）在区间（3，6）内的极大值
点，也是最大值点.
所以当 x ＝4时，函数 f （ x ）取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润
最大.
通性通法
1. 经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或
单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研
究、指导生产活动.
2. 关于利润问题常用的两个等量关系
（1）利润＝收入－成本；
（2）利润＝每件产品的利润×销售件数.
【跟踪训练】
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果
生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品
率 p 与日产量 x 的函数关系是： p ＝ （ x ∈N*）.
（1）写出该厂的日盈利额 T （元）用日产量 x （件）表示的函数
关系式；
解： 由题意可知次品率 p ＝日产次品数/日产量，每天生产
x 件，次品数为 xp ，正品数为 x （1－ p ）.
因为次品率 p ＝ ，当每天生产 x 件时，
有 x · 件次品，有 x 件正品.
所以 T ＝200 x －100 x ·
＝25· （ x ∈N*）.
（2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解： T'＝－25· ，
由T'＝0得 x ＝16或 x ＝－32（舍去）.
当0＜ x ≤16时，T'≥0；当 x ≥16时，T'≤0；
所以当 x ＝16时， T 取极大值且为最大值.
即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利.
1. 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果
第 x 小时时，原油温度（单位：℃）为 f （ x ）＝ x3－ x2＋8（0≤ x
≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ）
A. 8
C. －1 D. －8
解析： 瞬时变化率即为f'（ x ）＝ x2－2 x 为二次函数，且f'（ x ）
＝（ x －1）2－1，又 x ∈[0，5]，故 x ＝1时，f'（ x ）min＝－1.
2. （2024·南通月考）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使
其体积最大，则高应为（ ）
解析： 设圆锥的高为 h cm，0＜ h ＜20，∴ V圆锥＝ π（202－
h2）× h ＝ π（400－ h2） h ，∴V'＝ π（400－3 h2），令V'＝0得 h
＝ ，当 h ∈ 时，V'＞0，当 h ∈ 时，V'＜
0，故当 h ＝ 时，体积最大.
3. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需
要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚
的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C （单
位：万元）与隔热层厚度 x （单位：cm）满足关系： C （ x ）＝
（0≤ x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，
设 f （ x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f （ x ）的表达式；
解： 由题设，每年能源消耗费用为 C （ x ）＝ ，再
由 C （0）＝8，得 k ＝40，
因此 C （ x ）＝ .
而建造费用为 C1（ x ）＝6 x .
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f （ x ）
＝20 C （ x ）＋ C1（ x ）＝20× ＋6 x
＝ ＋6 x （0≤ x ≤10）.
（2）隔热层修建多厚时，总费用 f （ x ）达到最小，并求最小值.
解： f'（ x ）＝6－ ，
令f'（ x ）＝0，即 ＝6，
解得 x ＝5或 x ＝－ （舍去）.
当0＜ x ＜5时，f'（ x ）＜0，当5＜ x ＜10时，f'（ x ）＞0，
故 x ＝5是 f （ x ）的极小值点同时为最小值点，对应的最小值
为 f （5）＝6×5＋ ＝70.
故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万
件）的函数关系式为 y ＝－ x3＋81 x －234，则使该生产厂家获得
最大年利润的年产量为（ ）
A. 13万件 B. 11万件
C. 9万件 D. 7万件
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解析： y'＝－ x2＋81，令y'＝0，解得 x ＝9或 x ＝－9（舍去），
当0＜ x ＜9时，y'＞0；当 x ＞9时，y'＜0.所以当 x ＝9时， y 取得极
大值同时为最大值.
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2. 方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（ ）
A. 4 B. 6
C. 4.5 D. 8
解析： 设底面边长为 x ，高为 h ，则 V （ x ）＝ x2· h ＝256，∴ h
＝ ，∴ S （ x ）＝ x2＋4 xh ＝ x2＋4 x · ＝ x2＋ ，∴S'
（ x ）＝2 x － .令S'（ x ）＝0，解得 x ＝8，当0＜ x ＜8时，S'
（ x ）＜0， S （ x ）单调递减，当 x ＞8时，S'（ x ）＞0， S （ x ）
单调递增，∴当 x ＝8时，最省材料，此时 h ＝ ＝4.
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3. 某超市中秋节前30天，月饼销售总量 f （ t ）与时间 t （0＜ t ≤30， t
∈Z）的关系大致满足 f （ t ）＝ t2＋10 t ＋12，则该超市前 t 天平均
售出（如前10天平均售出为 ）的月饼最少为（ ）
A. 14个 B. 15个
C. 16个 D. 17个
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解析： 记 g （ t ）＝ ＝ t ＋ ＋10（0＜ t ≤30， t ∈Z），
令 h （ t ）＝ t ＋ ＋10（0＜ t ≤30），则 g （ t ）的图象为 h （ t ）
图象上横坐标为整数的点.令h'（ t ）＝1－ ＝0，得 t ＝2 （负
值舍去），则 h （ t ）在区间（0，2 ）上单调递减，在区间（2
，30]上单调递增，而 g （ t ）中 t ∈Z，且 g （3）＝ g （4）＝
17，所以 g （ t ）min＝17.故选D.
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4. （2024·无锡月考）某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，
存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k （ k ＞0）.已知贷
款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存
款利率为 x ， x ∈（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则 x 的
取值为（ ）
A. 0.016 2 B. 0.032 4
C. 0.024 3 D. 0.048 6
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解析： 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得
的贷款利息是0.048 6 kx2，其中 x ∈（0，0.048 6）.所以银行的收
益是 y ＝0.048 6 kx2－ kx3（0＜ x ＜0.048 6），则y'＝0.097 2 kx －3
kx2.令y'＝0，得 x ＝0.032 4或 x ＝0（舍去）.当0＜ x ＜0.032 4时，
y'＞0；当0.032 4＜ x ＜0.048 6时，y'＜0.所以当 x ＝0.032 4时， y
取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.
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5. 某厂生产某种商品 x 件的总成本 c （ x ）＝1 200＋ x3（单位：万
元），已知产品单价的平方与产品件数 x 成反比，生产100件这样
的产品单价为50万元，则产量定为 件时，总利润最大.
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解析：设产品的单价为 p 万元，根据已知，可设 p2＝ ，其中 k 为比
例系数.因为当 x ＝100时， p ＝50，所以 k ＝250 000.所以 p2＝
， p ＝ ， x ＞0.设总利润为 y 万元， y ＝ · x －1 200－
x3＝500 － x3－1 200.则y'＝ － x2.令y'＝0，得 x ＝25，当
0＜ x ＜25时，y'＞0，当 x ＞25时，y'＜0，故当 x ＝25时，函数 y 取
得极大值也是最大值.
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6. 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成
反比，而每月库存货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比.如
果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为2万元
和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车
站 千米处.
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解析：依题意可设每月土地占用费 y1＝ ，每月库存货物的运费 y2
＝ k2 x ，其中 x 是仓库到车站的距离.于是，由2＝ ，得 k1＝20；
由8＝10 k2，得 k2＝ .因此两项费用之和为 y ＝ ＋ .y'＝－ ＋
.令y'＝－ ＋ ＝0，得 x ＝5（ x ＝－5舍去），且当 x ＞5时，y'
＞0；当0＜ x ＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项
费用之和最小.
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解析：设 CD ＝ x ，则点 C 坐标为 ，点 B 坐标为
，∴矩形 ABCD 的面积 S ＝ f （ x ）＝ x · ＝－ ＋ x ， x
∈（0，2）.由f'（ x ）＝－ x2＋1＝0，得 x ＝－ （舍）或 x ＝
，∴ x ∈ 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增， x ∈
时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，当 x ＝ 时， f （ x ）
取极大值且为最大值 .
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8. 如图所示，四边形 ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴
影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
A ， B ， C ， D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱
形状的包装盒.点 E ， F 在边 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角
形的斜边的两个端点.设 AE ＝ FB ＝ x （cm）.某厂商要求包装盒的
容积 V （cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底
面边长的比值.
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解：∵ V （ x ）＝（ x ）2×（60－2 x ）×
＝ x2×（60－2 x ）＝－2 x3＋60 x2（0＜ x ＜30）.
∴V'（ x ）＝－6 x2＋120 x ＝－6 x ·（ x －20）.
令V'（ x ）＝0，得 x ＝0（舍去）或 x ＝20.
∵当0＜ x ＜20时，V'（ x ）＞0；
当20＜ x ＜30时，V'（ x ）＜0.
∴ V （ x ）在 x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
此时底面边长为 x ＝20 （cm），高为 （30－ x ）＝10
（cm），即高与底面边长的比值为 .
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9. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为
p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系： Q ＝8
300－170 p － p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支
出）（ ）
A. 30 元 B. 60 元
C. 28 000 元 D. 23 000 元
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解析： 设毛利润为 L （ p ），由题意知 L （ p ）＝ pQ －20 Q ＝ Q
（ p －20）＝（8 300－170 p － p2）（ p －20）＝－ p3－150 p2＋11
700 p －166 000，所以L'（ p ）＝－3 p2－300 p ＋11 700.令L'（ p ）
＝0，解得 p ＝30或 p ＝－130（舍去）.此时， L （30）＝23 000.因
为在 p ＝30附近的左侧L'（ p ）＞0，右侧L'（ p ）＜0，所以 L
（30）是极大值，根据实际问题的意义知， L （30）是最大值，即
零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元.
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解析：设 OO1为 x （1＜ x ＜4）m，底面正六边形的面积为 S m2，
帐篷的体积为 V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝ （m），于是底面正六边形的面
积为 S ＝6× （ ）2＝ （8＋2 x － x2）.帐篷的体
积为 V ＝ × （8＋2 x － x2）（ x －1）＋ （8＋2 x － x2）＝
（8＋2 x － x2） ＝ （16＋12 x － x3），V'＝
（12－3 x2）.令V'＝0，解得 x ＝2或 x ＝－2（不合题意，舍去）.
当1＜ x ＜2时，V'＞0；当2＜ x ＜4时，V'＜0.所以当 x ＝2时， V 取
得极大值且为最大值，此时 V ＝ ×（16＋12×2－23）＝16
（m3）.
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11. 某网球中心用128万元在总面积为10 000平方米的土地上购买土地
建设连成片的网球场数块，该中心每块球场的建设面积为1 000 平
方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有
关，当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建设费用（单位：
元）可近似地用 f （ x ）＝800 来表示.为了使该球场每
平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之
和），该网球中心应建几个球场？
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解：由题可知1≤ x ≤10，且 x ∈N*，球场总建筑面积的每平方米
的购地费用为 ＝ 元.因为每平方米的平均建设费用
（单位：元）可近似地用 f （ x ）＝800 来表示，所以
每平方米的综合费用（单位：元）为 g （ x ）＝ f （ x ）＋ ＝
800＋160ln x ＋ （1≤ x ≤10，且 x ∈N*）.
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令 h （ x ）＝800＋160ln x ＋ （1≤ x ≤10），则 g （ x ）的图
象为 h （ x ）图象上横坐标为整数的点，所以h'（ x ）＝
（1≤ x ≤10）.
令h'（ x ）＝0，则 x ＝8，当1≤ x ＜8时，h'（ x ）＜0，当8＜ x
≤10时，h'（ x ）＞0，
所以当 x ＝8时，函数 h （ x ）取得极小值，且为最小值，即 g
（ x ）取得最小值.
故当该网球中心建8个球场时，每平方米的综合费用最省.
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12. （2024·南京质检）工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x （万
件）间的关系为 p ＝（ c 为常数，且0＜ c ＜
6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额 y （万元）表示为日产量 x （万件）的函数；
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解： 当 x ＞ c 时， p ＝ ， y ＝ · x ·3－ · x · ＝0；
当0＜ x ≤ c 时， p ＝ ，
∴ y ＝ · x ·3－ · x · ＝ .
∴日盈利额 y （万元）与日产量 x （万件）的函数关系为 y ＝
（ c 为常数，且0＜ c ＜6）.
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（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝
×100%）
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解： 由（1）知，当 x ＞ c 时，日盈利额为0.
当0＜ x ≤ c 时，∵ y ＝ ，
∴y'＝ · ＝ ，
令y'＝0，得 x ＝3或 x ＝9（舍去），
∴①当0＜ c ＜3时，y'＞0，∴ y 在区间（0， c ]上单调递
增，∴当 x ＝ c 时， y最大值＝ .
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②当3≤ c ＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3， c ）上，y'
＜0，∴ y 在（0，3）上单调递增，在（3， c ）上单调递减.
∴当 x ＝3时， y最大值＝ .
综上，若0＜ c ＜3，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最
大；若3≤ c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
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谢 谢 观 看！第2课时 最值在实际生活中的应用
1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（ ）
A.4 B.6
C.4.5 D.8
3.某超市中秋节前30天，月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30，t∈Z）的关系大致满足f（t）＝t2＋10t＋12，则该超市前t天平均售出（如前10天平均售出为）的月饼最少为（ ）
A.14个 B.15个
C.16个 D.17个
4.（2024·无锡月考）某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0）.已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则x的取值为（ ）
A.0.016 2 B.0.032 4
C.0.024 3 D.0.048 6
5.某厂生产某种商品x件的总成本c（x）＝1 200＋x3（单位：万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为 件时，总利润最大.
6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处.
7.（2024·徐州月考）如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 .
8.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）.某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
9.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（ ）
A.30 元 B.60 元
C.28 000 元 D.23 000 元
10.（2024·镇江质检）一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 m时，帐篷的体积取得最大值为 m3.
11.某网球中心用128万元在总面积为10 000平方米的土地上购买土地建设连成片的网球场数块，该中心每块球场的建设面积为1 000 平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用f（x）＝800 来表示.为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该网球中心应建几个球场？
12.（2024·南京质检）工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%）
第2课时 最值在实际生活中的应用
1.C y'＝－x2＋81，令y'＝0，解得x＝9或x＝－9（舍去），当0＜x＜9时，y'＞0；当x＞9时，y'＜0.所以当x＝9时，y取得极大值同时为最大值.
2.A 设底面边长为x，高为h，则V（x）＝x2·h＝256，∴h＝，∴S（x）＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，∴S'（x）＝2x－.令S'（x）＝0，解得x＝8，当0＜x＜8时，S'（x）＜0，S（x）单调递减，当x＞8时，S'（x）＞0，S（x）单调递增，∴当x＝8时，最省材料，此时h＝＝4.
3.D 记g（t）＝＝t＋＋10（0＜t≤30，t∈Z），令h（t）＝t＋＋10（0＜t≤30），则g（t）的图象为h（t）图象上横坐标为整数的点.令h'（t）＝1－＝0，得t＝2（负值舍去），则h（t）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，30]上单调递增，而g（t）中t∈Z，且g（3）＝g（4）＝17，所以g（t）min＝17.故选D.
4.B 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈（0，0.048 6）.所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0＜x＜0.048 6），则y'＝0.097 2kx－3kx2.令y'＝0，得x＝0.032 4或x＝0（舍去）.当0＜x＜0.032 4时，y'＞0；当0.032 4＜x＜0.048 6时，y'＜0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.
5.25 解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数.因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000.所以p2＝，p＝，x＞0.设总利润为y万元，y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 200.则y'＝－x2.令y'＝0，得x＝25，当0＜x＜25时，y'＞0，当x＞25时，y'＜0，故当x＝25时，函数y取得极大值也是最大值.
6.5 解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离.于是，由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋.y'＝－＋.令y'＝－＋＝0，得x＝5（x＝－5舍去），且当x＞5时，y'＞0；当0＜x＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.
7. 解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f（x）＝x·＝－＋x，x∈（0，2）.由f'（x）＝－x2＋1＝0，得x＝－（舍）或x＝，∴x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝时，f（x）取极大值且为最大值.
8.解：∵V（x）＝（x）2×（60－2x）×
＝x2×（60－2x）＝－2x3＋60x2（0＜x＜30）.
∴V'（x）＝－6x2＋120x＝－6x·（x－20）.
令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.
∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0；
当20＜x＜30时，V'（x）＜0.
∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
此时底面边长为x＝20（cm），高为（30－x）＝10（cm），
即高与底面边长的比值为.
9.D 设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L'（p）＞0，右侧L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元.
10.2 16 解析：设OO1为x（1＜x＜4）m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝（m），于是底面正六边形的面积为S＝6×（）2＝（8＋2x－x2）.帐篷的体积为V＝×（8＋2x－x2）（x－1）＋（8＋2x－x2）＝（8＋2x－x2）·＝（16＋12x－x3），V'＝（12－3x2）.令V'＝0，解得x＝2或x＝－2（不合题意，舍去）.当1＜x＜2时，V'＞0；当2＜x＜4时，V'＜0.所以当x＝2时，V取得极大值且为最大值，此时V＝×（16＋12×2－23）＝16（m3）.
11.解：由题可知1≤x≤10，且x∈N*，球场总建筑面积的每平方米的购地费用为＝元.因为每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用f（x）＝800来表示，所以每平方米的综合费用（单位：元）为g（x）＝f（x）＋＝800＋160ln x＋（1≤x≤10，且x∈N*）.
令h（x）＝800＋160ln x＋（1≤x≤10），则g（x）的图象为h（x）图象上横坐标为整数的点，所以h'（x）＝（1≤x≤10）.
令h'（x）＝0，则x＝8，当1≤x＜8时，h'（x）＜0，当8＜x≤10时，h'（x）＞0，
所以当x＝8时，函数h（x）取得极小值，且为最小值，即g（x）取得最小值.
故当该网球中心建8个球场时，每平方米的综合费用最省.
12.解：（1）当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；
当0＜x≤c时，p＝，
∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为y＝（c为常数，且0＜c＜6）.
（2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0.
当0＜x≤c时，∵y＝，
∴y'＝·＝，
令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去），
∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴当x＝c时，y最大值＝.
②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0，∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减.
∴当x＝3时，y最大值＝.
综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
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