中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥曲线的方程测试卷——椭圆
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (21.1%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 恒过定点的直线 17.0(11.3%) 19
2 圆的标准方程 5.0(3.3%) 7
3 椭圆的简单性质 102.0(68.0%) 2,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,19
4 斜率的计算公式 5.0(3.3%) 5
5 圆与圆锥曲线的综合 5.0(3.3%) 7
6 直线与圆锥曲线的综合问题 82.0(54.7%) 8,15,16,17,18,19
7 椭圆的标准方程 87.0(58.0%) 3,7,9,11,14,15,16,17,19
8 平面向量数量积的坐标表示 5.0(3.3%) 4
9 余弦定理 5.0(3.3%) 13
10 基本不等式 17.0(11.3%) 19
11 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.3%) 12
12 椭圆的定义 43.0(28.7%) 1,3,11,12,14,18
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥曲线的方程测试卷——椭圆
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：易知焦点三角形的周长为：
故答案为：D.
【分析】根据椭圆的定义先求出的值，即可求的周长.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，
依题意可得，
所以，
则离心率，
解得，则，
所以椭圆的长轴长为.
故答案为：B.
【分析】先根据椭圆方程得到，结合椭圆中a，b，c三者的关系式，即可求出的值，再由椭圆的离心率公式求出的值，从而求出椭圆的长轴长.
3．【答案】B
【解析】【解答】因为方程表示椭圆，所以，解得且，所以 实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据椭圆的标准方程结合椭圆定义，得到方程组，解不等式组即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：易知，
则，
设，由题意可得：，解得，
代入方程可得，则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由椭圆方程可得，设，根据的面积求得，，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得，再根据，将y1用x1表示，化简求得，再结合离心率公式即可得解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设关于平分线的对称点为，
则三点共线，
设，则，
又，所以为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】可得三点共线，又，可得，由余弦定理可得，可得a，c的关系，即可求出椭圆的离心率 .
7．【答案】A
【解析】【解答】在椭圆中，、分别为左、右焦点，因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故答案为：A
【分析】先将转化为，得到，再根据椭圆定义得，，，利用余弦定理求解关系式，即可求出离心率.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，
所以 ， ，从而有 ，所以 ， ， ，
由题意，三角形 的面积为 1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为 ，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形 分割为面积相等的两部分，可得 ，所以 ，故点M在射线 上．
设直线y＝ax+b和 的交点为N，则由 可得点N的坐标为 ．
①若点M和点 重合，如图：
则点N为线段 的中点，故N ，
把 、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b ．
②若点M在点O和点 之间，如图：
此时 ，点N在点 和点 之间，
由题意可得三角形 的面积等于 ，即 ，
即 ，可得a ，求得 ，
故有 ．
③若点M在点 的左侧，
则 ，由点M的横坐标 ，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和 的交点为P，则由 求得点P的坐标为 ，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于 ，即 ，
即 ，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以 ，化简可得 ，
故有 ．
综上，b的取值范围应是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由椭圆的简单性质即可求出点的坐标，结合椭圆的方程求出点的坐标，从而计算出三角形的面积，联立直线的方程求解出点的坐标，由弦长公式和三角形的面积公式，代入数值整理得出，由此得出即可。
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】因为椭圆的焦距为4，所以 ，
若离心率 ，则 ， ，椭圆 的方程为 ，A符合题意；
若椭圆 过点 ，则 ，所以 ，
椭圆 的方程为 ，B符合题意；
若 ，解得 ，椭圆 的方程为 ，C符合题意；
若椭圆长轴长为 ，则 ，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合椭圆的焦距的定义，从而求出c的值，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b的值，进而求出a，b的关系式；再结合椭圆的离心率公式，进而求出椭圆的离心率；再利用代入法求出椭圆 过点 ；再利用长轴长的求解方法，从而求出椭圆的长轴长，进而找出正确的选项。
10．【答案】B,C
【解析】【解答】解：由题意，解得，故A错；
椭圆的焦点在y轴上，则，解得即，故B对；
若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对；
若椭圆的离心率为，可得或，解得或，故D错.
故答案为：BC.
【分析】由方程表示椭圆可得，再根据椭圆的性质逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、由题目可知，即a=3，
∵离心率，
∴，
∴，
∴，A正确；
B、设，，m、n均大于0，由椭圆定义可知，则，
∵，
∴，
∴，当且仅当m=n时等号成立，
显然当时，取得最大值1，B错误；
C、设，
∵，
∴，
∴当时，，C正确；
D、设，，，则点处的切线方程为，
点处的切线方程为，
∵两直线相交于M，
∴有方程组，
∴PQ所在直线方程为，即，
∴令，解得，
∴直线PQ恒过定点.
故答案为：ACD.
【分析】A、根据离心率公式判断即可；
B、利用余弦定理判断即可；
C、利用两点距离公式判断即可；
D、设出椭圆切线方程，求出点P和Q分别满足的方程，即可证明过定点.
12．【答案】25
【解析】【解答】因为点在椭圆上，根据椭圆定义可得，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：25.
【分析】根据椭圆的定义可得，再利用基本不等式求解即可得得最大值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：易知R外=8r内，由正弦定理知2R外=，即有R外=，
由余弦定理知，即有，得，
故，
由等面积知，于是，得ac+c2=4b2，于是解得，
故离心率为
故答案为：
【分析】由正弦定理可得外接圆半径，由等面积法可得内切圆半径，再根据8倍关系即可求出离心率.
14．【答案】；
【解析】【解答】解：因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故，
故答案为：，.
【分析】根据题意，利用椭圆离心率的定义，列出方程得到，连接，结合角平分线的性质，得到，利用比例式的性质和离心率的定义，即可求解.
15．【答案】（1）解：过点的直线，
令，解得，
，
又，
，，
椭圆C的方程为.
（2）解：设，，，
由，
可得，，
代入椭圆方程可得，
，
，
联立方程，
消x可得，
，，
，
所以，则，
所以所求直线l的方程为．
【解析】【分析】（1）由题意结合直线方程赋值法，从而可得的值，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中三者的关系式，从而得出椭圆C的标准方程.
（2）设，，，根据平面向量基本定理和向量的坐标运算以及椭圆方程代入法，从而可得，再联立直线方程与椭圆方程和韦达定理以及已知条件，从而求出的值，进而得出直线的方程．
（1）因为过直线，
令，解得，
，又，
，
，
椭圆C的方程为；
（2）设，，，
由，
可得，，
代入椭圆方程可得，
，
，
联立方程，消x可得，
，，
，
所以，即，
所以所求直线l 的方程为．
16．【答案】（1）解：由题意可知：，则，∵，∴，
∴，
∴椭圆.
（2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得，则，
所以，
所以直线：，联立方程组，
整理得，
设，则，
所以，
点到直线的距离
所以.
【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的基本性质，求得椭圆的值，即可求得椭圆标准方程；
（2）根据椭圆的几何性质，求得直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，利用直线与椭圆的弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得和，结合三角形的面积公式，即可求解.
（1）由题意可知：，则，
∵，∴，
∴，
∴椭圆
（2），∴直线：，
联立方程组得，
设，
则，
点到直线的距离
∴
17．【答案】（1）解：
依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设过原点的圆的切线方程为，即，
则，两边平方并化简得，
其两根满足，
是椭圆上的点，所以.
.
即的值为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和代入法，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出椭圆 的标准方程。
（2） 设过原点的圆的切线斜截式方程为，再转化为切线的一般式方程，再结合点到直线的距离公式和韦达定理得出， 再利用点是椭圆上的点结合代入法，所以，从而代入得出的值。
18．【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ，①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ，如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
②，
根据 ，代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ，
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ，如图2.
代入 得 ，
结合 ，解得 ，
此时直线MN过点 ，
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ， 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m，k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
19．【答案】（1）解：点在椭圆上，且垂直于轴，则有
设椭圆的焦距为，则，
点代入椭圆方程，有，
解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：（ⅰ）设，直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，
消去y整理得，，
由韦达定理可得：，
因为直线和直线关于对称，所以，
所以，
所以，解得，
所以直线l的方程为，所以直线l过定点，
（ⅱ）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，消去整理得，
由，解得，
由韦达定理可得：，
所以，
所以
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为.
【解析】【分析】（1）由题意可得焦点坐标，根据点在椭圆上，代入结合椭圆的性质即可求椭圆的方程；
（2）设直线方程，直线与椭圆方程联立，由，结合韦达定理，可得直线所过定点；利用面积公式表示出的面积，再由基本不等式求最大值即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥曲线的方程测试卷——椭圆
一、选择题(共8题；共40分)
1．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
5．椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 是椭圆 的上顶点， 分别是椭圆左右焦点，直线 将三角形 分割为面积相等两部分，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知椭圆 的焦距为4，则能使椭圆 的方程为 的是（ ）
A．离心率为 B．椭圆 过点
C． D．长轴长为3
10．已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若该椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4
D．若椭圆的离心率为，则
11．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，则的最大值为
C．若点在椭圆上，的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
13．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 ．
14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知椭圆，其左右焦点为，，过直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率；
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆存在点M，使得，求直线的方程．
16．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
17．已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值．
18．已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
19． 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
