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浙教版2024八年级上册
八年级数学第一次月考卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 5
适中 15
较难 4
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 轴对称图形的识别
2 0.65 三角形内角和定理的应用；等边对等角；直角三角形的两个锐角互余
3 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；根据等角对等边证明等腰三角形；用勾股定理解三角形
4 0.65 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
5 0.65 三角形的外角的定义及性质；全等三角形的性质；三角形内角和定理的应用
6 0.65 判断命题真假
7 0.65 与三角形的高有关的计算问题；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
8 0.4 线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质证明；作垂线(尺规作图)；由平行截线求相关线段的长或比值
9 0.4 两直线平行内错角相等；全等三角形的性质；等边对等角
10 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 等腰三角形的性质和判定
12 0.85 全等三角形的性质；根据平行线的性质求角的度数；三角形内角和定理的应用
13 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理
14 0.65 等腰三角形的性质和判定；勾股定理与折叠问题
15 0.65 全等三角形综合问题
16 0.65 角平分线的性质定理；三角形角平分线的定义
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）
18 0.85 三角形内角和定理的应用；全等三角形的性质
19 0.65 全等三角形的性质
20 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形内角和定理的应用
21 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；垂线的定义理解；三角形内角和定理的应用
23 0.65 垂心；作垂线(尺规作图)
24 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；加减消元法；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）2025—2026学年八年级数学上学期第一次月考卷
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，射线上线段，垂足为，垂足为为射线上一动点，当的周长最小时，（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
4．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余
C．若，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等
7．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ．
12．如图，，．若，，，则 ．
13．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ．
14．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ．
15．如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等．
16．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在和中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：（1），（2），（3），（4）．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
18．如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由．
19．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四边形的面积．
20．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)求证：；
(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？
21．如图，中，平分，且平分，于，于．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
22．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
(3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
试猜想与的数量关系，并说明理由；
你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
23．如图，在 与中，，直角边与交于E．
(1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点．
24．在平面直角坐标系中，，且点A、B坐标满足方程组．
(1)求A、B的坐标；
(2)如图1，以为边在第四象限作等腰，直接写出P点坐标；
(3)如图2，若C，D在y轴B，O上方，且，过O作于H，直线交于F，直线交于E，试探究线段、、三条线段有何数量关系？并证明你的结论．《八年级数学第一次月考卷（浙教版2024，测试范围：第1-2章）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C A C B D C C
1．D
本题考查的是轴对称图形的定义：在平面内，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可得出答案．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．C
本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、直角三角形的性质（两锐角互余）及三角形内角和定理，解题的关键是通过等腰三角形性质求出底角的度数，再利用直角三角形内角关系计算．
由和，求；利用得，在中求．
∵，
∴ 是等腰三角形，．
∵，三角形内角和为，
∴．
∵，
∴（垂直定义）．
在中，．
故选：C.
3．C
本题主要考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．依据题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案．
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
．
是等腰直角三角形．
．
的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小，．
在中，，，
．
当的周长最小时，．
故选：C．
4．C
本题考查了全等三角形的判定定理．根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解．
解：若添加这个条件，
在与中，
，
∴；故A选项不符合题意；
若添加这个条件，
在与中，
，
∴；故B选项不符合题意；
若添加这个条件，
∵、分别是、的对边，
不能判定，故C选项符合题意；
若添加这个条件，
在与中，
，
∴；故D选项不符合题意．
故选：C．
5．A
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6．C
本题考查了命题的真假判断，涉及平行线的性质、互余的性质、二次根式的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关数学知识并逐一分析各命题的正确性．
根据各选项涉及的数学知识，分别判断命题的真假，找出假命题．
A．“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，是真命题．
B．设两个角为和，且（互余）．它们的余角分别为和，其和为，故这两个余角互余，是真命题．
C．由，可知，且左边右边即．此时x可能等于也可能等于（如时，等式成立但故该命题是假命题．
D．“两边及夹角分别相等的两个三角形全等”是全等三角形判定定理中的“”，是真命题．
故选：C．
7．B
根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得．
解：，
，
为的角平分线，
，
为的高，
，
，
，
故选：B．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用．
8．D
连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得．
连接，设交于点H，正方形边长为，
由作图知，，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．
9．C
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解．
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论．
解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①结论正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
故②结论错误；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故③结论正确；
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
故④结论正确；
∴，
∴，
∴，
故⑤结论正确；
即正确结论的是①③④⑤，
故选：C．
本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
11．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长．
解：平分，
，
又，
，
，
，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．40
本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据全等三角形的性质，推出，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质求出的度数，角的和差关系求出的度数即可．
解：，
，
，即，
．
，
．
，
，
．
故答案为40．
13．或
本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，理解和掌握角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质是解题的关键．
如图所示（见详解），点为上一点，若满足，则有点或点，根据直角三角形全等的判定，即可求解．
解：如图所示，
过点作，
∵点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，且，，
∴，且，为公共边，
∴在，中，，
∴，
若，，
∴，
∴，
∴；
若，，
∴，
∴，
∴．
故的长度为3或5.
故答案为：或．
14．或
本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案．
解：由折叠性质得，，，
当时，设，
得，
，
，
在中，，
∴，
，
；
当时，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
当或时，是以为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
15．2或4
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值．
因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出．
解：
情况一：，
此时，
已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则，
把代入，可得（秒）；
情况二：
此时．
已知，，
把代入，可得（秒）．
综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等．
故答案为：2或4．
16．42
本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
如下图，连接，过作于，于，
、分别平分和，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
的周长是，
，
故答案为：．
17．条件是：（1）（2）（4） ，结论是：（3） ；证明见解析
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理选出条件，结论，并证明即可．
解：条件是：（1）（2）（4）
结论是：（3）
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
18．，，理由见解析
本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，由全等三角形的性质得到，，根据角的和差即可得到，根据三角形的内角和定理可得．
解：与相等的角有，，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
即．
∵，
，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)6
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明；
（2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案．
（1）证明：，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
四边形的面积．
20．(1)见解析
(2)，理由见解析．
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论．
（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
21．(1)证明见解析
(2)1
本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键．
（1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得．
（1）证明：如图，连接、，
且平分，
，
平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
．
（2）解：平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
，
由（1）已证：，
设，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴．
22．(1)证明见解析；
(2)，，理由见解析；
(3)，理由见解析；能，与的夹角度数为，理由见解析．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键．
（）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证；
（）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解；
（）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证；
设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：，，理由，
如图，设与交于点，与交于点，
∵，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
能，与的夹角度数为，理由，
如图，设与交于点，
由得，
∴，
∴
，
∴与的夹角度数为．
23．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了复杂作图——作垂线，三角形垂心，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作法作图即可；
（2）延长线段、交于点，连接，根据三角形的三条高交于一点，可得，再结合过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直，可得和在一条直线上，即可证明结论．
（1）解：如图，线段即为所求作；
（2）解：如图，延长线段、交于点，连接，
，
，，
、分别是边、上的高，
与交于E，且三角形的三条高所在直线交于一点，
，
又，
和在一条直线上，即点、、三点共线，
、、必相交于同一点．
24．(1)，
(2)点P的坐标为或或
(3)，理由见解析
（1）解方程组可得结论；
（2）分三种情况：①如图1，当时，过点P作轴于G，则，②如图2，当时，过点P作轴于T，③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N，证明两个三角形全等可解答；
（3）解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则，证明是等腰直角三角形和是等腰直角三角形，设，则，，再证明和，可解答此题；
解法二：如图5，过点C作轴交于G，证明和，则，，可解答此题．
（1）解：，
①②得：，
解得，
将代入①得：，
∴方程组的解为：，
∴，；
（2）解：分三种情况：
①如图1，当时，过点P作轴于G，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
，
∴；
②如图2，当时，过点P作轴于T，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
，
∴；
③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵轴于M，于N，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，点P的坐标为或或；
（3）解：，理由如下：
解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
解法二：如图5，过点C作轴交于G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解二元一次方程组，坐标与图形的性质等知识．解题的关键正确作辅助线构建全等三角形，并运用分类讨论的思想解决问题．
