6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A.b＋c，b，b－c B.b，a＋b，a－b
C.a＋b，a－b，c D.a＋b，a＋b＋c，c
3.（2024·宿迁月考）若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为（ ）
A.0，0，1 B.0，0，0
C.1，0，1 D.0，1，0
4.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b－c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
5.（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A.{，，}不能构成空间的一个基底
B.{，，}能构成空间的一个基底
C.{，，}不能构成空间的一个基底
D.{，，}能构成空间的一个基底
6.（多选）（2024·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（ ）
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为 .
8.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为 .
9.（2024·镇江月考）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值为 .
10.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c.
（1）用a，b，c表示向量；
（2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.
11.已知＝－3a－3b＋3c，＝5a＋3b－5c，＝a＋b－c，其中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或重合
12.（2024·扬州质检）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则（x，y，z）＝（ ）
A. B.
C. D.
13.（2024·盐城月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则｜｜＝ .
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点.
（1）求A1B和B1C的夹角；
（2）求证：AC1⊥EF.
15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值.
6.2.1 空间向量基本定理
1.B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成基底，否则不能构成基底.当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p / q，q p.
2.C 对于A选项，b＝（b＋c）＋（b－c），所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B选项，b＝（a＋b）－（a－b），所以b，a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用反证法可证得a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D选项，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面.故选C.
3.B 若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
4.C ＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C.
5.AC 由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.
6.ACD 依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D.
7.a－b＋c 解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c.
8.4（a＋b）－（a－b）＋3（3c） 解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋z（3c），则有解得则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）.
9.0 解析：根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0.
10.解：（1）＝＋
＝－＋
＝b－a＋c.
（2）＝＋＝－＋
＝－（＋）＋（＋）
＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c）
＝（c－b）.
11.B 因为＝－3，所以A，B，C，D四点共面.因为＝＋＋＝3a＋b－3c，所以对 λ∈R，≠λ，所以直线AD与BC不平行，故直线AD与BC相交.
12.A 如图所示，连接AG1并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故选A.
13. 解析：设＝a，＝b，＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.易得＝（－a＋b＋c），所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2＝[a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝，所以｜｜＝.
14.解：（1）设＝a，＝b，＝c，
则＝－＝a－c，｜｜＝，
＝＝－＝b－c，
｜｜＝，
∴·＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，
∴cos＜，＞＝＝＝.
又＜，＞∈[0，π]，
∴＜，＞＝，∴A1B和B1C的夹角为.
（2）证明：∵＝a＋b＋c，
＝＝
＝（－）＝（b－c），
·＝（a＋b＋c）·（b－c）
＝（a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）
＝（0－0＋1－0＋0－1）＝0，
∴⊥，∴AC1⊥EF.
15.证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令{，，}为空间的一个基底.
＝＝（＋）＝＋×＝＋×（＋）＝＋（－）＋（－）＝＋＋.
连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ（－）＋μ（－），所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt.
由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值.
3 / 36.2.1 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量基本定理及其推论 数学抽象、直观想象
2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量 数学运算
3.会用向量基底法求解简单的几何问题 数学运算、逻辑推理
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.
【问题】 （1）e1，e2，e3共面吗？
（2）如何用e1，e2，e3表示向量？
知识点一 空间向量基本定理
1.定理：如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使p＝ ，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3叫作 .
2.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得＝ .
【想一想】
1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？
知识点二 正交基底与单位正交基底
1.正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底.
2.单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间向量的基底是唯一的.（ ）
（2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量.（ ）
（3）已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面.（ ）
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝（ ）
A.i＋j＋k B.i＋j＋k
C.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k
题型一 基底的判断
【例1】 （链接教科书第20页练习1题）（多选）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A.{a，a－2b，2a＋b} B.{b，b＋c，b－c}
C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a}
通性通法
判断基底的基本思路
（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【跟踪训练】
1.若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，构成空间一个基底的关系是（ ）
A.＝＋＋
B.≠＋
C.＝＋＋
D.＝2－
2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.
题型二 用基底表示空间向量
【例2】 （链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
通性通法
用基底表示向量的策略
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
（2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
【跟踪训练】
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量，，表示和.
题型三 空间向量基本定理的应用
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC所成角的余弦值.
通性通法
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤
首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.
【跟踪训练】
（2024·扬州月考）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
（1）证明：A，E，C1，F四点共面；
（2）若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
1.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底
D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
2.（2024·盐域月考）若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A.a B.b
C.c D.2a
3.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ .（用a，b，c表示）
4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1.
6.2.1 空间向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.不共面 唯一 xe1＋ye2＋ze3 基底 基向量 2.x＋y＋z
想一想
1.提示：不可以.
2.提示：对.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.C 由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底.
3.C 因为＝＋＋＝＋＋，所以＝3i＋2j＋5k，故选C.
【典型例题·精研析】
【例1】 ABC 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面.
跟踪训练
1.C A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题意，故选C.
2.解：设＝x＋y，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3），
即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，
所以此方程组无解.
即不存在实数x，y，使得＝x＋y，
所以，，不共面，
所以{，，}能作为空间的一个基底.
【例2】 解：＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋
＝＋（－）＋
＝＋＋
＝（a＋b＋c）.
连接A'N（图略），
＝＋＝＋（＋）
＝＋（＋）
＝a＋b＋c.
跟踪训练
解：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋.
＝＋＝＋＋＋＝＋＋.
【例3】 解：（1）设＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，
＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，
所以｜｜＝，即AC1的长为.
（2）＝b＋c－a，＝a＋b，
所以｜｜＝，｜｜＝，
·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以cos＜，＞＝＝.
所以AC与BD1所成角的余弦值为.
跟踪训练
解：（1）证明：∵＝＋＋＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋，
∴，，共面，又它们有公共点A，
∴A，E，C1，F四点共面.
（2）∵＝－＝＋－（＋）＝＋－－＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
随堂检测
1.ABD 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.
2.C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C.
3.a＋b＋c 解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c.
4.证明：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝b＋c.
所以·＝a·（b＋c）
＝a·b＋a·c.
因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得·＝0，故AB⊥AC1.
4 / 4(共59张PPT)
6.2.1 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量基本定理及其推论 数学抽象、直观想象
2.会根据需要选择适当的基底来表
示任一空间向量 数学运算
3.会用向量基底法求解简单的几何
问题 数学运算、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.
【问题】 （1）e1，e2，e3共面吗？
（2）如何用e1，e2，e3表示向量 ？
知识点一 空间向量基本定理
1. 定理：如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量
p，存在 的有序实数组（x，y，z），使p＝
，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3
叫作 .
不共面
唯一
xe1＋ye2
＋ze3
基底
基向量
2. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，
都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 ＝
.
x ＋y
＋z
【想一想】
1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以.
2. 在四棱锥O-ABCD中， 可表示为 ＝x ＋y ＋z 且唯
一，这种说法对吗？
提示：对.
知识点二 正交基底与单位正交基底
1. 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这
个基底叫作正交基底.
2. 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称
这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间向量的基底是唯一的. （ × ）
（2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量. （ √ ）
（3）已知A，B，M，N是空间四点，若 ， ， 不能构
成空间的一个基底，则A，B，M，N共面. （ √ ）
×
√
√
2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是
（ ）
解析： 由题意知 ， ， 不共面，可以构成空间向
量的一个基底.
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若 ＝3i， ＝2j， ＝5k，
则 ＝（ ）
A. i＋j＋k
C. 3i＋2j＋5k D. 3i＋2j－5k
解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以
＝3i＋2j＋5k，故选C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 基底的判断
【例1】 （链接教科书第20页练习1题）（多选）已知{a，b，c}是
空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A. {a，a－2b，2a＋b}
B. {b，b＋c，b－c}
C. {2a－3b，a＋b，a－b}
D. {a＋b，b－c，c＋2a}
解析： 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向
量都共面.
通性通法
判断基底的基本思路
（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向
量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体
等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为
基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【跟踪训练】
1. 若向量 ， ， 的起点M与终点A，B，C互不重合且无三
点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 ，
， 构成空间一个基底的关系是（ ）
解析： A中，因为 ＋ ＋ ＝1，所以M，A，B，C四点共
面，不满足题意；B中， ≠ ＋ ，但可能 ＝λ ＋
μ ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，
因为 ＝2 － ，所以M，A，B，C四点共面，不满足题
意.只有C中式子满足题意，故选C.
2. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3，
＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ ， ， }能
否作为空间的一个基底.
解：设 ＝x ＋y ，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）
＋y（e1＋e2－e3），
即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，
所以此方程组无解.
即不存在实数x，y，使得 ＝x ＋y ，
所以 ， ， 不共面，
所以{ ， ， }能作为空间的一个基底.
题型二 用基底表示空间向量
【例2】 （链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'
中，已知 ＝a， ＝b， ＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的
中点，试用基底{a，b，c}表示向量 ， .
解： ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋
＝ ＋ （ － ）＋
＝ ＋ ＋
＝ （a＋b＋c）.
连接A'N（图略），
＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）
＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c.
通性通法
用基底表示向量的策略
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行
四边形法则，以及向量数乘的运算律；
（2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向
量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知
或易求.
【跟踪训练】
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量 ， ， 表示 和 .
解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ . ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .
题型三 空间向量基本定理的应用
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点
的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.
（1）求AC1的长；
解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，
＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝ .
｜ ｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2
（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（ ＋ ＋ ）＝6，
所以｜ ｜＝ ，即AC1的长为 .
（2）求BD1与AC所成角的余弦值.
解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，
所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
所以AC与BD1所成角的余弦值为 .
通性通法
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤
首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基
底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然
后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的
运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的
运算转化为基向量的运算.
【跟踪训练】
（2024·扬州月考）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1.
（1）证明：A，E，C1，F四点共面；
解： 证明：∵ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋（ ＋
）＝ ＋ ，
∴ ， ， 共面，又它们有公共点A，
∴A，E，C1，F四点共面.
（2）若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z.
解： ∵ ＝ － ＝ ＋ －（ ＋ ）＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ，
又 ＝x ＋y ＋z ，
∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ .
1. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这
两个向量共线
C. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且
λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底
解析： 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足
c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.
2. （2024·盐域月考）若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝
a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的
向量是（ ）
A. a B. b
C. c D. 2a
解析： 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝ [（a
＋b）＋（a－b）]＝ m＋ n，故a，m，n共面，排除A；对于
选项B，b＝ [（a＋b）－（a－b）]＝ m－ n，故b，m，n
共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，
m，n共面，排除D. 故选C.
3. 在四面体OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，D为BC的中
点，E为AD的中点，则 ＝ .（用a，b，c表
示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ×
（ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c.
a＋ b＋ c
4. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1.
证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，
则 ＝ ＋ ＝b＋c.
所以 · ＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c.
因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得 · ＝0，故AB⊥AC1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基
底，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成
基底，否则不能构成基底.当{a，b，c}为基底时，一定有a，
b，c为非零向量.因此p / q，q p.
2. 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是
（ ）
A. b＋c，b，b－c B. b，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c
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解析： 对于A选项，b＝ （b＋c）＋ （b－c），所以b＋
c，b，b－c三个向量共面；对于B选项，b＝ （a＋b）－ （a
－b），所以b，a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用
反证法可证得a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D选项，a
＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共
面.故选C.
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3. （2024·宿迁月考）若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数
x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为（ ）
A. 0，0，1 B. 0，0，0
C. 1，0，1 D. 0，1，0
解析： 若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a
＝－ b－ c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，
故x＝y＝z＝0.
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4. 已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足 ＝ ，N是BC的
中点，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 为
（ ）
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝
－ ＋ ＋ ＝－ a＋ b＋ c.故选C.
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5. （多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均
不共线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的
一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
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解析： 由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以
A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能
构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.
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6. （多选）（2024·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1
中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的
各棱长均相等.下列结论中正确的是（ ）
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
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解析： 依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1
四点共面.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋
＝ ＋ ，所以 ＝ ，则A1M∥D1P，结合线面平行
的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正
确.故选A、C、D.
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7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意
一点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 用a，b，c表示
为 .
解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴b－a
＝－2（ －c），∴ ＝ a－ b＋c.
a－ b＋c
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8. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间
的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b
＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为
.
4（a＋b）
－（a－b）＋3（3c）
解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a
－b）＋z（3c），则有解得则m在基底
{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3
（3c）.
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9. （2024·镇江月考）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝
2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直
线A1E与GF所成角的余弦值为 .
0
解析：根据题意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋
＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝
－ － ＝ ×4－1－ ×4＝0，从而得到A1E和GF
垂直，故其所成角的余弦值为0.
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10. 已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中， ＝a， ＝b， ＝c.
（1）用a，b，c表示向量 ；
解： ＝ ＋ ＝ － ＋
＝b－a＋c.
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（2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，
b，c表示 .
解： ＝ ＋ ＝－ ＋
＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）
＝－ （a＋b＋c＋b）＋ （a＋b＋c＋c）
＝ （c－b）.
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11. 已知 ＝－3a－3b＋3c， ＝5a＋3b－5c， ＝a＋b－
c，其中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置
关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或重合
解析： 因为 ＝－3 ，所以A，B，C，D四点共面.因为
＝ ＋ ＋ ＝3a＋b－3c，所以对 λ∈R，
≠λ ，所以直线AD与BC不平行，故直线AD与BC相交.
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12. （2024·扬州质检）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是
OG1上的一点，且OG＝3GG1，若 ＝x ＋y ＋z ，则
（x，y，z）＝（ ）
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解析： 如图所示，连接AG1并延长交BC于点
E，则点E为BC的中点， ＝ （ ＋ ）
＝ （ －2 ＋ ）， ＝ ＝ （
－2 ＋ ），∵ ＝3 ＝3（ － ），∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故选A.
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13. （2024·盐城月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边
长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等
于60°.若M是PC的中点，则｜ ｜＝ .
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解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝
2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB
＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1× cos 60°＝1.
易得 ＝ （－a＋b＋c），所以｜ ｜2＝ （－a＋b＋
c）2＝ [a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝ ×[12＋12
＋22＋2×（0－1＋1）]＝ ，所以｜ ｜＝ .
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14. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点.
（1）求A1B和B1C的夹角；
解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，
则 ＝ － ＝a－c，｜ ｜＝ ，
＝ ＝ － ＝b－c，｜ ｜＝ ，
∴ · ＝（a－c）·（b－c）＝a·b－
a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，
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∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
又＜ ， ＞∈[0，π]，
∴＜ ， ＞＝ ，∴A1B和B1C的夹角为 .
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（2）求证：AC1⊥EF.
解： 证明：∵ ＝a＋b＋c， ＝ ＝
＝ （ － ）＝ （b－c），
· ＝（a＋b＋c）· （b－c）
＝ （a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）
＝ （0－0＋1－0＋0－1）＝0，
∴ ⊥ ，∴AC1⊥EF.
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15. 如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG
上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，
PB，PC于点D，E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝
t ，求证： ＋ ＋ 为定值，并求出该定值.
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证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令
{ ， ， }为空间的一个基底.
＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＋ × ＝ ＋ ×
（ ＋ ）＝ ＋ （ － ）＋ （ － ）＝
＋ ＋ .
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连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数
λ，μ，使得 ＝λ ＋μ ，即 － ＝λ（ －
）＋μ（ － ），所以 ＝（1－λ－μ） ＋λ
＋μ ＝（1－λ－μ）m ＋λn ＋μt .
由空间向量基本定理，知 ＝（1－λ－μ）m， ＝λn， ＝
μt，所以 ＋ ＋ ＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值.
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谢 谢 观 看！
