6.1.2 空间向量的数量积
1.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知单位向量a，b满足｜a｜＝｜a＋b｜，则（a＋b）·b＝（ ）
A. B.1
C. D.0
3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝（ ）
A.6 B.6
C.12 D.144
4.（2024·扬州月考）设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.（多选）如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（ ）
A.2· B.2·
C.2· D.2·
6.（多选）设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0
B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
7.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则＜，＞＝ ，＜，＞＝ ，＜，＞＝ .
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则在直线CB1上的投影向量是 ，·＝ .
9.（2024·南京月考）如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝ ，· ·.（填“＜”“＝”或“＞”）
10.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2，SA⊥底面ABCD.
（1）确定向量在平面SAD上的投影向量，并求·；
（2）确定向量在向量上的投影向量，并求·.
11.（2024·无锡月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12.（多选）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A.（＋＋）2＝3
B.·（－）＝0
C.向量与向量的夹角是60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜
13.（2024·徐州质检）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是 .
14.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
（1）用向量法证明BD⊥PC；
（2）求｜＋｜的值.
15.（2024·南通质检）如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A.8 B.4
C.2 D.1
6.1.2 空间向量的数量积
1.B 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
2.D ∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，∴（a＋b）·b＝a·b＋b2＝－＋＝0.
3.C 因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.
4.B 因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.
5.BC 对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误.
6.BD A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D.
7.0° 0° 90° 解析：由题意得，方向相同，且在同一条直线AC上，故＜，＞＝0°；可平移到直线AC上，与方向相同，故＜，＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°.
8. a2 解析：如图，连接BC1交B1C于O，因为BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量在直线CB1上的投影向量是，·＝·＝a·a＝a2.
9.0 ＜ 解析：由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝（＋）·＝·（－）＋·＝｜｜·｜｜·cos 120°－｜｜·｜｜·cos 120°＋｜｜·｜｜·cos 120°＜0，所以·＜·.
10.解：（1）向量在平面SAD上的投影向量是，·＝·＝2×2×cos 135°＝－4.
（2）向量在向量上的投影向量是，·＝·＝｜｜2＝4.
11.C ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝｜｜2＝1，∴cos＜，＞＝＝，∴＜，＞＝60°，即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
12.AB 由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，∴A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，因此D不正确.
13.[0，1] 解析：依题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝1＋λ×1××（－）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1].
14.解：（1）证明：∵＝＋，
∴·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜｜｜cos 60°＋｜｜｜｜cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.
（2）∵＋＝＋＋，
∴｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，
∴｜＋｜＝a.
15.D ·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1.
3 / 36.1.2 空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积 数学抽象、数学运算
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象
3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 数学运算、逻辑推理
我们在必修第二册“平面向量”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算.
【问题】 （1）平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？
（2）类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
知识点一 空间向量的夹角
定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b， ＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a与向量b的夹角，记作
范围 ＜a，b＞∈
特殊夹角 ①如果＜a，b＞＝0，a与b ； ②如果＜a，b＞＝π，a与b ； ③如果＜a，b＞＝ ，a与b互相垂直，记作a b
知识点二 空间向量的数量积
1.定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量 叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.数量积的运算律
交换律 a·b＝
数乘结合律 （λa）·b＝ （λ∈R）
分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c
3.数量积的性质
两个向量数量积的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b
②若a与b同向，则a·b＝ ； 若反向，则a·b＝ . 特别地，a·a＝ 或｜a｜＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
【想一想】
1.若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？
2.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？
知识点三 空间向量的投影向量
1.空间投影向量的定义
如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量 称为向量m在平面α上的投影向量.
2.空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n（n在平面α内）的数量积就是向量m在平面α上的 与向量n的数量积.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（ ）
（2）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（ ）
（3）两个非零向量a，b的夹角满足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞.（ ）
（4）向量a在平面β上的投影是一个向量.（ ）
2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则·＝ .
4.已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则向量在平面ABCD上的投影向量为 .
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】 （链接教科书第12页练习5题）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求：
（1）·；
（2）（＋）·（＋）.
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解.
【跟踪训练】
1.（2024·宿迁月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（ ）
A.2 B.1
C.2 D.
2.如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别是AB，AD的中点，则·＝ .
题型二 空间向量的投影向量
【例2】 （链接教科书第11页例4）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点.
（1）确定向量在平面BCC1B1上的投影向量，并求·；
（2）确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·.
通性通法
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键.
【跟踪训练】
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
题型三 空间向量数量积的应用
角度1 利用空间向量数量积求夹角
【例3】 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是 .
通性通法
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
提醒 注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别.
角度2 利用空间向量数量积求线段长度（模）
【例4】 已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
通性通法
利用数量积求线段长度的步骤
（1）将线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝得所求长度.
【跟踪训练】
1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为（ ）
A.60° B.150°
C.90° D.120°
2.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k＝ .
3.（2024·镇江月考）已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则｜a－b＋2c｜＝ .
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
A.与 B.与 C.与 D.与
2.（2024·常州月考）已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝（ ）
A.1 B. C.2 D.2
3.已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则a在b上的投影向量为 .
4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，m⊥n，则λ＝ .
6.1.2 空间向量的数量积
【基础知识·重落实】
知识点一
∠AOB ＜a，b＞ [0，π] ①同向
②反向 ③ ⊥
知识点二
1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞
2.b·a λ（a·b） 3.①a·b＝0
②｜a｜｜b｜ －｜a｜｜b｜ ｜a｜2 ③
想一想
1.提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
2.提示：不能.向量没有除法运算.
知识点三
1. 2.投影向量
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.D ＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°.
3.a2 解析：如图，·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝a·acos 45°＝a2.
4. 解析：因为A'A⊥平面ABCD，因此在平面ABCD上的投影向量是.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：在正四面体OABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1.
＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝60°.
（1）·＝｜｜｜｜cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
（2）（＋）·（＋）
＝（＋）·（－＋－）
＝（＋）·（＋－2）
＝＋2·－2·＋－2·
＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
跟踪训练
1.A 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A.
2.－a2 解析：因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以，的夹角为120°，所以·＝｜｜·｜｜cos 120°＝－a2.
【例2】 解：（1）因为A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1，
所以向量在平面BCC1B1上的投影向量为.
所以·＝·＝×1×cos 45°＝1.
（2）因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量在直线B1C1上的投影向量为，故·＝·＝1.
跟踪训练
C 法一 ＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），＝＋，则·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故选C.
法二 设下底面ABCD的中心为O，则向量在底面ABCD上的投影向量为，故·＝·＝＝1，故选C.
【例3】 90° 解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，∵＝－，＝＋，∴cos＜，＞＝＝
＝0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
【例4】 解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，
由题意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，
且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以｜｜2＝a2＋b2＋c2＋2（－a·b＋b·c－a·c）＝×22＋×22＋22＋2×（－）×2×2×cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝.
跟踪训练
D 如图，＝＋，｜｜＝a，＝＋，｜｜＝a.∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2.∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.
2.6 解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
3. 解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1，
∴｜a－b＋2c｜＝
＝
＝
＝＝.
随堂检测
1.A 与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为90°，与的夹角为180°，故选A.
2.B ∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜×＝0，解得｜b｜＝.
3.－b 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－，∴cos θ＝＝－，∴a在b上的投影向量为cos θ·b＝－b.
4.－ 解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝a2＋a·b＋λa·b＋λb2＝（3）2＋（1＋λ）×3×4cos 135°＋λ×42＝18＋（1＋λ）×12×（－）＋16λ＝6＋4λ＝0，∴λ＝－.
4 / 4(共60张PPT)
6.1.2 空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量
的数量积 数学抽象、数学运算
2.了解空间向量投影的概念以及投影向
量的意义 直观想象
3.能利用空间向量数量积解决简单的立
体几何问题 数学运算、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们在必修第二册“平面向量”中已经学习了两个平面向量a和
b的数量积的定义、性质及运算.
【问题】 （1）平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运
算律？
（2）类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的
定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
知识点一 空间向量的夹角
定义
范围 ＜a，b＞∈
特殊 夹角 ①如果＜a，b＞＝0，a与b ；
②如果＜a，b＞＝π，a与b ；
③如果＜a，b＞＝ ，a与b互相垂直，记作a b
∠AOB
＜a，b＞
[0，π]
同向
反向
⊥
知识点二 空间向量的数量积
1. 定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量
叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b
＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2. 数量积的运算律
交换律 a·b＝
数乘结合律 （λa）·b＝ （λ∈R）
分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c
｜a｜｜b｜
cos ＜a，b＞
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞
b·a
λ（a·b）
3. 数量积的性质
两个向
量 数量积
的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b
②若a与b同向，则a·b＝ ；
若反向，则a·b＝ .
特别地，a·a＝ 或｜a｜＝
③若θ为a，b的夹角，则 cos θ＝
a·b＝0
｜a｜｜b｜
－｜a｜｜b｜
｜a｜2
【想一想】
1. 若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？
提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
2. 对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝ ？
提示：不能.向量没有除法运算.
知识点三 空间向量的投影向量
1. 空间投影向量的定义
如图，设向量m＝ ，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别
为C1，D1，得向量 .向量 称为向量m在平面α上的
投影向量.
2. 空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n（n在平面α内）的数量积就是向量m在平面α上
的 与向量n的数量积.
投影向量
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.
（ × ）
（2）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c. （ × ）
（3）两个非零向量a，b的夹角满足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝
π－＜a，b＞. （ √ ）
（4）向量a在平面β上的投影是一个向量. （ √ ）
×
×
√
√
2. 在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于（ ）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析： ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝
120°.
3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则 · ＝ .
解析：如图， · ＝ · ＝｜
｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝a· a
cos 45°＝a2.
a2
4. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则向量 在平面ABCD上的投影向
量为 .
解析：因为A'A⊥平面ABCD，因此 在平面ABCD上的投影向
量是 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】 （链接教科书第12页练习5题）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求：
（1） · ；
（1） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠AOB＝
1×1× cos 60°＝ .
解：在正四面体OABC中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝60°.
（2）（ ＋ ）·（ ＋ ）.
解： （ ＋ ）·（ ＋ ）
＝（ ＋ ）·（ － ＋ － ）
＝（ ＋ ）·（ ＋ －2 ）
＝ ＋2 · －2 · ＋ －2 ·
＝12＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60°
＋12－2×1×1× cos 60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值
的乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解.
【跟踪训练】
1. （2024·宿迁月考）如图，在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， · ＝（ ）
A. 2 B. 1
解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所
以AB⊥AD1，所以 · ＝ · ＝（ ＋ ）· ＝
· ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故选A.
2. 如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别是AB，AD的中点，则 · ＝ .
－ a2
解析：因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以
， 的夹角为120°，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos
120°＝－ a2.
题型二 空间向量的投影向量
【例2】 （链接教科书第11页例4）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点.
（1）确定向量 在平面BCC1B1上的投影向量，并求 · ；
解： 因为A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1，
所以向量 在平面BCC1B1上的投影向量为 .
所以 · ＝ · ＝ ×1× cos 45°＝1.
（2）确定向量 在直线B1C1上的投影向量，并求 · .
解： 因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量 在直线B1C1上的投影向量为 ，
故 · ＝ · ＝1.
通性通法
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确
探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键.
【跟踪训练】
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心
为O1，则 · ＝（ ）
A. －1 B. 0
解析： 法一 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝
＋ （ ＋ ）， ＝ ＋ ，则 · ＝ （｜ ｜2
＋｜ ｜2）＝1，故选C.
法二 设下底面ABCD的中心为O，则向量 在底面ABCD上的投
影向量为 ，故 · ＝ · ＝ ＝1，故选C.
C. 1 D. 2
题型三 空间向量数量积的应用
角度1 利用空间向量数量积求夹角
【例3】 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧
棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是 .
90°
解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，∵ ＝ － ， ＝ ＋ ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
通性通法
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
提醒 注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别.
角度2 利用空间向量数量积求线段长度（模）
【例4】 已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1
的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
解：如图所示，设 ＝a， ＝b， ＝c，
由题意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，
且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°.
因为 ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝
－ a＋ b＋c，
所以｜ ｜2＝ a2＋ b2＋c2＋2（－ a·b＋ b·c－a·c）＝ ×22＋ ×22＋22＋2×（－ ）×2×2× cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝ .
通性通法
利用数量积求线段长度的步骤
（1）将线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝ 得所求长度.
【跟踪训练】
1. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量 与向量 的夹
角为（ ）
A. 60° B. 150°
C. 90° D. 120°
解析： 如图， ＝ ＋ ，｜ ｜＝
a， ＝ ＋ ，｜ ｜＝ a.∴ · ＝
· ＋ · ＋ · ＋ · ＝－a2.∴
cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，∴＜ ，
＞＝120°.
解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以
（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜
c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝ ，a2＝b2＝c2＝1，
∴｜a－b＋2c｜＝
＝
＝
＝ ＝ .
1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为
45°的是（ ）
解析： 与 的夹角为45°， 与 的夹角为135°， 与 的夹角为90°， 与 的夹角为180°，故选A.
2. （2024·常州月考）已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的
夹角为45°，则｜b｜＝（ ）
A. 1
D. 2
解析： ∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b
＝｜a｜2－｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜× ＝0，
解得｜b｜＝ .
3. 已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝
1，a·b＝－ ，则a在b上的投影向量为 － b .
解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－ ，
∴ cos θ＝ ＝－ ，∴a在b上的投影向量为 cos θ·b＝－
b.
－ b
4. 已知｜a｜＝3 ，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，
b＞＝135°，m⊥n，则λ＝ .
解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝
a2＋a·b＋λa·b＋λb2＝（3 ）2＋（1＋λ）×3 ×4 cos
135°＋λ×42＝18＋（1＋λ）×12 ×（－ ）＋16λ＝6＋
4λ＝0，∴λ＝－ .
－
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，
a·b＝－ ，则两直线的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝－ ，
所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－
120°＝60°.
2. 已知单位向量a，b满足｜a｜＝｜a＋b｜，则（a＋ b）·b＝
（ ）
B. 1
D. 0
解析： ∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋
b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－ ，∴（a＋ b）·b＝a·b
＋ b2＝－ ＋ ＝0.
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3. 如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，
则PC＝（ ）
B. 6
C. 12 D. 144
解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＋
＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝36＋36＋36＋2×36 cos
60°＝144，所以PC＝12.
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4. （2024·扬州月考）设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知
（ ＋ －2 ）·（ － ）＝0，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析： 因为 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）
＝ ＋ ，所以（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜
｜2＝0，所以｜ ｜＝｜ ｜，即△ABC是等腰三角形.
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5. （多选）如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点
E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等
于a2的是（ ）
解析： 对于A，2 · ＝2a2 cos 120°＝－a2，错误；对于
B，2 · ＝2 · ＝2a2 cos 60°＝a2，正确；对于C，
2 · ＝ · ＝a2，正确；对于D，2 · ＝ · ＝－
· ＝－ a2，错误.
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6. （多选）设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，
给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0
B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
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解析： A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而
（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b
是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可
得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－
（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错
误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－
2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D.
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7. 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线
AC，A1C1的中点，则＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞
＝ ，＜ ， ＞＝ .
0°
0°
90°
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解析：由题意得 ， 方向相同，且在同一条直线AC上，故＜
， ＞＝0°； 可平移到直线AC上，与 方向相同，故
＜ ， ＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1
的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜ ，
＞＝90°.
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8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则 在直线CB1上的投
影向量是 ， · ＝ .
解析：如图，连接BC1交B1C于O，因为
BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量 在直线
CB1上的投影向量是 ， · ＝ ·
＝ a· a＝a2.
a2
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9. （2024·南京月考）如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，
E是BC的中点，则 · ＝ ， · · .（填
“＜”“＝”或“＞”）
0
＜
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解析：由题易知AE⊥BC，所以 · ＝0，而 · ＝（ ＋
）· ＝ ·（ － ）＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos
120°－｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＋ ｜ ｜·｜ ｜· cos
120°＜0，所以 · ＜ · .
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10. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2，
SA⊥底面ABCD.
（1）确定向量 在平面SAD上的投影向量，并求 · ；
解： 向量 在平面SAD上的投影向量
是 ， · ＝ · ＝2 ×2× cos
135°＝－4.
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（2）确定向量 在向量 上的投影向量，并求 · .
解： 向量 在向量 上的投影向量是 ， · ＝ · ＝｜ ｜2＝4.
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11. （2024·无锡月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平
面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE＝2，则异面直线
AE与A1C所成的角是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析： ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC
＝AB＝ ，BC＝2，∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2，∴E为BC
的中点，∴ ＝ （ ＋ ）.∵AA1＝ ，∴A1C＝
2.∵ · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜2＝1，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，∴＜ ， ＞＝60°，即异
面直线AE，A1C所成的角是60°.
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12. （多选）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是
（ ）
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解析： 由向量的加法得到： ＋ ＋ ＝ ，
∵A1C2＝3A1 ，∴ ＝3 ，∴A正确；∵ －
＝ ，AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正确；∵△ACD1是等
边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与
A1B所成的角为60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，
故C不正确；∵AB⊥AA1，∴ · ＝0，故｜ · · ｜
＝0，因此D不正确.
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13. （2024·徐州质检）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动
点P在线段BD1上运动，则 · 的取值范围是 .
解析：依题意，设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝
·（ ＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝
1＋λ×1× ×（－ ）＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值
范围是[0，1].
[0，1]
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14. 如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
（1）用向量法证明BD⊥PC；
解： 证明：∵ ＝ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）· ＝ ·
＋ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°
＋｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝ a2－ a2
＝0.∴BD⊥PC.
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（2）求｜ ＋ ｜的值.
解： ∵ ＋ ＝ ＋ ＋ ，
∴｜ ＋ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2
＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋
2 · ＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2 cos 60°
＋2a2 cos 60°＝5a2，
∴｜ ＋ ｜＝ a.
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15. （2024·南通质检）如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正
四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余
的八个点，则 · （i＝1，2，…，8）的不同值的个数为
（ ）
A. 8 B. 4
C. 2 D. 1
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解析： · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴ ⊥ ，∴ · ＝0，∴ ·
＝｜ ｜2＝1，则 · （i＝1，2，…，8）的不同值的个数
为1.
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谢 谢 观 看！
