江苏省苏州市张家港市高级中学2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（上）期中数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．直线的倾斜角为　　　　　　．
2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是　　　　　　．
3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为　　　　　　．
4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是　　　　　　．
5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为　　　　　　．
6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为　　　　　　．
7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=　　　　　　．
8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为　　　　　　．
9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是　　　　　　．
10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是　　　　　　
（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；
（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
（4）若m α，m∥β，l β，l∥α，则α∥β
11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　　　　　　．
12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：　　　　　　．
13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为　　　　　　．
14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是　　　　　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．
（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；
（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．
17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；
（3）求点D到平面D1AC的距离．
19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l1的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．
20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．
（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；
（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．
　
2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．直线的倾斜角为　　．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．
【解答】解：将直线方程化为斜截式得，，
故斜率为，∴，
故答案为
　
2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是　平行、相交或异面　．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】结合空间面面平行的性质和线面平行的判定与性质，在正方体中举例说明，不难得到本题的答案．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，
则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；
②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，
则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；
③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，
直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，
此时直线a、b异面．
故答案为：平行、相交或异面
　
3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为　x﹣y﹣4=0　．
【考点】圆的切线方程．
【分析】先设切线方程的斜率为k，然后用点斜式表示出切线方程，根据圆与直线相切得出d=r，利用点到直线的距离公式构建出关于k的方程，解出k，即可求出切线方程．
【解答】解：设切线的斜率为k，
则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）
即kx﹣y﹣k﹣=0
由圆与直线相切可得d=r，
即=2
化简得3k2﹣2k+1=0
解得k=，
所以切线方程为y+=（x﹣1）
即x﹣y﹣4=0
故答案为：x﹣y﹣4=0．
　
4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是　　．
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，
则1+1﹣4k＞0，所以
故答案为：
　
5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为　0，2　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；
当m=1时，两条直线分别化为：x﹣y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；
当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx﹣4，y=x+，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=2．
综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直．
故答案为：0，2．
　
6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为　48cm2　．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】由正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，知该正棱柱的高为4cm，由此能求出这个正四棱柱的侧面积．
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，
∴该正棱柱的高为=4cm，
∴这个正四棱柱的侧面积S=4×（4×3）=48cm2．
故答案为：48cm2．
　
7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=　2　．
【考点】圆的切线方程．
【分析】由点到直线的距离公式，算出圆心到直线3x﹣4y+10=0的距离d=r，即可求出半径r的值．
【解答】解：∵圆x2+y2=r2（r＞0）的圆心为原点、半径为r，
∴由直线3x﹣4y+10=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得原点到直线的距离d=r，
即r==2．
故答案为：2．
　
8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为　　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】直接利用球的表面积公式，求出球的半径即可．
【解答】解：因为球的表面积为12π，
设球的半径为r，所以4πr2=12π，所以r=．
故答案为：．
　
9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是　a≤﹣2或a≥1　．
【考点】过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标．
【分析】由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），求出KPA与KPB，判断过P点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．
【解答】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），
如下图示：
∵KPA=2，KPB=﹣1，
则实数a的取值范围是：a≤﹣2或a≥1．
故答案为：a≤﹣2或a≥1．
　
10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是　（3）　
（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；
（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
（4）若m α，m∥β，l β，l∥α，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据命题条件举出反例或给出证明逐项判断各命题真假．
【解答】解：对于（1），当l α时，结论显然不成立；故（1）为假命题．
对于（2），当l α时，结论显然不成立；故（2）为假命题．
对于（3），∵α∥β，l⊥α，∴l⊥β，
∵m∥β，∴存在直线m′ β，使得m∥m′，
∴l⊥m′，∴l⊥m．故命题（3）正确．
对于（4），若α∩β=b，m∥b∥l，显然符合条件，但结论不成立，故（4）为假命题．
故答案为：（3）．
　
11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　4　．
【考点】圆的标准方程；两条直线垂直的判定．
【分析】画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．
【解答】解：由题
O1（0，0）与O2：（m，0）
，O1A⊥AO2，
，∴m=±5
AB=
故答案为：4
　
12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：　　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由题意得，直线y=kx+1
和半圆
y=有两个交点，求出半圆的切线BD的斜率，以及AB
的斜率，即得实数k的
取值范围．
【解答】解：关于x的方程：，即
kx+1=．
由题意得，直线y=kx+1
和半圆
y=有两个交点，如图所示：A（2，0），B（0，1）．
由圆心（1，0）到直线的距离等于半径1得，1=，∴k=0，故半圆的切线BD的斜率为0．
当直线和AB重合时，斜率
k=kAB==﹣，故实数k的取值范围为[﹣，0）
故答案为[﹣，0）．
　
13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为　9　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．
【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，
PD=a；OD=a；OP==．
设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2 a=3，
V棱锥=×a2×a=9，
故答案是9
　
14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是　　．
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【分析】欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，再将正方体展开，找到6个面的中心点，经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长．
【解答】解：欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，
正方体展开图形为：
则蚂蚁爬行最短程的最大值S=5+=．
故答案为：．．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．
（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．
【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，
因为AB 平面CDEF，CD 平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF．…4分
因为AB 平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，
所以AB∥EF．
…7分
（2）因为DE⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以DE⊥BC．
…9分
因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE 平面CDEF，
所以BC⊥平面CDEF．
…12分
因为BC 平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．
　
16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．
（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；
（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．
【考点】两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．
【分析】（Ⅰ）求出两直线m，n交点，直线x+3y﹣1=0平行的斜率，然后求出直线方程；
（Ⅱ）方法一：求出直线l过两直线m，n交点，与x，y正半轴交于A、B两点，利用△ABO的面积为4，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．
方法二：设出截距式方程，利用三角形的面积，求出直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，所以m，n的交点为（2，1）…
又所求直线与x+3y﹣1=0平行，所以所求直线的斜率为，…
所求直线方程为即　　　　　　　…
（Ⅱ）方法一：由题可知，直线l的斜率k存在，且k＜0．
则直线l的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1令x=0，得y=1﹣2k＞0
令y=0，得＞0
所以，解得　　　　　…
所以l的方程为　　　　　…
方法二：由题可知，直线l的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则l：
又l过点（2，1），△ABO的面积为4
所以，…
解得，…
所以l方程为即．　　　　…
　
17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．
（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．
圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．
　
18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；
（3）求点D到平面D1AC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）要证直线EE1∥平面FCC1，只要证面CC1F∥面ADD1A1，根据面面平行的判定定理，结合平行四边形的性质证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，只要证明AC⊥面BCC1B1，再由线面垂直的判定定理只要证明AC垂直于BC、CC1；
（3）利用等积法即，求出点D到平面D1AC的距离．
【解答】（1）证明：∵，
∴CD∥AF，CD=AF
∴四边形AFCD为平行四边形
∴CF∥AD
又∵AD 面ADD1A1，CF 面ADD1A1
∴CF∥面ADD1A1…
在直四棱柱中，CC1∥DD1，
又∵AD 面ADD1A1，CF 面ADD1A1
∴CC1∥面ADD1A1…
又∵CC1∩CF=C，CC1，CF 面CC1F
∴面CC1F∥面ADD1A1
又EE1 面ADD1A1，
∴EE1∥面CC1F…
（2）证明：∵
∴平行四边形AFCD是菱形
∴DF⊥AC，易知BC∥DF
∴AC⊥BC…
在直四棱柱中，CC1⊥面ABCD，AC 面ABCD
∴AC⊥CC1
又BC∩CC1=C
∴AC⊥面BCC1B1…
又AC 面D1AC
∴面D1AC⊥面BCC1B1…
（3）解：易知…
∴设D到面D1AC的距离为d，则
，又，，DD1=2，…
∴d=，即D到面D1AC的距离为．…
　
19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l1的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；
（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．
【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），
即kx﹣y﹣3k=0…
又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，
所以直线l1的方程为，
即或…
（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．
又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．
解方程组，得，
同理可得：．…
所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，
又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．
所以圆C的方程为，…
即=0
即，
又s2+t2=1
故圆C的方程为，
令y=0，则（x﹣3）2=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=，
所以圆C经过定点且定点坐标为
　
20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．
（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；
（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．
【考点】两点间距离公式的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）求出圆心坐标与半径，设直线l2的方程y=k（x﹣1），利用PQ=6，可得圆心到直线的距离d==，即可求直线l2的方程；
（2）
设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty﹣2t=0，由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2≥至多有一个公共点，故≥，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意，圆心坐标为（3，1），半径为，则
设直线l2的方程y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，
∴圆心到直线的距离d==，
∴k=0或，
∴直线l2的方程为y=0或4x﹣3y﹣1=0；
（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得=1，
即2x+ty﹣2t=0，
由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，
依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2≥至多有一个公共点，
故≥，
解得t≤或t≥，
∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
①当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时S△EPQ=2；
②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
则l1的方程为y=﹣（x﹣1），点E（0，），∴BE=，
又圆心到l2的距离为，
∴PQ=2，
∴S△EPQ= 2==≥
∵＜2，
∴（S△EPQ）min=．
　
2016年7月21日