四川省广元市2025届中考数学试卷（含答案）

四川省广元市2025届中考数学试卷
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
5．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的周长为
10．已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m n s …
其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ．
16．四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程：；
②解不等式组：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
20．为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，
21．我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
(2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
(3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
22．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
(1)求篮球和足球的单价；
(2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
24．如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求与的关系；
(2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；
(3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D C D B D C
11．x≤1
12．
13．
14．1
15．6
16．
17．
解：
．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：由作图方法可得，
又∵，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴的长．
19．（1）①；②；（2），
解：（1）①∵，
∴，
∴或，
解得；
②
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集为；
（2）
，
由（1）①可得，则原式，
由（1）②可得，则原式．
20．大约是3米
解：如图，设射线与相交于点D．由题意可知，
，米，
∴四边形为矩形，故米（水平距离）．
在中，，
，
米．
在中，，
米．
∵点在同一直线上，
∴米，保留整数得米．
答：五角星高度大约是3米．
21．(1)50人；；补全条形统计图见解析
(2)80人
(3)；列表法见解析
（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
故答案依次为：50人；．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
22．(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元
(2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低．
（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元；
（2）解：由题意得，，
∵足球的数量不能多于篮球数量的，
∴，
∴，
∵两种球都要购买，
∴，且x为整数
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低．
23．(1)一次函数为，反比例函数为；
(2)
(3)或；
（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，
，，
， ，
∴一次函数为，反比例函数为；
（2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
当时，，当时，，
，，
∵点是反比例函数图象上一点，
，
，
过点B作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为，
∵点，轴，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴
∴
∴的面积．
（3）解：设，
∵，，
则，
当时，
即，得到
解得：或，
故点P的坐标为或；
24．(1)见解析
(2)7
（1）证明：如图，连接，
∵过点D的直线与相切于点C，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
即；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴．
25．（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3）
（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为；
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴．
26．(1)
(2)或或
(3)
（1）解：将代入得
∴即
（2）解：∵
∴
∴抛物线解析式为
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
得
解得：
∴
当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，则
∴，且轴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴到的距离为
如图，延长交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，且
∴到的距离为，
∵
∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点,
设直线的解析式为
代入
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或
（3）抛物线方程为，由（1）知，
当时，，则
故抛物线为：
设，
当时，
∵
∴
∴
即，解得
∴
∵是直角三角形，
∴的外接圆的圆心在上，且为的中点，
∵，
∴的外接圆的圆心坐标为：
因为直线的解析式为
如图，设，的中点为，过点作轴交于点
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵在上，
∴
∴即①
∵
∴
∴②
联立①②得，
∴
∵在抛物线上，代入抛物线方程：
解得：或
∵
∴