章末检测（五） 导数及其应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（ ）
A. B.1 C.2 D.
2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x，则f'（e）＝（ ）
A.e－1 B.－1 C.－e－1 D.－e
3.曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A.（1－e）x－y＋1＝0 B.（1－e）x－y－1＝0
C.（e－1）x－y＋1＝0 D.（e－1）x－y－1＝0
4.函数f（x）＝x2－ln x的单调递减区间是（ ）
A. B.
C.， D.，
5.函数f（x）＝3x－4x3（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A.1 B. C.0 D.－1
6.函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则a＝（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（ ）
A.（0，1） B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
8.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是（ ）
A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）及其导函数f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝e－x C.f（x）＝ln x D.f（x）＝
10.设三次函数f（x）的导函数为f'（x），函数y＝xf'（x）的图象的一部分如图所示，则（ ）
A.函数f（x）有极大值f（3） B.函数f（x）有极小值f（－）
C.函数f（x）有极大值f（） D.函数f（x）有极小值f（－3）
11.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x），对任意的x∈R恒成立，则（ ）
A.f（ln 2）＜2f（0） B.f（2）＜e2f（0）
C.f（ln 2）＞2f（0） D.f（2）＞e2f（0）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若质子的运动方程为s＝tsin t，其中s的单位为m，t的单位为s，则质子在t＝2 s时的瞬时速度为 m/s.
13.如图，从10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去4个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为 .
14.如果存在函数g（x）＝ax＋b（a，b为常数），使得对函数f（x）定义域内任意的x都有f（x）≤g（x）成立，那么g（x）为函数f（x）的一个“线性覆盖函数”.已知f（x）＝－2xln x－x2，g（x）＝－ax＋3，若g（x）为函数f（x）在区间（0，＋∞）上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x＋aln x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a＝1，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求实数a的值，使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x＋－1.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：＋＋…＋＜ln 2（n∈N*）.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若过点M（1，m）的直线与曲线y＝f（x）相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.如图所示的光滑曲线C：y＝f（x）上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义＝｜｜为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K＝｜｜＝（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（其中y'，y″分别表示y＝f（x）在点A处的一阶、二阶导数）.
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆＋y2＝1在（，）处的曲率；
（3）定义φ（y）＝为曲线y＝f（x）的“柯西曲率”.求曲线f（x）＝xln x－2x在点P（e，－e）处的柯西曲率.
章末检测（五） 导数及其应用
1.B 函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于＝＝2，由f（x）＝x2，得f'（x）＝2x，所以f'（m）＝2m，因为函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，所以2＝2m，解得m＝1.故选B.
2.C 求导得f'（x）＝2f'（e）＋，把x＝e代入得f'（e）＝e－1＋2f'（e），解得f'（e）＝－e－1，故选C.
3.C 由于y'＝e－，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0.
4.A ∵f'（x）＝2x－＝，当0＜x≤时，f'（x）≤0，故f（x）的单调递减区间为.
5.A f'（x）＝3－12x2，令f'（x）＝0，则x＝－（舍去）或x＝，f（0）＝0，f（1）＝－1，f＝－＝1，∴f（x）在[0，1]上的最大值为1.
6.D f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5.
7.C 设g（x）＝f（x）－x，因为f（1）＝1，f'（x）＞1，所以g（1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，＋∞）.故选C.
8.A 构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＞0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），即＜＜，故a＜c＜b.故选A.
9.ACD A.f'（x）＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值点”；B.f'（x）＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；C.f'（x）＝，方程ln x＝有解，有“巧值点”；D.f'（x）＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”.
10.AD 当x＜－3时，y＝xf'（x）＞0，即f'（x）＜0；当－3＜x＜3时，f'（x）≥0；当x＞3时，f'（x）＜0.∴f（x）的极大值是f（3），f（x）的极小值是f（－3）.
11.AB 令g（x）＝，则g'（x）＝＜0，故g（x）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，所以f（ln 2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）.
12.sin 2＋2cos 2 解析：∵s＝tsin t，∴s'＝（tsin t）'＝sin t＋tcos t，因此，质子在t＝2 s时的瞬时速度为（sin 2＋2cos 2）m/s.
13.144 cm3 解析：设小正方形的边长为x，如图所示，则盒子的容积为V＝（10－2x）（16－2x）x＝4（x3－13x2＋40x），定义域为（0，5）.由于V'＝4（3x2－26x＋40），令V'＝0，即3x2－26x＋40＝0，解得x＝或x＝2.由于0＜x＜5，所以x＝2，在区间（0，5）上列表如下：
x （0，2） 2 （2，5）
V' ＋ 0 －
V 单调递增 极大值 单调递减
由上表可知，当x＝2时，盒子容积最大，且最大值为144 cm3.
14.（－∞，4] 解析：由题意可知f（x）≤g（x）对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，即－2xln x－x2≤－ax＋3对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，从而得a≤2ln x＋x＋对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，设h（x）＝2ln x＋x＋，x∈（0，＋∞），则h'（x）＝＋1－＝＝，x∈（0，＋∞），易知h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝4，所以a≤4.
15.解：（1）若a＝－1，则f（x）＝x－ln x，
f'（x）＝1－＝（x＞0），
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以函数f（x）的极小值为f（1）＝1，无极大值.
（2）若a＝1，则f（x）＝x＋ln x，
f'（x）＝1＋＝＞0（x∈[1，e]），
所以函数f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）max＝f（e）＝e＋1，f（x）min＝f（1）＝1.
16.解：（1）∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
∴f'（x）＝－2x＋a＝－，
由于a＞0，∴f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，＋∞）.
（2）由（1）知f（x）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
17.解：（1）函数f（x）＝ln x＋－1的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝－＝，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝0，无极大值.
（2）证明：由（1）知，f（x）≥0，即ln x＋－1≥0，ln x≥1－＝，
因此ln（x＋1）≥，当且仅当x＝0时取等号，
令x＝（n∈N*），ln（＋1）＞，则ln＞，ln（n＋1）－ln n＞，
ln（2n）－ln n＝ln（n＋1）－ln n＋ln（n＋2）－ln（n＋1）＋ln（n＋3）－ln（n＋2）＋…＋ln（2n）－ln（2n－1）＞＋＋＋…＋，而ln（2n）－ln n＝ln 2，
所以＋＋＋…＋＜ln 2.
18.解：（1）由题意得，f'（x）＝3ax2＋b.∵函数f（x）＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－，
∴即解得
经检验满足条件，则函数f（x）的解析式为f（x）＝2x3－3x.
（2）设切点坐标为（x0，2－3x0），则曲线y＝f（x）的切线的斜率k＝f'（x0）＝6－3，
切线方程为y－（2－3x0）＝（6－3）（x－x0），
代入点M（1，m），得m＝－4＋6－3，
依题意，方程m＝－4＋6－3有三个不同的实根.
令g（x）＝－4x3＋6x2－3，
则g'（x）＝－12x2＋12x＝－12x（x－1），
∴当x∈（－∞，0）时，g'（x）＜0；
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0.
故g（x）＝－4x3＋6x2－3在（－∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
∴g（x）极小值＝g（0）＝－3，g（x）极大值＝g（1）＝－1.
∴当－3＜m＜－1时，g（x）＝－4x3＋6x2－3的图象与直线y＝m有三个不同的交点，
∴－3＜m＜－1时，存在这样的三条切线.
故实数m的取值范围是（－3，－1）.
19.解：（1）＝｜｜＝＝1.
（2）y＝，y'＝－（1－，y″＝－（1－－（1－，
故y'＝－，y″＝－2，故K＝＝.
（3）f'（x）＝ln x－1，f″（x）＝，故φ（y）＝＝，
所以f（x）＝xln x－2x在点P（e，－e）处的柯西曲率为φ（－e）＝＝.
3 / 3(共40张PPT)
章末检测（五）导数及其应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ x2在区间[0，2]上的平均变化率等于 x ＝ m 时的瞬时
变化率，则 m ＝（ ）
B. 1
C. 2
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解析： 函数 f （ x ）＝ x2在区间[0，2]上的平均变化率等于
＝ ＝2，由 f （ x ）＝ x2，得f'（ x ）＝2 x ，所以f'
（ m ）＝2 m ，因为函数 f （ x ）＝ x2在区间[0，2]上的平均变化率
等于 x ＝ m 时的瞬时变化率，所以2＝2 m ，解得 m ＝1.故选B.
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2. 已知函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且满足 f （ x ）＝2xf'（e）＋
ln x ，则f'（e）＝（ ）
A. e－1 B. －1
C. －e－1 D. －e
解析： 求导得f'（ x ）＝2f'（e）＋ ，把 x ＝e代入得f'（e）＝e
－1＋2f'（e），解得f'（e）＝－e－1，故选C.
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3. 曲线 y ＝e x －ln x 在点（1，e）处的切线方程为（ ）
A. （1－e） x － y ＋1＝0 B. （1－e） x － y －1＝0
C. （e－1） x － y ＋1＝0 D. （e－1） x － y －1＝0
解析： 由于y'＝e－ ，所以y'｜ x＝1＝e－1，故曲线 y ＝e x －ln x
在点（1，e）处的切线方程为 y －e＝（e－1）·（ x －1），即（e－
1） x － y ＋1＝0.
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4. 函数 f （ x ）＝ x2－ln x 的单调递减区间是（ ）
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解析： ∵f'（ x ）＝2 x － ＝ ，当0＜ x ≤ 时，f'（ x ）
≤0，故 f （ x ）的单调递减区间为 .
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5. 函数 f （ x ）＝3 x －4 x3（ x ∈[0，1]）的最大值是（ ）
A. 1
C. 0 D. －1
解析： f'（ x ）＝3－12 x2，令f'（ x ）＝0，则 x ＝－ （舍去）
或 x ＝ ， f （0）＝0， f （1）＝－1， f ＝ － ＝1，∴ f （ x ）
在[0，1]上的最大值为1.
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6. 函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋3 x －9，已知 f （ x ）在 x ＝－3处取得极
值，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2
＋2 a ×（－3）＋3＝0，∴ a ＝5.
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7. 已知 y ＝ f （ x ）是定义在R上的函数，且 f （1）＝1，f'（ x ）＞1，
则 f （ x ）＞ x 的解集是（ ）
A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析： 设 g （ x ）＝ f （ x ）－ x ，因为 f （1）＝1，f'（ x ）＞
1，所以 g （1）＝ f （1）－1＝0，g'（ x ）＝f'（ x ）－1＞0，所以 g
（ x ）在R上是增函数，且 g （1）＝0.所以 f （ x ）＞ x 的解集即是
g （ x ）＞0的解集（1，＋∞）.故选C.
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8. 设 a ＝e， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 大小关系是（ ）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析： 构造函数 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，当 x ＞e
时，f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜
π，∴ f （e）＜ f （3）＜ f （π），即 ＜ ＜ ，故 a ＜ c ＜ b .
故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）及其导函数f'（ x ），若存在 x0，使得 f （ x0）＝f'
（ x0），则称 x0是 f （ x ）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧
值点”的是（ ）
A. f （ x ）＝ x2 B. f （ x ）＝e－ x
C. f （ x ）＝ln x
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解析： A. f'（ x ）＝2 x ，由 x2＝2 x 得 x ＝0或 x ＝2，有“巧
值点”；B. f'（ x ）＝－e－ x ，－e－ x ＝e－ x 无解，无“巧值点”；
C. f'（ x ）＝ ，方程ln x ＝ 有解，有“巧值点”；D. f'（ x ）＝－
，由 ＝－ ，得 x ＝－1，有“巧值点”.
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10. 设三次函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），函数 y ＝xf'（ x ）的图象
的一部分如图所示，则（ ）
A. 函数 f （ x ）有极大值 f （3）
D. 函数 f （ x ）有极小值 f （－3）
解析： 当 x ＜－3时， y ＝xf'（ x ）＞0，即f'（ x ）＜0；当－
3＜ x ＜3时，f'（ x ）＞0；当 x ＞3时，f'（ x ）＜0.∴ f （ x ）的极
大值是 f （3）， f （ x ）的极小值是 f （－3）.
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11. 已知函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且f'（ x ）＜ f （ x ），对任
意的 x ∈R恒成立，则（ ）
A. f （ln 2）＜2 f （0） B. f （2）＜e2 f （0）
C. f （ln 2）＞2 f （0） D. f （2）＞e2 f （0）
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解析： 令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ＜0，
故 g （ x ）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故 g （ln 2）＜ g
（0）， g （2）＜ g （0），即 ＜ ， ＜
，所以 f （ln 2）＜2 f （0）， f （2）＜e2 f （0）.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若质子的运动方程为 s ＝ t sin t ，其中 s 的单位为m， t 的单位为s，
则质子在 t ＝2 s时的瞬时速度为 m/s.
解析：∵ s ＝ t sin t ，∴s'＝（ t sin t ）'＝ sin t ＋ t cos t ，因此，质子
在 t ＝2 s时的瞬时速度为（ sin 2＋2 cos 2）m/s.
sin 2＋2 cos 2
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13. 如图，从10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去4个相同的小正方
形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为 .
144 cm3
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解析：设小正方形的边长为 x ，如图所示，则盒
子的容积为 V ＝（10－2 x ）（16－2 x ） x ＝4（ x3
－13 x2＋40 x ），定义域为（0，5）.由于V'＝4
（3 x2－26 x ＋40），令V'＝0，即3 x2－26 x ＋40＝
0，解得 x ＝ 或 x ＝2.由于0＜ x ＜5，所以 x ＝
2，在区间（0，5）上列表如下：
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由上表可知，当 x ＝2时，盒子容积最大，且最大值为144 cm3.
x （0，2） 2 （2，5）
V' ＋ 0 －
V 单调递增 极大值 单调递减
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14. 如果存在函数 g （ x ）＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数），使得对函数 f
（ x ）定义域内任意的 x 都有 f （ x ）≤ g （ x ）成立，那么 g （ x ）
为函数 f （ x ）的一个“线性覆盖函数”.已知 f （ x ）＝－2 x ln x －
x2， g （ x ）＝－ ax ＋3，若 g （ x ）为函数 f （ x ）在区间（0，＋
∞）上的一个“线性覆盖函数”，则实数 a 的取值范围为
.
（－
∞，4]
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解析：由题意可知 f （ x ）≤ g （ x ）对任意的 x ∈（0，＋∞）恒
成立，即－2 x ln x － x2≤－ ax ＋3对任意的 x ∈（0，＋∞）恒成
立，从而得 a ≤2ln x ＋ x ＋ 对任意的 x ∈（0，＋∞）恒成立，设
h （ x ）＝2ln x ＋ x ＋ ， x ∈（0，＋∞），则h'（ x ）＝ ＋1－
＝ ＝ ， x ∈（0，＋∞），易知 h （ x ）在
（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以 h （ x ）
min＝ h （1）＝4，所以 a ≤4.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x ＋ a ln x .
（1）若 a ＝－1，求函数 f （ x ）的极值，并指出是极大值还是极
小值；
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解： 若 a ＝－1，则 f （ x ）＝ x －ln x ，
f'（ x ）＝1－ ＝ （ x ＞0），
当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0，当 x ＞1时，f'（ x ）＞0，
所以函数 f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上
单调递增，
所以函数 f （ x ）的极小值为 f （1）＝1，无极大值.
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（2）若 a ＝1，求函数 f （ x ）在[1，e]上的最大值和最小值.
解： 若 a ＝1，则 f （ x ）＝ x ＋ln x ，
f'（ x ）＝1＋ ＝ ＞0（ x ∈[1，e]），
所以函数 f （ x ）在[1，e]上单调递增，
所以 f （ x ）max＝ f （e）＝e＋1， f （ x ）min＝ f （1）＝1.
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16. （本小题满分15分）设函数 f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax （ a ＞0）.
（1）求 f （ x ）的单调区间；
解： ∵ f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax ，其中 x ＞0，
∴f'（ x ）＝ －2 x ＋ a ＝－ ，
由于 a ＞0，∴ f （ x ）的增区间为（0， a ），减区间为
（ a ，＋∞）.
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（2）求实数 a 的值，使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立.
解： 由（1）知 f （ x ）在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤ f （ x ）≤e2对 x ∈[1，e]恒成立，
只要解得 a ＝e.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ln x ＋ －1.
（1）求函数 f （ x ）的极值；
解： 函数 f （ x ）＝ln x ＋ －1的定义域为（0，＋
∞），求导得f'（ x ）＝ － ＝ ，
当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0，当 x ＞1时，f'（ x ）＞0，
则函数 f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）
上单调递增，
所以函数 f （ x ）在 x ＝1处取得极小值 f （1）＝0，无极
大值.
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（2）证明： ＋ ＋…＋ ＜ln 2（ n ∈N*）.
解： 证明：由（1）知， f （ x ）≥0，即ln x ＋ －
1≥0，ln x ≥1－ ＝ ，
因此ln（ x ＋1）≥ ，当且仅当 x ＝0时取等号，
令 x ＝ （ n ∈N*），ln（ ＋1）＞ ，则ln ＞ ，ln
（ n ＋1）－ln n ＞ ，
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ln（2 n ）－ln n ＝ln（ n ＋1）－ln n ＋ln（ n ＋2）－ln（ n ＋
1）＋ln（ n ＋3）－ln（ n ＋2）＋…＋ln（2 n ）－ln（2 n －
1）＞ ＋ ＋ ＋…＋ ，而ln（2 n ）－ln n ＝ln 2，
所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＜ln 2.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx 在 x ＝ 处取得
极小值－ .
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
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解： 由题意得，f'（ x ）＝3 ax2＋ b .∵函数 f （ x ）＝
ax3＋ bx 在 x ＝ 处取得极小值－ ，
∴即解得
经检验满足条件，则函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝2 x3－3 x .
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（2）若过点 M （1， m ）的直线与曲线 y ＝ f （ x ）相切且这样的
切线有三条，求实数 m 的取值范围.
解：设切点坐标为（ x0，2 －3 x0），则曲线 y ＝
f （ x ）的切线的斜率 k ＝f'（ x0）＝6 －3，
切线方程为 y －（2 －3 x0）＝（6 －3）（ x －
x0），
代入点 M （1， m ），得 m ＝－4 ＋6 －3，
依题意，方程 m ＝－4 ＋6 －3有三个不同的实根.
令 g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3，
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则g'（ x ）＝－12 x2＋12 x ＝－12 x （ x －1），
∴当 x ∈（－∞，0）时，g'（ x ）＜0；
当 x ∈（0，1）时，g'（ x ）＞0；
当 x ∈（1，＋∞）时，g'（ x ）＜0.
故 g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3在（－∞，0）上单调递减，
在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
∴ g （ x ）极小值＝ g （0）＝－3， g （ x ）极大值＝ g （1）
＝－1.
∴当－3＜ m ＜－1时， g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3的图象
与直线 y ＝ m 有三个不同的交点，
∴－3＜ m ＜－1时，存在这样的三条切线.
故实数 m 的取值范围是（－3，－1）.
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19. （本小题满分17分）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，
为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.下图所示的光滑曲线 C ： y ＝ f
（ x ）上的曲线段 ，其弧长为Δ s ，当动点从 A 沿曲线段 运
动到 B 点时， A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的切线 lB ，记这两条
切线之间的夹角为Δθ（它等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）.
显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹
角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 ＝｜ ｜
为曲线段 的平均曲率；显然当 B 越接近 A ，即Δ s 越小， K 就越
.
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（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
解：（1） ＝｜ ｜＝ ＝1.
能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义 K ＝ ｜
｜＝ （若极限存在）为曲线 C 在点 A 处的曲率（其中
y'， y ″分别表示 y ＝ f （ x ）在点 A 处的一阶、二阶导数）.
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（2）求椭圆 ＋ y2＝1在（ ， ）处的曲率；
解：y ＝ ，y'＝－ （1－ ， y ″＝－ （1－ － （1－ ，
故y' ＝－ ， y ″ ＝－
2，故 K ＝ ＝ .
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（3）定义φ（ y ）＝ 为曲线 y ＝ f （ x ）的“柯西曲
率”.求曲线 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在点 P （e，－e）处的柯西
曲率.
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解：f'（ x ）＝ln x －1， f ″（ x ）＝
，故φ（ y ）＝ ＝ ，
所以 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在点 P （e，－
e）处的柯西曲率为φ（－e）＝
＝ .
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谢 谢 观 看！
