6.3.3 空间角的计算
1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，2），则二面角C-AB-O的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.－
3.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，－1），＝（－1，2，0），＝（0，－2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C.－ D.－
4.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5.（2024·扬州月考）如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1的长为（ ）
A.3 B.
C.2 D.
6.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A.B1的坐标为（2，2，3）
B.＝（0，－2，3）
C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为
7.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为 .
8.（2024·宿迁月考）已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于 .
9.（2024·镇江月考）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 .
10.如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，求二面角B1-A1B-E的余弦值.
11.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
12.（2024·盐城质检）在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点P（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy所成的锐二面角为45°，则a＝ .
13.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .
14.（2024·南京月考）如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
15.（2024·无锡质检）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）设＝λ（0＜λ＜1），异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；
（2）若D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的正弦值.
6.3.3 空间角的计算
1.C ∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成锐角为，∴l与α所成的角为.
2.C ∵点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量为n＝（2，1，2），∴cos＜n，＞＝＝＝.故选C.
3.A 设n＝（x，y，z）是平面ABC的一个法向量n，则即令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜cos＜，n＞｜＝＝，故直线AD与平面ABC所成角的正弦值为.故选A.
4.A 设CA＝CC1＝2CB＝2，则A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0），所以＝（－2，2，1），＝（0，2，－1），从而cos＜，＞＝＝＝，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
5.A 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设AA1＝t，则A1（1，0，t），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），∴＝（0，1，－t），＝（－1，0，t）.∵A1B与AD1所成角的余弦值为，∴｜cos＜，＞｜＝＝，∴t＝3.
6.ABD 因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以＝（0，－2，3），＝（2，0，－3），故A、B正确；设平面A1BC1的法向量为m＝（x，y，z），所以则令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误；由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确.故选A、B、D.
7. 解析：∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
8.60° 解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），F（0，0，1），B（0，1，0）.∴＝（1，1，0），＝（0，－1，1），∴｜｜＝，｜｜＝，·＝－1，∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴AC与BF所成的角为60°.
9. 解析：如图所示，以A为原点，分别以AB，AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，易知S（0，0，3），B（2，0，0），C（1，，0）.设平面SBC的法向量为n＝（x，y，z），则得n＝（3，，2），又＝（2，0，0），设α为AB与平面SBC所成的角，则sin α＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.
10.解：设AD＝1，则A1（1，0，2），B（1，2，0）.因为E为C1D1的中点，所以E（0，1，2），所以＝（－1，1，0），＝（0，2，－2）.
设m＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则即取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝（1，1，1）.
又因为DA⊥平面A1B1B，所以＝（1，0，0）是平面A1B1B的一个法向量，
所以cos＜m，＞＝＝＝，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为.
11.C ＝（＋），＝（＋），∴·＝（·＋·＋·＋·）＝－｜｜2.又｜｜＝｜｜＝｜｜，∴cos＜，＞＝＝－，∴∠EOF＝120°，故选C.
12. 解析：平面xOy的一个法向量为n＝（0，0，1）.设平面α的一个法向量为u＝（x，y，z），又＝（－3，4，0），＝（－3，0，a），平面α过点A，B，P，则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝（，，1）.而｜cos＜n，u＞｜＝＝，又∵a＞0，∴a＝.
13. 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则F（2，1，0），E（1，0，0），设M（0，m，2），m∈[0，2]，故＝（2，1，0），＝（－1，m，2），故cos θ＝＝＝f（m），观察分子、分母的变化，可知当m∈[0，2]时，f（m）单调递减，f（m）max＝f（0）＝，当m＝2时，f（2）＝0，故cos θ的最大值为.
14.解：（1）证明：以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（，1，0），
B1（，0，3），D（0，3，0），
C1（，1，3），D1（0，3，3）.
易知＝（，1，0），＝（－，3，－3），
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
（2）设平面ACD1的一个法向量为m＝（x，y，z），
又＝（，1，0），＝（0，3，3），
则即
令x＝1，则y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝（1，－，）.
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，
∵＝（0，1，0），
∴sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝＝，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
15.解：由题意得CC1⊥AC，CC1⊥BC.
因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC.
以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）易得A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4），
所以＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）.
因为＝λ＝（－3λ，4λ，0），
所以D（－3λ＋3，4λ，0），所以＝（－3λ＋3，4λ，0）.
因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，
所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，解得λ＝.
（2）由A（3，0，0），B（0，4，0），D是AB的中点得D（，2，0）.
又B1（0，4，4），C（0，0，0），
所以＝（，2，0），＝（0，4，4）.
易知平面CB1B的一个法向量为n＝（1，0，0），
设平面DB1C的一个法向量为m＝（x0，y0，z0）.
由得
令x0＝4，得y0＝－3，z0＝3，
所以m＝（4，－3，3），
所以cos＜n，m＞＝＝＝.
所以二面角D-CB1-B的正弦值为＝.
2 / 36.3.3 空间角的计算
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决简单夹角问题 直观想象、数学运算
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角度的现象.例如，如图（1），握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图（2），地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度；如图（3），在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图（4），很多屋顶都是二面角的形象.
【问题】 能否用向量法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角的大小呢？
知识点一 两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝ ＝ .
【想一想】
两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系？
知识点二 直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos ＜u，n＞｜＝ ＝ .
提醒 （1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ＝－＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－.
知识点三 二面角
两个平面所成的二面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角，如图，向量n1⊥α，n2⊥β，则二面角α-l-β的大小为＜n1，n2＞或π－＜n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜cos θ｜＝ .
提醒 因为两个平面法向量的方向不确定，故＜n1，n2＞∈（0，π），故二面角的平面角与＜n1，n2＞相等或互补.
1.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝（2，0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ）
A.－ B. C.－ D.
2.（2024·汕头月考）已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则l与α所成的角为（ ）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3.平面α的一个法向量为n1＝（，－，－），平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β所成的锐二面角的平面角为（ ）
A.120° B.30°
C.60° D.30°或150°
题型一 两异面直线所成的角
【例1】 （链接教科书第36页例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成角的大小.
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos θ＝，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算；
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成角的大小.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】 （链接教科书第37页例8）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值.
通性通法
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
【跟踪训练】
（2024·南京月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
题型三 二面角
【例3】 （链接教科书第38页例9）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.
通性通法
向量法求二面角的步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个平面的法向量n1，n2；
（3）求两个法向量的夹角；
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
（5）确定二面角的大小.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
（1）证明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.
1.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则二面角α-l-β＝（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.（2024·连云港月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A.30° B.45° C.90° D.60°
3.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.
6.3.3 空间角的计算
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
提示：相等或互补.
知识点二
知识点三
自我诊断
1.B 因为a·b＝－4，｜a｜＝，｜b｜＝2，设l1与l2的夹角为θ，所以cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝＝＝.
2.B 设l与α所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝，∴θ＝60°，故选B.
3.B cos＜n1，n2＞＝＝－，设α与β所成的锐二面角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝，所以θ＝30°.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 由题意知｜｜＝，｜｜＝，＝＋，＝＋＋.
因为PA⊥平面ABCD，所以·＝·＝·＝0，
因为AB⊥AD，所以·＝0，
因为AB⊥BC，所以·＝0，
所以·＝（＋）·（＋＋）＝＝1.
所以cos＜，＞＝＝＝，
所以＜，＞＝60°，
所以PB与CD所成的角为60°.
法二 由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以＝（－1，0，1），＝（1，－1，0），
cos＜，＞＝＝＝－.
所以＜，＞＝120°，
故PB与CD所成的角为60°.
跟踪训练
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），所以＝（0，－a，a），＝（－a，a，0）.
所以cos＜，＞＝＝＝－，所以＜，＞＝120°.
又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°.
【例2】 解：以D为原点，DA，DC，DD1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），
∴＝（－1，0，1），＝（－1，0，－1），＝（－1，－1，0）.
设平面A1BD的一个法向量为n＝（1，x，y），直线BC1与平面A1BD所成的角为θ.
∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一个法向量为n＝（1，－1，－1）.
∴cos＜，n＞＝＝＝－，
∴sin θ＝，∴cos θ＝＝.
故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
跟踪训练
A 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，0），B1（0，2，），C1（2，0，），A1（0，0，），＝（0，0，），＝（0，2，），＝（2，0，）.设平面AB1C1的法向量为n＝（x，y，z），则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝（1，1，－）.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝，所以θ＝.
【例3】 解：以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P（0，0，3），A（0，3，0），D（3，3，0）.
设平面EBD的一个法向量为n1＝（x，y，z），
因为＝＋＝＋＝（0，0，3）＋（0，3，－3）＝（0，2，1），＝（3，3，0），
由得
取z＝1，得
于是n1＝.
又因为平面ABE的一个法向量为n2＝（1，0，0），
所以cos＜n1，n2＞＝＝.
故二面角A-BE-D的余弦值为.
跟踪训练
解：（1）证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，
所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，
所以O1O⊥底面ABCD.
（2）因为四棱柱的所有棱长都相等，
所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.
又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
设四棱柱的棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O（0，0，0），B1（，0，2），C1（0，1，2），
则＝（，0，2），＝（0，1，2）.
平面BDD1B1的一个法向量为n＝（0，1，0），
设平面OC1B1的法向量为m＝（x，y，z），
则由m⊥，m⊥，
所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝（2，2，－），
所以cos＜m，n＞＝＝＝.
即二面角C1-OB1-D的余弦值是.
随堂检测
1.C 设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由图可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°.
2.D 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴M（1，2，0），N（0，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），＝（－1，0，1），＝（－2，2，0），设异面直线AC和MN所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ是锐角，∴θ＝60°.∴异面直线AC和MN所成的角为60°，故选D.
3.解：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则OP＝a，所以P（0，0，a），C（－a，0，0），B（0，a，0），D（－a，0，a），＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量 n＝，
所以cos＜，n＞＝＝，
设与平面PBC所成的角为θ，
则sin θ＝.
故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为.
5 / 5(共69张PPT)
6.3.3 空间角的计算
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决简单夹角问题 直观想象、
数学运算
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法
在研究几何问题中的作用 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角
度的现象.例如，如图（1），握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把
纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图（2），地球仪的地
轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角
度；如图（3），在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一
般与水平面成一定角度；如图（4），很多屋顶都是二面角的形象.
【问题】 能否用向量法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面
所成的角的大小呢？
知识点一 两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ
＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ ＝ .
【想一想】
两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么
关系？
提示：相等或互补.
知识点二 直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，
直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝｜ cos ＜
u，n＞｜＝ ＝ .
提醒 （1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的
投影所成的角，其范围是 ；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则
θ＝ －＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－
.
知识点三 二面角
两个平面所成的二面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角，
如图，向量n1⊥α，n2⊥β，则二面角α-l-β的大小为＜n1，n2＞或
π－＜n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜
cos θ｜＝ .
提醒 因为两个平面法向量的方向不确定，故＜n1，n2＞∈（0，
π），故二面角的平面角与＜n1，n2＞相等或互补.
1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝
（2，0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ）
A. － B.
解析： 因为a·b＝－4，｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，设l1与l2
的夹角为θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝
＝ .
C. － D.
2. （2024·汕头月考）已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面
α的法向量，若 cos ＜m，n＞＝－ ，则l与α所成的角为
（ ）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析： 设l与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜
＝ ，∴θ＝60°，故选B.
3. 平面α的一个法向量为n1＝ ，平面β的一个法向量
为n2＝ ，那么平面α与平面β所成的锐二面角的平面
角为（ ）
A. 120° B. 30°
C. 60° D. 30°或150°
解析： cos ＜n1，n2＞＝ ＝－ ，设α与β所成的
锐二面角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ，所以θ＝
30°.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两异面直线所成的角
【例1】 （链接教科书第36页例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD
中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝
AD＝1，求PB与CD所成角的大小.
解：法一 由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋
， ＝ ＋ ＋ .
因为PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0，
因为AB⊥AD，所以 · ＝0，
因为AB⊥BC，所以 · ＝0，
所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
所以＜ ， ＞＝60°，
所以PB与CD所成的角为60°.
法二 由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建
立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，1），
所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0），
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .
所以＜ ， ＞＝120°，
故PB与CD所成的角为60°.
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定
基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，
则 与 可分别作为a，b的方向向量，则 cos θ＝
，根据条件可以把 与 用基底表示，再进行
计算；
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相
关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了
传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1和
AC所成角的大小.
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，
a，0），A1（a，0，a），所以 ＝（0，－a，
a）， ＝（－a，a，0）.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，所以＜ ， ＞＝120°.
又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】 （链接教科书第37页例8）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值.
解：以D为原点，DA，DC，DD1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），
∴ ＝（－1，0，1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，－
1，0）.
设平面A1BD的一个法向量为n＝（1，x，y），直线BC1与平面
A1BD所成的角为θ.∵n⊥ ，n⊥ ，∴n· ＝0，n· ＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一个法向量为n＝（1，－1，－1）.
∴ cos ＜ ，n＞＝ ＝ ＝－ ，
∴ sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ .
故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 .
通性通法
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
【跟踪训练】
（2024·南京月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝ ，AB＝AC＝2，AA1＝ ，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝
，即AB⊥AC，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x
轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，
0），B1（0，2， ），C1（2，0， ），A1（0，0， ），
＝（0，0， ）， ＝（0，2， ）， ＝（2，0， ）.设
平面AB1C1的法向量为n＝（x，y，z），则由得
令x＝1，则y＝1，z＝－ ，所以n＝ .
设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜n，
＞｜＝ ，所以θ＝ .
题型三 二面角
【例3】 （链接教科书第38页例9）如图，在四棱锥P-ABCD中，
PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA. 求二面
角A-BE-D的余弦值.
解：以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，
y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P（0，
0，3），A（0，3，0），D（3，3，0）.
设平面EBD的一个法向量为n1＝（x，y，z），
因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（0，0，3）＋ （0，3，－3）＝
（0，2，1）， ＝（3，3，0），由得
取z＝1，得于是n1＝ .
又因为平面ABE的一个法向量为n2＝（1，0，0），
所以 cos ＜n1，n2＞＝ ＝ .
故二面角A-BE-D的余弦值为 .
通性通法
向量法求二面角的步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个平面的法向量n1，n2；
（3）求两个法向量的夹角；
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
（5）确定二面角的大小.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相
等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形
BDD1B1均为矩形.
（1）证明：O1O⊥底面ABCD；
解： 证明：因为四边形ACC1A1和四边
形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，
所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
（2）若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.
解： 因为四棱柱的所有棱长都相等，
所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.
又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设四棱柱的棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1，
所以O（0，0，0），B1（ ，0，2），C1（0，1，2），
则 ＝（ ，0，2）， ＝（0，1，2）.
平面BDD1B1的一个法向量为n＝（0，1，0），
设平面OC1B1的法向量为m＝（x，y，z），
则由m⊥ ，m⊥ ，所以
取z＝－ ，则x＝2，y＝2 ，所以m＝（2，2 ，－ ），
所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
即二面角C1-OB1-D的余弦值是 .
1. 如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜
m，n＞＝－ ，则二面角α-l-β＝（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由图可知，
cos θ＝ cos ＜m，n＞＝－ ，∴θ＝120°.
2. （2024·连云港月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 90° D. 60°
解析： 以D为原点，分别以DA，DC，DD1
所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∵M，N
分别为棱BC和棱CC1的中点，∴M（1，2，0），
N（0，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0）， ＝（－1，
0，1）， ＝（－2，2，0），设异面直线AC和MN所成的角为
θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，又θ是锐角，∴θ＝
60°.∴异面直线AC和MN所成的角为60°，故选D.
3. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，点O，
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，求直线OD与平面
PBC所成角的正弦值.
解：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为
x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝a，则OP＝ a，所以P（0，0，
a），C（－ a，0，0），B（0， a，0），
D（－ a，0， a）， ＝（－ a，0，a），可求得平面PBC的法向量 n＝ ，所以 cos ＜ ，n＞＝ ＝ ，
设 与平面PBC所成的角为θ，
则 sin θ＝ .
故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若
＜a，n＞＝ ，则l与α所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵＜a，n＞＝ ，∴l与法向量所在直线所成锐角为
，∴l与α所成的角为 .
2. 如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴
上， ＝（0，0，2），平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，
2），则二面角C-AB-O的余弦值为（ ）
A. B.
C. D. －
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解析： ∵点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐
标轴上， ＝（0，0，2），平面ABC的法向量为n＝（2，1，
2），∴ cos ＜n， ＞＝ ＝ ＝ .故选C.
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3. 在空间四边形ABCD中，向量 ＝（0，2，－1）， ＝（－1，
2，0）， ＝（0，－2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正
弦值为（ ）
A. B.
C. － D. －
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解析： 设n＝（x，y，z）是平面ABC的一个法向量n，则
即令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜
cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ，故直线AD与平面ABC所
成角的正弦值为 .故选A.
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4. 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝
CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设CA＝CC1＝2CB＝2，则A（2，0，0），B（0，0，
1），B1（0，2，1），C1（0，2，0），所以 ＝（－2，2，
1）， ＝（0，2，－1），从而 cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝ ，所以直线BC1与直线AB1
夹角的余弦值为 .
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5. （2024·扬州月考）如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四
棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的
余弦值为 ，则AA1的长为（ ）
A. 3 B.
C. 2 D.
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解析： 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x
轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设AA1＝t，则A1
（1，0，t），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），
∴ ＝（0，1，－t）， ＝（－1，0，t）.∵A1B与AD1所
成角的余弦值为 ，∴｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，∴t
＝3.
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6. （多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，
以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A. B1的坐标为（2，2，3）
B. ＝（0，－2，3）
C. 平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
D. 二面角B-A1C1-B1的余弦值为
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解析： 因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），
B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以 ＝
（0，－2，3）， ＝（2，0，－3），故A、B正确；设平面
A1BC1的法向量为m＝（x，y，z），所以则
令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的
一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误；由几何体知识
易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），所以 cos ＜
m，n＞＝ ＝ ＝－ ，结合图形可知二面角B-
A1C1-B1的余弦值为 ，故D正确.故选A、B、D.
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7. 已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，
2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为 .
解析：∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3），
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线AB，
CD所成角的余弦值为 .
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解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-
xyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），F（0，
0，1），B（0，1，0）.∴ ＝（1，1，0），
＝（0，－1，1），∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝
， · ＝－1，∴ cos ＜ ， ＞＝
＝－ ，∴＜ ， ＞＝120°.又∵异面直线所
成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴AC与BF
所成的角为60°.
8. （2024·宿迁月考）已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方
形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等
于 .
60°
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9. （2024·镇江月考）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2
的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，则直线AB与平面
SBC所成角的正弦值为 .
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解析：如图所示，以A为原点，分别以AB，AS所在直
线为x轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，易知S
（0，0，3），B（2，0，0），C（1， ，0）.设平
面SBC的法向量为n＝（x，y，z），则
得n＝
（3， ，2），又 ＝（2，0，0），设α为AB与
平面SBC所成的角，则 sin α＝｜ cos ＜ ，n＞｜
＝ ＝ ＝ .
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10. 如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长
方体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，求二面角B1-A1B-
E的余弦值.
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解：设AD＝1，则A1（1，0，2），B（1，2，0）.因为E为
C1D1的中点，所以E（0，1，2），所以 ＝（－1，1，0），
＝（0，2，－2）.
设m＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则即
取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向
量为m＝（1，1，1）.
又因为DA⊥平面A1B1B，所以 ＝（1，0，0）是平面A1B1B的
一个法向量，所以 cos ＜m， ＞＝ ＝ ＝ ，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为 .
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11. 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，E，F分别是
AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为
（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
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解析： ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
∴ · ＝ （ · ＋ · ＋ · ＋ · ）＝－
｜ ｜2.又｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜，∴ cos ＜ ，
＞＝ ＝－ ，∴∠EOF＝120°，故选C.
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12. （2024·盐城质检）在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B
（0，4，0）及z轴上一点P（0，0，a）（a＞0），如果平面α
与平面xOy所成的锐二面角为45°，则a＝ .
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解析：平面xOy的一个法向量为n＝（0，0，1）.设平面α的一
个法向量为u＝（x，y，z），又 ＝（－3，4，0）， ＝
（－3，0，a），平面α过点A，B，P，则即
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝（ ， ，1）.
而｜ cos ＜n，u＞｜＝ ＝ ，又∵a＞0，∴a＝ .
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13. 如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面
互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.
设异面直线EM与AF所成的角为θ，则 cos θ的最大值为 .
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解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则F
（2，1，0），E（1，0，0），设M（0，m，2），m∈[0，
2]，故 ＝（2，1，0）， ＝（－1，m，2），故 cos θ＝
＝ ＝f（m），观察分子、分母的变化，可知
当m∈[0，2]时，f（m）单调递减，f（m）max＝f（0）＝ ，
当m＝2时，f（2）＝0，故 cos θ的最大值为 .
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14. （2024·南京月考）如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ ，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：AC⊥B1D；
解： 证明：以{ ， ， }为正交
基底，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（ ，1，0），
B1（ ，0，3），D（0，3，0），
C1（ ，1，3），D1（0，3，3）.
易知 ＝（ ，1，0）， ＝（－ ，
3，－3），∴ · ＝0，∴AC⊥B1D.
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（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
解： 设平面ACD1的一个法向量为m＝（x，y，z），
又 ＝（ ，1，0）， ＝（0，3，3），
则即令x＝1，则y＝－ ，z＝ ，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝（1，－ ， ）.
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，∵ ＝（0，1，0），
∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 .
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15. （2024·无锡质检）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）设 ＝λ （0＜λ＜1），异面直线AC1与
CD所成角的余弦值为 ，求λ的值；
解：由题意得CC1⊥AC，CC1⊥BC.
因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC.
以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线
分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间
直角坐标系.
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（1）易得A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4），
所以 ＝（－3，0，4）， ＝（－3，4，0）.
因为 ＝λ ＝（－3λ，4λ，0），
所以D（－3λ＋3，4λ，0），所以 ＝（－3λ＋3，4λ，0）.
因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 ，
所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝
，解得λ＝ .
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（2）若D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的正弦值.
解：由A（3，0，0），B（0，4，0），D是AB的中点得D（ ，2，0）.
又B1（0，4，4），C（0，0，0），
所以 ＝（ ，2，0）， ＝（0，4，4）.
易知平面CB1B的一个法向量为n＝（1，0，0），
设平面DB1C的一个法向量为m＝（x0，y0，z0）.
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由得
令x0＝4，得y0＝－3，z0＝3，
所以m＝（4，－3，3），
所以 cos ＜n，m＞＝ ＝ ＝ .
所以二面角D-CB1-B的正弦值为 ＝ .
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