模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线3x＋y－4＝0的斜率和在y轴上的截距分别是（ ）
A.－3，4 B.3，－4 C.－3，－4 D.3，4
2.经过圆x2＋y2－2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0平行的直线方程是（ ）
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋1＝0 C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
3.双曲线－＝1的焦距是（ ）
A.2 B.8 C.4 D.4
4.过点P（－2，4）作圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝25的切线l，直线m： ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为（ ）
A.4 B.2 C. D.
5.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则｜FA－FB｜的值为（ ）
A. B. C. D.
6.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为（ ）
A.1 B.3 C. D.
7.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（ ）
A.78石 B.76石 C.75石 D.74石
8.已知a＝0.9，b＝，c＝1＋ln 0.9，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A.c＞b＞a B.a＞b＞c C.b＞a＞c D.b＞c＞a
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ）
A.d＞0 B.a1＜0
C.当n＝5时Sn最小 D.Sn＞0时n的最小值为8
10.已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A.P点纵坐标为3 B.∠F1PF2＞90°
C.△F1PF2的周长为4（＋1） D.△F1PF2的内切圆半径为（－1）
11.设函数f（x）＝，则下列选项正确的是（ ）
A.f（x）为奇函数 B.f（x）的图象关于点（0，1）对称
C.f（x）的最大值为＋1 D.f（x）的最小值为－＋1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知点C在直线l：x＝－1上，点F（1，0），以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为 .
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
（1）数列{an}的通项公式为an＝ ；
（2）若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180（m∈N*），则m＝ .
14.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线E的一部分，设该双曲线E的方程为－＝1（a＞0，b＞0），右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF＝3FB，点B关于原点O的对称点为点A，若·＝0，则双曲线E的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x3＋6ln x，f'（x）为f（x）的导函数.
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数g（x）＝f（x）－f'（x）＋的单调区间和极值.
17.（本小题满分15分）已知椭圆G：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）.
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△PAB的面积.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤－－2.
19.（本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q；
（2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），求证：｜Sk｜≤.
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1.A 直线3x＋y－4＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为4.
2.A 圆x2＋y2－2x＝0可化为（x－1）2＋y2＝1，其圆心为（1，0）.设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0（C≠0），将（1，0）代入，得C＝－1，∴直线方程为x＋y－1＝0.
3.B 依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
4.A 根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－＝＝，∴切线l的方程为y－4＝（x＋2），即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝＝4.
5.A 直线AB的方程为y＝（x－1），由得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝，所以｜FA－FB｜＝｜x1－x2｜＝，故选A.
6.C 设公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a1q＋a1q2，由等差中项公式得：4S2＝S1＋3S3，代入消掉a1可得3q2－q＝0，解得q＝或q＝0（舍）.故选C.
7.A 有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×（－18）＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石.
8.C 设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，当x＜0时，f'（x）＝ex－1＜0，则f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.又f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＝ex－x－1＞0恒成立.即当x＜0时，ex＞x＋1恒成立.则e－0.1＞－0.1＋1＝0.9，即b＞0.9＝a.设g（x）＝ln x－x＋1（x＞0），则g'（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，即g（x）在区间（0，1）上单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，即g（x）在区间（1，＋∞）上单调递减.所以当0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝ln 1－1＋1＝0恒成立.即当0＜x＜1时，ln x＜x－1恒成立.则ln 0.9＜0.9－1＝－0.1，所以c＝ln 0.9＋1＜－0.1＋1＝0.9＝a.所以c＜a＜b.
9.ABD 设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3（a1＋4d），解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A、B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确.故选A、B、D.
10.CD 由椭圆方程，可知a＝2，b＝2，c＝2.由＝3可得3＝·F1F2·｜yP｜，故｜yP｜＝，故A错误；把｜yP｜＝代入椭圆方程，可求得＝.∴·＝（－2－xP，－yP）·（2－xP，－yP）＝＋－4＝＋－4＞0，故∠F1PF2＜90°，故B错误；△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋4，故C正确；＝·（PF1＋PF2＋F1F2）·R＝3，∴R＝（－1），故D正确.
11.BCD f（x）＝＋1，不满足f（－x）＝－f（x），故A项错误；令g（x）＝，则g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）为奇函数，则f（x）关于点（0，1）对称，B项正确；设f（x）＝＋1的最大值为M，则g（x）的最大值为M－1，设f（x）＝＋1的最小值为N，则g（x）的最小值为N－1，当x＞0时，g（x）＝，所
以g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＜0，所以当0＜x＜1时，g（x）单调递增，当x＞1时，g（x）单调递减，所以g（x）在x＝1处取得最大值，最大值为g（1）＝，由于g（x）为奇函数，所以g（x）在x＝－1处取得最小值，最小值为g（－1）＝－，所以f（x）的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C、D项正确.故选B、C、D.
12.（x＋1）2＋（y－）2＝1 解析：由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以OA＝，所以点C的纵坐标为，所以圆的方程为（x＋1）2＋（y－）2＝1.
13.（1）2n－1 （2）5 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1（n∈N*）.
（2）∵an＝2n－1，∴am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.
14. 解析：如图所示，设双曲线E的左焦点为点F'，连接CF'，AF'，BF'，设BF＝m，则CF＝3m，由双曲线的定义可得BF'＝2a＋m，CF'＝2a＋3m，由于·＝0，则AF⊥BF，又OA＝OB，OF＝OF'，则四边形AFBF'为矩形，在Rt△BCF'中，由勾股定理得CF'2＝BC2＋BF'2，即（2a＋3m）2＝16m2＋（2a＋m）2，解得m＝a，∴BF＝a，BF'＝3a，在Rt△FBF'中，由勾股定理得BF2＋BF'2＝FF'2，即a2＋9a2＝4c2，∴＝，∴e＝.
15.解：（1）由解得两直线交点为（2，1），
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点（2，1），
∴l的方程为y－1＝x－2即x－y－1＝0.
（2）设圆C的标准方程为（x－a）2＋y2＝r2（a＞0），则解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为（x－3）2＋y2＝4.
16.解：（1）f（x）＝x3＋6ln x，故f'（x）＝3x2＋.可得f（1）＝1，f'（1）＝9，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－1＝9（x－1），即y＝9x－8.
（2）依题意，g（x）＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈（0，＋∞）.
从而可得g'（x）＝3x2－6x＋－，整理可得g'（x）＝.
令g'（x）＝0，解得x＝1.
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
g'（x） － 0 ＋
g（x） ↘ 极小值 ↗
所以函数g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，＋∞）；g（x）的极小值为g（1）＝1，无极大值.
17.解：（1）由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
（2）设直线l的方程为y＝x＋m.
由
消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x0，y0），
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
所以A（－3，－1），B（0，2）.所以AB＝3.
此时，点P（－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝AB·d＝.
18.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
若a＜0，则当x∈时，f'（x）＞0；
当x∈时，f'（x）＜0.
故f（x）在上单调递增，在（－，＋∞）上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f（x）≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g（x）＝ln x－x＋1，则g'（x）＝－1.
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
故当x＝1时，g（x）取得极大值且为最大值，最大值为g（1）＝0.
所以当x＞0时，g（x）≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，
即f（x）≤－－2.
19.解：（1）若q≠1，则由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝＝0，
由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1，
由②得a1＝或a1＝－，满足题意.
若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述q＝－1.
（2）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差为d（d＞0）.
因为a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0，所以＝0.
所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0.
因为d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0，得ak＜0，ak＋1＞0.
由题中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＝，
两式相减得k2·d＝1，即d＝.
又a1k＋d＝－，得a1＝.
所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）·＝.
（3）证明：记a1，a2，a3，…，an中非负项和为A，负项和为B.
则A＋B＝0，A－B＝1，得A＝，B＝－.
因为－＝B≤Sk≤A＝，所以｜Sk｜≤.
3 / 3(共40张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线3 x ＋ y －4＝0的斜率和在 y 轴上的截距分别是（ ）
A. －3，4 B. 3，－4
C. －3，－4 D. 3，4
解析： 直线3 x ＋ y －4＝0的斜率为－3，在 y 轴上的截距为4.
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2. 经过圆 x2＋ y2－2 x ＝0的圆心，且与直线 x ＋ y ＝0平行的直线方程
是（ ）
A. x ＋ y －1＝0 B. x ＋ y ＋1＝0
C. x － y －1＝0 D. x － y ＋1＝0
解析： 圆 x2＋ y2－2 x ＝0可化为（ x －1）2＋ y2＝1，其圆心为
（1，0）.设与直线 x ＋ y ＝0平行的直线方程为 x ＋ y ＋ C ＝0（ C
≠0），将（1，0）代入，得 C ＝－1，∴直线方程为 x ＋ y －1＝0.
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3. 双曲线 － ＝1的焦距是（ ）
B. 8
C. 4
解析： 依题意知， a2＝ m2＋12， b2＝4－ m2，所以 c ＝
＝ ＝4.所以焦距2 c ＝8.
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4. 过点 P （－2，4）作圆 C ：（ x －2）2＋（ y －1）2＝25的切线 l ，
直线 m ： ax －3 y ＝0与切线 l 平行，则切线 l 与直线 m 间的距离为
（ ）
A. 4 B. 2
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解析： 根据题意，知点 P 在圆 C 上，∴切线 l 的斜率 k ＝－
＝ ＝ ，∴切线 l 的方程为 y －4＝ （ x ＋2），即4 x －3 y ＋20
＝0.又直线 m 与切线 l 平行，∴直线 m 的方程为4 x －3 y ＝0.故切线
l 与直线 m 间的距离 d ＝ ＝4.
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5. 已知 F 是抛物线 y2＝4 x 的焦点，过点 F 且斜率为 的直线交抛物
线于 A ， B 两点，则｜ FA － FB ｜的值为（ ）
解析： 直线 AB 的方程为 y ＝ （ x －1），由
得3 x2－10 x ＋3＝0，故 x1＝3， x2＝ ，所以｜ FA － FB ｜＝｜ x1－
x2｜＝ ，故选A.
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6. 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，已知 S1，2 S2，3 S3成等差数列，则
数列{ an }的公比为（ ）
A. 1 B. 3
解析： 设公比为 q ，则 S1＝ a1， S2＝ a1＋ a1 q ， S3＝ a1＋ a1 q ＋
a1 q2，由等差中项公式得：4 S2＝ S1＋3 S3，代入消掉 a1可得3 q2－ q
＝0，解得 q ＝ 或 q ＝0（舍）.故选C.
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7. 中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作
《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有
问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云
甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米
一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数
列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你
计算甲应该分得（ ）
A. 78石 B. 76石
C. 75石 D. 74石
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解析： 有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分
得的米数构成等差数列{ an }，只知道甲比丙多分三十六石，因此公
差 d ＝ ＝ ＝－18，则前3项和 S3＝3 a1＋ ×（－18）＝
180，解得 a1＝78.所以甲应该分得78石.
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8. 已知 a ＝0.9， b ＝ ， c ＝1＋ln 0.9，则 a ， b ， c 的大小关系正
确的是（ ）
A. c ＞ b ＞ a B. a ＞ b ＞ c
C. b ＞ a ＞ c D. b ＞ c ＞ a
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解析： 设 f （ x ）＝e x － x －1，则f'（ x ）＝e x －1，当 x ＜0时，
f'（ x ）＝e x －1＜0，则 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减.又 f
（0）＝0，所以当 x ＜0时， f （ x ）＝e x － x －1＞0恒成立.即当 x
＜0时，e x ＞ x ＋1恒成立.则e－0.1＞－0.1＋1＝0.9，即 b ＞0.9＝
a .设 g （ x ）＝ln x － x ＋1（ x ＞0），则g'（ x ）＝ －1＝ ，当
0＜ x ＜1时，g'（ x ）＞0，即 g （ x ）在区间（0，1）上单调递增；
当 x ＞1时，g'（ x ）＜0，即 g （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递
减.所以当0＜ x ＜1时， g （ x ）＜ g （1）＝ln 1－1＋1＝0恒成立.
即当0＜ x ＜1时，ln x ＜ x －1恒成立.则ln 0.9＜0.9－1＝－0.1，所
以 c ＝ln 0.9＋1＜－0.1＋1＝0.9＝ a .所以 c ＜ a ＜ b .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 等差数列{ an }是递增数列，满足 a7＝3 a5，前 n 项和为 Sn ，下列选
项正确的是（ ）
A. d ＞0
B. a1＜0
C. 当 n ＝5时 Sn 最小
D. Sn ＞0时 n 的最小值为8
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解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，因为 a7＝3 a5，可得 a1
＋6 d ＝3（ a1＋4 d ），解得 a1＝－3 d ，又由等差数列{ an }是递增
数列，可知 d ＞0，则 a1＜0，故A、B正确；因为 Sn ＝ n2＋
n ＝ n2－ n ，由 n ＝－ ＝ 可知，当 n ＝3或 n ＝4时 Sn 最
小，故C错误；令 Sn ＝ n2－ n ＞0，解得 n ＜0或 n ＞7，即 Sn ＞0
时 n 的最小值为8，故D正确.故选A、B、D.
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10. 已知 P 是椭圆 E ： ＋ ＝1上一点， F1， F2为其左、右焦点，且
△ F1 PF2的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A. P 点纵坐标为3
B. ∠ F1 PF2＞90°
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解析： 由椭圆方程，可知 a ＝2 ， b ＝2， c ＝2.由
＝3可得3＝ · F1 F2·｜ yP ｜，故｜ yP ｜＝ ，故A错误；把｜ yP ｜
＝ 代入椭圆方程，可求得 ＝ .∴ · ＝（－2－ xP ，－
yP ）·（2－ xP ，－ yP ）＝ ＋ －4＝ ＋ －4＞0，故∠ F1 PF2
＜90°，故B错误；△ F1 PF2的周长为 PF1＋ PF2＋ F1 F2＝2 a ＋2 c
＝4 ＋4，故C正确； ＝ ·（ PF1＋ PF2＋ F1 F2）· R ＝
3，∴ R ＝ （ －1），故D正确.
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11. 设函数 f （ x ）＝ ，则下列选项正确的是（ ）
A. f （ x ）为奇函数
B. f （ x ）的图象关于点（0，1）对称
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解析： f （ x ）＝ ＋1，不满足 f （－ x ）＝－ f
（ x ），故A项错误；令 g （ x ）＝ ，则 g （－ x ）＝
＝ ＝－ g （ x ），所以 g （ x ）为奇函数，则 f （ x ）关于点
（0，1）对称，B项正确；设 f （ x ）＝ ＋1的最大值为 M ，则 g （ x ）的最大值为 M －1，设 f （ x ）＝ ＋1的最小值为 N ，则 g （ x ）的最小值为 N －1，
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当 x ＞0时， g （ x ）＝ ，所以g'（ x ）＝ ，当0＜ x ＜1时，g'（ x ）
＞0，当 x ＞1时，g'（ x ）＜0，所以当0＜ x ＜1时， g （ x ）单调递增，
当 x ＞1时， g （ x ）单调递减，所以 g （ x ）在 x ＝1处取得最大值，最
大值为 g （1）＝ ，由于 g （ x ）为奇函数，所以 g （ x ）在 x ＝－1处
取得最小值，最小值为 g （－1）＝－ ，所以 f （ x ）的最大值为 M ＝
＋1，最小值为 N ＝－ ＋1，故C、D项正确.故选B、C、D.
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解析：由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切，可得点 C 的横
坐标为－1，圆的半径为1，∠ CAO ＝90°.又因为∠ FAC ＝
120°，所以∠ OAF ＝30°，所以 OA ＝ ，所以点 C 的纵坐标
为 ，所以圆的方程为（ x ＋1）2＋（ y － ）2＝1.
（ x
＋1）2＋（ y － ）2＝1
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13. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， a1＝1， S4＝4 S2.
（1）数列{ an }的通项公式为 an ＝ ；
解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，由 S4＝4 S2得，4
a1＋6 d ＝8 a1＋4 d ，整理得 d ＝2 a1.又∵ a1＝1，∴ d ＝2，
∴ an ＝ a1＋（ n －1） d ＝2 n －1（ n ∈N*）.
（2）若 am ＋ am＋1＋ am＋2＋…＋ am＋9＝180（ m ∈N*），则 m
＝ .
解析： ∵ an ＝2 n －1，∴ am ＋ am＋1＋ am＋2＋…＋ am＋9
＝180可化为10 am ＋45 d ＝20 m ＋80＝180，解得 m ＝5.
2 n －1
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14. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具
有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代
金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线
E 的一部分，设该双曲线 E 的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞
0），右焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于 B ， C 两
点，且 CF ＝3 FB ，点 B 关于原点 O 的对称点为点 A ，若 · ＝
0，则双曲线 E 的离心率为 .
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解析：如图所示，设双曲线 E 的左焦点为点
F'，连接CF'，AF'，BF'，设 BF ＝ m ，则 CF
＝3 m ，由双曲线的定义可得BF'＝2 a ＋ m ，
CF'＝2 a ＋3 m ，由于 · ＝0，则 AF ⊥
BF ，又 OA ＝ OB ， OF ＝OF'，则四边形AFBF'为矩形，在Rt△BCF'中，由勾股定理得CF'2＝ BC2＋BF'2，即（2 a ＋3 m ）2＝16 m2＋（2 a ＋ m ）2，解得 m ＝ a ，∴ BF ＝ a ，BF'＝3 a ，在Rt△FBF'中，由勾股定理得 BF2＋BF'2＝FF'2，即 a2＋9 a2＝4 c2，∴ ＝ ，∴ e ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知直线 l 经过两条直线2 x － y －3＝0和4 x －
3 y －5＝0的交点，且与直线 x ＋ y －2＝0垂直.
（1）求直线 l 的方程；
解：由解得两直线交点为（2，1），
∵ l 与 x ＋ y －2＝0垂直，∴ kl ＝1.
又∵ l 过点（2，1），
∴ l 的方程为 y －1＝ x －2，即 x － y －1＝0.
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（2）若圆 C 过点（1，0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l 被该
圆所截得的弦长为2 ，求圆 C 的标准方程.
解：设圆 C 的标准方程为（ x － a ）2＋ y2＝ r2（ a ＞
0），则解得 a ＝3， r ＝2.
∴圆 C 的标准方程为（ x －3）2＋ y2＝4.
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ x3＋6ln x ，f'（ x ）为 f
（ x ）的导函数.
（1）求曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程；
解：f （ x ）＝ x3＋6ln x ，故f'（ x ）＝3 x2＋ .可得 f
（1）＝1，f'（1）＝9，
所以曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程为 y －
1＝9（ x －1），即 y ＝9 x －8.
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（2）求函数 g （ x ）＝ f （ x ）－f'（ x ）＋ 的单调区间和极值.
解：依题意， g （ x ）＝ x3－3 x2＋6ln x ＋ ， x ∈（0，＋∞）.
从而可得g'（ x ）＝3 x2－6 x ＋ － ，整理可得g'（ x ）＝
.
令g'（ x ）＝0，解得 x ＝1.
当 x 变化时，g'（ x ）， g （ x ）的变化情况如表：
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x （0，1） 1 （1，＋∞）
g'（ x ） － 0 ＋
g （ x ） ↘ 极小值 ↗
所以函数 g （ x ）的单调递减区间为（0，1），单调递增
区间为（1，＋∞）； g （ x ）的极小值为 g （1）＝1，
无极大值.
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17. （本小题满分15分）已知椭圆 G ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离
心率为 ，右焦点为（2 ，0），斜率为1的直线 l 与椭圆 G 交于
A ， B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P （－3，2）.
（1）求椭圆 G 的方程；
解：由已知得 c ＝2 ， ＝ .
解得 a ＝2 ，又 b2＝ a2－ c2＝4，
所以椭圆 G 的方程为 ＋ ＝1.
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（2）求△ PAB 的面积.
解：设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m .
由
消去 y 得4 x2＋6 mx ＋3 m2－12＝0. ①
设 A ， B 的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2）（ x1＜ x2），
AB 中点为 E （ x0， y0），
则 x0＝ ＝－ ， y0＝ x0＋ m ＝ ；
因为 AB 是等腰△ PAB 的底边，所以 PE ⊥ AB .
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所以 PE 的斜率 k ＝ ＝－1，解得 m ＝2.
此时方程①为4 x2＋12 x ＝0.
解得 x1＝－3， x2＝0.
所以 y1＝－1， y2＝2.
所以 A （－3，－1）， B （0，2）.所以 AB ＝3 .
此时，点 P （－3，2）到直线 AB ： x － y ＋2＝0的距离 d ＝
＝ ，
所以△ PAB 的面积 S ＝ AB · d ＝ .
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ln x ＋ ax2＋（2 a ＋1） x .
（1）讨论 f （ x ）的单调性；
解： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋2 ax ＋2 a ＋1＝ .
若 a ≥0，则当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0，
故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
若 a ＜0，则当 x ∈ 时，f'（ x ）＞0；
当 x ∈ 时，f'（ x ）＜0.
故 f （ x ）在 上单调递增，在（－ ，＋∞）上单调递减.
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（2）当 a ＜0时，证明 f （ x ）≤－ －2.
解：证明：由（1）知，当 a ＜0时， f （ x ）在 x ＝－
处取得最大值，最大值为 f ＝ln －1－ .
所以 f （ x ）≤－ －2等价于ln －1－ ≤－ －2，
即ln ＋ ＋1≤0.
设 g （ x ）＝ln x － x ＋1，则g'（ x ）＝ －1.
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当 x ∈（0，1）时，g'（ x ）＞0；当 x ∈（1，＋∞）时，g'
（ x ）＜0.所以 g （ x ）在（0，1）上单调递增，在（1，＋
∞）上单调递减.
故当 x ＝1时， g （ x ）取得极大值且为最大值，最大值为 g
（1）＝0.
所以当 x ＞0时， g （ x ）≤0.
从而当 a ＜0时，ln ＋ ＋1≤0，
即 f （ x ）≤－ －2.
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19. （本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列 a1， a2，
a3，…， an 为 n （ n ＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
① a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝0，②｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜
an ｜＝1.
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（1）若等比数列{ an }为2 k （ k ∈N*）阶“期待数列”，求公比
q ；
解：若 q ≠1，则由① a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝
＝0，
由 a1≠0，所以1－ q2 k ＝0，得 q ＝－1，
由②得 a1＝ 或 a1＝－ ，满足题意.
若 q ＝1，由①得， a1·2 k ＝0，得 a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述 q ＝－1.
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（2）若一个等差数列{ an }既为2 k （ k ∈N*）阶“期待数列”又是
递增数列，求该数列的通项公式；
解：设等差数列 a1， a2， a3，…， a2 k （ k ∈N*）的公
差为 d （ d ＞0）.
因为 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝0，所以 ＝0.
所以 a1＋ a2 k ＝ ak ＋ ak＋1＝0.
因为 d ＞0，所以由 ak ＋ ak＋1＝0，得 ak ＜0， ak＋1＞0.
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由题中的①②得 a1＋ a2＋ a3＋…＋ ak ＝－ ， ak＋1＋ ak＋2＋
ak＋3＋…＋ a2 k ＝ ，
两式相减得 k2· d ＝1，即 d ＝ .
又 a1 k ＋ d ＝－ ，得 a1＝ .
所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝ ＋（ n －1）· ＝ .
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（3）记 n 阶“期待数列”{ ai }的前 k 项和为 Sk （ k ＝1，2，
3，…， n ），求证：｜ Sk ｜≤ .
解：证明：记 a1， a2， a3，…， an 中非负项和为 A ，
负项和为 B .
则 A ＋ B ＝0， A － B ＝1，得 A ＝ ， B ＝－ .
因为－ ＝ B ≤ Sk ≤ A ＝ ，所以｜ Sk ｜≤ .
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谢 谢 观 看！
