6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
1. 在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是（ ）
A.（1，1，1） B.（0，－1，0）
C.（1，2，0） D.（0，1，1）
2.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，1，2），则下列各点中，在平面α内的是（ ）
A.P（1，－1，1） B.Q
C.M D.N
3.从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜｜＝34，则B点的坐标为（ ）
A.（18，17，－17） B.（－14，－19，17）
C. D.
4.（2024·淮安月考）已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（ ）
A.－3或1 B.3或－1
C.－3 D.1
5.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是（ ）
A.（1，1，） B.（1，，1）
C.（1，1，1） D.（2，－2，1）
6.（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（ ）
A.平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
B.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
（1）直线AB的方向向量有 个；
（2）平面AA1B1B的法向量有 个.
8.已知直线l1的一个方向向量为（－5，3，2），另一个方向向量为（x，y，8），则x＝ ，y＝ .
9.（2024·南通质检）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
10.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量.
11.（多选）已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向量，则（ ）
A.m＝－1 B.m＝1
C.n＝2 D.n＝－2
12.（2024·常州质检）若A，B（1，－1，），C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝ .
13.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为 ，点P的坐标满足的条件为 .
14.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
15.（2024·无锡月考）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.
（1）求证：是平面ABCD的法向量；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.B y轴方向向量可以表示为（0，k，0）（k≠0），所以（0，－1，0）是y轴方向向量.
2.B 对于B，＝，则n·＝（3，1，2）·＝0，∴n⊥，则点Q在平面α内.
3.A 设B点坐标为（x，y，z），则＝λa（λ＞0），即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
4.A 由题意得解得或故x＋y＝－3或x＋y＝1.
5.A 因为P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），所以＝（1，0，－2），＝（－1，1，0），设平面PAB的一个法向量为n＝（x，y，1），由则解得所以n＝（2，2，1）.又（1，1，）＝n.因此，平面PAB的一个法向量为（1，1，）.
6.AC ∵＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；∵＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，CD1 平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确.
7.（1）8 （2）8 解析：（1）直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个.
（2）平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个.
8.－20 12 解析：∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12.
9.x＋2y－3z＝0 解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0.
10.解：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c，
所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c.
＝＋＝＋
＝＋
＝＋＝b＋c，
所以直线AE的一个方向向量为b＋c.
11.AC c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c为平面α的一个法向量，得得解得
12.2∶3∶－4 解析：∵A，B，C，∴＝，＝（－2，－1，－）.又∵∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶－4.
13.（1，1，1）（答案不唯一） x＋y＋z＝3
解析：由题意知，直线OA的一个方向向量为＝（1，1，1）.因为A∈α，P∈α，OA⊥α，所以⊥，所以（1，1，1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3.
14.解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）.
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）.
设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），
则n⊥，n⊥，
∴
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，
∴n＝（2，－1，1）.
∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量.
（答案不唯一）
15.解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量.
（2）因为｜｜＝＝，
｜｜＝＝2，
·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以cos＜，＞＝＝，
故sin＜，＞＝，
S ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8.
2 / 26.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象
2.理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象
3.会求直线的方向向量与平面的法向量 直观想象、数学运算
如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1.
【问题】 （1）能不能利用空间向量及一点确定直线AB在空间中的位置？
（2）怎样借助空间向量及一点来刻画空间平面的位置？
知识点一 直线的方向向量
把直线l上的向量e（e≠0）以及与e 的非零向量叫作直线l的方向向量.
提醒 与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作 .此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.
知识点三 平面方程的表示
1.在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示.
2.设平面α经过点P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n＝（A，B，C）的平面方程为 .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（ ）
（2）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点.（ ）
（3）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.（ ）
2.（多选）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A.（2，2，6） B.（1，1，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
3.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（ ）
A.（1，－1，1） B.（2，－1，1）
C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1）
题型一 直线的方向向量
【例1】 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 .
通性通法
直线方向向量的选取方法
（1）在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量；
（2）与共线的非零向量均可作为直线的方向向量.
【跟踪训练】
1.已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（ ）
A.0 B.1
C. D.3
2.（2024·泰州月考）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是 .
题型二 平面的法向量
【例2】 （链接教科书第29页例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
通性通法
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）；
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，；
（3）列方程组：由列出方程组；
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）；
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：是平面PAC的一个法向量.
题型三 平面方程的表示
【例3】 （链接教科书第30页例2）已知A（1，2，3），B（1，－1，－2），C（－1，0，0）.
（1）写出直线BC的一个方向向量；
（2）设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.
通性通法
求平面方程的两种方法
（1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量；
（2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相关点解方程即可.
【跟踪训练】
在空间直角坐标系中，已知点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），试求出经过A，B，C三点的平面的方程.
1.若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A.（－3，0，－6） B.（9，0，－6）
C.（－2，0，2） D.（－2，1，3）
2.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x＝（ ）
A.－1 B.1或－1
C.－3 D.1
3.（2024·扬州月考）已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），则平面ABC的一个法向量为（ ）
A.（0，1，－1） B.（－1，0，1）
C.（1，1，1） D.（－1，0，0）
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明是平面ABC1D1的法向量.
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
【基础知识·重落实】
知识点一
共线
知识点二
垂直于 n⊥α
知识点三
2.A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√
2.AB ＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）＝2，∴（1，1，3）和（2，2，6）均为直线l的方向向量，故选A、B.
3.C 显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n＝（x，y，z），则有即令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
【典型例题·精研析】
【例1】 （0，0，1） （0，1，1）（答案不唯一） 解析：∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）.∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），∴直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）.
跟踪训练
1.A ∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0.
2.（－3，1，1）或（3，1，1） 解析：设P（x，y，z），则＝（x，y－1，z－1），因为∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）.
【例2】 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E，C（1，，0），
于是＝，＝（1，，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）.
母题探究
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）.
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，）.
跟踪训练
证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1
所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0），
∴＝（1，1，2），＝（－2，2，0），
＝（－2，0，1），
∴·＝－2＋2＝0，
·＝－2＋2＝0，
∴⊥，⊥，即OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴是平面PAC的一个法向量.
【例3】 解：（1）由题意知＝（－1－1，0－（－1），0－（－2））＝（－2，1，2）.
所以直线BC的一个方向向量为（－2，1，2）（答案不唯一）.
（2）因为平面α经过点A（1，2，3），且M（x，y，z）是平面α内的任意一点，
则有＝（x－1，y－2，z－3），
又因为是平面α的法向量，
所以⊥，从而·＝0，
即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0，
整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求.
跟踪训练
解：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，
将点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分别代入，得∴2A＝3B＝4C，
∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12，
∴经过A，B，C三点的平面的方程为6x＋4y＋3z－12＝0.
随堂检测
1.B ＝（3，0，－2）＝（9，0，－6），故选B.
2.A 由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
3.A 设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由＝（－1，0，0），＝（1，－1，－1），可得即取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）.
4.证明：不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则D（0，0，0），A1（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
∴＝（1，0，1），＝（0，1，0），＝（－1，0，1）.
∴·＝0，·＝0，
∴DA1⊥AB且DA1⊥AD1，
又∵AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，∴DA⊥平面ABC1D1，
∴是平面ABC1D1的法向量.
3 / 3(共56张PPT)
6.3.1
直线的方向向量与平面的法向量
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象
2.理解直线的方向向量与平面的法
向量 数学抽象
3.会求直线的方向向量与平面的法
向量 直观想象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1.
【问题】 （1）能不能利用空间向量及一点确定直线AB在空间中的
位置？
（2）怎样借助空间向量及一点来刻画空间平面的位置？
知识点一 直线的方向向量
把直线l上的向量e（e≠0）以及与e 的非零向量叫作直线
l的方向向量.
提醒 与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线
l的方向向量有无数个.
共线
知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面α，那么
称向量n垂直于平面α，记作 .此时，我们把向量n叫作平
面α的法向量.
垂直于
n⊥α
知识点三 平面方程的表示
1. 在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来
表示.
2. 设平面α经过点P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α内任
意一点，则平面α的法向量为n＝（A，B，C）的平面方程
为 .
A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，
则 ·n＝0. （ √ ）
（2）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示
直线上的任意一点. （ √ ）
（3）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（ √ ）
√
√
√
2. （多选）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线
l的一个方向向量是（ ）
A. （2，2，6） B. （1，1，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
解析： ＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）
＝2 ，∴（1，1，3）和（2，2，6）均为直线l的方向向量，故
选A、B.
3. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该
平面的一个法向量为（ ）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
解析： 显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n＝（x，
y，z），则有即令z＝1，得x＝－
2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的方向向量
【例1】 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长
为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一
个方向向量为 .
（0，0，1）
（0，1，1）（答案不唯一）
解析：∵DD1∥AA1， ＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向
量为（0，0，1）.∵BC1∥AD1， ＝（0，1，1），∴直线BC1的
一个方向向量为（0，1，1）.
通性通法
直线方向向量的选取方法
（1）在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量 ；
（2）与 共线的非零向量均可作为直线的方向向量.
【跟踪训练】
1. 已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A
（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（ ）
A. 0 B. 1
D. 3
解析： ∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴ ＝（－1，
2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），
故设 ＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－
，y＝z＝ .∴y－z＝0.
2. （2024·泰州月考）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v
＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜ ｜＝3，则点P的坐标
是 .
解析：设P（x，y，z），则 ＝（x，y－1，z－1），因为
∥v，所以 ＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所
以P（λ，1，1），｜ ｜＝
＝3，解得λ＝±3.所以点
P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）.
（－3，1，1）或（3，1，1）
题型二 平面的法向量
【例2】 （链接教科书第29页例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝
1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个
法向量.
解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E ，C（1， ，0），
于是 ＝ ， ＝（1， ，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝ .
所以平面ACE的一个法向量为n＝（ ，－1， ）.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面
PCD的一个法向量.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，
，0），所以 ＝（1， ，－1），即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
因为D（0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）.
由即
所以令y＝1，则z＝ .
所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1， ）.
通性通法
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）；
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量 ， ；
（3）列方程组：由列出方程组；
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）；
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证： 是平面PAC的一个法向量.
证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1
所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，
0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0），
∴ ＝（1，1，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，1），
∴ · ＝－2＋2＝0，
· ＝－2＋2＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴ 是平面PAC的一个法向量.
题型三 平面方程的表示
【例3】 （链接教科书第30页例2）已知A（1，2，3），B（1，－
1，－2），C（－1，0，0）.
（1）写出直线BC的一个方向向量；
解： 由题意知 ＝（－1－1，0－（－1），0－（－
2））＝（－2，1，2）.
所以直线BC的一个方向向量为（－2，1，2）（答案不唯一）.
（2）设平面α经过点A，且 是α的一个法向量，M（x，y，z）
是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.
解： 因为平面α经过点A（1，2，3），且M（x，y，
z）是平面α内的任意一点，
则有 ＝（x－1，y－2，z－3），
又因为 是平面α的法向量，
所以 ⊥ ，从而 · ＝0，
即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0，
整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求.
通性通法
求平面方程的两种方法
（1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n· ＝0
求解，其中n为平面的法向量， 为平面内的任意向量；
（2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代
入相关点解方程即可.
【跟踪训练】
在空间直角坐标系中，已知点A（2，0，0），B（0，3，0），C
（0，0，4），试求出经过A，B，C三点的平面的方程.
解：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，
将点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分别代入，得
∴2A＝3B＝4C，
∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12，
∴经过A，B，C三点的平面的方程为6x＋4y＋3z－12＝0.
1. 若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直线l上，则直线l的一个方
向向量为（ ）
A. （－3，0，－6） B. （9，0，－6）
C. （－2，0，2） D. （－2，1，3）
解析： ＝（3，0，－2）＝ （9，0，－6），故选B.
2. 已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的
方向向量，则x＝（ ）
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
解析： 由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
解析： 设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 ＝
（－1，0，0）， ＝（1，－1，－1），可得即
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，
－1）.
3. （2024·扬州月考）已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C
（1，0，0），则平面ABC的一个法向量为（ ）
A. （0，1，－1） B. （－1，0，1）
C. （1，1，1） D. （－1，0，0）
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明 是平面ABC1D1的法向量.
证明：不妨设正方体的棱长为1，以{ ， ，
}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角
坐标系D-xyz.
则D（0，0，0），A1（1，0，1），A（1，0，
0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
∴ ＝（1，0，1）， ＝（0，1，0），
＝（－1，0，1）.
∴ · ＝0， · ＝0，∴DA1⊥AB且DA1⊥AD1，
又∵AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，
∴DA⊥平面ABC1D1，
∴ 是平面ABC1D1的法向量.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是
（ ）
A. （1，1，1） B. （0，－1，0）
C. （1，2，0） D. （0，1，1）
解析： y轴方向向量可以表示为（0，k，0）（k≠0），所以
（0，－1，0）是y轴方向向量.
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2. 已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝
（3，1，2），则下列各点中，在平面α内的是（ ）
A. P（1，－1，1）
解析： 对于B， ＝ ，则n· ＝（3，1，
2）· ＝0，∴n⊥ ，则点Q 在平面α内.
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3. 从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段
长｜ ｜＝34，则B点的坐标为（ ）
A. （18，17，－17） B. （－14，－19，17）
解析： 设B点坐标为（x，y，z），则 ＝λa（λ＞0），
即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜ ｜＝
34，即 ＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝
17，z＝－17.
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4. （2024·淮安月考）已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线
l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y
的值是（ ）
A. －3或1 B. 3或－1
C. －3 D. 1
解析： 由题意得解得或
故x＋y＝－3或x＋y＝1.
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5. 在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC
＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向
量的是（ ）
C. （1，1，1） D. （2，－2，1）
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解析： 因为P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），
所以 ＝（1，0，－2）， ＝（－1，1，0），设平面PAB的一
个法向量为n＝（x，y，1），由则解
得所以n＝（2，2，1）.又（1，1， ）＝ n.因此，平
面PAB的一个法向量为（1，1， ）.
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6. （多选）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱
长为1的正方体，下列结论正确的是（ ）
A. 平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
B. 平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D. 平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
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解析： ∵ ＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又
AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，
∴A正确；∵ ＝（－1，0，0），而（1，1，1）· ＝－
1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；
∵ ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，1），（1，1，
1）· ＝0，（1，1，1）· ＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，
CD1 平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，
∴C正确；∵ ＝（0，1，1），而 ·（0，1，1）＝2≠0，
∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确.
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7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
（1）直线AB的方向向量有 个；
解析： 直线AB的方向向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8个.
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（2）平面AA1B1B的法向量有 个.
解析： 平面AA1B1B的法向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8个.
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8. 已知直线l1的一个方向向量为（－5，3，2），另一个方向向量为
（x，y，8），则x＝ ，y＝ .
解析：∵直线的方向向量平行，∴ ＝ ＝ ，∴x＝－20，y＝
12.
－20
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9. （2024·南通质检）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，
2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一
点，则x，y，z满足的关系式是 .
解析：由题意得e⊥ ，则 ·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）
＝0，故x＋2y－3z＝0.
x＋2y－3z＝0
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10. 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，
CE＝EC1，设 ＝a， ＝b， ＝c，以{a，b，c}为空
间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量.
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解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋c，
所以直线AD的一个方向向量是 a＋ b＋c.
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋ ＝ b＋ c，
所以直线AE的一个方向向量为 b＋ c.
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11. （多选）已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－
1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向
量，则（ ）
A. m＝－1 B. m＝1
C. n＝2 D. n＝－2
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解析： c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋
（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－
n＋1），由c为平面α的一个法向量，得得
解得
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12. （2024·常州质检）若A ，B ，C
是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝（x，y，z），则
x∶y∶z＝ .
2∶3∶－4
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解析：∵A ，B ，C ，∴
＝ ， ＝ .又
∵∴解得
∴x∶y∶z＝ y∶y∶ ＝2∶3∶－4.
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13. 已知空间直角坐标系O-xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A
并且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，
则直线OA的一个方向向量为 ，
点P的坐标满足的条件为 .
解析：由题意知，直线OA的一个方向向量为 ＝（1，1，1）.
因为A∈α，P∈α，OA⊥α，所以 ⊥ ，所以（1，1，
1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3.
（1，1，1）（答案不唯一）
x＋y＋z＝3
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14. 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴ ＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量.
解：以{ ， ， }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，
0），B（0，1，0），C（1，1，0），D
（ ，0，0），S（0，0，1）.
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（2）求平面SAB的一个法向量；
解： ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，
AB，SA 平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴ ＝（ ，0，0）是平面SAB的一个法向量.
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（3）求平面SCD的一个法向量.
解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0），
＝（1，1，－1）.
设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），
则n⊥ ，n⊥ ，
∴得方程组
∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，
∴n＝（2，－1，1）.
∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量.（答案不唯一）
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15. （2024·无锡月考）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一
点，如果 ＝（2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝
（－1，2，－1）.
（1）求证： 是平面ABCD的法向量；
解： 证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，
－1，－4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
所以 是平面ABCD的法向量.
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（2）求平行四边形ABCD的面积.
解： 因为｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝2 ，
· ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，
故 sin ＜ ， ＞＝ ，
S ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 .
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谢 谢 观 看！
