6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示
1.设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a＋b＝（ ）
A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10）
C.（－2，11，10） D.（2，11，－10）
2.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，＝－，则＝（ ）
A. B.
C. D.
4.（2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），且（ka＋b）∥（a－2b），则实数k的值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
5.（多选）如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，则下列向量坐标表示正确的有（ ）
A.＝（3，0，0） B.＝（1，0，2）
C.＝（，3，2） D.＝（－，3，0）
6.（多选）下列各命题正确的是（ ）
A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3）
B.点关于y轴的对称点为
C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1
D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4）
7.已知空间向量m＝（1，－3，5），n＝（－2，2，－4），则m＋n＝ ，3m－n＝ .
8.（2024·扬州月考）已知点A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝ ，μ＝ .
9.三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为 .
10.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标.
11.如图，空间四边形ABCD中，若向量＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A.（2，3，3） B.（－2，－3，－3）
C.（5，－2，1） D.（－5，2，－1）
12.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A.点B1的坐标为（4，5，3）
B.点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3）
C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3）
D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0）
13.（2024·常州质检）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），D（x，－1，3）共面，则x的值为 .
14.（2024·南京月考）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）.
（1）求＋，－；
（2）是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由.
15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示
1.A a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
2.B ∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B.
3.C 记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋，＝－，所以＝－＝－j＋k＝（0，－，1）.
4.C 向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），则ka＋b＝（k＋3，2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因为（ka＋b）∥（a－2b），则＝＝，解得k＝－，所以实数k的值为－.故选C.
5.BC 设x，y，z轴正方向的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝3j，＝2k，所以＝（0，3，0），故A不正确；因为＝＋＝＋，所以＝（1，0，2），故B正确；因为＝＋＋＝＋＋，所以＝（，3，2），故C正确；因为＝＋＝＋，所以＝（，3，0），故D不正确.故选B、C.
6.ABD A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则的对称点为（－，1，3），正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D.
7.（－1，－1，1） （5，－11，19）
解析：m＋n＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，1），3m－n＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，19）.
8.0 0 解析：因为＝（λ－1，1，λ－2μ－3），＝（2，－2，6），由A，B，C三点共线，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.
9. 解析：因为AB＝BC＝PB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k，所以＝＋＝－（＋）＋（＋）＝－＝i－k＝（，0，－）.
10.解：设＝e1，＝e2，＝e3，则＝＝e2，
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋（＋＋）
＝－e2＋e3＋（－e3－e1＋e2）
＝－e1＋e3，
∴＝（－，0，），＝（0，1，0）.
11.B 取AC中点M，连接ME，MF（图略），则＝＝（－，，1），＝＝（－，－，－2），所以＝－＝（－2，－3，－3），故选B.
12.ACD 由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D.
13.11 解析：＝（－2，2，－2），＝（－1，6，－8），＝（x－4，－2，0）.因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，即（x－4，－2，0）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ），所以解得
14.解：＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
（1）＋＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）.
－＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）.
（2）假设存在x，y∈R满足条件，
由已知可得＝（－2，－1，2）.
由题意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2），
所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y），
所以所以
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立.
15.解：如图所示，
以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）.
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为（，0，）.
因为点H在平面ABCD上，所以设点H的坐标为（m，n，0）.
因为＝（m，n，0）－（，0，）＝（m－，n，－），
＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），
又∥，
所以＝＝，解得m＝1，n＝.
所以点H的坐标为（1，，0），即H为线段AB的中点.
3 / 36.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系 数学抽象、直观想象
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标 数学抽象、直观想象
3.掌握空间向量的线性运算的坐标表示 数学运算
我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置.
【问题】 怎样才能刻画空间中点的位置呢？
知识点一 空间向量的坐标
1.空间直角坐标系
如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴： ，它们都叫作坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为 平面、 平面和 平面.
2.空间中点的坐标的求法
如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P的坐标，记作 .
【想一想】
在空间直角坐标系中，向量（O为坐标原点）的坐标与终点P的坐标有何关系？
知识点二 空间向量的坐标表示及运算
1.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a＝ .
2.空间向量的坐标运算
（1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
则a＋b＝ .
a－b＝ ，
λa＝ （λ∈R）.
（2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝－＝ .这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 坐标减去它的 坐标.
知识点三 空间向量平行的坐标表示
已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，则a∥b b＝λa （λ∈R）.
1.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（ ）
A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2）
C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3）
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M的坐标为 .
3.设a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，则m＋n＝ .
题型一 空间中点的坐标表示
【例1】 （1）在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）
A.（0，，0） B.（0，，）
C.（1，0，） D.（1，，0）
（2）（2024·淮安月考）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
通性通法
1.求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影求解；（2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标.
2.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题求解.其规律为“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”.
【跟踪训练】
1.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为 .
2.点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
题型二 空间向量的坐标表示及运算
角度1 空间向量的坐标表示
【例2】 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标.
通性通法
用坐标表示空间向量的步骤
角度2 空间向量的坐标运算
【例3】 （链接教科书第23页例2）（1）已知a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.则a＋6b－8c＝ ；
（2）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），若＝（－），则点P的坐标为 .
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【跟踪训练】
1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（ ）
A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
2.（2024·南通月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ）
A. B.9 C. D.0
题型三 空间向量平行的坐标表示及应用
【例4】 （链接教科书第23页例3）已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D（3，－5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形.
通性通法
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.
【跟踪训练】
1.若四边形ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则顶点D的坐标为（ ）
A.（5，12，－2） B.（12，5，－2）
C.（5，13，－3） D.（13，5，－3）
2.（2024·盐城月考）已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，则实数n＝（ ）
A.6 B.－6
C.4 D.－4
1.已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则向量b＝（ ）
A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2）
C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3）
2.点P（3，0，2）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A.y轴上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
3.（多选）已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）与b＝（6，2λ，0）共线，则实数λ的值可能是（ ）
A.－3 B.2
C. D.0
4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，向量的坐标为 .
第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.x轴、y轴、z轴 xOy yOz zOx
2.P（x，y，z）
想一想
提示：O为坐标原点，向量的坐标与点P的坐标相同.
知识点二
1.（a1，a2，a3） 2.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） （x1－x2，y1－y2，z1－z2） （λx1，λy1，λz1） （2）（x2－x1，y2－y1，z2－z1） 终点 起点
知识点三
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
自我诊断
1.B ∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故选B.
2.（1，－2，1） 解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1）.
3.6 解析：∵a∥b，∴＝＝，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝6.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）（2，－3，1）
解析：（1）由于垂足在yOz平面内，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0，即Q（0，，）.
（2）点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）.
跟踪训练
1. 解析：由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为.
2.（1，1，－1） （－1，－1，1）
解析：点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，1，－1），点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）.
【例2】 解：因为＝－＝－（＋）
＝－
＝－－－，
所以＝（－2，－1，－4）.
因为＝－＝－（＋）
＝－－，所以＝（－4，2，－4）.
【例3】 （1）（14，－3，3） （2）（5，，0） 解析：（1）∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）.
（2）∵＝（2，6，－3），＝（－4，3，1），∴－＝（6，3，－4），∴（－）＝（3，，－2）.设点P的坐标为（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.∵＝（－），∴解得则点P的坐标为（5，，0）.
跟踪训练
1.D ∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2.A ∵a，b，c三向量不能构成空间的一个基底，∴这三个向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝.故选A.
【例4】 证明：∵＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6），
∴＝＝，
∴与共线，即AB∥CD，
又∵＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1），
＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2），
∴≠≠，
∴与不平行.
∴四边形ABCD为梯形.
跟踪训练
1.C 由四边形ABCD是平行四边形知＝.设D（x，y，z），则＝（x－4，y－1，z－3），又＝（1，12，－6），所以解得即D点坐标为（5，13，－3）.
2.D 因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1，－1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，所以存在实数λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得故选D.
随堂检测
1.A 由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝（2，－4，2）.故选A.
2.C 因为P点的y轴坐标为0，其他坐标不为0，故点P（3，0，2）在Ozx面上.
3.AB ∵a∥b，∴存在实数k使得a＝kb，∴解得λ＝－3或λ＝2.故选A、B.
4. 解析：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k.
因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，所以＝.
5 / 5(共68张PPT)
第1课时
空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了
解空间直角坐标系 数学抽象、直观想象
2.能在空间直角坐标系中写出所给
定点、向量的坐标 数学抽象、直观想象
3.掌握空间向量的线性运算的坐标
表示 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直
线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序
实数来刻画点在平面内的位置.
【问题】 怎样才能刻画空间中点的位置呢？
1. 空间直角坐标系
如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，
k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向
建立三条数轴： ，它们都叫作坐
标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称
为 平面、 平面和 平面.
x轴、
y轴、z轴
xOy
yOz
zOx
知识点一 空间向量的坐标
2. 空间中点的坐标的求法
如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称
向量 为点P的位置向量.把与向量 对应的有序实数组（x，
y，z）叫作点P的坐标，记作 .
P（x，y，z）
【想一想】
在空间直角坐标系中，向量 （O为坐标原点）的坐标与终点P
的坐标有何关系？
提示：O为坐标原点，向量 的坐标与点P的坐标相同.
知识点二 空间向量的坐标表示及运算
1. 空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间
向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝
a1i＋a2j＋a3k.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记作a＝ .
（a1，a2，a3）
2. 空间向量的坐标运算
（1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
则a＋b＝ .
a－b＝ ，
λa＝ （λ∈R）.
（2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝ －
＝ .这就是说，一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的 坐标减去它
的 坐标.
（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）
（x1－x2，y1－y2，z1－z2）
（λx1，λy1，λz1）
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
终点
起点
知识点三 空间向量平行的坐标表示
已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，则
a∥b b＝λa （λ∈R）.
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
1. 已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝
（ ）
A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2）
C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3）
解析： ∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝
（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故选B.
2. 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M的坐标
为 .
解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的
中点M的坐标为（1，－2，1）.
（1，－2，1）
3. 设a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，则m
＋n＝ .
解析：∵a∥b，∴ ＝ ＝ ，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝
6.
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间中点的坐标表示
【例1】 （1）在空间直角坐标系中，已知点P（1， ， ），过
点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ B ）
解析： 由于垂足在yOz平面内，所以纵坐标、竖坐标不
变，横坐标为0，即Q（0， ， ）.
B
（2）（2024·淮安月考）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的
对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z
轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
解析： 点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的
坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标
为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－
3，1）.
（2，－3，1）
通性通法
1. 求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影
求解；（2）利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点P
的坐标.
2. 空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题求解.其
规律为“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”.
解析：由题意知PO＝ ＝ ＝ ，
点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标
轴上的坐标分别为－ ，0， ，所以点M的坐标为
.
2. 点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为
；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
解析：点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，
1，－1），点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）.
（1，1，－
1）
（－1，－1，1）
题型二 空间向量的坐标表示及运算
角度1 空间向量的坐标表示
【例2】 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以 ， ， 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求 ， 的坐标.
解：因为 ＝－ ＝－（ ＋ ）
＝－ ＝－ － － ，
所以 ＝（－2，－1，－4）.
因为 ＝ － ＝ －（ ＋ ）
＝ － － ，所以 ＝（－4，2，－4）.
通性通法
用坐标表示空间向量的步骤
角度2 空间向量的坐标运算
【例3】 （链接教科书第23页例2）（1）已知a＝（2，－3，1），
b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.则a＋6b－8c＝
；
解析： ∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）.
（2）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，
2），（4，5，－1），（－2，2，3），若 ＝ （ －
），则点P的坐标为 .
（14，－3，
3）
（5， ，0）
解析： ∵ ＝（2，6，－3）， ＝（－4，3，1），
∴ － ＝（6，3，－4），∴ （ － ）＝（3， ，－
2）.设点P的坐标为（x，y，z），则 ＝（x－2，y＋1，z
－2）.∵ ＝ （ － ），∴解得
则点P的坐标为（5， ，0）.
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运
用空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后
通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【跟踪训练】
1. 已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝2a，则
点B的坐标为（ ）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析： ∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，
8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0），
＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），
∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2. （2024·南通月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，
－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三个向量不能构成空间的
一个基底，则实数λ的值为（ ）
B. 9
D. 0
解析： ∵a，b，c三向量不能构成空间的一个基底，∴这三个
向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，
λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－
m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝ .故选A.
题型三 空间向量平行的坐标表示及应用
【例4】 （链接教科书第23页例3）已知四边形ABCD的顶点坐标分
别是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D
（3，－5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形.
证明：∵ ＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），
＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6），
∴ ＝ ＝ ，
∴ 与 共线，即AB∥CD，
又∵ ＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1），
＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2），
∴ ≠ ≠ ，
∴ 与 不平行.
∴四边形ABCD为梯形.
通性通法
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，
y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或 ＝ ＝ （x2，y2，z2都不
为0）判断两向量是否平行.
【跟踪训练】
1. 若四边形ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，
1），C（3，7，－5），则顶点D的坐标为（ ）
A. （5，12，－2） B. （12，5，－2）
C. （5，13，－3） D. （13，5，－3）
解析： 由四边形ABCD是平行四边形知 ＝ .设D（x，
y，z），则 ＝（x－4，y－1，z－3），又 ＝（1，12，－
6），所以解得即D点坐标为（5，13，
－3）.
2. （2024·盐城月考）已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，
1）.若向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，则实数n＝
（ ）
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
解析： 因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b
＝（1，－1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平
行，所以存在实数λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得
故选D.
1. 已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则向量b
＝（ ）
A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2）
C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3）
解析： 由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝
（2，－4，2）.故选A.
2. 点P（3，0，2）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A. y轴上 B. Oxy面上
C. Ozx面上 D. Oyz面上
解析： 因为P点的y轴坐标为0，其他坐标不为0，故点P（3，
0，2）在Ozx面上.
3. （多选）已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）与b＝（6，2λ，0）
共线，则实数λ的值可能是（ ）
A. －3 B. 2
D. 0
解析： ∵a∥b，∴存在实数k使得a＝kb，∴
解得λ＝－3或λ＝2.故选A、B.
4. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC
的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，向量
的坐标为 .
解析：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设 ＝i， ＝j， ＝
k.
因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
（ ＋ ＋ ）＝－ ＋ ＋ （－ ＋ ＋ ）＝
＋ ＝ j＋ k，所以 ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，
b＝－2e1－3e2＋7e3，则a＋b＝（ ）
A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10）
C. （－2，11，10） D. （2，11，－10）
解析： a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间的
一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
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2. 已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O为坐
标原点），则点C的坐标是（ ）
解析： ∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）
＝ .∴点C的坐标为 .故选B.
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3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
1， ＝－ ，则 ＝（ ）
解析： 记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则
＝i， ＝j， ＝k，又 ＝ ＋ ， ＝－
，所以 ＝ － ＝－ j＋k＝（0，－ ，1）.
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4. （2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），
且（ka＋b）∥（a－2b），则实数k的值为（ ）
解析： 向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），则ka＋b＝
（k＋3，2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因为
（ka＋b）∥（a－2b），则 ＝ ＝ ，解得k＝－ ，所
以实数k的值为－ .故选C.
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5. （多选）如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，
OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝ ，则下列向量坐标
表示正确的有（ ）
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解析： 设x，y，z轴正方向的单位向量分别为i，j，k，则
＝i， ＝3j， ＝2k，所以 ＝（0，3，0），故A不正
确；因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＝（1，0，2），
故B正确；因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以
＝（ ，3，2），故C正确；因为 ＝ ＋ ＝ ＋
，所以 ＝（ ，3，0），故D不正确.故选B、C.
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6. （多选）下列各命题正确的是（ ）
A. 点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3）
C. 点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1
D. 设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4）
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解析： A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相
反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关
于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则 的对称
点为 ，正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x
坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D
项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j
＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D.
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7. 已知空间向量m＝（1，－3，5），n＝（－2，2，－4），则m＋
n＝ ，3m－n＝ .
解析：m＋n＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，
1），3m－n＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，
19）.
（－1，－1，1）
（5，－11，19）
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8. （2024·扬州月考）已知点A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，
μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ
＝ ，μ＝ .
解析：因为 ＝（λ－1，1，λ－2μ－3）， ＝（2，－2，
6），由A，B，C三点共线，得 ∥ ，即 ＝－ ＝
，解得λ＝0，μ＝0.
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9. 三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝
PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角
坐标系Bxyz，则向量 的坐标为 .
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解析：因为AB＝BC＝PB＝1，所以可设 ＝i， ＝j， ＝
k，所以 ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝
－ ＝ i－ k＝ .
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10. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点，并且AB＝AP＝1，以{ ， ， }为单位正交基底建立
如图所示的空间直角坐标系，求 ， 的坐标.
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解：设 ＝e1， ＝e2， ＝e3，则 ＝ ＝e2，
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）
＝－ e2＋e3＋ （－e3－e1＋e2）
＝－ e1＋ e3，
∴ ＝（－ ，0， ）， ＝（0，1，0）.
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11. 如图，空间四边形ABCD中，若向量 ＝（－3，5，2）， ＝
（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则
的坐标为（ ）
A. （2，3，3） B. （－2，－3，－3）
C. （5，－2，1） D. （－5，2，－1）
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解析： 取AC中点M，连接ME，MF（图略），则 ＝
＝（－ ， ，1）， ＝ ＝（－ ，－ ，－2），所以
＝ － ＝（－2，－3，－3），故选B.
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12. （多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝
4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建
立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点B1的坐标为（4，5，3）
B. 点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3）
C. 点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3）
D. 点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0）
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解析： 由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1
（0，5，3）关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关
于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平
面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，
B错误.故选A、C、D.
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13. （2024·常州质检）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，
1），C（3，7，－5），D（x，－1，3）共面，则x的值
为 .
11
解析： ＝（－2，2，－2）， ＝（－1，6，－8）， ＝
（x－4，－2，0）.因为A，B，C，D四点共面，所以 ，
， 共面，所以存在实数λ，μ，使 ＝λ ＋μ ，
即（x－4，－2，0）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－
8μ），所以解得
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14. （2024·南京月考）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，
1，2），C（－3，0，4）.
（1）求 ＋ ， － ；
（1） ＋ ＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）.
－ ＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）.
解： ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
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（2）是否存在实数x，y，使得 ＝x ＋y 成立？若存
在，求x，y的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在x，y∈R满足条件，
由已知可得 ＝（－2，－1，2）.
由题意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2），
所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y），
所以所以
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立.
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15. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在
平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
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解：如图所示，以D为原点， ， ， 的
方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直
角坐标系.
设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，
0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）.
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为（ ，0， ）.
因为点H在平面ABCD上，所以设点H的坐标为（m，n，0）.
因为 ＝（m，n，0）－（ ，0， ）＝（m－ ，n，－ ），
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＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），
又 ∥ ，
所以 ＝ ＝ ，解得m＝1，n＝ .
所以点H的坐标为（1， ，0），即H为线段AB
的中点.
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谢 谢 观 看！
