章末检测（六） 空间向量与立体几何
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋（＋）＝（ ）
A. B.
C. D.
2.已知平面α的一个法向量为a＝（1，2，－2），平面β的一个法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（ ）
A.4 B.－4
C.5 D.－5
3.已知a＝（cos α，1，sin α），b＝（sin α，1， cos α），则向量a＋b与a－b的夹角是（ ）
A.90° B.60°
C.30° D.0°
4.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则＝（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b－c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
5.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝（ ）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
6.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为0），点P（x0，y0，z0）到平面α的距离d＝.那么，在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d＝（ ）
A. B.
C.2 D.5
7.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，1），下列结论正确的有（ ）
A.＝（－1，－1，3）
B.若m＝（2，1，1），则m⊥
C.点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，－2，2）
D.｜｜＝
10.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1-AE-D的平面角为α，则（ ）
A.DF⊥平面AED1 B.d＝
C.sin θ＝ D.cos α＝
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足·＝0.则下列说法正确的是（ ）
A.点M的轨迹是圆
B.点M到直线AB的最远距离为4＋
C.直线AB到平面PDC的距离为2
D.点D到平面PBC的距离为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若A（－1，2，3），B（2，－4，1），C（x，－1，－3）是以BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝ .
13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点，则直线B1C到平面A1BD的距离为 .
14.有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，如图，则折叠后·＝ ，线段BD的长是 cm.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.
（1）求a与b的夹角θ的余弦值；
（2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
16.（本小题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.
求证：（1）AE∥平面BCF；
（2）CF⊥平面AEF.
17.（本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
（1）求直线BF与平面ABCD所成角的大小；
（2）求点A到平面FBD的距离.
18.（本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中点.
（1）求证：C1B⊥平面ABC；
（2）求二面角A-EB1-A1的余弦值；
（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）如图，已知向量＝a，＝b，＝c，可构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果仍为一个向量，记作p.
（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；
（2）若a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜的大小；
（3）将四边形OADB按向量＝c平移，得到一个平行六面体OADB-CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
章末检测（六） 空间向量与立体几何
1.A 在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝（＋），从而＋（＋）＝＋＝.
2.D ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
3.A ∵｜a｜2＝2，｜b｜2＝2，（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
4.C 因为BN＝NC，所以＝（＋）.因为OM＝2MA，所以＝，所以＝－＝（＋）－＝－a＋b＋c，故选C.
5.B 在正四面体ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点，所以＝＋，＝.则·＝（＋）·＝·＋·.因为是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝，即·＝0，·＝｜AB｜·｜AD｜cos ＝，所以·＝，故选B.
6.B 以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图，则O（0，0，0），A（1，1，0），B（－1，1，0），P（0，0，2）.设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将点A，B，P的坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PAB的方程可化为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝.
7.A 如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF 平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（ －1，－，0），E（ 0，－，），B（ 1，，0），F（ 0，，），∴＝（1，1，），＝（－1，－1，），∴·＝－1×1＋1×（－1）＋×＝0，∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A.
8.C 如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.连接D1E，所以＝（1，1，－1），＝（－1，2，0），＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则即所以令a＝2，则n＝（2，1，2）.点E到平面ACD1的距离为d＝＝.
9.AB ∵A（1，2，－2），B（0，1，1），∴＝（－1，－1，3），｜｜＝＝，A正确，D错误；若m＝（2，1，1），则m·＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，则m⊥，B正确；点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，2），C错误.故选A、B.
10.BCD 以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，0），E（2，1，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），A1（0，0，2），F（2，0，1），∴＝（2，1，0），＝（0，2，2），＝（2，－1，0），＝（2，－2，1）.设平面AED1的法向量为m＝（x，y，z），则由得令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝（1，－2，2）.∵＝（2，－2，1），不存在λ使m＝λ，即与m不共线，∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；又∵＝（0，0，2），∴d＝＝＝，故B正确；又＝（2，－1，0）.∴sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝＝，故C正确；又＝（0，0，2）为平面AED的一个法向量，由图知α为锐角，∴cos α＝＝＝，故D正确.
11.AD 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则P（2，0，2），C（0，4，0），设M（a，b，0），∴＝（2－a，－b，2），＝（－a，4－b，0）.·＝0，即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴点M的轨迹是在平面ABCD内以点O（1，2）为圆心，为半径的圆，∴A正确；由A知，点M到直线AB的最远距离为4－1＋＝3＋，∴B错误；由题意可知AB∥平面PDC，∴点A到平面PDC的距离即为直线AB到平面PDC的距离.由题意得平面PDC的一个法向量为n＝（－，0，1），又∵＝（4，0，0），∴直线AB到平面PDC的距离d1＝＝＝2，∴C错误；由题意得平面PBC的一个法向量m＝（0，，2），＝（0，4，0），∴点D到平面PBC的距离d2＝＝＝，∴D正确.
12.－11 解析：由题意得＝（3，－6，－2），＝（x＋1，－3，－6），∴·＝3（x＋1）＋18＋12＝0，解得x＝－11.
13. 解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则知点B1（0，2，3），B（0，2，0），A1（－1，0，3），C（1，0，0），＝（－1，2，3），＝（0，2，3），＝（0，2，0），＝（－1，0，3）.设平面A1BD的一个法向量为n＝（x，y，z），所以即即令z＝1，则n＝（3，0，1）.所以n·＝0，所以B1C∥平面A1BD，知直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.所求距离为d＝＝.
14.－7 解析：如图所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，则AC＝5，DE＝BF＝，AE＝CF＝，EF＝，所以·＝·（＋）＝·＋·＝5×4×（－）＋5×3×＝－7，｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋0＋0＋0＝（）2＋（）2＋（）2＝，得BD＝.
15.解：（1）a＝＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
b＝＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
cos θ＝＝＝－.
所以a与b的夹角θ的余弦值为－.
（2）因为ka＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4），
所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，
所以k＝－或k＝2.
16.证明：取BC中点H，连接OH，
则OH∥BD，
又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，
故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），C（－1，0，0），D（1，－2，0），F（0，0，），B（1，2，0）.
＝（－2，－2，0），＝（1，0，），
＝（－1，－2，）.
（1）设平面BCF的一个法向量为n＝（x，y，z）.
则即
取z＝1，得n＝（－，，1）.
又四边形BDEF为平行四边形，∴＝＝（－1，－2，），
∴＝＋＝＋＝（－2，－2，0）＋（－1，－2，）＝（－3，－4，），
∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，
又AE 平面BCF，∴AE∥平面BCF.
（2）＝（－3，0，），
∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
17.解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A（0，1，0），B（－，0，0），C（0，－1，0），D（，0，0），F（0，1，2）.
（1）由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），
又＝（，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ，
则有sin θ＝｜cos＜m，＞｜
＝＝＝.
即θ＝45°，所以直线BF与平面ABCD所成角为45°.
（2）因为＝（2，0，0），＝（，1，2），
设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为＝（0，0，2），
所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝.
18.解：（1）证明：因为BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，所以BC1＝.所以BC2＋B＝C，所以BC1⊥BC.
因为AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1.
又因为AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以直线C1B⊥平面ABC.
（2）以B为原点，，和的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则知点A（0，0，2），B1（－1，，0），E（，，0），A1（－1，，2）.
设平面AB1E的一个法向量为n＝（x1，y1，z1），＝（－1，，－2），＝（，，－2），
因为
所以
令y1＝，则x1＝1，z1＝1，所以n＝（1，，1）.
设平面A1B1E的一个法向量为m＝（x，y，z），＝（0，0，－2），＝（，－，－2），
因为所以令y＝，则x＝1，所以m＝（1，，0）.
因为｜m｜＝2，｜n｜＝，m·n＝4，所以cos＜m，n＞＝＝＝.
设二面角A-EB1-A1为α，
则cos α＝cos＜m，n＞＝，
所以二面角A-EB1-A1的余弦值为.
（3）假设存在点M（x，y，z），设＝λ，λ∈[0，1]，所以（x－1，y，z）＝λ（－1，0，2），所以M点坐标为（1－λ，0，2λ），
所以＝（－λ，－，2λ）.
由（2）知平面A1B1E的一个法向量为m＝（1，，0），所以＝，
得69λ2－38λ＋5＝0，即（3λ－1）（23λ－5）＝0，
所以λ＝或λ＝，所以＝或＝.
19.解：（1）证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0，
所以p⊥a，即p⊥，
因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，
所以p⊥b，即p⊥，
又因为OA∩OB＝O，
所以向量p为平面OAB的法向量.
（2）cos∠AOB＝＝＝，则sin∠AOB＝，
故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜sin∠AOB＝3×3×＝6，
由a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3，0，－3），
所以｜a×b｜＝＝6，
所以S四边形OADB＝｜a×b｜.
（3）设点C到平面OAB的距离为h，与平面OAB所成的角为α，
则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜sin α，由（1）得向量p为平面OAB的法向量，
则｜cos＜a×b，c＞｜＝sin α，又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜cos＜a×b，c＞，
所以V＝｜（a×b）·c｜.
4 / 4(共45张PPT)
章末检测（六）
空间向量与立体几何
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ＋ （ ＋
）＝（ ）
解析： 在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以 ＝
（ ＋ ），从而 ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 已知平面α的一个法向量为a＝（1，2，－2），平面β的一个法
向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（ ）
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
解析： ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝
－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 已知a＝（ cos α，1， sin α），b＝（ sin α，1， cos α），则
向量a＋b与a－b的夹角是（ ）
A. 90° B. 60°
C. 30° D. 0°
解析： ∵｜a｜2＝2，｜b｜2＝2，（a＋b）·（a－b）＝｜
a｜2－｜b｜2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 如图，在空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，且
OM＝2MA，BN＝NC，则 ＝（ ）
解析： 因为BN＝NC，所以 ＝ （ ＋ ）.因为OM＝
2MA，所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ （ ＋ ）
－ ＝－ a＋ b＋ c，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中
点，则 · ＝（ ）
A. a2
解析： 在正四面体ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中
点，所以 ＝ ＋ ， ＝ .则 · ＝（ ＋
）· ＝ · ＋ · .因为是正四面体，所以
BE⊥AD，∠BAD＝ ，即 · ＝0， · ＝｜AB｜·｜
AD｜ cos ＝ ，所以 · ＝ ，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋
D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为0），点P
（x0，y0，z0）到平面α的距离d＝ .那么，
在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中，底面中心O到侧面
PAB的距离d＝（ ）
C. 2 D. 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 以底面中心O为原点，建立空间直角坐标
系O-xyz，如图，则O（0，0，0），A（1，1，
0），B（－1，1，0），P（0，0，2）.设平面PAB
的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将点A，B，P的
坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－ D，所以平面PAB的方程可化为－Dy－ Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，
书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形
ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正
三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为
（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 如图，以矩形ABCD的中心O为原
点， 的方向为x轴正方向建立空间直角坐
标系.∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，
△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF 平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（ －1，－ ，0），E（ 0，－ ， ），B（ 1， ，0），F（ 0， ， ），∴ ＝（1，1， ）， ＝（－1，－1， ），∴ · ＝－1×1＋1×（－1）＋ × ＝0，∴
⊥ ，∴异面直线DE与BF所成的角为 .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点
E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 如图，以D为坐标原点，以DA，DC，
DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，1），
E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.
连接D1E，所以 ＝（1，1，－1）， ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则即所以令a＝2，则n＝（2，1，2）.点E到平面ACD1的距离为d＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，
1），下列结论正确的有（ ）
C. 点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，－2，2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： ∵A（1，2，－2），B（0，1，1），∴ ＝（－
1，－1，3），｜ ｜＝ ＝ ，A正确，D错误；若
m＝（2，1，1），则m· ＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝
0，则m⊥ ，B正确；点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，
2，2），C错误.故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中
点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE
与平面AED1所成的角为θ，二面角D1-AE-D的平面角为α，则
（ ）
A. DF⊥平面AED1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 以A为坐标原点， ， ， 分别为x，y，z
轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，
0），E（2，1，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），A1
（0，0，2），F（2，0，1），∴ ＝（2，1，0）， ＝
（0，2，2）， ＝（2，－1，0）， ＝（2，－2，1）.
设平面AED1的法向量为m＝（x，y，z），则由
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
得令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝（1，－
2，2）.∵ ＝（2，－2，1），不存在λ使m＝λ ，即
与m不共线，∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；又
∵ ＝（0，0，2），∴d＝ ＝ ＝ ，故B正
确；又 ＝（2，－1，0）.∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜
＝ ＝ ，故C正确；又 ＝（0，0，2）为平面
AED的一个法向量，由图知α为锐角，∴ cos α＝
＝ ＝ ，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，
底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD
上的动点，且满足 · ＝0.则下列说法正确的是（ ）
A. 点M的轨迹是圆
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系D-
xyz，则P（2，0，2 ），C（0，4，0），设M
（a，b，0），∴ ＝（2－a，－b，2 ），
＝（－a，4－b，0）. · ＝0，即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴点M的轨迹是在平面ABCD内以点O（1，2）为圆心， 为半径的圆，∴A正确；由A知，点M到直线AB的最远距离为4－1＋ ＝3＋ ，∴B错
误；由题意可知AB∥平面PDC，∴点A到平面PDC的距离即为直线AB到平面PDC的距离.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由题意得平面PDC的一个法向量为n＝（－ ，0，1），
又∵ ＝（4，0，0），∴直线AB到平面PDC的距离d1＝ ＝ ＝2 ，∴C错误；由题意得平面PBC的一个法向量m＝（0， ，2）， ＝（0，4，0），∴点D到平面PBC的距离d2＝ ＝ ＝ ，∴D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若A（－1，2，3），B（2，－4，1），C（x，－1，－3）是以
BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝ .
解析：由题意得 ＝（3，－6，－2）， ＝（x＋1，－3，－
6），∴ · ＝3（x＋1）＋18＋12＝0，解得x＝－11.
－11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是
AC的中点，则直线B1C到平面A1BD的距离为 .
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直
角坐标系，则知点B1（0，2 ，3），B（0，
2 ，0），A1（－1，0，3），C（1，0，0），
＝（－1，2 ，3）， ＝（0，2 ，
3）， ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，0，3）.设平面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A1BD的一个法向量为n＝（x，y，z），所以即
即令z＝1，则n＝（3，0，1）.所
以n· ＝0，所以B1C∥平面A1BD，知直线B1C到平面A1BD
的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.所求距离为d＝
＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3
cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，如图，
则折叠后 · ＝ ，线段BD的长是 cm.
－7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：如图所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足
分别为E，F，则AC＝5，DE＝BF＝ ，AE＝
CF＝ ，EF＝ ，所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝5×4×（－ ）＋5×3× ＝－7，｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋
2 · ＋2 · ＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋0＋0＋0＝（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＝ ，得BD＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，
1，2），C（－3，0，4），设a＝ ，b＝ .
（1）求a与b的夹角θ的余弦值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： a＝ ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝
（1，1，0），
b＝ ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，
2）.
cos θ＝ ＝ ＝－ .
所以a与b的夹角θ的余弦值为－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
解： 因为ka＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝
（k－1，k，2），
ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－
4），
所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k
＋2）＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－ 或k＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝ ，且FO⊥平面ABCD.
求证：（1）AE∥平面BCF；
证明：取BC中点H，连接OH，
则OH∥BD，
又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），C（－1，0，0），D（1，－2，0），F（0，0， ），B（1，2，0）.
＝（－2，－2，0）， ＝（1，0， ），
＝（－1，－2， ）.
（1）设平面BCF的一个法向量为n＝（x，y，z）.
则即
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
取z＝1，得n＝（－ ， ，1）.
又四边形BDEF为平行四边形，
∴ ＝ ＝（－1，－2， ），
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（－2，－2，0）＋（－1，－2， ）＝（－3，－4， ），
∴ ·n＝3 －4 ＋ ＝0，∴ ⊥n，
又AE 平面BCF，∴AE∥平面BCF.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）CF⊥平面AEF.
证明： ＝（－3，0， ），
∴ · ＝－3＋3＝0， · ＝－3＋3
＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥AF，
CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
（1）求直线BF与平面ABCD所成角的大小；
解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和
矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易
得AF⊥平面ABCD. 以O点为坐标原点，
以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y
轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A（0，1，0），B（－ ，0，0），
C（0，－1，0），D（ ，0，0），F（0，1，2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（1）由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），
又 ＝（ ，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ，
则有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ .即θ＝45°，所以直
线BF与平面ABCD所成角为45°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求点A到平面FBD的距离.
解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2），
设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为 ＝（0，0，2），
所以点A到平面FBD的距离d＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝ ，BC＝1，AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中点.
（1）求证：C1B⊥平面ABC；
解： 证明：因为BC＝1，CC1＝2，
∠BCC1＝ ，所以BC1＝ .所以BC2＋B ＝C ，所以BC1⊥BC.
因为AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1.
又因为AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以直线C1B⊥平面ABC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求二面角A-EB1-A1的余弦值；
解： 以B为原点， ， 和 的
方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则知点A（0，0，2），B1（－1， ，
0），E（ ， ，0），A1（－1， ，2）.
设平面AB1E的一个法向量为n＝（x1，y1，z1）， ＝（－1， ，－2）， ＝（ ， ，－2），
因为所以令y1＝ ，则x1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
＝1，z1＝1，所以n＝（1， ，1）.
设平面A1B1E的一个法向量为m＝（x，y，z）， ＝（0，0，－2）， ＝（ ，－ ，－2），
因为所以令y＝ ，则x＝1，
所以m＝（1， ，0）.
因为｜m｜＝2，｜n｜＝ ，m·n＝4，
所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
设二面角A-EB1-A1为α，则 cos α＝ cos ＜m，n＞＝ ，所以二面角A-EB1-A1的余弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角
的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由.
解： 假设存在点M（x，y，z），设
＝λ ，λ∈[0，1]，所以（x－1，
y，z）＝λ（－1，0，2），所以M点坐标
为（1－λ，0，2λ），
所以 ＝（ －λ，－ ，2λ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由（2）知平面A1B1E的一个法向量为m＝（1， ，0），
所以 ＝ ，
得69λ2－38λ＋5＝0，即（3λ－1）（23λ－5）＝0，
所以λ＝ 或λ＝ ，所以 ＝ 或 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）如图，已知向量 ＝a，
＝b， ＝c，可构成空间向量的一个基
底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，
b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运
算法则的基础上，新定义一种运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果仍为一个向量，记作p.
（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3
＋a3a1b2－a3a2b1＝0，所以p⊥a，即p⊥ ，
因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，
所以p⊥b，即p⊥ ，
又因为OA∩OB＝O，
所以向量p为平面OAB的法向量.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），求以OA，
OB为邻边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形
OADB的面积与｜a×b｜的大小；
解：∠AOB＝ ＝ ＝ ，则 sin ∠AOB＝ ，
故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜ sin ∠AOB＝3×3× ＝6 ，
由a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3 ，0，－3），
所以｜a×b｜＝ ＝6 ，所以S四边形OADB＝｜a×b｜.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）将四边形OADB按向量 ＝c平移，得到一个平行六面体
OADB-CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）
·c｜的大小.（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
解： 设点C到平面OAB的距离为h， 与平面OAB所成的角为α，
则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜ sin α，
由（1）得向量p为平面OAB的法向量，
则｜ cos ＜a×b，c＞｜＝ sin α，
又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜ cos ＜a×b，c＞，
所以V＝｜（a×b）·c｜.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！
