6.3.4 空间距离的计算
1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ）
A. B.2 C. D.
2.（2024·盐城月考）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），则AC边上的高BD＝（ ）
A.25 B.5 C. D.1
5.（2024·淮安月考）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ）
A.5 B.8 C. D.
6.（多选）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A.＝（1，0，1）
B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1）
C.A1C⊥平面OBB1
D.点A到平面OBB1的距离为
7.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝，则x的值为 .
8.在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则O1到直线AC的距离为 .
9.（2024·南通质检）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 .
10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（ ）
A. B.
C. D.1
12.（2024·常州月考）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
13.（2024·扬州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
14.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离.
6.3.4 空间距离的计算
1.D ∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝.
2.B 因为D（2，1，0），所以＝（2，1，0），又向量m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一个法向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝＝＝＝.
3.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（1，0，0）＋（0，1，0）＋（0，0，1）＝.又＝（1，0，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝.
4.B 设＝λ，∵＝（0，4，－3），∴＝（0，4λ，－3λ），又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ）.由·＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝（－4，，），∴BD＝｜｜＝5.故选B.
5.C 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
6.BCD 由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正确；＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝＝＝，故D正确.故选B、C、D.
7.－1或－11 解析：连接PA（图略），由题意知＝（x＋2，2，－4），∴d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11.
8. 解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系.则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴＝（－2，0，2），＝（－2，3，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝2×＝.
9.a 解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C（0，a，0），＝（a，－a，a），＝（0，－a，0），连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1，1），则两平面间的距离d＝＝＝a.
10.解：以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），
＝（1，－2，1），＝（1，0，－2）.
设＜，＞＝φ，
则cos φ＝＝＝－，
∴sin φ＝，
∴d＝｜｜·sin φ＝.
11.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则＝（，，－1），＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，1），则有解得n＝（，1，1），则所求距离为＝＝.
12. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（4，0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）.
∴＝（2，2，0），＝（2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，0，4），∴＝，＝，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，则解得取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵＝（0，4，0），∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝.
13.解：（1）建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.
则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F（，1，0），D（0，0，0）.
所以＝，
＝，＝，
设平面PEF的法向量n＝（x，y，z），
则即
取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3），
所以点D到平面PEF的距离
d＝＝＝.
（2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
又因为AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF.
因为＝，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝，
所以直线AC到平面PEF的距离为.
14.解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1），
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1），
取z＝2，则n＝（0，1，2），
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝＝＝＝.
2 / 26.3.4 空间距离的计算
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题 数学抽象、直观想象
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】 如何用向量方法求解这些距离呢？
知识点一 点P到平面α的距离
如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝ .
提醒 点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值.
知识点二 点P到直线l的距离
1.如图，P是直线l外一点，A是l上任意一点，在平面中，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝｜｜｜n｜cos θ，其中θ＝＜，n＞，从而点P到直线l的距离d＝ .
2.如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量.记φ＝＜，e＞，则cos φ＝，故点P到直线l的距离d＝ .
【想一想】
如何求两平行线l1与l2的距离？
1.已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在α内，则P（－2，1，4）到α的距离为（ ）
A.10 B.3
C. D.
2.已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（ ）
A. B.
C. D.
题型一 点到平面的距离
【例1】 （链接教科书第40页例10）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离.
通性通法
求点到平面的距离的方法
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
（2）在三棱锥中用等体积法求解；
（3）向量法：d＝（n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）.
【跟踪训练】
在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
题型二 点到直线的距离
【例2】 （2024·苏州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（ ）
A.2 B.2
C. D.4
通性通法
用向量法求点到直线距离的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求所求点P与直线上某一点A所构成的向量；
（3）若已知直线的方向向量e，则利用公式d＝｜｜·sin＜，e＞求解；若已知直线的法向量n，则利用公式d＝求解.
【跟踪训练】
如图，P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
题型三 直线到平面、平面与平面的距离
【例3】 （链接教科书第44页练习4题）如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
通性通法
1.直线到平面、平面到平面的距离都是在它们相互平行条件下定义的，否则不谈距离问题.
2.线面距、面面距均可转化为点到平面的距离问题.
3.用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
1.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（ ）
A. B.
C. D.3
2.已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝3，则点P到斜边AB的距离是 .
3.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离.
6.3.4 空间距离的计算
【基础知识·重落实】
知识点一
知识点二
1. 2.｜｜ sin φ
想一想
提示：l1上任一点P到l2的距离即为l1与l2的距离.
自我诊断
1.D ∵＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的距离为
＝＝.
2.A ∵＝（2，0，1），∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜sin φ＝×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，0），所以＝（0，1，0），＝（－2，1，1），＝（－1，－1，2）.
设n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
则所以所以令z＝1，此时n＝（1，1，1），所以d＝＝＝，即点A到平面EFG的距离为.
跟踪训练
解：如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A（－，0，0），B（，0，），C（0，，0），D（，0，0），
∴＝（，，0），＝（，0，），＝（－，，0），
设n＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，
则
∴y＝－x，z＝－x，可取n＝（－，1，3），
代入d＝，得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
【例2】 A 法一（向量法） 如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0，0，4），故＝（2，0，－4），＝（0，4，－4），所以在上的投影向量的长度d＝＝＝2，故点C到直线PA的距离h＝＝＝2，故选A.
法二（几何法） 如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰直角三角形PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2.故点C到直线PA的距离为2.故选A.
跟踪训练
解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（3，0，0），D（0，4，0），
∴＝（3，0，－1），＝（－3，4，0）.
设＜，＞＝φ，
∴cos φ＝＝－，
∴sin φ＝，
∴点P到BD的距离d＝｜｜·sin φ＝.
【例3】 解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0，，1），C（0，，0），
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B（1，2，0），
∴＝（0，2，0），＝（－1，－，1）.
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）.
∵＝（0，0，2），
∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
跟踪训练
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，0，0）.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）.
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）.
所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
由题意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
随堂检测
1.B ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B.
2. 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A（4，0，0），B（0，3，0），P，∴＝（－4，3，0），＝（－4，0，3），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝＝，∴点P到AB的距离为d＝｜｜sin φ＝5×＝.
3.解：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），从而＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）.
设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），
则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1，
所以n＝（－1，1，－1）为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.
4 / 4(共60张PPT)
6.3.4
空间距离的计算
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、
相互平行的直线、相互平行的平面间的距离
问题 数学抽象、直观想象
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方
法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点
与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距
离.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平
面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离
等.计算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】 如何用向量方法求解这些距离呢？
知识点一 点P到平面α的距离
如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d
＝ .
提醒 点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点
出发的任一条斜线段AP对应的向量 的数量积的绝对值.
知识点二 点P到直线l的距离
1. 如图，P是直线l外一点，A是l上任意一点，在平面中，取一个与
直线l垂直的向量n，则 ·n＝｜ ｜｜n｜ cos θ，其中θ＝
＜ ，n＞，从而点P到直线l的距离d＝ .
2. 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，
设e是直线l的方向向量.记φ＝＜ ，e＞，则 cos φ＝
，故点P到直线l的距离d＝ .
｜ ｜ sin φ
【想一想】
如何求两平行线l1与l2的距离？
提示：l1上任一点P到l2的距离即为l1与l2的距离.
1. 已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，
0）在α内，则P（－2，1，4）到α的距离为（ ）
A. 10 B. 3
解析： ∵ ＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的
距离为 ＝ ＝ .
2. 已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方
向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（ ）
解析： ∵ ＝（2，0，1），∴ cos φ＝ ＝ ＝
，∴ sin φ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜ sin φ＝ ×
＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点到平面的距离
【例1】 （链接教科书第40页例10）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的
棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面
EFG的距离.
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，
0），所以 ＝（0，1，0）， ＝（－2，1，1）， ＝（－1，
－1，2）.
设n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为
d，
则所以
所以令z＝1，此时n＝（1，1，1），
所以d＝ ＝ ＝ ，
即点A到平面EFG的距离为 .
通性通法
求点到平面的距离的方法
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
（2）在三棱锥中用等体积法求解；
（3）向量法：d＝ （n为平面的法向量，A为平面上一点，
MA为过点A的斜线段）.
【跟踪训练】
在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝
AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
解：如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC
所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB
于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A（－ ，0，0），B（ ，0， ），C（0，
，0），D（ ，0，0），
∴ ＝（ ， ，0）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ， ，0），
设n＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，
则
∴y＝－ x，z＝－ x，可取n＝（－ ，1，3），
代入d＝ ，得d＝ ＝ ，
即点D到平面ABC的距离是 .
题型二 点到直线的距离
【例2】 （2024·苏州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（ ）
D. 4
解析： 法一（向量法） 如图，以B为坐标原
点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系.则B（0，0，0），C（2，0，
0），A（0，4，0），P（0，0，4），故 ＝（2，
0，－4）， ＝（0，4，－4），所以 在 上的投影向量的长度d＝ ＝ ＝2 ，故点C到直线PA的距离h＝ ＝ ＝2 ，故选A.
法二（几何法） 如图，取PA的中点M，连接BM，
CM，因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以
PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，
AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，
所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰直角三角形PAB中，BM＝ PB＝2 ，在Rt△BCM中，CM＝ ＝ ＝2 .故点C到直线PA的距离为2 .故选A.
通性通法
用向量法求点到直线距离的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求所求点P与直线上某一点A所构成的向量 ；
（3）若已知直线的方向向量e，则利用公式d＝｜ ｜· sin ＜
，e＞求解；若已知直线的法向量n，则利用公式d＝
求解.
【跟踪训练】
如图，P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（3，0，
0），D（0，4，0），
∴ ＝（3，0，－1）， ＝（－3，4，0）.
设＜ ， ＞＝φ，
∴ cos φ＝ ＝－ ，∴ sin φ＝ ，
∴点P到BD的距离d＝｜ ｜· sin φ＝ .
题型三 直线到平面、平面与平面的距离
【例3】 （链接教科书第44页练习4题）如图，在直棱柱ABCD-
A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝
1，CD＝ ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平
面ABE的距离.
解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0， ，1），C（0， ，
0），过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝ ，∴B（1，2 ，0），
∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，－ ，1）.
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）.
∵ ＝（0，0，2），
∴点A1到平面ABE的距离d＝ ＝ ＝ .
∴直线A1B1与平面ABE的距离为 .
通性通法
1. 直线到平面、平面到平面的距离都是在它们相互平行条件下定义
的，否则不谈距离问题.
2. 线面距、面面距均可转化为点到平面的距离问题.
3. 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面
B1CD1间的距离.
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，
1）， ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1），
＝（－1，0，0）.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）.
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）.
所以点D1到平面A1BD的距离d＝ ＝ ＝ .
由题意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间
的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间
的距离为 .
1. 两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两
平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是
（ ）
解析： ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，
1，1）， ＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，
0，1），∴两平面间的距离d＝ ＝ ＝ .故选B.
解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直
线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
角坐标系.则A（4，0，0），B（0，3，0），
P ，∴ ＝（－4，3，0）， ＝
（－4，0，3），记φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ＝ ，∴点P到AB的距离为d＝｜ ｜ sin φ＝5× ＝ .
3. 如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正
方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平
面ACE的距离.
解：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，则A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C
（0，1，2），从而 ＝（0，0，2）， ＝
（1，1，0）， ＝（0，2，2）.
设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），
则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1，
所以n＝（－1，1，－1）为平面ACE的一个法向量.故点D到平面
ACE的距离d＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1. 若O为坐标原点， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8），
＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ）
解析： ∵ ＝ （ ＋ ）＝ （4，3，6）＝
， ＝（0，1，0），∴ ＝ － ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
2. （2024·盐城月考）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，
1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面
DEF的距离为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 因为D（2，1，0），所以 ＝（2，1，0），又向量
m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面
DEF的一个法向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝
＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足
＝ ＋ ＋ ，则点P到直线AB的距离为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则
＝ （1，0，0）＋ （0，1，0）＋ （0，0，1）
＝ .又 ＝（1，0，0），记φ＝＜
， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜· sin φ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C
（1，3，－1），则AC边上的高BD＝（ ）
A. 25 B. 5
解析： 设 ＝λ ，∵ ＝（0，4，－3），∴ ＝（0，
4λ，－3λ），又∵ ＝（4，－5，0），∴ ＝ － ＝
（－4，4λ＋5，－3λ）.由 · ＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝
0，解得λ＝－ ，∴ ＝（－4， ， ），∴BD＝｜ ｜＝
5.故选B.
D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （2024·淮安月考）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝
5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ）
A. 5 B. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 以D为坐标原点， ， ，
的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所
示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1
（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，
12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥ ，n⊥ ，得n· ＝（a，b，c）·（－x，
0，0）＝－ax＝0，n· ＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝ c，所以可取n＝（0，5，12）.
又 ＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为 ＝ .因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. （多选）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，
O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ ，以O为原
点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
B. 平面OBB1的一个法向量为n＝（0，
1，－1）
C. A1C⊥平面OBB1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，
1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所
以 ＝（1，1，1），故A不正确； ＝（1，0，0），设平面
OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令
y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确； ＝（0，1，－1）＝
n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略）， ＝
（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝ ＝ ＝
，故D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，
0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝ ，则
x的值为 .
解析：连接PA（图略），由题意知 ＝（x＋2，2，－4），∴d
＝ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝－1或x＝－
11.
－1或－11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标
系.则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，
3，0），∴ ＝（－2，0，2）， ＝（－2，
3，0），记φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝
＝ ＝ ，∴ sin φ＝
＝ ，∴d＝｜ ｜· sin φ＝2
× ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面
BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面
AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所
在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，
0），A1（a，0，a），C（0，a，0）， ＝
（a，－a，a）， ＝（0，－a，0），连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1，1），则两平面间的距离d＝ ＝ ＝ a.
9. （2024·南通质检）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平
面AB1D1与平面BDC1的距离为 .
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，
D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
解：以{ ， ， }为正交基底，建立空间直
角坐标系D-xyz，如图，
则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），
＝（1，－2，1）， ＝（1，0，－2）.
设＜ ， ＞＝φ，则 cos φ＝ ＝ ＝－ ，
∴ sin φ＝ ，
∴d＝｜ ｜· sin φ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面
ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（ ）
D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A
（ ， ，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），
C1（0，0，1），则 ＝（ ， ，－1），
＝（0，1，0）， ＝（0，1，－1）.设平面ABC1
的一个法向量为n＝（x，y，1），则有解得n＝（ ，1，
1），则所求距离为 ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（4，
0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），
E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）.∴ ＝
（2，2，0）， ＝（2，2，0）， ＝（－2，0，4），
＝（－2，0，4），∴ ＝ ， ＝ ，∴EF∥
MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M. ∴平面
AMN∥平面EFBD. 设n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，则解得取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵ ＝（0，4，0），∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. （2024·扬州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平
面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
解： 建立以D为坐标原点， ， ，
分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角
坐标系，如图所示.
则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，
1，0），E ，F ，D
（0，0，0）.
所以 ＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
＝ ， ＝ ，
设平面PEF的法向量n＝（x，y，z），
则即
取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3），
所以点D到平面PEF的距离
d＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
解： 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
又因为AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF.
因为 ＝ ，所以点A到平面PEF
的距离d＝ ＝ ＝ ，
所以直线AC到平面PEF的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长
为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC
＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的
距离.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，
BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝ ＝
＝ ，∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－
1，0，0），P（0，0，1），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1）， ＝（0，－1，1），
取z＝2，则n＝（0，1，2），
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝
＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
