第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式
1.若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），则（2a－3b）·（a＋2b）＝（ ）
A.－212 B.－106
C.106 D.212
2.（2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知空间三点A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），若向量3－与＋k垂直，则k的值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.（多选）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则（ ）
A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b
C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜
6.（多选）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（ ）
A.若｜a｜＝2，则m＝±
B.若a⊥b，则m＝－1
C.不存在实数λ，使得a＝λb
D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2）
7.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），c＝（1，0，1），p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝ .
8.（2024·南京月考）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），若ka＋b与b互相垂直，则实数k＝ .
9.若△ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（－，，），C（－1，0，），则角A的大小为 .
10.已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）.
（1）求a·b；
（2）若λ1a＋λ2b与z轴垂直，求λ1，λ2满足的关系式.
11.已知向量＝（2，－2，3），向量＝（x，1－y，4z），且平行四边形OACB对角线的中点坐标为（0，，－），则（x，y，z）＝（ ）
A.（－2，－4，－1） B.（－2，－4，1）
C.（－2，4，－1） D.（2，－4，－1）
12.（2024·苏州月考）已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是 .
13.△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），则AC边上的中线BM的长为 ；高BD的长为 .
14.已知点A（－2，3，－3），B（4，5，9）.
（1）设平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，y，z）是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式；
（2）若点P（a，b，c）到A，B两点的距离相等，求a，b，c满足的关系式.
15.（2024·连云港质检）已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）.
（1）求以和为邻边的平行四边形的面积；
（2）若｜a｜＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标.
第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式
1.A （2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，－4，0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212.
2.C a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.
3.B ∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），∴＝（1，－1，－3），＝（－2，－2，1），∵向量3－与＋k垂直，则（3－）·（＋k）＝3＋（3k－1）·－k＝0，即3×11－3×（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝0，解得k＝2，故选B.
4.C ∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定为直角三角形.
5.AD ∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，cos＜a，b＞＝＝＝－.故A、D正确，B、C 不正确.
6.AC 由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误.
7.－1 解析：∵p＝a－b＝（1，0，－1），q＝a＋2b－c＝（0，3，1），∴p·q＝1×0＋0×3＋（－1）×1＝－1.
8.5 解析：因为a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝（k－1，k，2），又ka＋b与b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝0，即－（k－1）＋4＝0，解得k＝5.
9.30° 解析：＝（－，，0），＝（－1，0，0），则cos A＝cos＜，＞＝＝，因为0°＜A＜180°.故角A的大小为30°.
10.解：（1）∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21.
（2）a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋8λ2）.
∵λ1a＋λ2b与z轴垂直，
∴λ1a＋λ2b与（0，0，1）垂直，
∴－4λ1＋8λ2＝0，
∴λ1＝2λ2.
11.A 由题意得（2，－2，3）＋（x，1－y，4z）＝2（0，，－），即（x＋2，－1－y，3＋4z）＝（0，3，－1），所以解得
12. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为.
13. 5 解析：由题设易知M（1，1，），∴＝（－4，7，－）.故｜｜＝，设＝λ，又＝（0，4，－3），则＝（0，4λ，－3λ）.又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ），由·＝0，得0＋4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴｜｜＝5.
14.解：（1）由题意知＝（6，2，12），线段AB的中点C（1，4，3），则⊥，故6（1－x）＋2（4－y）＋12（3－z）＝0，化简得3x＋y＋6z－25＝0.
（2）由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－4）2＋（b－5）2＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0.
15.解：（1）由题中条件可知，＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2），
所以cos＜，＞＝＝＝.
于是sin＜，＞＝.
故以和为邻边的平行四边形的面积S＝｜｜｜｜sin＜，＞＝14×＝7.
（2）设a＝（x，y，z），由题意得
解得或故a＝（1，1，1）或（－1，－1，－1）.
2 / 2第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积的坐标表示 数学抽象、数学运算
2.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题 数学运算
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为.
【问题】 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？
知识点一 空间向量数量积的坐标表示
设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它们的夹角为＜a，b＞，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a·b ｜a｜｜b｜· cos＜a，b＞
a⊥b a·b＝0
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
夹角 余弦 cos＜a，b＞ ＝
知识点二 空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（1）AB＝ ；
（2）线段AB的中点M的坐标为（，，）.
1.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x＝（ ）
A.－2 B.2
C.3 D.－3
2.已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（ ）
A.4 B.2
C.4 D.3
3.已知a＝（－，2，），b＝（3，6，0），则｜a｜＝ ，a与b夹角的余弦值等于 .
题型一 空间向量数量积的坐标运算
【例1】 （链接教科书第27页习题4题）已知向量a＝（2，1，－3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），则a·（b＋c）＝（ ）
A.18 B.－18
C.3 D.－3
通性通法
关于空间向量数量积坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算；
（2）求参数值：首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程（组），解方程（组）求出参数.
【跟踪训练】
1.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝ ，（a－b）·（2a－3b）＝ .
2.（2024·苏州月考）已知空间向量a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2）.若2a－b与b垂直，则n＝ .
题型二 空间两点间的距离
【例2】 （链接教科书第25页例4）已知点M（3，2，1），N（1，0，5），求：
（1）线段MN的长度；
（2）到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件.
通性通法
利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤
【跟踪训练】
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
题型三 利用数量积公式求夹角
【例3】 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求与所成角的余弦值.
通性通法
求空间向量夹角的方法技巧
（1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
（2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
（3）代入空间向量的夹角公式cos θ＝求解.
【跟踪训练】
1.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.（2024·无锡月考）设向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），若cos＜a，b＞＝，则实数λ的值为（ ）
A.2 B.－2
C.－2或 D.2或－
1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离CM的值为（ ）
A. B. C. D.
2.（多选）（2024·镇江月考）已知向量a＝（1，1，－1），b＝（2，－1，0），c＝（0，1，－2），则下列结论正确的是（ ）
A.a·（b＋c）＝4
B.（a－b）·（b－c）＝－8
C.记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝
D.若（a＋λb）⊥c，则λ＝3
3.若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，z），且a，b，c两两垂直，则x＝ ，y＝ ，z＝ .
4.已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）.
（1）计算｜2a－3b｜；
（2）求＜a，b＞.
第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点一
x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
知识点二
（1）
自我诊断
1.A b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
2.A AB＝＝4.
3.3 解析：｜a｜＝＝＝3，a与b夹角的余弦值cos＜a，b＞＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 B 因为b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2－12＝－18.故选B.
跟踪训练
1.－2 5 解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5.
2. 解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝（4，2n－1，2）.∵2a－b与b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝.
【例2】 解：（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
MN＝＝2.
（2）因为点P（x，y，z）到M，N两点的距离相等，
所以
＝，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
跟踪训练
解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为C1C＝CB＝CA＝2，
所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），
由中点坐标公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F（1，0，0），
所以DE＝＝，
EF＝＝.
【例3】 解：以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
依题意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），
∴·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3.
又｜｜＝，｜｜＝，
∴cos＜，＞＝＝.
故与所成角的余弦值为.
跟踪训练
1.C 设与的夹角为θ.由题意得＝（－1，1，0），＝（0，3，3），∴cos θ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°，故选C.
2.C ∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），cos＜a，b＞＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
随堂检测
1.C AB的中点M（2，，3），又C（0，1，0），所以＝（2，，3），故点M到点C的距离CM＝｜｜＝＝.
2.ABD 由题意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－2）＝2＋0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，－2，2）＝－2－4－2＝－8；cos θ＝＝＝－；由（a＋λb）⊥c，得（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－1）·（0，1，－2）＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项A、B、D正确.
3.－64 －26 －17 解析：因为a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以即解得
4.解：（1）2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝（4，－2，－4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8），
｜2a－3b｜＝＝3.
（2）cos＜a，b＞＝＝＝，
又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝.
4 / 4(共55张PPT)
第2课时
空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积的坐标表示 数学抽象、数学运算
2.能利用空间两点间的距离公式解决有关
问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.
在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量
为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力
分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为 .
【问题】 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的
大小分别是多少吗？
知识点一 空间向量数量积的坐标表示
设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它
们的夹角为＜a，b＞，则
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
a·b ｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞
a⊥b a·b＝0
模
夹角余弦
x1x2＋y1y2＋z1z2
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
知识点二 空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（2）线段AB的中点M的坐标为（ ， ， ）.
1. 已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，
1），若a⊥（b－c），则x＝（ ）
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
解析： b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝
0，∴x＝－2.
2. 已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为
（ ）
解析： AB＝ ＝4 .
3. 已知a＝（－ ，2， ），b＝（3 ，6，0），则｜a｜
＝ ，a与b夹角的余弦值等于 .
解析：｜a｜＝ ＝ ＝3，a与b夹角
的余弦值 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ .
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量数量积的坐标运算
【例1】 （链接教科书第27页习题4题）已知向量a＝（2，1，－
3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），则a·（b＋c）＝
（ ）
A. 18 B. －18
解析： 因为b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2
－12＝－18.故选B.
通性通法
关于空间向量数量积坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运
用空间向量数量积坐标运算公式计算；
（2）求参数值：首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运
算建立方程（组），解方程（组）求出参数.
【跟踪训练】
1. 已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝
，（a－b）·（2a－3b）＝ .
解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝
（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，
－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－
1，－3）＝2＋3＝5.
－
2
5
解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝
（4，2n－1，2）.∵2a－b与b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8
＋2n－1＋4＝0，解得n＝ .
题型二 空间两点间的距离
【例2】 （链接教科书第25页例4）已知点M（3，2，1），N（1，
0，5），求：
（1）线段MN的长度；
解： 根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
MN＝ ＝2 .
（2）到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条
件.
解： 因为点P（x，y，z）到M，N两点的距离相等，
所以
＝ ，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满
足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
通性通法
利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤
【跟踪训练】
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，
AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求
DE，EF的长度.
解：以{ ， ， }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系.
因为C1C＝CB＝CA＝2，
所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），
B1（0，2，2），
由中点坐标公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F（1，0，0），
所以DE＝ ＝ ，
EF＝ ＝ .
题型三 利用数量积公式求夹角
【例3】 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1
中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求 与 所成角
的余弦值.
解：以 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系C-xyz.
依题意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，
0，0），B1（0，1，2），
∴ ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2），
∴ · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3.
又｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
故 与 所成角的余弦值为 .
通性通法
求空间向量夹角的方法技巧
（1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
（2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
（3）代入空间向量的夹角公式 cos θ＝ 求解.
【跟踪训练】
1. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则
与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 设 与 的夹角为θ.由题意得 ＝（－1，1，
0）， ＝（0，3，3），∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°，故选C.
2. （2024·无锡月考）设向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，
2），若 cos ＜a，b＞＝ ，则实数λ的值为（ ）
A. 2 B. －2
解析： ∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2）， cos ＜
a，b＞＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，解得
λ＝－2或λ＝ .
1. 设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点
M到点C的距离CM的值为（ ）
解析： AB的中点M（2， ，3），又C（0，1，0），所以
＝（2， ，3），故点M到点C的距离CM＝｜ ｜＝
＝ .
2. （多选）（2024·镇江月考）已知向量a＝（1，1，－1），b＝
（2，－1，0），c＝（0，1，－2），则下列结论正确的是
（ ）
A. a·（b＋c）＝4
B. （a－b）·（b－c）＝－8
D. 若（a＋λb）⊥c，则λ＝3
解析： 由题意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－
2）＝2＋0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，
－2，2）＝－2－4－2＝－8； cos θ＝ ＝
＝－ ；由（a＋λb）⊥c，得
（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－1）·（0，1，－2）＝
0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项A、B、D正确.
3. 若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，
z），且a，b，c两两垂直，则x＝ ，y＝ ，z
＝ .
解析：因为a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以即
解得
－64
－26
－17
4. 已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）.
（1）计算｜2a－3b｜；
解： 2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝
（4，－2，－4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8），
｜2a－3b｜＝ ＝3 .
（2）求＜a，b＞.
解： cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，
又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），则（2a－
3b）·（a＋2b）＝（ ）
A. －212 B. －106
C. 106 D. 212
解析： （2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，
－4，0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212.
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2. （2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，
－6），｜c｜＝ ，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为
（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－
a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos
＜a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.
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3. 已知空间三点A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，
0，2），若向量3 － 与 ＋k 垂直，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： ∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，
0，2），∴ ＝（1，－1，－3）， ＝（－2，－2，1），
∵向量3 － 与 ＋k 垂直，则（3 － ）·（ ＋
k ）＝3 ＋（3k－1） · －k ＝0，即3×11－3×
（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝0，解得k＝2，故选B.
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4. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，
3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： ∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝
（2，－3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜
＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝
，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC一定为直角三
角形.
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5. （多选）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则
（ ）
B. a⊥b
C. a∥b D. ｜a｜＝｜b｜
解析： ∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜
a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，
cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ .故A、D正确，B、C 不正确.
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6. （多选）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），
则下列结论中正确的是（ ）
B. 若a⊥b，则m＝－1
C. 不存在实数λ，使得a＝λb
D. 若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2）
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解析： 由｜a｜＝2，可得 ＝2，解得m＝
± ，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得
m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则
显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，
故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝
0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误.
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7. 已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），c＝（1，0，1），p＝
a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝ .
解析：∵p＝a－b＝（1，0，－1），q＝a＋2b－c＝（0，3，
1），∴p·q＝1×0＋0×3＋（－1）×1＝－1.
－1
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8. （2024·南京月考）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，
2），若ka＋b与b互相垂直，则实数k＝ .
解析：因为a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝
（k－1，k，2），又ka＋b与b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝
0，即－（k－1）＋4＝0，解得k＝5.
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9. 若△ABC的三个顶点分别为A（0，0， ），B（－ ， ，
），C（－1，0， ），则角A的大小为 .
解析： ＝（－ ， ，0）， ＝（－1，0，0），则 cos A＝
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，因为0°＜A＜180°.故角A
的大小为30°.
30°
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10. 已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）.
（1）求a·b；
解： ∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21.
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（2）若λ1a＋λ2b与z轴垂直，求λ1，λ2满足的关系式.
解： a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋
8λ2）.
∵λ1a＋λ2b与z轴垂直，
∴λ1a＋λ2b与（0，0，1）垂直，
∴－4λ1＋8λ2＝0，
∴λ1＝2λ2.
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11. 已知向量 ＝（2，－2，3），向量 ＝（x，1－y，4z），
且平行四边形OACB对角线的中点坐标为（0， ，－ ），则
（x，y，z）＝（ ）
A. （－2，－4，－1） B. （－2，－4，1）
C. （－2，4，－1） D. （2，－4，－1）
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解析： 由题意得（2，－2，3）＋（x，1－y，4z）＝2（0，
，－ ），即（x＋2，－1－y，3＋4z）＝（0，3，－1），所
以解得
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解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝
（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝
＝ ＝
.∴当t＝ 时，｜b－a｜取最小值，最小值为
.
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解析：由题设易知M ，∴ ＝（－4，7，－ ）.
故｜ ｜＝ ，设 ＝λ ，又 ＝（0，4，－3），则
＝（0，4λ，－3λ）.又∵ ＝（4，－5，0），∴ ＝
－ ＝（－4，4λ＋5，－3λ），由 · ＝0，得0＋4
（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－ ，∴ ＝ ，
∴｜ ｜＝5.
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14. 已知点A（－2，3，－3），B（4，5，9）.
（1）设平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，
y，z）是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式；
解：（1）由题意知 ＝（6，2，12），线段AB的中点C
（1，4，3），则 ⊥ ，故6（1－x）＋2（4－y）＋
12（3－z）＝0，化简得3x＋y＋6z－25＝0.
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（2）若点P（a，b，c）到A，B两点的距离相等，求a，b，c
满足的关系式.
解： 由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－
4）2＋（b－5）2＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0.
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15. （2024·连云港质检）已知空间三点A（0，2，3），B（－2，
1，6），C（1，－1，5）.
（1）求以 和 为邻边的平行四边形的面积；
解： 由题中条件可知， ＝（－2，－1，3），
＝（1，－3，2），
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
于是 sin ＜ ， ＞＝ .
故以 和 为邻边的平行四边形的面积S＝｜ ｜｜
｜ sin ＜ ， ＞＝14× ＝7 .
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（2）若｜a｜＝ ，且a分别与 ， 垂直，求向量a的坐
标.
解： 设a＝（x，y，z），由题意得
解得或故a＝（1，1，1）或（－1，－
1，－1）.
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谢 谢 观 看！
