云南省曲靖市宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷（含解析）

云南省宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷
一、单选题
1．已知满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．若集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
3．已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．7
5．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A． B．25 C． D．50
7．如图，已知抛物线的方程为，一束光沿着直线照射在点，则反射光线所在的直线方程为（ ）

A． B．
C． D．
8．若在上存在唯一的零点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）为10，7，8，10，x，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ）
A． B．极差为4 C．众数为10 D．平均值为8.5
10．在中，，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，其公比为，则（ ）
A．，，成等比数列 B．
C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点为，，左、右顶点分别为，．若在的右支上，，，且的纵坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，则（ ）
A．的离心率为2
B．的两条渐近线的夹角为
C．过原点可以作的两条切线
D．直线与的交点在直线上
三、填空题
12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ，的外接圆的面积为 .
13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，且与所在直线互相垂直，则该棱台的体积为 .
14．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知首项为1的正项数列满足.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)求数列的前项和.
16．DeepSeek App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，因而产生了强大的社会效应.公司新开发了一款算法，为了测试该算法在青年人和中年人中的应用效果，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）.
效果 用户 总计
青年人用户人数 中年人用户人数
有效
无效
总计 150 150 300
(1)求出，的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，请判断算法的效果在两组不同年龄段的用户中是否存在差异？
(3)先用分层抽样在所有接受调查的用户中抽取30人得到一个压缩样本，再在的青年人用户中一次性随机抽取3人，求恰有1人的体验效果为有效的概率.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接.
(1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等.
①用一个正的参数写出的方程；
②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围.
19．已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)已知有两个零点，.
（i）证明：；
（ii）证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C D A A D ABC AB
题号 11
答案 AB
1．D
设再结合题意即可求出，从而可求解.
【详解】设，代入得，所以.故D正确.
故选:D.
2．D
分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集.
【详解】集合，集合，
若，则或；若，则或1，
∴，
∴的真子集的个数为.
故选：D.
3．A
求导可得函数单调性，根据单调性列式计算即可.
【详解】函数的定义域为，
因为恒成立，所以函数在上单调递增，
若，则，
即的取值范围为.
故选：A
4．C
由已知利用诱导公式及同角三角函数的关系求得，进而利用两角和的正切公式可求值.
【详解】由可得，由于是第四象限角，则，
故，故.
故选：C.
5．D
根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
6．A
利用的二项展开式的通项公式，可求的系数.
【详解】易得展开式通项公式为，
令可得的系数为，令可得的系数为，
故原展开式中的系数为.
故选：A.
7．A
联立抛物线和直线方程解得交点，根据抛物线解析式计算得到焦点，根据定义反射光线为直线，利用点斜式方程计算出直线方程.
【详解】联立与得，抛物线的焦点为，
由的光学性质得，反射光线所在的直线为，其方程为，即.
故选:A.
8．D
分离变量可得，令，利用导数研究的单调性，进而可得，求解可得结论.
【详解】令，因为，所以，令，所以，
因为存在唯一的满足：，
所以，当时，；当时，，
所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点，
因为，所以当且仅当时，
直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点，
所以或，所以或.
结合选项，只有D符合题意，
故选：D.
9．ABC
由这8次射击成绩的中位数为9可求出，然后利用极差、平均数、众数知识即可逐项求解.
【详解】A:将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，当时，这8次射击成绩的中位数，所以，故A正确；
B:将8个成绩从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，10，极差为，故B正确；
C:众数为10，故C正确；
D:平均值为，故D错误.
故选：ABC.
10．AB
由已知易判断A；利用余弦定理及已知可得可判断B；利用，结合已知可判断C；分类讨论求得公式判断D.
【详解】对于A.由，，成等比数列得，
由正弦定理可得，，所以，，成等比数列，故A正确；
对于B.由余弦定理及，，成等比数列得，，
所以，所以，
当且仅当时成立，故B正确；
对于C.因为，，成等比数列，所以，因为，所以，
所以，即，故C错误；
对于D.因为成等比数列，所以或，
所以或，解得，故D错误.
故选：AB.
11．AB
利用双曲线的定义结合等面积法建立关于的等式求解即可判断A；求出双曲线的渐近线即可得出夹角即可判断B；将相切问题转化成方程有且只有一个解，即可判断C；通过设的方程为，则，，得出与的交点即可判断D．
【详解】根据题意，作图如下：
由双曲线的定义得，，因为，所以，
因为，且的纵坐标为，所以，解得，
所以的离心率为，故A正确；
的渐近线方程为，倾斜角分别为，，所以的两条渐近线的夹角为，故B正确；
假设过原点存在一条直线与相切，则，有唯一一组解有唯一解，
当且仅当，即或时，方程无解，不合题意；当且仅当，即一时，方程有两解，不合题意，故C错误；
设的方程为，则，，所以的方程为，的方程为，联立解得，的交点坐标为，不在直线上，故D错误．
故选：AB．
12． /
利用正弦定理将角化边计算可得，，利用余弦定理计算可得，再根据正弦定理求得的外接圆半径为，即可得其面积.
【详解】根据正弦定理，由可得，又，所以，，
根据余弦定理，，
故.
设的外接圆半径为,
又根据正弦定理，，则，
所以的外接圆的面积为.
故答案为：；.
13．
连接，过作平行线，交于点，设上、下底面的中心分别为、，则、分别为、的中点，过点作，交于点，分析可知为正四棱台的高，结合台体体积公式求解即可.
【详解】如图，连接，过作平行线，交于点，
又，则四边形为平行四边形.
又由题，，，则，.
又，，则，.
设上、下底面的中心分别为、，则、分别为、的中点，
过点作，交于点，如图所示：
由正棱台的几何性质可得底面，故底面，
故为正四棱台的高，
由于为等腰直角三角形，故，
则由棱台体积公式，棱台体积为.
故答案为：.
14．
利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解.
【详解】当，，
若函数（）在区间上有定义，
则，解得，
函数的对称中心满足，，整理得，，
其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解，
整理得至少存在两个值使，，
故至少有两个取值，所以，
综上，的取值范围为.
故答案为:.
15．(1)4
(2)
(3)
（1）赋值代入解方程即可；
（2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可；
（3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1），，
，即，
解得.
（2）有（1）得，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
，则.
（3）
，
故数列的前项和.
16．(1)
(2)算法的效果在两组不同年龄段的用户中存在差异
(3)
（1）根据题意列式求解即可；
（2）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论.
（3）利用分层抽样的意义求得体验有效的有12个用户，无效的有3个用户，利用超几何分布可求对应的概率.
【详解】（1）由已知得，，所以.；
（2）由（1）可得
效果 用户 总计
青年人用户人数 中年人用户人数
有效 200
无效 100
总计 150 150 300
零假设为：算法的效果在两组不同年龄段的用户中不存在差异，
由题意计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以判断：算法的效果在两组不同年龄段的用户中存在差异.
（3）由已知得，分层抽样比为，
故在的青年人用户中，体验有效的有12个用户，无效的有3个用户，
所以一次性随机抽取人3人，恰有1人的体验效果为有效的概率为.
17．(1)证明见解析
(2)．
（1）先根据圆台体积计算圆台的高度，取的中点，的中点就是要找的点，计算，证明 中四边形为平行四边形结合三角形中位线，平行的传递性证明结果；（2）以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式计算平面与平面的夹角；
【详解】（1）设圆台的高为，
因为上下底面半径分别为1和2，体积为，
所以，所以.
取的中点，连接，则的中点就是要找的点.
证明如下：因为为下底面圆周上一点，，为的中点，
所以.
在三角形中，因为，分别为，的中点，
所以，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则平面的一个法向量为，
，，，，所以，
所以，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)①;②.
（1）根据题意得出关于的方程，解得答案即可得到椭圆方程.（2）①根据两个椭圆的离心率相等设椭圆方程为，化简即可的答案;②根据条件可得且，，设，分别求得，，，，直线的方程为，代入计算结合，可解得，因为位于上，求，为上任一点，化简得，联立有解，求得长轴长取值范围.
【详解】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点，所以，
解得，，所以的方程为.
（2）
①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上，
又与的离心率相等，所以可设的方程为，
即的方程为.
②因为，，所以且，，
设，
所以，，
设，所以，，
直线的方程为，即，
所以，代入得，
，
因为，所以，
不妨设，代入的方程可解得，
因为位于上，所以，
为上任一点，所以，化简得，
设，因为为上任一点，即有解，
整理得，，
解得，所以，
所以的长轴长.
19．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，易得的定义域为，
且，，
时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）（i）由题设且，则，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，则，
由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点，
所以，即，命题得证；
（ii）证明：由题意，即，
所以，记，则，
要证，即证，即证，
记，，则，
记，则，
同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
下证，由，由于时，显然成立，
故只需考虑时，是否成立，要证，即证，
由在区间上单调递减，即证，
即证，即证，
记，，，
记，，，所以在上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减，
又，所以，故.